Toán cc 1 môn toán cho các nhà kinh tế

TOÁN CAO CẤP 1
Giảng viên: Nguyễn Thị Quỳnh Lan
Email:

TOÁN CAO CẤP 1

1


Giáo trình và tài liệu tham khảo
 Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế,
Tác giả: Lê Đình Thúy, Nguyễn Thị Quỳnh Lan

 Toán học cao cấp, tập 1- Phần Đại số và hình học giải
tích
Tác giả: Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Dĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh

TOÁN CAO CẤP 1

2


Giáo trình và tài liệu tham khảo
 Fundamental Methods of Mathematical Economics
Tác giả: Alpha C. Chiang

 Mathematics for Economics
Tác giả: Michael Hoy, John Livenois,..
( Massachusetts Institute of Technology )

TOÁN CAO CẤP 1

3


PHƯƠNG PHÁP HỌC


Học thuộc và hiểu chính xác các khái

niệm, các định lý và biết áp dụng chính xác phần lý thuyết vào
các bài tập.



Làm bài tập vào vở: Viết đầy đủ, hoàn chỉnh và tính toán
chính xác đến đáp số.



Yêu cầu môn học: Nhanh, chính xác.

TOÁN CAO CẤP 1

4


CÁCH ĐÁNH GIÁ HỌC PHẦN
 Thời lượng giảng trên lớp: 2 tín chỉ (30 tiết )
 Cách đánh giá học phần:
- Tham dự giờ giảng, chuẩn bị bài, làm bài tập: 10%

- Bài kiểm tra giữa kỳ: 20%
( Buổi 12, sau chương 2)
- Bài thi cuối học kỳ: 70%

TOÁN CAO CẤP 1

5


Nội dung môn Toán cao cấp 1
 Chương 1: Không gian véc tơ n chiều
 Chương 2: Ma trận và định thức
 Chương 3: Lý thuyết hệ phương trình tuyến tính
 Chương 4: Dạng toàn phương
(Tự đọc – Tham khảo )

TOÁN CAO CẤP 1

6


Ch.1 KHÔNG GIAN VÉC TƠ N
CHIỀU

TOÁN CAO CẤP 1

7


NỘI DUNG CHƯƠNG 1

 Hệ phương trình tuyến tính và phương pháp khử ẩn liên
tiếp.

 Véc tơ n chiều và không gian véc tơ n chiều.
 Các mối liên hệ tuyến tính trong Rn
 Cơ sở trong không gian véc tơ
 Hạng và cơ sở của hệ véc tơ.

TOÁN CAO CẤP 1

8


§1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ
PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP
I. Hệ phương trình tuyến tính

1)Khái niệm hệ phương trình tt
Hệ phương trình tuyến tính n ẩn số, m phương trình có dạng
a11.x1 + a12.x2+…+ a1n.xn = b1
a21.x1 + a22.x2+…+ a2n.xn = b2
……………………………………………

(1)

am1.x1 + am2.x2+…+ amn.xn = bm
trong đó aij, bi các số thực cho trước.

TOÁN CAO CẤP 1

9


§1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ
PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP
x1, x2,…, xn : các ẩn số
aij : hệ số của ẩn xj ở pt thứ i.
bi : hệ số tự do của pt thứ i.
+ Nghiệm của hệ pt: Một bộ n số có thứ tự (c1, c2,.., cn) là một
nghiệm của hệ pt nếu thay x1=c1, x2 =c2,.., xn=cn vào các phương
trình của hệ ta nhận được các đẳng thức.
+ Giải hệ pt: Tìm tất cả các nghiệm của hệ (1), hoặc chứng minh hệ
vô nghiệm.

TOÁN CAO CẤP 1

10


§1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ
PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP
Đối với hệ phương trình (1) lập 2 bảng số:

 a11 a12

a
a
21
22


A=
 ...
...

- Ma trận hệ số của hệ
pt (1).a
a
m2
 m1

... a1n 
÷
... a 2n ÷
... ... ÷
÷
... a mn 

TOÁN CAO CẤP 1

11


§1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ
PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP

 a11 a12

a
a

21
22

A=
 ...
...

- Ma trận mở rộng
của hệ a
ptm2
(1).
 a m1

... a1n
... a 2n
... ...
... a mn

TOÁN CAO CẤP 1

b1 
÷
b2 ÷
... ÷
÷
bm 

12

§1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ
PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP
2) Hệ phương trình tt thuần nhất
Hệ pt tt có tất cả các hệ số tự do bằng 0 được gọi là hệ pt tt thuần
nhất, có dạng:

a11.x1 + a12.x2+…+ a1n.xn = 0
a21.x1 + a22.x2+…+ a2n.xn = 0
……………………………………………

(2)

am1.x1 + am2.x2+…+ amn.xn = 0

TOÁN CAO CẤP 1

13


§1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ
PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP
Ta thấy ( x1=0, x2=0,…, xn=0) là 1 nghiệm của hệ (2)- gọi là
nghiệm tầm thường của hệ.
+ Vậy hệ phương trình tt thuần nhất luôn có nghiệm.
3) Hệ phương trình tương đương và các phép biến đổi tương đương.
+ Hai hệ pt tt có các ẩn số như nhau là tương đương với nhau nếu
tập hợp nghiệm của hai hệ bằng nhau.

TOÁN CAO CẤP 1

14


§1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ
PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP
+ Phép biến đổi tương đương: Phép biến đổi một hệ pt tt thành
một hệ pt tt mới tương đương với nó gọi là phép biến đổi tương
đương.
+ 3 phép biến đổi sơ cấp đối với hệ pt
i) Đổi chỗ 2 phương trình cho nhau.
ii) Nhân 2 vế của một phương trình với một số khác 0.
iii) Cộng vào hai vế của 1 phương trình tích của 1 phương trình
khác với 1 số.

TOÁN CAO CẤP 1

15


§1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ
PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP
Định lý: 3 phép biến đổi sơ cấp đối với hệ phương trình tuyến tính
là các phép biến đổi tương đương.

II. Phương pháp khử ẩn liên tiếp
1) Hệ tam giác, hệ hình thang
+ Hệ tam giác: là hệ phương trình tuyến tính có dạng đặc biệt như
sau:

TOÁN CAO CẤP 1

16


§1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ
PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP
a11.x1 + a12.x2+…+ a1n.xn = b1
a22.x2+…+ a2n.xn = b2
……………………………………………

(3)

ann.xn = bn

trong đó aii ≠ 0 với i=1,2,..,n.
Chú ý: -Hệ tam giác có aij =0 với mọi i>j,
i,j=1,2,..,n.
- Hệ tam giác có số ẩn=số phương trình.

TOÁN CAO CẤP 1

17


§1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ
PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP
Cách giải: Giải từ phương trình cuối lên phương trình đầu; Do aii ≠
0, i=1,2,..,n nên mỗi pt đều có nghiệm duy nhất.
Kết luận: Hệ tam giác luôn có nghiệm duy nhất.
Ví dụ: Giải các hệ phương trình

a)

2x1 + x2 – x3

=5

– x2 –3x3 = 1
–7x3 = 7

TOÁN CAO CẤP 1

18


§1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ
PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP
b)

2x1 +

x2 – x3

=5

(k+1) x2 –3x3 = 1
–7x3 = 7

c)

2x1 + x2 – k.x3

=5

– x2 –3x3 = k+1
–7x3 = 7

TOÁN CAO CẤP 1

19


§1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ
PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP
2) Hệ hình thang
Hệ hình thang là hệ pt tt có dạng đặc biệt như sau:
a11.x1 + a12.x2+..+ a1s.xs+…+ a1n.xn = b1
a22.x2+…+ a2s. xs+…+ a2n.xn = b2
(4)

………………………………………………
ass.xs+…+ asn.xn = bs

trong đó s < n, aii ≠ 0 với i=1,2,..,s.

TOÁN CAO CẤP 1

20


§1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ

PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP
Cách giải: Chọn x1, x2,…, xs các ẩn chính; Các ẩn còn lại gọi là ẩn
tự do; Gán cho các ẩn này các tham số: xs+1=cs+1,…, xn=cn. Thay
vào hệ (4) ta nhận được hệ tam giác đối với các ẩn chính:
a11.x1 + a12.x2+…+ a1s.xs = d1
a22.x2+…+ a2s. xs = d2
……………………………

(5)

ass.xs = ds

TOÁN CAO CẤP 1

21


§1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ
PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP
Giải hệ (5) ta nhận được nghiệm duy nhất của các ẩn chính ( theo
ẩn tự do) x1=c1, x2=c2,…, xs=cs.
Bộ n số (c1,c2,..,cs,cs+1,…,cn), trong đó cs+1,cs+2,…,cn nhận giá
trị tùy ý là các nghiệm của hệ (4).
Kết luận:Hệ hình thang có vô số nghiệm.
Chú ý:- Hệ hình thang có s phương trình được chọn s ẩn chính.
- Có thể chọn các ẩn chính khác nhau, nhưng phải nhận được hệ
tam giác đối với s ẩn chính.

TOÁN CAO CẤP 1

22


§1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ
PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP
Ví dụ: Giải các phương trình sau
a)

2x1 - x2 + 3x3 = -5
- 3x2 + x3 = 1

b)

kx1 - x2 + 3x3 = -5
- 3x2 + 9.x3 = 1

c)

2x1 - x2 + 3x3 = -k+3
- 3x2 + k.x3 = 1

TOÁN CAO CẤP 1

23


§1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ
PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP
d)

3x1 – 2x2

+ x3 – x4 = -6
– 5x3 + 3x4 = 2

TOÁN CAO CẤP 1

24


§1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ
PHƯƠNG PHÁP KHỬ ẨN LIÊN TIẾP
2) Phương pháp khử ẩn liên tiếp
Hệ pt tt tổng quát:
a11.x1 + a12.x2+…+ a1n.xn = b1
a21.x1 + a22.x2+…+ a2n.xn = b2
……………………………………

(1)

am1.x1 + am2.x2+…+ amn.xn = bm
Không giảm tổng quát, giả sử a11 ≠0. Khử ẩn x1 ở các phương
trình từ phương trình thứ 2 trở đi ( bằng 3 phép biến đổi sơ cấp).

TOÁN CAO CẤP 1

25