Hướng dẫn tự học môn toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 đại học kinh tế quốc dân

TOÁN CAO CẤP
CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2
Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

11/2016

Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

1/7


ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN
KHOA TOÁN KINH TẾ
BỘ MÔN TOÁN CƠ BẢN

BÀI GIẢNG

TOÁN CAO CẤP
CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2
Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

2/7


Thông tin về học phần

Tên tiếng Anh: Mathematics for Economics 2.

Số đơn vị học trình: 3 đơn vị học trình (45 tiết).
Nội dung học phần: Học phần gồm 6 chương.
Chương 1, Chương 2 đề cập đến phép tính giới hạn và phép tính vi
phân của hàm số một biến số. Chương 3, Chương 4 trình bày các
kiến thức cơ bản về hàm số nhiều biến số và cực trị hàm số nhiều
biến. Chương 5 trình bày về phép toán tích phân và chương cuối
trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình vi phân.
Môn học tiên quyết: Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 1.

Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

3/7


Thông tin về giảng viên

Giảng viên: Họ và tên giảng viên
Đơn vị: bộ môn Toán cơ bản, khoa Toán kinh tế
Văn phòng Khoa: Phòng 403 nhà 7, trường ĐH Kinh tế quốc dân
- 207 đường Giải phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội.
Website của Khoa: www.mfe.edu.vn
Email: Email của giảng viên.
Số điện thoại: Số điện thoại của giảng viên (có thể có hoặc
không).

Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

4/7


Phân bổ thời gian giảng dạy
Chương

Số tiết

Tuần học

Chương 1. Hàm số và giới hạn

6

1, 2

Chương 2. Đạo hàm và vi phân

9

3, 4, 5

Chương 3. Hàm số nhiều biến số

6

6, 7

Chương 4. Cực trị của hàm nhiều biến số

9

8, 9, 10

Chương 5. Phép toán tích phân

9

11, 12, 13

Chương 6. Phương trình vi phân

6

14, 15

Chú ý
Bài kiểm tra giữa kỳ được làm vào tuần thứ 10.
Nội dung kiểm tra từ bài 1 chương 1 đến hết bài 3 chương 4.
Bài kiểm tra tự luận, thời gian làm bài 60 phút.
Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

5/7


Cơ cấu đánh giá điểm
Điểm thành phần

Tỷ lệ

Thang điểm

Ý thức học tập

10%

10 (điểm nguyên)

Kiểm tra giữa kỳ

20%

10 (điểm nguyên)

Thi kết thúc học phần

70%

10 (điểm lẻ 0,5)

Sinh viên chỉ được tham dự kỳ thi kết thúc học phần khi tham gia
trên 80% số tiết trên lớp và có điểm ý thức lớn hơn hoặc bằng 5.
Quy định về cách đánh giá điểm ý thức học (10%): đánh giá dựa
vào thái độ tích cực tham gia môn học của sinh viên (dự các buổi
học trên lớp, làm bài tập ở nhà, làm bài tập trên lớp).

Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

6/7


Tài liệu

1

Lê Đình Thúy, Nguyễn Thị Quỳnh Lan (2016), Giáo trình
Toán cao cấp cho các nhà kinh tế, NXB ĐH KTQD.

2

Alpha C. Chiang (1995), Fundamental Methods of
Mathematical Economics, Third edition, Mc. Graw-Hill, Inc.

Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

7/7


TOÁN CAO CẤP
CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2
Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

11/2016

Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

1/4


CHƯƠNG 1. HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
Các nội dung cơ bản:
Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số: hàm số; miền
xác định; miền giá trị; hàm ngược; hàm số đơn điệu; hàm số
bị chặn; hàm số chẵn và hàm số lẻ; phép hợp hàm; hàm số sơ
cấp; một số hàm số trong kinh tế học.
Dãy số và giới hạn của dãy số.
Giới hạn của hàm số: khái niệm giới hạn của hàm một biến số
và các quy tắc tính giới hạn.
Hàm số liên tục: khái niệm hàm số liên tục và các tính chất
cơ bản của hàm số liên tục.

Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

2/4


CHƯƠNG 1. HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
Học xong chương này, sinh viên có thể:
Tìm được miền xác định, tập giá trị của hàm số.

Nhớ được khái niệm và tìm được hàm ngược của hàm số.
Nhớ được và phân biệt được các hàm số sơ cấp cơ bản: biểu
thức, miền xác định, tập giá trị.
Nhớ được một số đặc trưng cơ bản của hàm số: tính đơn
điệu; tính bị chặn; hàm số chẵn, hàm số lẻ; tính tuần hoàn.
Lập được hàm hợp từ các hàm số.
Phân tích được hàm số sơ cấp qua các hàm số sơ cấp cơ bản.
Nhớ được một số mô hình hàm số trong phân tích kinh tế:
hàm sản xuất ngắn hạn, hàm cung - hàm cầu, hàm chi phí,
hàm doanh thu và hàm lợi nhuận.
Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

3/4


CHƯƠNG 1. HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
Hiểu được khái niệm giới hạn của dãy số, hiểu được giới hạn
của một số dãy số đơn giản.
Hiểu được khái niệm giới hạn của hàm số, nhớ được các quy
tắc tính giới hạn.
Tính được một số giới hạn dạng vô định.
Nhớ được khái niệm vô cùng bé, vô cùng bé cùng bậc, vô
cùng bé bậc cao hơn.
Nhớ được khái niệm hàm số liên tục tại một điểm, trên một
khoảng.
Kiểm tra được tính liên tục của hàm số; áp dụng xét được
tính liên tục của hàm số tại một điểm, trên một khoảng.
Nhớ được các tính chất cơ bản của hàm số liên tục.

Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

4/4


Chương 1. Hàm số và giới hạn

TOÁN CAO CẤP
CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2
Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

11/2016

Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

1 / 17


Chương 1. Hàm số và giới hạn

Bài 1. Các khái niệm cơ bản

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN

Bài 1
Các khái niệm cơ bản

về hàm số một biến số

Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

2 / 17


Chương 1. Hàm số và giới hạn

Bài 1. Các khái niệm cơ bản

1. Biến số
- Khi nghiên cứu các đại lượng thay đổi nhận giá trị bằng số ta
thường sử dụng ký hiệu để đại diện cho giá trị của đại lượng đó:
x ∈ X , (X = ∅, X ⊂ R).
Tập X được gọi là miền biến thiên của biến số. Mỗi số thực thuộc
X được gọi là một giá trị của biến số.
- Trong giải tích toán học, biến số (biến) thường được ký hiệu bởi
các chữ cái in thường: x, y , z, . . . và miền biến thiên X thường là
các khoảng số.
- Một số biến số kinh tế thường gặp:
p, QD , QS , K , L, TC , TR, π, U.
Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

3 / 17

Chương 1. Hàm số và giới hạn

Bài 1. Các khái niệm cơ bản

2. Hàm số
a) Khái niệm
Định nghĩa
f :X →R
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x ∈ X với một và chỉ một số
thực y .
Giá trị y tương ứng với giá trị x: giá trị của hàm số f tại điểm x và
được ký hiệu là f (x).
Tập hợp X : miền xác định của hàm số f .
Các hàm số không phân biệt nhau về ký hiệu, chỉ phân biệt về 2
yếu tố: MXĐ và quy luật f .
Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

4 / 17


Chương 1. Hàm số và giới hạn

Bài 1. Các khái niệm cơ bản

2. Hàm số (2)

- Khi quy luật của hàm số thường được cho dưới dạng biểu thức

f (x), MXĐ tự nhiên của hàm số f (x) là :
Df = {x ∈ R : biểu thức f (x) có nghĩa}.
Ví dụ
y = f (x) =

1
x −1

và y = g (x) =

√

1 − x 2.

- Tập giá trị: f (X ) = {y ∈ R : tồn tại x ∈ X : f (x) = y }.
- Đồ thị: Gf = {(x, y ) : x ∈ X , y = f (x)}.

Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

5 / 17


Chương 1. Hàm số và giới hạn

Bài 1. Các khái niệm cơ bản

2. Hàm số (3)
b) Quan hệ hàm số giữa hai biến số

Định nghĩa
Biến số y được gọi là phụ thuộc hàm số vào biến số x nếu tồn tại
một quy luật f đặt tương ứng mỗi giá trị của x có một giá trị xác
định và duy nhất của y . Ký hiệu: y = f (x).
x: đối số, biến độc lập; y : hàm số, biến phụ thuộc.
Người ta thường sử dụng đồ thị hàm số để minh hoạ bằng hình
ảnh các đặc trưng cơ bản của sự phụ thuộc hàm số.

Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

6 / 17


Chương 1. Hàm số và giới hạn

Bài 1. Các khái niệm cơ bản

3. Khái niệm hàm ngược
Cho hàm số f : X → Y = f (X ).
Nếu với mọi y0 ∈ Y đều tồn tại duy nhất x0 ∈ X thoả mãn
y0 = f (x0 ) được xác định bởi quy luật x0 = g (y0 ) thì g được gọi là
hàm ngược của hàm số f . Ký hiệu: x = f −1 (y ).
Ví dụ
Hàm số f (x) = x 3 − 1 có hàm ngược là: f −1 (x) =

√
3

x + 1.

Thông thường, ta có thể tráo ký hiệu biến số để viết y = f −1 (x). Khi đó,
nếu biểu diễn đồ thị hai hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ thì đồ
thị của hai hàm số này đối xứng nhau qua đường phân giác của góc phần
tư thứ nhất.
Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

7 / 17


Chương 1. Hàm số và giới hạn

Bài 1. Các khái niệm cơ bản

3. Khái niệm hàm ngược (2)
Chú ý
Hàm f (x) = sin x khi xét trên toàn bộ R sẽ không có hàm ngược.
Khi ta xét hàm số f (x) = sin x trên miền xác định [−π/2; π/2], hàm
số này sẽ có hàm ngược.
Ta ký hiệu: arcsin x cho giá trị duy nhất y nằm trong đoạn
[−π/2; π/2] thỏa mãn sin y = x, x ∈ [−1, 1].
Hàm ngược f −1 (x) = arcsin x có miền xác định là [−1, 1] và miền
giá trị là [−π/2; π/2].
Ví dụ
arcsin 1 = π/2; arcsin

√

3/2

= π/3.

Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

8 / 17


Chương 1. Hàm số và giới hạn

Bài 1. Các khái niệm cơ bản

4. Một số đặc trưng của hàm số
a) Tính đơn điệu
Hàm số y = f (x) được gọi là đơn điệu tăng (đơn điệu giảm) trên
(a, b) nếu
∀x1 , x2 ∈ (a, b) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) f (x1 ) > f (x2 ) .
Ví dụ
Xét hàm y = kx + b trên R.
Ta còn dùng khái niệm hàm đồng biến (hàm nghịch biến).

Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

9 / 17

Chương 1. Hàm số và giới hạn

Bài 1. Các khái niệm cơ bản

4. Một số đặc trưng của hàm số (2)
b) Tính bị chặn
Hàm số y = f (x) được gọi là bị chặn trên (a, b) nếu
∀x ∈ (a, b), ∃M > 0 : |f (x)| ≤ M.
Ví dụ
Hàm y = sin x bị chặn trên R: | sin x| ≤ 1, ∀x ∈ R.
Ta còn có khái niệm hàm số bị chặn trên ,hàm số bị chặn dưới.

Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

10 / 17


Chương 1. Hàm số và giới hạn

Bài 1. Các khái niệm cơ bản

4. Một số đặc trưng của hàm số (3)
c) Tính chẵn, lẻ
Hàm số y = f (x) được gọi là hàm lẻ trên X nếu
∀x ∈ X ⇒ −x ∈ X và f (−x) = −f (x)
Hàm số y = f (x) được gọi là hàm chẵn trên X nếu

∀x ∈ X ⇒ −x ∈ X và f (−x) = f (x)
Ví dụ
Hàm y = x 3 là hàm lẻ trên R;
Hàm y = x 6 là hàm chẵn trên R.
Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

11 / 17


Chương 1. Hàm số và giới hạn

Bài 1. Các khái niệm cơ bản

4. Một số đặc trưng của hàm số (4)

d) Tính tuần hoàn
Hàm số y = f (x) được gọi là hàm tuần hoàn trên tập X nếu tồn
tại a ∈ R, a = 0 thỏa mãn: f (x) = f (x + a), ∀x ∈ X .
Ví dụ
Hàm f (x) = sin x tuần hoàn với chu kỳ 2π.

Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

12 / 17

Chương 1. Hàm số và giới hạn

Bài 1. Các khái niệm cơ bản

5. Các hàm số sơ cấp
a) Các hàm số sơ cấp cơ bản
1

Hàm hằng: y = C , C là hằng số.

2

Hàm luỹ thừa: y = x α , α ∈ R.

3

Hàm mũ:
y = ax , (a > 0, a = 1). Đặc biệt a = e.

4

Hàm logarit:
y = loga x(a > 0, a = 1); Đặc biệt: y = lnx (a = e).

5

Hàm lượng giác:
y = sin x, y = cos x; y = tan x, y = cot x.

6

Hàm lượng giác ngược:
y = arcsin x; y = arccos x; y = arctan x; y = arccot x.

Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

13 / 17


Chương 1. Hàm số và giới hạn

Bài 1. Các khái niệm cơ bản

5. Các hàm số sơ cấp (2)
b) Các phép toán sơ cấp
* Phép cộng, trừ, nhân, chia: f (x) ± g (x), f (x)g (x), f (x)/g (x).
* Phép hợp hàm:
g
f
Cho 2 hàm số X → Y → Z .
Nếu ∀x ∈ X , ∃h : X → Z sao cho: h(x) = g [f (x)] thì h được gọi
là hợp của 2 hàm số f và g . Ký hiệu: h = g ◦ f .
Ví dụ

f (x) = x 2 , g (x) = 3x .
Tìm f [g (x)], g [f (x)], f [f (x)], g [g (x)].

Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2

14 / 17