Sang kiến kinh nghiệm

Phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh lớp
10B
3
Trờng PTTH Nh Thanh qua việc khai thác
Bài tập 4
c
ôn tập chơng 2 hình học 10
------------------- ----------------------
I. Mở đầu : Bài 4
C
ôn tập chơng 2 hình học 10 là bài :
Chứng minh rằng trong ABC ta có:

(1)
Đa số học sinh trung bình trong lớp giải đợc bài này, tuy vậy, việc khai thác bài tập
này trong học toán 10 lại khá thú vị ; nó giúp họ tiếp cận sớm hơn với một loạt các
bài tập hay mà lẽ ra 1 năm sau họ mới giải đợc, làm cho học sinh trong lớp có một số
công cụ hợp lý để tiếp cận sớm với các bài toán thi đại học và cao đẳng.
Việc khai thác đẳng thức (1) đợc tiến hành theo hai hớng :
1. Xây dựng các công thức cộng trong phạm vi các góc của một tam giác, trên nền
kiến thức hình học 10
2. Các bài tập có thể áp dụng đợc vào thực tế dạy học.
II. Nội dung chính của việc khai thác bài 4
c
ôn tập chơng 2 hình học 10 (gọi tắt là bài
4
c
)
1. Xây dựng các công thức cộng trong phạm vi các góc của một tam giác.
a/ Công thức cộng thứ nhất:
Vì : B+C = 180

o
A nên :
(1) (2)
A

SinA = SinBCosC + CosBSinC
Sin(B+C) = SinBCosC + CosBSinC
C
B
b/ Công thức cộng thứ 2 : trong ABC ta có :
(3)
chứng minh :
vì : B+C = 180
o
- A nên :
Cos(B+C) = - CosA Cos(B+C) = -
bc
acb
2
222
+
Cos(B+C) =
SinBSinCR
CSinRBSinRASinR
2
222222
4.2
444

(Định lý sin)

Cos(B+C) =
SinBSinC
CSinBSinASin
2
222

(*)
áp dụng bài 4
c
vào (*) ta đợc :
(*)
SinBSinC
CSinBSinCosBSinCSinBCosC
CBCos
2
)(
)(
222
+
=+
Cos(B+C) =
SinBSinC
sBCosCSinBSinCCoBCosCSinCCosBSin
2
2)1()1(
2222
++

SinBSinC
SinBSinCCosBCosCSinBSinC

CBCos
2
)(2
)(

=+
Cos(B+C) = CosBCosC SinBSinC
a) Công thức cộng thứ 3 : trong ABC với điều kiện BC, ta có :
(4)
Chứng minh:
Dễ thấy : 0
o
B-C < 180
o
ta có:
Sin(B-C) =Sin[(180
o
-B )+C] (**)
Trờng hợp1 : B=C, khi này (4) hiển nhiên đúng.
Trờng hợp 2: B>C, đặt :





=
=
=
CC
BB

CBA
'
180'
'
o
Cos(B+C) = CosBCosC - SinBSinC
Sin(B-C) = SinBCosC -CosBSinC
Thì :



=++
>
0
180'''
0',','
CBA
CBA
vậy A, B,C là 3 góc của ABC khi này (**)
Sin(B-C) = Sin(180
o
-B )CosC + Cos(180
o
-B )SinC(áp dụng (2) trong ABC)
Sin(B-C) = SinBCosC CosBSinC (đpcm).
d/ Công thức cộng thứ 4:
Hoàn toàn tơng tự ta thu đợc:
e/ Công thức cộng thứ 5, 6 : Trong ABC, có ngay các công thức cộng thứ 5 và 6
sau đây :
tg(B+C) =

tgCtgB
tgCtgB

+
1
(6) (với B+C 90
0
)
tg(B-C) =
tgCtgB
tgCtgB
+

1
(7) với





0
90
B
CB
C
nh vậy 6 công thức cộng trong phạm vi tam giác đã đợc xây dựng hoàn toàn
bằng áp dụng 4
c
và kiến thức hình học 10.
2. Các bài tập có thể áp dụng vào thực tế dạy học:

Nhóm 1 : Các bài tập có tính chất lý thuyết :
a. Xây dựng các công thức nhân đôi, hạ bậc trong phạm vi không vợt quá góc
vuông.
b. Xây dựng một số công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích trong phạm
vi các góc không quá góc vuông.
Nhóm 2 : Các bài tập giáo khoa giải tích 11 có thể giải đợc ở lớp 10 :
a) Bài 5 trang 49 ; bài 8b trang 49. (bài 4)
b) Bài 15a, b trang 51 (bài 4)
Nhóm 3 : Một bài tập luyện tập sau đây:
Bài 1 : Tam giác ABC có :
CosB
b
+
CosC
c
=
SinBSinC
a
(8)
Cos(B - C) = CosB.CosC + SinB.SinC
(5),BC
Chứng minh ABC là tam giác vuông (Đề thi ĐH Ngoại Ngữ 2000).
Giải :
(8)
CosBCosC
cCosBbCosC
+
=
SinBSinC
a

(9)
theo định lý Sin ta có: bCosC +cCosB = 2R(SinBCosC + CosBSinC)
= 2RsinA = a (đã áp dụng 4
c
).
vậy :
(9)




=
0CosBCosC
SinBSinCCosBCosC





=+
0
0)(
CosBCosC
CBCos
A =90
0
. (đã áp dụng công thức 3).
Bài 2: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Chứng minh rằng :
tga + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của công thức :

E = tgA + tgB + tgC
(đề thi cao đẳng cộng đồng tiền giang 2003)
Giải : áp dụng công thức :
tg(B+C) =
tgCtgB
tgCtgB
.1

+
(10) (Do B+C > 90
0
)
Mà A = 180
0
-(B+C) nên tg(B+C) = - tgA (Suy ra trực tiếp từ định lý trang 35 bài 2
SGKHH10).
Do vậy :
(10) -tgA =
tgBtgC
tgCtgB

+
1
tgA +tgB + tgC = tgAtgBtgC.
Do ABC có 3 góc nhọn nên tgA, tgB, tgC > 0, áp dụng bất đẳng thức cosi, ta có :
tgA +tgB +tgC 3
3
tgAtgBtgC
(11)
Mà : tgA +tgB + tgC = tgAtgBtgC nên

(11) tgAtgBtgC 3
3
tgAtgBtgC

tgAtgBtgC 3
3
. Có dấu = khi A=B=C=60
0
.
vậy minE = 3
3
Bài 3 : Tính góc C của ABC nếu :
(1+ CotgA)(1+CotgB) =2 (12).
(đề thi cao đẳng kinh tế kỹ thuật thái bình 2002).
Giải :
(12) (1 +
SinA
CosA
)(1+
SinB
CosB
) =2
(SinA + CosA)(SinB + CosB) =2SinASinB
SinACosB + CosASinB = -(CosACosB SinASinB) (13)
áp dụng các công thức cộng ta có:
(13) Sin(A+B) = -Cos(A+B)
SinC = CosC
tgC =1
C = 45
0

.
III. Lời kết :
Việc xây dựng các công thức cộng nhờ việc khai thác bài 4
C
, ôn tập chơng 2
hình học 10 mà điểm nhấn là việc chứng minh công thức cộng thứ 2, có tác dụng tích
cực đến việc học tập toán của học sinh lớp 10B
3
, giúp các em có thêm công cụ để giải
các bài toán mà lẽ ra một năm sau các em mới giải đợc, từ đó kích thích các em mày
mò tìm hiểu, sáng tạo nhằm đạt kết quả học tập khả quan hơn.
Tầm áp dụng của các công thức đã xây dựng khá rộng các ví dụ nêu trên chỉ là
một phần nhỏ -Tin rằng các em học sinh khối 10 trờng ta và các đồng nghiệp sẽ tìm
đợc nhiều áp dụng hay hơn, làm phong phú thêm việc dạy và học hình học 10 tại tr-
ờng Nh Thanh.

Ngày 23/3/2004
Trần Quang Tài