skkn sử DỤNG VEC tơ và tọa độ để GIẢI PHƯƠNG TRÌNH hệ PHƯƠNG TRÌNH và bất PHƯƠNG TRÌNH

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị Trương THPT Bình Sơn
Mã số: ................................
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG VEC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Người thực hiện: Nguyễn Cảnh Thắng
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ môn: .Toán.................



(Ghi rõ tên bộ môn)
- Lĩnh
vực khác:
SƠ
LƯỢC
LÝ.......................................................
LỊCH KHOA HỌC
––––––––––––––––––

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng



Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

1


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

I.
1.

Họ và tên: Nguyễn Cảnh Thắng

2.

Ngày tháng năm sinh: 13-03-1980

3.

Nam, nữ: Nam

4.

Địa chỉ: Tổ 4, Ấp 1, Xã Bình Sơn, Long Thành, Đồng Nai

5.

Điện thoại: 0613533100 (CQ)/(NR); ĐTDĐ: 0939088658

6.

Fax:

7.

Chức vụ: Giáo viên

8.

Nhiệm vụ được giao : giảng dạy môn Toán, lớp 10A5, 11B3, 11B8:

9.

Đơn vị công tác: Trường THPT Bình Sơn

II.

E-mail:

TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
-

Học vị : Cử nhân :

-

Năm nhận bằng: 2005

-

Chuyên ngành đào tạo: Toán

III.

KINH NGHIỆM KHOA HỌC
-

Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán học
Số năm có kinh nghiệm: 9

-

Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
- . Phương pháp chứng minh bất đẳng thức và một số sai lầm của học sinh.
- 2. Sử dụng tính đơn điệu để giải một số bài toán.
- 3. Phương pháp tính tích phân và một số sai lầm thường gặp của học sinh

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

2


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Tên SKKN
SỬ DỤNG VEC TƠ VÀ TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

I.

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Việc dạy cho học sinh hiểu và nắm được các phương pháp để giải được các bài
tập là một trong những thành công, nhưng thành công hơn cả là việc định hướng được
cho học sinh biết phán đoán về phương pháp giải bài tập. Từ đó khẳng định phương
pháp đã dự đoán là hoàn toàn đúng đắn và biết tự sáng tạo ra các bài tập khác nhờ khái
quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá, biến lạ thành quen… được các giáo viên áp dụng
và được bộ khuyến khích. Vì thế hầu hết các giáo viên đều chọn phương pháp giảng dạy
theo một chuyên đề về một mảng kiến thức nào đó trong trường phổ thông.
Trong những năm gần đây các bài toán dùng phương pháp tọa độ để giải phương
trình, hệ phương trình và bất phương trình được sử dụng rộng rãi, đặc biệt là các kì thi
đại học, kì thi học sinh giỏi. Sử dụng phương pháp tọa độ vào giải toán không còn mới
mẻ. Tuy nhiên đa số học sinh còn lúng túng và vụng về trong việc sử dụng phương
pháp để giải toán. Từ những lí do trên tôi chọn đề tài: "Sử dụng phương pháp véctơ
và tọa độ để giải một số bài toán về phương trình, hệ phương trình và bất phương
trình"
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
a.Tìm hiểu việc giải một số bài toán thông qua một bài cơ bản của học sinh
Qua thời gian công tác tại trường, tôi nhận thấy rằng việc hình thành chùm bài
toán thông qua một hay một số bài toán cơ bản của học sinh còn rất hạn chế.
Hầu hết việc tự đọc sách giáo khoa và sách tham khảo của các em còn rất ít, khả
năng tự thay đổi điều kiện của các bài toán để hình thành bài toán mới của học sinh còn
lúng túng, bỡ ngỡ.
b. Tìm hiểu những phương pháp các giáo viên đã vận dụng
Qua thời gian tìm hiểu và trao đổi, hầu hết các giáo viên trong trường đã vận dụng
những phương pháp mới, tích cực, phát huy tính tích cực của học sinh trong việc hình

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

3


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
thành chùm bài toán từ bài toán cơ bản đến nâng cao. Tuy nhiên việc vận dụng nó một
cách có hiệu quả thì vẫn còn gặp nhiều khó khăn.
Trong đề thi học kì Học sinh giỏi, Đại học , Cao đẳng của các năm bài toán giải
phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức hầu như không thể
thiếu nhưng đối với học sinh THPT bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất
phương trình và bất đẳng thức là một trong những bài toán khó và nó còn cần sự áp
dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất , các phương pháp giải từ cơ bản đến phức
tạp. Trong thực tế đa số học sinh giải toán một cách hết sức máy móc và rất thụ động. vì
thế trong quá trình giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng
thức rất khó khăn.
Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhìn thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh vì
vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến : “sử dụng vec tơ và tọa độ để giải phương trình,
hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức”. Nhằm giúp học sinh bổ sung
thêm kiến thức và khắc phục được những yếu điểm để từ đó rút được kết quả cao khi
giải bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng thức nói
riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung.
III.TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
Giải pháp
-Tùy vào từng bài học mà chúng ta xây dựng kế hoạch hoạt động khác nhau, phù hợp
với nội dung của bài và đồng thời đảm bảo học sinh hiểu và vận dụng kiến thức bài học
một cách thành thạo. Căn cứ vào thực trạng của học sinh, căn cứ vào tình hình thực tế
của trường học, căn cứ vào tình hình chung của địa phương, theo tôi thì dạy học môn
toán nên chia ra 2 kiểu bài lên lớp. Một là lên lớp cho một tiết lý thuyết , Hai là lên lớp
cho một tiết bài tập.

a.Đối với lý thuyết:

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

4


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Để học sinh nắm được các kiến thức của bài và vận dụng kiến thức vào giải bài tập đây
là một quá trình rất khó khăn đòi hỏi người dạy và người học đều phải cố gắng nổ lực.
Để cho việc cung cấp lý thuyết được nhẹ nhàng mà học sinh hứng thú học thì giáo viên
cần thực hiện các bước sau.
Bước 1: Tổ chức cho học sinh quan sát tiếp thu
Bước 2: Giáo viên cho các em thảo luận nhóm
Bước 3: Khắc sau kiến thức
b. Đối với bài tập.
Đối với tiết làm bài tập giáo viên phải tổ chức, điều khiển học sinh vận dụng kiến thức
đã học vào giải bài tập để khắc sau kiến thức, thấy được mối quan hệ giữa lý thuyết và
bài tập. Đồng thời qua tiết học giải bài tập rèn luyện cho học sinh kỉ năng giải toán và
diễn đạt vấn đề toán học thông qua ngôn ngữ của bản thân, hình thành phẩm chất tính
cách của học sinh. Để làm được như vậy chúng ta thực hiện các bước sau.
Bước 1: Tạo tiền đề xuất phát
Tổ chức đàm thoại để đưa ra hệ thống lý thuyết của bài cũ.
Chỉ ra những kỉ năng sẽ cần vâng dụng kiến thức vào giải bài tập.
Bước 2: Thực hiện chương trình giải
-Đọc đề để hiểu vấn đề của đề bài.
-Tổ chức cho học sinh độc lập giải bài tập trên cơ sở huy động vốn kiểu
biết của học sinh. Giáo viên quan sát theo dõi, giúp đỡ các em khi gặp khó khăn nảy

sinh và tổ chức cho tập thể học sinh khai thác các bài tập theo định hướng đã chuẩn bị
và dự đoán trước .
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

5


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
A.CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Kiến thức cơ bản:
a.Tính chất vectơ
r
r
a = (a1;a 2 ), b = (b1;b 2 )

Cho hai véc tơ
r r
a + b = (a1 + b1;a 2 + b 2 )
r r
a - b = (a1 - b1;a 2 - b 2 )
r
r r
k a = (k a;k b)

, (k

∈

R)

b.Tích vô hướng của hai vec tơ :
r
r
a = (a1;a 2 ), b = (b1;b 2 )
Cho hai véc tơ
rr
a.b = a1b1 + a 2 b 2
c.Độ dài vec tơ:
r
r
a = ( a1;a 2 )
a
Cho véc tơ
khi đó độ dài vec tơ là :
r
a = a12 + a 22

d. Mối liên hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ vec tơ:

Với hai điểm

A(x A ; y A ),B(x B ; y B )

thì

uuur
AB = (x B - x A ; y B - y A )

uuur
AB = (x B - x A ) 2 + (y B - y A ) 2

e. Bất đẳng thức vec tơ:

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

6


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
r2 r 2
a = a ≥0
* Tính chất 1:
r r
a=0
Dấu đẳng thức ‘xảy ra’ khi và chỉ khi
r r
a
b
• Tính chất 2: cho 2 vectơ và ta có:
r r r r
a + b ≥ a+b
r r r r
a-b ≥ a - b

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
• Tính chất 3: cho 2 vectơ

r
a
r
a

và
và

r
b

cùng chiều

r
b

ta có:

r r rr
a . b ≥ a.b

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

r
a

và

r

b

cùng phương

r r rr
a . b ≥ a.b

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

r
a

và

r
b

cùng hướng

B.GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1 : Giải phương trình:
x 2 - 2 x+ 2 + x 2 -10 x+ 34 = - x 2 + 4 x- 4 + 4 2

(1)

Giải :

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

7


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
⇔

(1)

( x − 1)

2

( 5 − x)

+1 +

2

+ 9 = − x2 + 4 x − 4 + 4 2

Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt
r
r
r r
a = (x-1;1) ; b = (5 - x;3) ; a + b = (4; 4)

r r r r
a + b ≥ a+b
Theo BĐT vec tơ

( x-1)

2

+1 +

( 5 - x)

ta có:
2

+ 9 ≥ 42 + 42 = 4 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto
r
r
⇔ ∃k : a = k b
, k>0

rr
a,b

cùng hướng

1

 x-1 = k(5 - x)  k =
⇔
⇔

3
1
=
3k

 x = 2
- x 2 + 4 x- 4 + 4 2 = - ( x- 2 ) + 4 2 ≤ 4 2
2

Mặt khác :

Dấu đẳng thức “xảy ra” khi và chỉ khi : x=2
Vậy x=2 là nghiệm của phương trình

Bài 2: Giải phương trình :

x+ 6 x-1 + 24 - x- 2 x-1 +1 = 5

(1)

Giải:

Điều kiện:

x ≥1

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

⇔ ( x-1 + 3) 2 +16 - ( x-1 -1) 2 +1 = 5
(1)

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

8


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt Đặt
r
r
r r
a = ( x-1 + 3;4) , b = ( x-1 -1;1) ,a - b = (4;3)
r r r r
a - b ≤ a -b
Theo đẳng thức vec tơ ta có:

⇔ ( x-1 + 3) 2 +16 - ( x-1 -1) 2 +1 ≤ 5

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

rr
a, b

cùng hướng

r
r
⇔ ∃ k : a = k.b ,k > 0

 x-1 + 3 = k( x-1 -1)

⇔
⇔ ( x-1 + 3) = 4( x-1 -1)
4 = k
⇔ 3 x-1 = 7 ⇔ x =

58
9

Vậy nghiệm của phương trình : x=
Bài 3: Giải phương trình:

58
9

x 2 + 2 x+ 5 + x 2 - 6 x+13 = 4 2

(1)

Giải:
⇔ (x+1) 2 + 4 + (3 - x) 2 + 4 = 4 2

(1)
Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt
r
r
r r
a = (x+1;2) ; b = (3 - x;2) ; a + b = (4;4)
r
r
r r

⇒ a = (x+1) 2 + 4 ; b = (3 - x) 2 + 4 ⇒ a + b = 4 2

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

9


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
r r r r
a + b ≥ a+b =4 2
Theo BĐT vectơ ta có :
⇔ (x+1) 2 + 4 + (3 - x) 2 + 4 ≥ 4 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto
r
r
⇔ ∃k : a = k b
, k>0

rr
a,b

cùng hướng

 x+1 = k(3 - x)
k = 1
⇔
⇔

2 = 2k
x = 1

Vậy phương trình có nghiệm là x=1
Bài 4: Giải phương trình:

x 2 - 4 x+ 5 + x 2 - 4 x+13 = 4

(1)

Giải:
⇔ (x- 2) 2 +1 + (2 - x) 2 + 9 = 4

(1)
r
r
a = (x- 2;1) ; b = (2 - x;3)

Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy Đặt
r
r
r r
⇒ a = (x- 2) 2 +1 ; b = (2 - x) 2 + 9 ⇒ a + b = 2

r r
a + b = (0;4)

và
r r r r
a + b ≥ a+b =4

Theo BĐT vectơ ta có :
⇔ (x- 2) 2 +1 + (2 - x) 2 + 9 ≥ 4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

rr
a,b

cùng hướng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

10


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
r
r
⇔ ∃k : a = k b
, k>0

1

1 = 3k
k =
⇔
⇔
3

 x- 2 = k(2 - x)  x = 2

Vậy phương trình có nghiệm là x=2

x-1 + x = 3 + 2(x- 3) 2 + 2 x- 2(1)
Bài 5: Giải phương trình:
Giải
Điều kiện

x ≥1

r
r
a = (x- 3; x-1), b = (1;1)

Xét mặt phẳng toạ độ Oxy các vectơ:
r
r
urr
⇒ a = (x- 3) 2 + (x-1), b = 2,a.b = x-1 + x- 3

rr r r
a.b ≥ a . b
Suy ra bất phương trình (1) tương đương

(*)

rr r r
a.b ≤ a . b
Mặt khác theo bất đẳng thức vec tơ ta có

(**)

rr r r
rr
a.b = a . b ⇔ a,b
Từ (*) và (**) suy ra :

x ≥ 3
⇔ x-1=x-3 ⇔  2
⇔ x=5
x
-7x+10=0


cùng hướng

.

Vậy x = 5 là nghiệm duy nhất.

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

11


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Bài 6:Giải phương trình :

x x+1 + 3 - x = 2 x 2 +1

Giải:
Điều kiện: -1

≤x≤3

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy
r
r
r
r
2
a
=
x
+1,
b
=2
a = (x;1) ; b = ( x+1; 3 - x )

Đặt :

,
r r rr
a . b ≥ a.b ⇔ 2 x 2 +1 ≥ x x+1 + 3 - x

Theo BĐT vectơ ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

r
r
⇔ ∃k : a = k b

rr
a, b

cùng phương


 x = k x+1
⇔

1 = k 3 - x

Ta thấy x=3 không là nghiệm của hệ phương trình nên
 x = k x+1

⇔ x 3 - x = x+1 ⇔ x 3 - 3x 3 + x+1 = 0

1
k =
3- x


⇔

(x-1)(x2-2x-1)=0

x = 1


⇔ x = 1 + 2
 x = 1- 2


So với điều kiện vậy nghiệm của phương trình:x=1 ; x= 1+
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

2

và x=1-

2

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

12


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Bài 7: Giải phương trình: x

1 + x 2 + 8 - x 2 = 3 x 2 +1

Giải:
Điều kiện:

− 8≤x≤ 8
r
r

a = (x;1) ,b = ( x 2 +1; 8 - x 2 )

Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt
rr r r
a.b ≤ a . b
Theo BĐT vectơ

1+ x 2 + 8 - x 2 ≤ 3 x 2 +1

ta có: x
rr
a, b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
cùng hướng
r
r
⇔ ∃k : a = k b
, k>0

 x = k x 2 +1
x ≥ 0
⇔
⇔ x 2 +1 = x 8 - x 2 ⇔  4
2
 x - 7 x +1 = 0
1 = k 8 - x 2


7 - 45
x =

2
⇔

 x = 7 + 45

2

x=
Vây phương trình đã cho có nghiệm:
Bài 8: Giải phương trình :

7 - 45
7 + 45
,x =
2
2

x 2 + x+1 + x 2 - x+1 = 2

Giải:

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

13


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Ta có:

1
3
1
3
x 2 + x+1 + x 2 - x+1 = (x+ ) 2 + + ( - x) 2 +
2
4
2
4

Xét trong mặt phẳng toạ độ Oxy đặt :
r  1 3 r 1
3 r r
a =  x+ ;
÷ ,b =  - x;
÷⇒ a + b = (1; 3)
2 
 2 2 
2
r r r r
a + b ≥ a+b
Theo BĐT vec tơ :

suy ra

1
3
1

3
x 2 + x+1 + x 2 - x+1 = (x+ ) 2 + + ( - x) 2 +
2
4
2
4≥

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

rr
a, b

cùng hướng

2
r
r
⇔ ∃ k : a = k.b ,k > 0

1
 1
x+
=
k(
- x)
 2
x = 0
2
⇔
⇔

k = 1
 3 = k. 3
 2
2
Vậy nghiệm của phương trình : x=0
Bài 9 : Giải phương trình:

x 2 - 2 x+ 2 + 4 x 2 +12 x+ 25 = 9 x 2 +12 x+ 29

(1)

Giải
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét các vectơ:

r
r r
a = (x-1;1)
⇒
a
+ b = (3x+ 2;5)
r
b = (2 x+ 3;4)

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

14

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
r
r
r r
⇒ a = x 2 - 2 x+ 2, b = 4 x 2 +12 x+ 25, a + b = 9 x 2 +12 x+ 29
Suy ra phương trình (1) tương đương:
1

k=
r
r

 x-1 = k(2 x+ 3)

4
⇔ a = k b(k > 0) ⇔ 
⇔
r r r r
1 = k.4
x = 7
a+b = a + b

2

x=

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất

7
2

C. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1: Giải hệ phương trình:

 3x+1 + 3y+1 = 4 (1)

 3x+13 + 3y+13 = 8 (2)

Giải :
1
1
≥ 3 ≥ 3
Điều kiện: x - ,y ⇔ 3x+1 +12 + 3 y+1 +12 = 8

Từ (2)
r
r
r r
a = ( 3x+1; 12) , b = ( 3 y+1; 12) , a + b = ( 3x+1 + 3 y+1;2 12)
Đặt
r r r r
a + b ≥ a+b
Theo BĐT vec tơ ta có :
3x+1 +12 + 3 y+1 +12 ≥

(

)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 vecto
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

2

3x+1 + 3y+1 + 48 = 8

rr
a,b

cùng hướng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

15


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
r
r
⇔ ∃k : a = k b
, k>0

x = y
 3x+1 = k 3y+1
⇔
⇔
k = 1

 12 = k 12

(1)

⇔ 3x+1 = 2 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1

Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (1;1)

Bài 2: Giải hệ phương trình:

 2 x+ 5 + 2 y+ 3 = 6

 2 x+ 21 + 2 y+19 = 10

5
3
≥ 2
≥ 2
Điều kiện: x - , y r
r
r r
a = ( 2 x+ 5;4) , b = ( 2 y+ 3;4) , a + b = ( 2 x+ 5 + 2 y+ 3;8)
Đặt
r r r r
a + b ≥ a+b
Theo BĐT vec tơ ta có :
2 x+ 5 +16 + 2 y + 3 + 16 ≥

(

2 x+ 5 + 2 y+ 3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 véctơ
r
r
⇔ ∃k : a = k b
, k>0

rr
a, b

2

+ 64 = 10

cùng hướng

 2 x+ 5 = k 2 y+ 3
 2 x+ 5 = 2 y+ 3
⇔
⇔
 4 = k 4
k = 1
⇔

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

)

y=x+1

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

16


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
(1)

⇔ 2 x+ 5 = 3 ⇔ x = 2 ⇒ y = 3

Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (2;3)

Bài 3: Giải hệ phương trình:

 x+ y = 4
 2
2
 x + 2 x+17 + y + 2 y+17 = 10

Giải :
x 2 + 2 x+17 + y 2 + 2 y+17 = 10 ⇔

Ta có:

( x+1)

2

+ 42 +

( y+1)

2

+ 4 2 = 10

r
r
r r
a = (x+1;4) , b = (y+1;4) , a + b = (x+ y+ 2;8)

r r r r
a + b ≥ a+b
Theo BĐT vec tơ ta có :
⇔

( x+1)

2

+ 42 +

( y+1)

2

+ 42 ≥

( x+ y+ 2 )

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 véctơ
r
r
⇔ ∃k : a = k b
, k>0

2

+ 82 = 10

rr
a, b

cùng hướng

⇔ x+1 = y+1 ⇔ x = y

(1)

⇒

x=y=2

Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (2;2)

Bài 4:Giải hệ phương trình:

2
2


 x 8 - y + y 8 - x = 16 (1)
 2
3
2
(2)

 x +12 = y + 2 y

Giải:
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

17


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Điều kiện:

−2 2 ≤ x ≤ 2 2; −2 2 ≤ y ≤ 2 2

) (

(

r
r
a = x; 8 - x 2 ,b =

Đặt :

8 - y2 ; y

)

r2 r2
a = b =8
ta có:

r2 r2
rr r r
⇔ a + b = 2a.b ⇔ a = b ⇔ x = 8 - y 2
(1)
(2)

⇔

3

2

y +3y -20=0

⇔

y=2

⇒

x=2

Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: (2;2)
Bài 5: (Đề thi đại học năm 2014)

Giải hệ phương trình:

 x 12 - y + y(12 - x 2 ) = 12 (1)
(x, y ∈ R)
 3
(2)
 x - 8x-1 = 2 y- 2

Giải :
Điều kiện:

− 12 ≤ x ≤ 12;2 ≤ y ≤ 12

r r
a = b = 12

r
r
a = (x; 12 - x 2 ) ; b = ( 12 - y; y)

Đặt

ta có:

r2 r2
rr r r

⇔ a + b = 2a.b ⇔ a = b ⇔ x = 12 - y
(1)
(2)

⇔ x 3 -8x-3=2 10-x 2 -2

⇔ (x- 3)(x 2 + 3x+1) =

2(3 - x)(3 + x)
10 - x 2 +1

x = 3
⇔ 2
2
(x + 3x+1)( 10 - x +1) - 2(3 + x) = 0 (*)
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

18


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Với x=3 =>y=3
f(x) = (x 2 + 3x+1)( 10 - x 2 +1) - 2(3 + x)
Đặt

∀
f’(x) <0 , x>0 => phương trình (*) vô nghiệm
Vậy nghiệm hệ phương trình : (3;3)

D.

BẤT PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 1: Giải bất phương trình:

x2 - 3 + 5 - x2 ≥ 2

Giải :
Điều kiện :

− 5 ≤ x ≤ − 3, 3 ≤ x ≤ 5
r
a=

(

)

r
x 2 - 3; 5 - x 2 , b = ( 1;1)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đặt:
r
r
a = 2, b = 2
Ta có:
rr
rr
a.b ≥ 2 = a b

Theo đề bài ta có:
rr r r
a.b ≤ a b
Theo BĐT vec tơ ta có:
rr r r
r
r
⇒ a.b = a b
a
b
khi và chỉ khi và cùng hướng
⇔ x 2 - 3 = 5 - x 2 ⇔ x = ±2
Vậy nghiệm bất phương trình : x=2 v x=-2
Bài 2: Giải bất phương trình:
Giải :
Điều kiện :

x − 1 + 2 3 − x ≥ 10

1≤ x ≤ 3

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đặt:

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

r
a=

(

r
x-1; 3 - x ,b = ( 1;2 )

)

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

19


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
r
r
a = 2, b = 5
Ta có:
rr
rr
a.b ≥ 10 = a b
Theo đề bài ta có:
rr r r
a.b ≤ a b
Theo BĐT vec tơ ta có:
rr r r
r
r
⇒ a.b = a b
a
b
khi và chỉ khi và cùng hướng
7

⇔ 2 x-1 = 3 - x ⇔ x =
5

Vậy nghiệm bất phương trình : x=
Bài 3: Giải bất phương trình:
Giải :
Điều kiện :

7
5

3 x+ 3 + 7 - x ≤ 10

−3 ≤ x ≤ 7

r
a=

(

r
x + 3; 7 - x ,b = ( 3;1)

)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy đặt:
r
r
a = 10, b = 10
Ta có:

rr r r
a.b ≤ a b
Theo bài ra ta có:
luôn đúng
−3 ≤ x ≤ 7
Vậy nghiệm bất phương trình:
Bài 4: Cho 4 số thực x, y, z, t.
≥

Chứng minh rằng : (x2 +y2)(z2 +t2) (x z+ y t)2
Giải:
r
r
a = (x; y), b = (z;t)
Trên mặt phẳng toạ độ xét 2 vectơ :

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

20


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
r ur

r
uu
ru

r 2 ur 2

a b ≥ a .b ⇒a

r
uu
ru

b ≥(a .b) 2

Ta có
≥

Vậy (x2 +y2) (z2 +t2) (x z+ y t)2
đẳng thức xảy ra

⇔ xt = yz
x 4 +1 - y 4 +1 ≤ x 2 - y 2 , ∀ x, y ∈ R

Bài 5: Chứng minh rằng:
Giải
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, các vectơ:

r
a = (x 2 ;1) r r
⇒ a - b = (x 2 - y 2 ;0)
r
2
b = (y ;1)
r r r r

a - b ≤ a-b
Theo BĐT vec tơ

ta có

x 4 +1 - y 4 +1 ≤ x 2 - y 2 , ∀ x, y ∈ R

Bài 6 : Đề thi đại học khối A2 2003
1
1
1
x + 2 + x+
y 2 +y+2 z+£ 1z2 + 2 ³ 82
Cho x, y, z là ba số thực dương
. Chứng
x và
y
z minh rằng:

Đặt

r
a

=(x;

1
x

),

r
b

1
y

1 1 1
r r r
a b c
x y z
=(y; ), =(z; ), + + =(x+y+z; + + )
r
c

1
z

r r r r r r
a + b + c ≥ a +b+c
Theo BĐT vectơ :

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

ta có:

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

21

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
1
x + 2 +
x

1
y + 2 +
y

2

1
z+ 2 ³
z

2

2

2

æ1 1 1 ö
÷
( x+ y+ z) + çççx + y + z ÷
÷
÷
è
ø
2

2

 1 1 1
 1 1 1
2
≥ 81( x+ y+ z ) +  + + ÷ - 80 ( x+ y+ z ) ≥ 18 ( x+ y+ z )  + + ÷- 80
x y z
x y z
2

≥ 162 3 xyz. 3

x2 +

1
- 80 = 82
xyz

1
+
x2

y2 +

1
+
y2

z2 +

1
³
z2

82

Vậy
Bài 7: Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thì
x 2 + xy+ y 2 + x 2 + xz+ z 2 > y 2 + yz+ z 2

Giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
(x+

y 2
3 2
) +(
y) +
2
2

(x+

z 2
3 2
) +(
z) >
2
2

(

y
2

-

z 2
3
3 2
) +(
y+
z) (1)
2
2
2

y 3
3
3
y z
A(x+ , z) ;B(0, y+ z) ;C( - ,0)
Xét 3 điểm
(1)

⇔

Ta có

2

2

2

2

2 2

AB + AC > BC

AB+ AC > BC

với 3 điểm A, B, C bất kỳ ở đây

Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

22


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
uuur
y 3 uuur
z
3
AB = (- x- ;
y);AC = (- x- ;z)

2 2
2 2
Hai véctơ này không thể ngược hướng (vì hoành độ cùng âm) do đó không thể xảy ra
đẳng thức AB + AC = BC.
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
1. Giải phương trình:
2. Giải phương trình:
3. Giải phương trình:

x 2 + 2 x+ 2 + x 2 - 6 x+18 = - x 2 − 4 x+ 4 2

ĐS:x=0
x 2 -10 x+ 50 − x 2 - 4 x+ 5 = 5

ĐS:x=5/4
x 2 - 2 x+ 5 + x 2 + 2 x+10 = 29

4. Giải hệ phương trình:

5. Giải hệ phương trình:

6. Giải hệ phương trình:

7. Giải hệ phương trình:

 x+ 5 + 2 y+ 3 = 5

 x+17 + 2 y − 2 = 6
ĐS: (-1;3)

 x(5 - y) + y(5 - x) = 5
 3
2
3
 x + 3x + 5 y+ y = 118

9. Giải bất phương trình:

ĐS:(4;1) ;(4/9;41/9)

( x − 1) 5 - y + y(4 + 2 x- x 2 ) = 5
 3
 x + 3x = 2 y + 6

ĐS: (2;4)

2
2

 x 13 − y + y 13 − x = 12
 3
2

 x − 2 x + y = 30

ĐS: (3;3)
10 − x + x − 8 ≥ 2
2

8. Giải bất phương trình:

ĐS: x=1/5

2

3x+ 24 + 84 -12 x ≤ 15

ĐS: x=3;x=-3
ĐS: x=-33/5

IV.HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
1.Kinh nghiệm thực tiễn
- Trong quá trình học toán và dạy toán, tôi đã phân loại các dạng toán thường gặp và
tổng hợp các phương pháp giải thích hợp. Thực tế giảng dạy, bản thân tôi đã đúc kết và
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

23


Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
rút được một số kinh nghiệm trong công tác dạy học,” Sử dụng phương pháp véctơ và
tọa độ để giải một số bài toán về phương trình, Hệ phương trình và bất phương trình ”
vừa cũng cố, hoàn thiện kiến thức cho học sinh . Trong khuôn khổ đề tài này, tôi xin
đưa ra một vài kinh nghiệm về "Dạy học của mình nhằm nâng cao chất lượng học tập
môn toán cho học sinh THPT Bình Sơn".
- Trong khuôn khổ đề tài này, tôi đã hệ thống một số bài toán mà giáo viên toán cụ
thể hướng dẫn cho học sinh THPT nắm vững và vận dụng tốt. những ví dụ minh họa

phù hợp với trình độ học sinh . Một số bài tập chọn lọc về phương trình, Hệ phương
trình và bất phương trình” nhằm hướng dẫn học sinh tự học, rèn luyên kỹ năng của
mình.
- Bên cạnh đó việc nâng cao chất lượng học tập môn toán cho học sinh mà tôi đã
thực hiện bước đầu có kết quả tốt ở trường THPT Bình Sơn- Một trường thuộc diện
vùng sâu, vùng xa, có nhiều khó khăn của tỉnh Đồng Nai.
- Với những việc đã làm được từ thực tế công tác giảng dạy toán ở trường THPT,
thông qua đề tài này, tôi mong được góp một phần nhỏ vào kinh nghiệm dạy học toán,
để công tác dạy học ngày càng phát triển hơn đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh và
thực hiện tốt mục tiêu giáo dục.
- Trong phạm vi đề tài, với khả năng có hạn, chắc chắn đề tài còn nhiều hạn chế và
thiếu sót. Rất mong được sự góp ý chân thành của các đồng nghiệp để đề tài được hoàn
thiện và có tác dụng hơn.
2. Kết quả thực nghiệm
- Qua bài kiểm tra trên đối tượng lớp10a5 (33học sinh) là : trước khi không áp dụng
sáng kiến kinh nghiệm thì các em thường giải theo hướng khác và còn lúng túng một
số em lại không biết làm. Sau khi hướng dẫn các em sư dụng phương pháp thì các em
tiếp thu và có kết quả tốt hơn như sau:
Xếp loại
Đối tượng
10a5
Tỉ lệ

Giỏi
Trước
0
0%

Khá
sau

2
6%

Trước
2
6%

Trung bình

Yếu

sau
Trước Sau Trước
sau
8
15
19
16
4
24,3% 45,5% 57,6% 48,5% 12,1
%

V.ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

24

Sử dụng vecto và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Trong năm qua tôi đã vận dụng “ véc tơ và tọa độ để giải phương trình, hệ phương trình
và bất phương trình”cho đối tượng học sinh trung bình (với những bài đơn giản), học
sinh khá giỏi (với những bài từ cơ bản đến nâng cao) của trường THPT Bình Sơn trong
các tiết dạy, đợt bồi dưỡng học sinh ôn thi TN và luyện thi đại học cao đẳng và thấy
rằng học sinh tiếp thu tương đối chủ động; tích cực và hứng thú học tập, đa số học sinh
hiểu và vận dụng tốt trong quá trình giải các bài tập.
Trong quá trình áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, tôi thấy đề tài này có phạm vi áp
dụng trong thực tế giảng dạy toán đạt hiệu quả tại đơn vị trường THPT Bình Sơn. Vận
dụng sáng kiến này giúp học sinh tư duy tốt, nâng cao khả năng sáng tạo, hiểu rõ bản
chất từ những dạng bài đơn giản đến nâng cao, có khả năng phân tích và giải thích tốt.
Từ đó, làm cơ sở cho học sinh tiếp tục phát huy khả năng học trong các dạng bài tập
khác nhằm giúp các em có cái nhìn rộng lớn và tổng quát hơn; các em đạt kết quả tốt
trong học tập và các kì thi. Do đó, đề tài này có khả năng áp dụng trong phạm vi rộng
đạt hiệu quả.
Trên đây là một số suy nghĩ và đề xuất của tôi, mong đóng góp cùng đồng nghiệp để
giúp đỡ học sinh làm cơ sở tham gia các kỳ thi cuối cấp cũng như rèn luyện cho học
sinh tính năng động, tích cực, tư duy, sáng tạo và vận dụng sau này.
Trong quá trình biên soạn đề tài này chắc sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Mong
nhận được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn để các đề tài
sau của tôi được tốt hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn.
VI.TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập 10 ; Nhà xuất bản Đại học quốc gia
Hà Nội. Th.s Nguyễn Kiếm-Lê Thị Hương.
2. Các phương pháp giải Phương trình-Bất phương trình, NXB trẻ -Võ Đại Mau
3. Phân dạng và phương pháp giải đại số 10, NXB Đại học quốc gia Hà Nội. Trần Đình
Thì.
4. Tuyển chọn 400 bài toán đại số 10 : NXB Đại học quốc gia Hà Nội –Hà Văn
Chương.
5. Các phương pháp giải Phương trình-Bất phương trình, NXB trẻ -Võ Đại Mau

6. Tuyển tập các bài toán hay và khó đại số 1, NXB Đại học quốc gia Thành Phố Hồ
Chí Minh- PGS. TS Đậu Thế Cấp

VII. PHỤ LỤC
1. Phiếu thăm dò ý kiến của học sinh về việc học toán
Học sinh: Số phiếu phát ra là 386; Số hiếu thu về hợp lệ: 318
Gv : Nguyễn Cảnh Thắng

Đơn vị Trường THPT Bình Sơn

25