skkn GIẢI bất PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP đồ THỊ

A. MỞ ĐẦU :
TÊN ĐỀ TÀI
KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY:
GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
1) LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Qua quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy: Có nhiều bài toán giải bất phương trình bằng phương pháp
đồ thị rất ngắn gọn và dễ hiểu, vì học sinh có thể nhìn vào hình vẽ suy luận đưa ra kết quả rất
nhanh, mà trong chương trình toán lớp 10 ít đề cập đến.Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài này,nhằm
trang bị thêm cho học sinh vốn kiến thức khi làm toán; đồng thời giúp cho học sinh biết tổng hợp,
khái quát các kiến thức đã học và vận dụng vào việc giải bài tập một cách năng động sáng tạo.

2) ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Các bài toán giải bất phương trình áp dụng được phương pháp đồ thị.Nhằm củng cố cho học sinh
kiến thức để phát triển tư duy ,óc sáng tạo ,đồng thời bổ sung vào vốn kiến thức của các em để
chuẩn bị sau này cho các kì thi tuyển sinh Đại học,Cao đẳng, học sinh giỏi.

3) PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
Trong chương trình toán lớp 10

4) PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Tham khảo các ý kiến của đồng nghiệp, các ý kiến của học sinh.
Trong quá trình giảng dạy khối lớp 10, chúng tôi đã cho học sinh làm một số bài giải bất phương
trình bằng phương pháp đồ thị; nhất là trong một số giờ tự chọn tôi đã lồng các bài tập này cho
các em.
Nghiên cứu các tài liệu các sách giáo khoa, sách tham khảo và chọn lọc một số bài có tính đặc
trưng, quen thuộc mà các em có thể giải quyết được.

B. NỘI DUNG:
1) CƠ SỞ LÝ LUẬN:
-Chọn hệ trục tọa độ và trên đó vẽ đồ thị của các đường.Tìm miền nghiệm của từng bất phương

trình theo yêu cầu của bài toán.
-Dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai; đồ thị hàm số bật nhất ; đồ thị của phương trình đường tròn :
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = R 2

2) CÁC BÀI TOÁN CỤ THỂ:
GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ:
Bài 1:

Giải và biện luận bất phương trình :

x2 − 4 x + 3 〈a

Giải:
2
x = 2 ± 1+ a
Xét phương trình x − 4 x + 3 -a =0 , nếu có nghiệm x1 , x2 thì 1,2

1


2
x = 2 ± 1− a
Xét phương trình x − 4 x + 3 +a=0, nếu có nghiệm x3 , x4 thì 3,4

Vẽ đồ thị hàm số

y = x2 − 4x + 3

y
f(x) =

(x2-4⋅x)+3

3

1

o

y=a
x2

1

x4

x1

x3

x

Dựa vào đồ thị ta biện luận như sau:
• Với a ≤ 0 , bất phương trình vô nghiệm
• Với 0 〈 a〈1 , bất phương trình có nghiệm là : (
• Với a = 1, bất phương trình có nghiệm là

x2 , x4 ) ∪ ( x3 , x1 )

( 2−

)

2, 2 + 2 \ { 2}

x ,x
• Với a〉1 , bất phương trình có nghiệm là ( 2 1 )

Bài 2:

Tìm m để mọi x luôn có : ( x − 2 )

2

+2 x−m ≥3

Giải:
Biến đổi (1) về dạng :

( x − 2)

2

− 3 ≥ −2 x − m ⇔ x − 4 x + 1 ≥ − 2 x − m
2

2
Vẽ đồ thị Parabol (P) : y = x − 4 x + 1

−2 x + 2m khi x ≥ m

y = −2 x − m = 
2 x − 2m khi x〈 m
Vẽ đồ thị hàm số (V):

2

(1)


(d2) h(x) = 2 ⋅x-8

y

(d1)g(x) = -2 ⋅x

f(x) = (x2 -4⋅x)+1

1
2

o

x

-3

y=-2x+2m

Ta có:

y=2x-2m

•

Đường thẳng (d1):y=-2x+2m tiếp xúc với (P) ⇔ m = 0 ⇒ (d1 ) : y = −2 x

•

Đường thẳng (d2):y=2x-2m tiếp xúc với (P) ⇔ m = 4 ⇒ (d 2 ) : y = 2 x − 8

Khi đó để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x điều kiện là (P) ớ phía trên của (V)
⇔ đường thẳng y = -2x+2m ở phía dưới (d1) hoặc trùng với (d1) ⇔ 2m ≤ 0
Hay đường thẳng y = 2x-2m ở phía dưới (d2) hoặc trùng với (d2) ⇔ −2m ≤ −8
m ≤ 0
⇔
m ≥ 4

Bài 3:

Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm: a − x + x + a ≥ a

Giải
u = a − x

Đặt : v = a + x

(u , v ≥ 0)

Khi đó bất phương trình được chuyển thành hệ :
u + v ≥ a (1)

( I ) 2
2
u + v = 2a (2)

3


v

C
A
o

B

D
u

• (1) là tập hợp các điểm ở trên đoạn AB của đường thẳng ∆ : u+v=a
• (2) là tập hợp các điểm thuộc cung CD của đường tròn (C) : u2+v2=2a có bán kính R = 2a
Vậy hệ (Ι) có nghiệm khi và chỉ khi:
d (O , ∆ ) ≤ 2 a
⇔

−a

≤ 2a
2
⇔ a 2 − 4a ≤ 0
⇔0≤a≤4

2

Bài 4:Tìm m để bất phương trình : 3 - x - m 〉 x có ít nhất một nghiệm âm.
Giải
Ta có:

3 − x − m 〉 x2

có ít nhất một nghiệm âm

3 − x − m 〉 x 2
⇔
 x〈0

 m〉 x 2 + x − 3


⇔ m〈− x 2 + x + 3
 x − m 〈3 − x 2
 x 2 − 3〈 x − m〈3 − x 2
 x〈0
⇔
⇔

x
〈
0

 x〈0



Vẽ hệ trục tọa độ Oxm.

4

có nghiệm.


1 13
1 13
(− ; − )
I( ; )
2
Vẽ các parabol: m = f(x)= x +x-3 có đỉnh S 2 4 , m = g(x) = -x +x+3 có đỉnh 2 4 và
2

qua A(0;3).
Các điểm thỏa mãn hệ bất phương trình được biểu diễn bằng miền gạch ( không có biên ) như
trong hình vẽ.
m
f(x) = (x2 +x)-3

3

-1
2

x

o
g (x) = -x2 +x+3

-13
4

Từ đồ thò suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

−

13
〈 m〈3
4

Bài 5:

2
Cho bất phương trình : x(2 - x) + a + 3 ≥ x - 2x + 5 .Tìm a để bất phương trình có

nghiệm.
Giải
Ta có: parabol y=x2-2x+5 có đỉnh là (1 ; 4), và qua các điểm (0 ; 5), (2 ; 5).
Đặt y = x(2 − x) + a + 3
5


 y ≥ 0

⇔

2
2
( x − 1) + y = a + 4

Nếu a〉 − 4 thì y = x(2 − x) + a + 3 có đồ thị là nửa đường tròn (Ca) tâm
(1 ; 0) và bán kính bằng a + 4 .
y

4

x
O

1

Tâm của nửa đường tròn và đỉnh của parabol cùng nằm trên đường thẳng x = 1, dựa vào đồ thị bất
phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi :
a + 4 ≥ 4 ⇔ a ≥ 12
Vậy : a ≥ 12 .

Bài 6:
Cho bất phương trình :

log x 2 + y 2 ( x + y ) ≥ 1 (1)
6


a/ Tìm nghiệm nguyên của bất phương trình( 1)
b/ Trong tất cả các nghiệm của bất phương trình( 1).Hãy tìm nghiệm có tổng
x+2y lớn nhất.

Giải
a/ Tìm nghiệm nguyên của bất phương trình( 1)

log x 2 + y 2 ( x + y ) ≥ 1 (1)
0 < x 2 + y 2 < 1

⇔ x + y ≤ x 2 + y 2
x + y > 0


v

x 2 + y 2 > 1

 x + y ≥ x 2 + y 2

x = 1

Nhìn vào đồ thị,ta thấy bất phương trình( 1) có nghiệm nguyên duy nhất :  y = 1

b/Trong tất cả các nghiệm của bất phương trình( 1).Hãy tìm nghiệm có tổng x+2y lớn
nhất.
7


Đặt m là giá trị của x+2y.
Ta có : đường thẳng x+2y = m thay đổi có hệ số góc k=-1/2.
Nhìn vào đồ thị ta thấy m lớn nhât khi và chỉ khi đường thẳng x+2y = m la2b tiếp tuyến
2
2

phía trên của đường tròn (C2) : x + y − x − y = 0 .
Vậy nghiệm cần tìm là tọa độ của tiếp điểm tương ứng.
1

 x = 2 +

y = 1 +
Giải bài toán giải tích,ta được :  2

1
10
2
10

ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TRONG SÁCH GIÁO KHOA ĐẠI SỐ 10:
GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẲNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ :
Bài 1:

Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình : 2 x + y ≤ 3

• Vẽ đường thẳng ( d ) : 2 x + y = 3

Giải :

• Xét O ( 0;0 ) không nằm trên (d)
Ta có 0 ≤ 3 (đúng)
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng không bị gạch kể cả bờ

8

Bài 2:

Biểu diễn hình học tập nghiệm của các bất phương trình: − x + 2 y < 4

• Vẽ đường thẳng ( d ) : − x + 2 y = 4

Giải :

• Xét O ( 0;0 ) không nằm trên (d)
Ta có 0 < 4 (đúng)
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng không bị gạch không kể bờ.

Bài 3:

Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình : − x + y − 1 > 0
Giải :

• Vẽ đường thẳng ( d ) : − x + y − 1 = 0
• Xét O ( 0;0 ) không nằm trên (d)
Ta có −1 > 0 (sai)
Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng không bị gạch không kể bờ.

9


Bài 4:
Giải và biện luận các bất phương trình sau :
3 -x
≤0

b) x - 2m + 1

a) (2x - 2 )(x - m)〉 0

Giải :
Ta có : (2 x − 2)( x − m)〉 0 (1)

a)

2 x − 2 〉 0

⇔

 x − m〉 0

2 x − 2 〈 0

x − m〈 0
hoặc 

Vẽ hệ trục tọa đđộ Oxm. Trên cùng một hệ trục tọa độ vẽ hai đường thẳng
x-m = 0 và 2 x − 2 = 0 . Giao của hai đường thẳng là

A(

2 2
;
)
2 2 .

Miền nghiệm của bất phương trình (1) là miền không bị gạch trên hình vẽ
(Không có biên của hai đđường thẳng).
Dựa vaøo ñoà thò ta coù :
2
2
m=
x≠
2 bất phương trình có nghiệm là :
2
Nếu

Nếu

Nếu

m〉

2
2
x〈
2 bất phương trình có nghiệm là : 2 hoặc x 〉 m .

m〈

2
2
x〉
2 bất phương trình có nghiệm là : x 〈 m hoặc
2 .

10


m

x=

2
2
x-m=0

2
2 O

A(

2
2

;

2
2

)

x

3−x
≤0

b) Ta có : x − 2m + 1
(2)
 3 − x ≤ 0

 x − 2m + 1〉 0 hoặc

 3 − x ≥ 0

 x − 2m + 1〈 0

Vẽ hệ trục tọa độ Oxm. Trên cùng một hệ trục tọa độ vẽ hai đường thẳng
x-2m +1= 0 và 3 − x = 0 . Giao của hai đường thẳng là

A( 3;

3 +1
)
2
.

Miền nghiệm của bất phương trình (2) là miền không bị gạch trên hình vẽ
(Không có biên củađđường thẳng x-2m+1=0 và có biên của đường thẳng 3 − x = 0 ).
Dựa vào đồ thị ta có :
Nếu

Nếu

Nếu

m=

m〉

m〈

3 +1
2
bất phương trình có nghiệm là : x ≠ 3
3 +1
2 bất phương trình có nghiệm là : x ≤ 3 hoặc x 〉 2m − 1 .
3 +1

2

bất phương trình có nghiệm là : x 〈2m − 1 hoặc x ≥ 3 .

11


m

x= 3

x-2m+1=0
3 +1
2

A( 3 ;

3 +1

2

)
x

O

3) Những kết quả đạt được trong quá trình thực hiện:
Tạo cho học sinh hứng thú trong việc giải các bài tốn giải bất phương trình bằng phương
pháp đồ thị.
Bản thân học sinh tự tin, phân tích vấn đề nhạy bén hơn ,tư duy logic hơn, có cái nhìn tổng
qt hóa hơn.
Học sinh phát huy được khả năng tự học ,tự tìm tòi ,đặc biệt chủ động hơn trong việc giải
tốn .
4) Giả thiết khoa học và nhiệm vụ nghiên cứu:
Nhiệm vụ của đề tài là tìm một giải pháp có tính khoa học,lập đề cương, thơng qua tổ
chun mơn .Được sự đồng ý của Ban giám hiệu và tổ chun mơn,giáo viên lên kế hoạch
và tiến hành thực hiện vận dụng giải pháp vào q trình giảng dạy.Sau đó thường xun
kiểm tra, so sánh đối chiếu và đánh giá kết quả cuối cùng để rút ra được kinh nghiệm từ
thực tiển cơng việc đã làm.
Nếu kết quả được đánh giá là thành cơng thì thơng qua tổ ,chun đề này sẽ được phổ
biến, cùng nhau áp dụng để nâng cao chất lượng giảng dạy bộ mơn
 Thực trạng :
12


Qua đề tài này học sinh có thể tự giải bất phương trình và hệ bất phương bằng phương
pháp đồ thị.
 Tự đánh giá kết quả của đề tài :
Những điểm thực hiện tốt:

Học sinh sẽ tường minh hơn về việc giải bất phương trình và hệ bất phương trình bằng
phương pháp đồ thị.
Học sinh vận dụng được kiến thức của mình trong việc giải bất phương trình và hệ bất
phương trình bằng phương pháp đồ thị.
C. Kết luận:
1) Bài học kinh nghiệm:
Giáo viên thể hiện được tinh thần đổi mới phương pháp giảng dạy của mình qua các tiết
ôn tập là lấy học sinh làm trung tâm .Thầy chủ đạo còn trò chủ động.
Giáo dục cho học sinh được tính độc lập suy nghĩ, tính kiên trì, biết tìm tòi vấn đề, phát
hiện vấn đề trong quá trình tự ôn tập.Nhất là phát huy được khả năng phân tích và tổng hợp
một vấn đề.
Đây là kinh nghiệm được tích lũy trong quá trình dạy toán của chúng tôi, qua phương
pháp này chúng tôi đã cung cấp thêm một phần kiến thức ngoài sách giáo khoa cho học
sinh để chuẩn bị cho các kì thi tuyển sinh, chọn học sinh giỏi.
Qua đề tài này mong các quý đồng nghiệp giúp đỡ , bổ sung để sáng kiến kinh nghiệm
mang lại hiệu quả tốt hơn, thiết thực hơn.
2) Hướng nghiên cứu tiếp của đề tài:
Qua đề tài này, nếu được hội đồng khoa học ngành chấp nhận.Hướng nghiên cứu tiếp của
chúng tôi với đề tài: hệ phương trình và hệ bất phương trình bằng phương pháp tọa độ.


Tài liệu tham khảo:

 Sách giáo khoa nâng cao lớp 10
 Toán nâng cao hình học giải tích –PHAN HUY KHẢI
 Phương trình ,bất phương trình-PHAN HUY KHẢI
Biên hòa , ngày 06 tháng 12 năm 2012
Người viết

NGUYỄN THỊ THANH TRANG

13


Ý KIẾN NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
1.Cấp trường ( Đơn vị ) :
-Nhận xét :

-Xếp loại :
14


2.Cấp Ngành ( Tỉnh ) :
-Nhận xét :

-Xếp loại :

15