tai lieu violympic lop 6 nam hoc 2014 2015

Tran − Cao − Hieu

Vòng 1
Bài 1

*Biết a/b là phân số nhỏ nhất sao cho khi chia a/b cho 18/35 và 8/15 đều
được thương là các số tự nhiên. Tổng a + b là .........
Giải

a/b :18/35 = a/b. 35/18 = 35a/18b và a/b :8/15 = a/b. 15/8 = 15a/8b
Do 35a/18b và 15a/8b thuộc N nên 35a chia hết cho 18b và 15a chia hết cho
8b
lại có UC(35,18)=1 và UC(15,8)=1=> a là bội chung của 18 và 8
và b là ước chung của 35 và 15 . Do a/b nhỏ nhất => a=BCNN(18,8) = 72
và b=UCLN(35,15) = 5 => tổng a+b = 77
Câu 9:
Một người đi xe máy từ A đến B vận tốc 30km/h , 20 phút sau người thứ 2 cũng đi từ A đến
B vận tốc 36km/h và đến B sau người thứ nhất 5 phút. Chiều dài quãng đường AB
là

45

km.

Giải
Gọi s (tính bằng km) là tổng chiều dài quãng đường AB
Gọi t1 và t2 (tính bằng giờ) lần lượt thời gian người thứ nhất và người thứ hai cần để đi
đoạn đường s
Theo đề bài ta có:
s = 30 * t1
s = 36 * t2

Người thứ 2 khởi hành sau 20 phút và đến trể hơn 5 phút, đồng nghĩa ng ười th ứ 2 c ần ít
hơn người thứ nhất 15phút để đi đoạn đường s.
15phút = 1/4 giờ = 0,25giờ
đồng nghĩa:
t2 = t1 - 0,25
<=> 30 * t1 = 36 * (t1 - 0,25)
36t1 - 30t1 = 9
6t1 = 9
t1 = 1,5
s = 30 * 1,5 = 45
Đáp số:
Quãng đường AB dài 45km

Vòng 2


Bài 1

Vòng 3

Bài 1
Câu 9:
Thống kê điểm 10 môn Toán trong học kì I của lớp 6A người ta thấy: có 40 học sinh đạt ít
nhất một điểm 10; 27 học sinh đạt ít nhất hai điểm 10; 19 học sinh đạt ít nhất ba điểm 10; 14
học sinh đạt ít nhất bốn điểm 10 và không có học sinh nào đạt được năm điểm 10 hoặc
nhiều hơn. Tổng số điểm 10 môn Toán lớp 6A đạt được trong học kì I là
Câu 10:
Cho ba chữ số a,b,c thỏa mãn 0cả ba chữ số a,b,c. Biết rằng tổng của hai số nhỏ nhất trong tập hợp A bằng 488. Khi
đó a+b+c =

Bài 3


VIOLYMPIC


2Tìm một số biết rằng khi chia số đó cho 64 và 67 thì thu được cùng số
thương còn số dư lần lượt là 38 và 14. Số cần tìm là
3Chia một số tự nhiên cho 60 được số dư là 31. Nếu đem chia số đó cho 12
thì được thương là 17. Số tự nhiên đó là
__ __
__
4Cho a,b là hai chữ số thỏa mãn: 1023:1a =b3. Vậy ab =

Giải
Vì 0< a < b < c nên hai số nhỏ nhất lập được bởi ba số a, b, c là a̅b̅c̅ và
a̅c̅b̅.
Theo đề bài thì a̅b̅c̅ + a̅c̅b̅ = 488
⇒ c + b có tận cùng là 8
⇒ c + b = 8 hoặc c + b = 18 (loại vì ở hàng chục cũng là b + c = 8 nên c +
b < 10)
Do đó a + a = 4 (ở hàng chục là b + c = 8 nên không dư sang hàng trăm)
⇒a=2
Vậy a + b + c = 2 + 8 = 10



__ __

___

ab *cb = ddd
b x b = d nên d chỉ có thể là 4; 6 hoặc 9, khi đó b sẽ là 2; 4; 3 hoặc 7
Vì hai thừa số là số có hai chữ số và tích có ba chữ số bằng nhau, nên chữ số
hàng chục sẽ bé hơn hàng đơn vị. Vì vậy ta chọn b = 7
Nếu b = 7 và d = 9 ta có:
a7 x c7 = 999


( Ta thấy 7 x 7 = 49, viết 9 nhớ 4. Vậy chọn a là số mà khi nhân 7, cộng thêm 4
rồi cộng thêm ở c x 7 để có kết quả là 9 )
Thế vào phép tính suy ra ta có:
a = 2 và c = 3
27 x 37 = 999
Vậy abcd = 2739


Việt hơn Nam 10 tuổi. Hỏi có mấy năm mà tuổi Nam là ước số của tuổi Việt ?

Biết rằng số 691.k là một số nguyên tố. Vậy k =1


Hai số 2^2012 và 5^2012 có giá trị viết liền nhau sẽ tạo thành một số có bao nhiêu chữ số .
Số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho số 11…1 (n chữ số 1) chia hết chosố 33…3 (100
chữ số 3) là?

Giải
Để 11..1 chia hết cho 33...3 hiển nhiên n>100
ta có:

33...3=11...1*3 (100 chữ số 1)
Đặt A=11...1 (n chữ số 1)
và B=11...1 (100 chữ số 1)


để A chia hết cho B,rõ ràng n phải là bội của 100.(1)
để A chia hết cho 3=>n là bội của 3 (2)
từ (1) và (2) ta tìm ra số n nhỏ nhất là n=300.

Tất cả các số tự nhiên thỏa mãn (n+13) chia hết (n-2) là ?
Giải
(n+13) : (n-2)
= (n - 2 + 15) : (n-2)
= (n-2) : (n-2) + 15 : (n-2)
= 1 + 15 : (n - 2) (1)
Để n + 13 chia hết cho (n-2) thì (1) phải thuộc Z, 1 luôn là số nguyên, 15 : (n - 2) là
nguyên khi n - 2 thuộc Ư(15)
Mà: Ư(15) = {1;3;5;15}
.n-2=1
=>n = 1 + 2 = 3
n-2=3
=>n = 3 + 2 = 5
n-2=5
=>n = 5 + 2 = 7
n - 2 = 15
=>n = 15 + 2 = 17
Vậy khi n thuộc {3;5;7;17} thì (n + 13) chia hết (n - 2)

Số tự nhiên nhỏ nhất chia 29 dư 5,chia 31 dư 28?
Giải

Cách 1
lần lượt là các ước số trong 2 phép tính: x, y là 2 số tự nhiên >0
theo đề bài ta có:
a = 29x + 5
a= 31y + 28
--> 29x + 5 = 31y + 28 --> y = (29x - 23)/31
Lập bảng:
x: 1
/ 2 /
3
/ 4
y: ktm / ktm / ktm / 3
Vậy a = 29 x 4 + 5 = 121
k tm = không thỏa mãn
Cách 2
Gọi số phải tìm là A => (A - 5) chia hết cho 29 và (A- 5) chia 31 dư 23 (25-5=23)
Mỗi lần bớt thương của phép chia (A-5) chia 31 đi 1 thì ta được thêm 31 mà số 31 này chia cho 29 còn dư 2.
Số lần bớt thương đi là : (29 - 23) : 2 = 3 (lần)
Vì là số nhỏ nhất nên khi bớt thương đi 3 thì thương sẽ còn lại là 0.


Vậy (A-5) là : 31 x 3 + 23 = 116.

Số cần tìm là : 116 + 5 = 121

Cho

. Số dư của

khi chia cho là

(gợi ý nhân 2 vế cho 3)
0633935101
01626597782
Cho

. Biết

.

Vậy

Cho số

, trong đó , ,

Vậy

Biết

. Vậy

là các chữ số nhỏ hơn . Biết

chia hết cho

.


Cho S=1*2*3+2*3*4+3*4*5+ ... +49*50*51.Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để 4S+n là số chính

phương.Trả lời n = . . .

Vòng 16 và Vòng 15
Bài 1:
Câu hỏi 1:
Cho tia Ox. Vẽ các tia Oy, Oz thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau bờ Ox sao
cho
Câu hỏi 2:

. Khi đó

=

.

Rút gọn
Câu hỏi 3:

ta được A =

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 2. Số dư của
Câu hỏi 4:

khi chia cho 3 là

Tập hợp các số nguyên n để 8n + 3 chia hết cho 2n - 1 là {
Câu hỏi 5:
Tìm số tự nhiên a biết 2236 và 2284 chia cho a có cùng số dư là 28.

}

Trả lời: a =
Câu hỏi 6:
Tìm cặp (x ; y) nguyên âm thỏa mãn xy + 3x + 2y + 6 = 0 và |x| + |y| = 5.
Trả lời: (x ; y) = (
)
(Nhập các giá trị theo thứ tự,cách nhau bởi dấu ";" )
Câu hỏi 7:
Tìm x biết x + 2x + 3x + ⋯ + 10x = -165.
Trả lời: x =
Câu hỏi 8:
Số tự nhiên có hai chữ số
Câu hỏi 9:

để

chia hết cho 8 và 9 là

Cho dãy số
Gọi S là tích của 100 số đầu tiên của dãy.


Khi đó 51S =
(Nhập kết quả dạng phân số tối giản)
Câu hỏi 10:
Tìm số nguyên tố p sao cho
và
Trả lời: Số nguyên tố thỏa mãn là p =

Bài 2:

(200)

cũng là số nguyên tố.


(3)



Bài 3:


Tìm số tự nhiên a bé nhất biết a chia 120 dư 58 và chia 135 dư88
Giải
a = 135k + 88 = 120k + 15k + 88 (k là số tự nhiên)
a chia 120 dư 58 ---> 15k + 88 chia 120 dư 58 ---> 15k + 30 chia
hết cho 120
Vì a là số bé nhất nên chọn k = 6 ---> a = 135.6 + 88 = 898.


Câu 1:
Số cặp số (x;y) thỏa mãn (2x + 3)(4y + 6) = 111 là
Câu 2:
Tập hợp các số nguyên vừa là ước của 15 vừa là bội của -3 là {
(Nhập các giá trị theo thứ tự tăng dần, cách nhau bởi dấu ";")
Câu 3:
Giá trị nguyên nhỏ nhất của n để
Câu 4:
Biểu thức

Câu 5:

nguyên là

đạt giá trị nhỏ nhất tại

Tập hợp các số nguyên thỏa mãn
là {
(Nhập các giá trị theo thứ tự tăng dần,cách nhau bởi dấu ";" )
Câu 6:
Số các giá trị tự nhiên của n để
Câu 7:

và

Tìm
, biết rằng:
Câu 8:
Cho B =
Khi đó ta có 3 - 4B =
Câu 9:

.
. Vậy n =
là
. Vậy n =

}

đồng thời là các số tự nhiên là

. Kết quả là

Giá trị nhỏ nhất của
Câu 10:
Biết

}