Mối quan hệ giữa hình học sơ cấp trong chương trình trung học phổ thông và hình học xạ ảnh

PGS. TS. Tạ Mân
Tạ Kim Lăng
Phạm Hong H

Mối quan hệ giữa hình học sơ cấp
trong chơng trình trung học phổ thông
v hình học xạ ảnh

1


Mở đầu

Nh chúng ta đà biết : Từ một không gian afin n chiỊu An ta cã thĨ x©y dùng
mét không gian xạ ảnh n chiều Pn ( mô hình afin của không gian xạ ảnh) bằng
cách thêm vào không gian afin An những điểm xa vô tận và ngợc lại từ một
không gian xạ ảnh n chiều Pn ta có thể xây dựng một không gian afin n chiều
An hay không gian ơclít n chiều En ( mô hình xạ ảnh của không gian afin hay
mô hình xạ ảnh của không gian ơclít) bằng cách bỏ đi một siêu phẳng nào đó
của Pn ( siêu phẳng này đợc coi là siêu phẳng vô tận). Nh vậy, không gian
afin hay không gian ơclít và không gian xạ ảnh có mối quan hệ mật thiết với
nhau và vì thế cho nên, giữa hình học sơ cấp trong chơng trình phổ thông trung
học và hình học xạ ảnh cúng có những mối liên hệ mật thiết với nhau. Các mối
quan hệ đó đợc thể hiện trong các phần đợc trình bày chi tiết tiếp theo sau
đây.
1. Thể hiện xạ ảnh của một số khái niệm của hình học sơ cấp trong
chơng trình toán phổ thông trung học.
2. Từ một bài toán hay từ một định lí của hình học sơ cấp có thể suy ra
một bài toán hay một định lí của hình học xạ ảnh.
3. Giải các bài toán hay chứng minh các định lí của hình học sơ cấp
bằng hình học xạ ảnh.

4. Từ một bài toán hay từ một định lí của hình hoc xạ ảnh có thể suy ra
những bài toán hay những định lí của hình học sơ cấp.
5. Dùng hình học sơ cấp có thể giải các bài toán của hình học xạ ảnh.
6. Từ một bài toán hay từ một định lí của hình học sơ cấp có thể suy ra
các bài toán hay các định lí của hình học sơ cấp.

2


Chơng 1

Thể hiện xạ ảnh của một số khái niệm của
hình học sơ cấp trong chơng trình toán
học phổ thông trung häc
Ta kÝ hiƯu AnP (R) = Pn (R)\W lµ mô hình xạ ảnh của không gian afin thực
n chiều, trong đó W là siêu phẳng vô tận và EnP = AnP (R) là mô hình xạ ảnh
của không gian Ơclít( Euclid) n chiều với cái tuyệt đối ( siêu mặt trái soan
ảo nằm trong siêu phẳng vô tận W. Trờng hợp n = 3 thì là một đờng bậc
hai rỗng, gọi là đờng rốn của E3P . Trờng hợp n = 2 thì là một cặp điểm ảo
liên hợp (I, J) gọi là cặp điểm xyclic cđa E2P ).
Mét h×nh HA cđa AnP (R) ( H×nh HE của EnP ) sẽ đợc gọi là sinh ra bëi h×nh
HP cđa Pn (R) nÕu HA = HP ∩ AnP (R) = HP \W (HE = HP ∩ EnP = HP \W ).
Ta kí hiệu tắt EnP (R) là EnP và AnP (R) là AnP .
Mỗi hình HP không n»m trong W sinh ra mét h×nh HA (HE ) duy nhất
không rỗng. Nếu hình HP là tập hợp các điểm có toạ độ xạ ảnh thuần nhất
(x0 : x1 : ... : xn ) thoả mÃn hệ phơng trình


f1 (x0 , x1 , ..., xn ) = 0
⎪

⎪
⎪
⎪
⎨f (x , x , ..., x ) = 0
2 0 1
n
⎪
.......................
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩f (x , x , ..., x ) = 0.
m

0

1

(1)

n

th× h×nh HA(HE ) là tập hợp các điểm có toạ độ xạ ảnh không thuần nhất
(X1 , X2 , ..., Xn ) ( nếu phơng trình của W là x0 = 0) thoả mÃn hệ phơng trình:
3


⎧
⎪

F1 (X1 , X2 , ..., Xn ) = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨F (X , X , ..., X ) = 0
2
1
2
n
⎪
.......................
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩F (X , X , ..., X ) = 0.
m

1

2

(2)

n

Ngợc lại mỗi hình HA (hay HE ) có thể đợc sinh ra bởi nhiều hình HP khác
nhau. Nếu hình HA (hay HE ) đợc xác định bởi hệ phơng trình (2) đối với toạ
độ xạ ảnh không thuần nhất thì một trong những hình HP sinh ra HA ( hay HE )

có thể xác định bằng hệ phơng trình:


F1 ( xx10 , xx20 , ..., xxn0 ) = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨F ( x1 , x2 , ..., xn ) = 0
2 x0 x0
x0
⎪
.......................
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩F ( x1 , x2 , ..., xn ) = 0.
m x0 x0

(3)

x0

đối với toạ độ xạ ảnh thuần nhất.

Sau đây là thể hiện xạ ảnh của một số khái niệm cơ bản của hình học sơ
cấp ở chơng trình phổ thôngtrung học trong mô hình xạ ảnh của không gian
A fin thực AnP hay trong mô hình xạ ảnh của hình häc ¥clÝt EnP , ( n = 1, 2, 3):
1- Mỗi m- phẳng A, (E ) của AnP ( EnP ) sinh ra bởi một và chỉ một m phẳng p của Pn và ngợc lại.

2- Hai đờng thẳng phân biệt song song của AnP đợc sinh ra bởi hai đờng
thẳng phân biệt của Pn cắt nhau trên W của AnP .
3- Một m - phẳng và một k - ph¼ng (1 a m a k a 2) song song víi nhau
khi vµ chØ khi chóng sinh ra bëi mét m - phẳng và một k - phẳng cắt nhau theo
một (m - 1) - phẳng trên siêu phẳng vô tận W.
4- Hai đờng thẳng của A3P chéo nhau khi và chỉ khi chúng sinh ra bởi hai
đờng thẳng xạ ảnh không có điểm chung.
5- Mỗi phơng một chiều của AnP tơng ứng với một và chỉ một điểm của
siêu phẳng vô tận W. Ngợc lại mỗi điểm của W xác định một và chỉ một
phơng một chiều của AnP . Nếu điểm M thuộc W có toạ độ xạ ¶nh lµ M = (
0 : x1 : ... : xn ) thì phơng 1 chiều ứng với điểm M đợc xác định bởi véc tơ
4


m = (x1 , x2 , ..., xn ) cña Rn
6- Nếu A , B, C là ba điểm phân biệt thẳng hàng trong AnP và D là điểm vô
tận của đờng thẳng xạ ảnh A B thì tỉ số đơn A fin [A BC] bằng tỉ số kép xạ ảnh
[A BCD].
7- Điểm C là trung điểm của đoạn thẳng A B trong AnP khi và chỉ khi đờng
thẳng xạ ảnh A B cắt siêu phẳng vô tận W tại D sao cho [A BCD] = - 1.
8- NÕu A , B, C, D là bốn điểm thẳng hàng trong AnP sao cho A , B, C phân
biệt từng cặp và B, D, A phân biệt từng cặp thì tỉ sè kÐp A fin (A BCD) b»ng tØ
sè kÐp x¹ ảnh [A BCD].
9- Điểm C là điểm trong ( điểm ngoài) của đoạn thẳng A B trong AnP khi và
chỉ khi đờng thẳng xạ ảnh A B cắt siêu phẳng vô tận W tại D sao cho [A BCD]
< 0 ([A BCD] > 0).
10- PhÐp biÕn ®ỉi f : AnP AnP là phép tịnh tiến khi và chỉ khi nó sinh
ra bởi một thấu xạ đặc biệt F : Pn Pn có siêu phẳng cơ sở là W, ngoài ra
tâm thấu xạ O W của f xác định phơng tịnh tiến.
11- Phép biến đổi f : AnP AnP là phép vị tự tâm O tỉ số k khi và chỉ khi

nó sinh ra bởi một thấu xạ tâm O W với siêu phẳng cơ sở là siêu phẳng vô
tận W và tỉ số k1 .
12- Mỗi siêu phẳng bậc hai xạ ảnh SP không chứa W sinh ra một siêu mặt
bậc hai A fin SA ( một siêu mặt bậc hai Ơclít SE ) với SA = SE = Sp \ W .

13- Mỗi siêu mặt bậc hai SA của AnP ( Siêu mặt bậc hai SE của EnP ) sinh
ra bởi một siêu mặt bậc hai xạ ảnh SP của Pn , trong đó SP không chứa W.
14- Hai siêu mặt bậc hai afin SA và SA cùng loại afin khi và chỉ khi hai siêu
mặt bậc hai xạ ảnh SP và SP ( sinh ra chúng) cùng loại xạ ảnh và SP W, SP W
là hai siêu mặt cùng loại xạ ảnh của không gian P n−1 = W .
15- §−êng bËc hai SA ( hay SE ) trong AnP (EnP ) là đờng elíp khi và chỉ
khi đờng bậc hai xạ ảnh sinh ra nó SP là đờng ôvan và SP không cắt đờng
thẳng vô tận W ( Hình 1).

16- Đờng bậc hai SA ( hay SE ) trong AnP (EnP ) lµ đờng parabol khi và
chỉ khi đờng bậc hai xạ ảnh sinh ra nó SP là đờng ôvan và SP tiếp xúc với
W ( Hình 2).
17- Đờng bậc hai SA ( hay SE ) trong AnP (EnP ) là đờng hypebol khi vµ
5


chỉ khi đờng bậc hai xạ ảnh sinh ra nó SP là đờng ôvan và SP cắt W tại hai
điểm phân biệt ( Hình 3).

18- Đờng bậc hai SE trong EnP là đờng tròn khi và chỉ khi đờng ôvan
xạ ¶nh SP sinh ra nã ®i qua hai ®iĨm xyclÝc I, J trên đờng thẳng vô tận W (
Hình 4).
19- Đờng bậc hai SE trong EnP là đờng hypebol vuông khi và chỉ khi
đờng ôvan xạ ảnh SP sinh ra nó cắt W tại hai điểm M, N sao cho [MNIJ] = -1
(Hình 5).

20- Nếu aE và bE của EnP có hai phơng xác định bởi hai điểm vô tận A
và B và đờng thẳng A B cắt cái tuyệt đối tại hai điểm ảo liên hợp I, J thì góc
giữa aE và bE đợc tính theo công thøc Laghe ( Laguerre):
1
cosϕ =| cos( ln[ABIJ]) | .
2i
21- Hai đờng thẳng aE và bE trong EnP vuông góc khi và chỉ khi hai đờng
thẳng xạ ảnh aP và bP sinh ra chúng lần lợt cắt W tạ A , B sao cho [A BIJ] =
-1.
22- MỈt bbËc hai SE của EnP là mặt cầu khi và chỉ khi siêu mặt bậc hai xạ
ảnh SP sinh ra SE chứa cái tut ®èi Ω.
6


23- Điểm O là tâm của SA khi và chỉ khi O liên hợp với mọi điểm của W
đối với SP . Nói riêng nếu SA không suy biến thì O là tâm của SA khi và chỉ
khi O là cực của W đối với SP .
24- Phơng một chiều c của AnP là phơng tiệm cận của SA khi và chỉ khi
c xác định một điểm vô tận C cña SP ( tøc C ∈ SP ∩ W ).

25- Nếu phơng một chiều c của AnP không phải là phơng tiệm cận của
SA và đợc xác định bởi điểm vô tận C SP thì siêu phẳng kính liên hợp A
của SA đối với phơng c đợc sinh ra bởi siêu phẳng đối cực C của C đối với
SP .
26- Siêu phẳng afin A là siêu phẳng tiếp xúc của SA tại điểm M A khi
và chỉ khi A là siêu phẳng tiếp xúc của SP tại điểm M ∈ SP .

27- PhÐp biÕn ®ỉi afin fE : EnP EnP là phép đối xứng thẳng góc qua siêu
phẳng αE cđa EnP khi vµ chØ khi fE sinh ra bởi phép thấu xạ đối hợp fP của Pn

qua 0- cặp (G, ), trong đó P là siêu phẳng xạ ảnh sinh ra E còn G là cực
của ( n - 2) - phẳng = W P đối với cái tuyệt đối .
Từ đó ta có thể diễn tả đợc mọi phép dời hình trong EnP vì phép dời hình
là hợp của một số hữu hạn các phép đối xứng qua siêu phẳng.

Từ 11) và 27) ta có thể diễn tả mọi phép đồng dạng trong EnP vì một phép
đồng dạng là hợp của một phép dời hình và phép vị tự.
28- Phép biến đổi afin fE : EnP EnP là một phép đồng dạng khi và chỉ
khi nó đợc sinh ra bởi biến đổi xạ ảnh fP của Pn giữ bất động cái tuyệt đối .
29- Trục đối xứng E của parabol SE đợc thể hiện bởi đờng thẳng xạ
ảnh P đi qua tiếp điểm U của W với SP và có cực là điểm T sao cho [UTIJ]
= -1. (Hình 6).
30- Hai trục đối xứng 1E , 2E của elíp hay của hypebol SE đợc thể hiện
bởi hai đờng thẳng xạ ảnh 1P , 2P cïng ®i qua cùc O cđa W ®èi víi SP ,
liên hợp với nhau đối với SP và lần lợt cắt W tại hai điểm V1 và V2 sao cho
[V1 V2 IJ]= -1. ( Hình 7).

31- Tiêu điểm F của parabol SE trong E2p đợc thể hiện bởi giao điểm F
của hai tiếp tuyến xuất phát từ hai điểm xyclíc I, J đến SP trong P2 (R). ( Hình
7


8).
32- Hai tiêu điểm F1 , F2 của elíp hay hypebol SE trong E2p đợc thể hiện
bởi hai điểm thực F1 , F2 trong bốn giao điểm của bốn cặp tiếp tuyến xuất phát
từ hai điểm xyclíc I, J đến SP trong P2 (R). ( Hình 9).
33- Đờng chuẩn E ứng với tiêu điểm F của đờng côníc SE trong E2p
đợc thể hiện bởi đờng đối cực P của điểm F đối với đờng ôvan SP trong
P2 (R). (Hình 10).

8


Chơng 2

Từ một bài toán hay từ một định lí của
hình học sơ cấp có thể suy ra một bài toán
hay một định lí của hình học xạ ảnh
Giả sử ta có một bài toán hay một định lí về các đối tợng nào đó của hình
học sơ cấp ( HHSC) trong không gian afin hay không gian Ơclít. Bằng cách
thêm các điểm vô tận vào trong không gian đó ta đợc một không gian xạ ảnh
mà khi bỏ đi các điểm vô tận ta đợc một mô hình xạ ảnh của không gian afin
hay của không gian Ơclít. Khi đó các đối tợng của HHSC trong không gian
afin hay trong không gian Ơclít sẽ đợc diễn đạt thành các đối tợng của hình
học xạ ảnh ( HHX A ) và nh thế ta đợc một bài toán hay một định lí của hình
học xạ ảnh.
Sau đây, ta sẽ làm sáng tỏ điều trên thông qua việc tìm ra các bài toán hay
các định lí của HHX A từ một số bài toán hay định lí của HHSC.

2.1 Định lí HHSC 1.
Ba đờng trung tuyến của một tam giác thì đồng qui.
Nếu thêm các điểm vô tận vào mặt phẳng afin ta đợc mặt phẳng xạ ảnh.
Khi đó các trung điểm A , B, C của các cạnh BC, CA , A B của tam giác A BC
trở thành các điểm xạ ảnh sao cho
[B, C, A , A1 ] = [C, A, B , B1 ] = [A, B, C , C1 ] = −1.
Trong ®ã A1 , B1 , C1 lần lợt là các điểm vô tận của các đờng thẳng BC, CA
và A B.
9

Nhng trong mặt phẳng xạ ảnh, các điểm vô tận nằm trên một đờng thẳng
và bình đẳng nh những điểm khác. Bởi vậy ta có các định lí xạ ảnh sau đây:
Định lí HHXA 1.
Cho ba điểm không thẳng hàng A , B, C và một đờng thẳng d không đi
qua chúng cắt các đờng thẳng BC, CA , A B lần lợt tại A1 , B1 , C1 . Gọi A , B,
C là các điểm sao cho
[B, C, A , A1 ] = [C, A, B , B1 ] = [A, B, C , C1 ] = −1.
Khi ®ã ba ®−êng th¼ng A A ’, BB’, CC’ ®ång qui.

2.2 Định lí HHSC 2.
Trong một hình bình hành các đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đờng.
Nếu thêm đờng thẳng vô tận W vào mặt afin thì hình bình hành A BCD trở
thành một hình bốn đỉnh toàn phần A BCD với ba điểm chéo lần lợt là giao
điểm O của hai đờng chéo A C và BD của hình bình hành, còn lại hai điểm
chéo còn lại P, Q là những giao điểm của các cặp xạ ¶nh ( A B, CD) vµ ( A D,
BC). R õ ràng, khi đó P, Q đều thuộc đờng thẳng vô tận W và [A , C, O, E] =
[B, D, O, F] = -1, trong ®ã E = W ∩ AC, F = W ∩ BD. Bëi vËy ta có định lí
sau đây của HHX A :
Định lí HHXA 2. Trong một hình bốn đỉnh toàn phần, hai điểm chéo nằm
trên một đờng chéo chia điều hoà cặp giao điểm của đờng chéo đó với cặp
cạnh đi qua điểm chéo còn lại.

2.3 Bài toán HHSC 3.
Trong mặt phẳng cho đờng tròn (S) và tiếp tuyến d tại điểm T. Gọi A và B
thuộc d đối xứng với nhau qua T và khác T. Một đờng thẳng qua A cắt (S)
tại hai điểm P, Q và một đờng thẳng đi qua B cắt (S) tại hai điểm U, V. Đặt
M = d ∩ P U, M = d ∩ QV, N = d ∩ P V, N = d ∩ QU . Chứng minh rằng T là
trung điểm của các đoạn thẳng MM và NN.
Bổ sung vào mặt phẳng Ơclít E2 đờng thẳng vô tận W ta đợc mặt phẳng

10


xạ ảnh P2 (R) và ta xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian Ơclít E2P . Khi đó
đờng tròn (S) đợc thể hiện bởi một đờng ôvan (SP ) đi qua hai điểm ảo liên
hợp I, J nào đó nằm trên đờng thẳng W, còn hai điểm A , B thì chia điều hoà
tiếp điểm T của đờng thẳng d và điểm vô tận E của d, tức lµ [A , B, T, E] = -1.
V Ëy tõ bài toán HHSC trên ta suy ra bài toán HHX A sau:
Bài toán HHXA 3. Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 (R) ( có bổ sung phần tử
ảo) cho một đờng ôvan (SP ) cắt một đờng thẳng W tại hai điểm ảo liên hợp
I, J và tiếp xúc với đờng thẳng d tại T. Lấy hai điểm phân biệt A , B trªn d sao
cho [A , B, T, E] = -1, E = d ∩ W . Mét đờng thẳng qua A cắt (SP ) tại hai
điểm phân biệt P, Q và một đờng thẳng đi qua B cắt (SP ) tại hai điểm U, V.
Đặt M = d ∩ P U, M = d ∩ QV, N = d ∩ P V, N = d ∩ QU . Chøng minh r»ng
[M, M , T, E] = [N, N , T, E] = 1.
2.4 Bài toán HHSC 4.
Trong mặt phẳng cho một hypebol H. Một tiếp tuyến bất kì của H cắt hai đờng
tiệm cận của H tại hai điểm A , B. Gọi a, b là hai đờng thẳng song song lần
lợt đi qua A và B. chøng minh r»ng hai tiÕp tuyÕn song song víi a, b của H
chia điều hoà cặp đờng thẳng ( a, b).
Khi thêm vào mặt phẳng afin thực A2 đờng thẳng vô tận W ta đợc mặt
phẳng xạ ảnh P2 (R). Khi đó đờng hypebol H đợc thể hiện bởi đờng ôvan
xạ ảnh HP đi qua hai điểm phân biệt P, Q của W, còn a, b thể hiện bởi đờng
thẳng ( ta cũng kí hiệu là a, b) cắt nhau tại một điểm C W . V ậy từ bài toán
HHSC4 ta suy ra bài toán HHX A sau đây:
Bài toán HHXA 4. Trong mặt phẳng P2 (R) cho đờng ôvan (SP ) cắt một
đờng thẳng W cho trớc tại hai điểm phân biệt P, Q. Gọi A , B là hai giao điểm
của một tiếp tuyến bất kì cđa (SP ) víi hai tiÕp tun t¹i P, Q. C là một điểm bất
kì nằm trên W và khác víi P, Q. Chøng minh r»ng hai tiÕp tun kỴ từ C của
(SP ) chia điều hoà cặp đờng thẳng CA , CB.

2.5 Bài toán HHSC 5.
Trong mặt phẳng, tìm quỹ tích các điểm M mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến
vuông góc với nhau đến một đờng côníc (S) cho tr−íc.
11


Bổ sung vào mặt phẳng Ơclít E2 đờng thẳng vô tận W ta đợc không gian
xạ ảnh P2 (R). Chọn hai điểm ảo liên hợp I, J trên W làm hai điểm cyclíc để xây
dựng E2 = P2 (R) \ W thành một mô hình xạ ảnh của hình hoc Ơclít. Khi đó
đờng côníc (S) đợc thể hiện bởi một đờng ôvan (SP ), hai tiếp tuyến vuông
góc kẻ từ M đến (S) đợc thể hiện bởi hai tiếp tuyến MT, MT’ cđa (SP ) ( T vµ
T’ lµ hai tiÕp ®iĨm ) sao cho [MI, MJ, MT, MT’] = -1, tức MT liên hợp với MT
đối với (SP ). V ậy bài toán HHSC5 qui về bài toán HHX A 5 sau đây.
Bài toán HHXA 5.Trong mặt phẳng xạ ¶nh thùc P2 (R) ( cã bỉ sung phÇn
tư ¶o) cho đờng ôvan (SP ) và hai điểm ảo liên hợp I, J. Tìm quỹ tích các điểm
M sao cho MI, MJ liên hợp với nhau đối với (SP ).

2.6 Bài toán HHSC 6.
Trong mặt phẳng cho tứ giác A BCD và một phơng e không cùng phơng với
các đờng thẳng chứa các cạnh hoặc đờng chéo của tứ giác ®ã.
a) Chøng minh r»ng cã mét parabol hc mét hypebol duy nhất đi qua A ,
B, C, D và nhận phơng e làm phơng tiệm cận.
b) Trong trờng hợp hypebol hÃy tìm phơng tiệm cận thứ hai và dựng các
tiệm cận bằng thớc.
Trong mô hình xạ ảnh A2P của mặt phẳng afin thực gọi W là đờng thẳng
vô tận. Khi đó phơng e ứng với một điểm E trên W, parabol đợc thể hiện bởi
một ôvan xạ ảnh (SP ) tiếp xúc với W, còn hypebol đợc thể hiện bởi ôvan (SP )
cắt W tại hai điểm phân biệt; Các phơng tiệm cận đợc thể hiện bởi các giao
điểm của ®−êng bËc hai (SP ) víi W. V Ëy tõ bài toán trên ta suy ra bài toán của

HHX A sau:
Bài toán HHXA 6. Trong mặt phẳng P2 (R) cho bốn điểm A , B, C, D trong
đó không có ba điểm nào thẳng hàng và một điểm E không thuộc các đờng
thẳng A B, BC, CD, DA , A C, BD và E nằm trên một đờng thẳng W không đi
qua các điểm A , B, C, D.
a) Chứng minh r»ng cã duy nhÊt mét ®−êng bËc hai (SP ) đi qua A , B, C,
D hoặc tiếp xúc với W tại E hoặc cắt W tại hai điểm phân biệt trong đó E là
một trong hai giao điểm.
b) Trong trờng hợp (SP ) cắt W tại hai điểm ph©n biƯt, chØ dïng th−íc h·y
12


dựng các giao điểm đó và các đờng đối cực của hai điểm này nếu chỉ cho biết
năm điểm A , B, C, D, E của (SP ) và đờng thẳng W qua E.

2.7 Bài toán HHSC 7.
Chứng minh rằng nếu một hình bình hành nội tiếp hoặc ngoại tiếp một đờng
elíp hoặc hypebol thì tâm của nó trùng với tâm của elíp hoặc hypebol đó.
Trong mô hình xạ ảnh của hình học afin A2P (R), đơng elíp hay hypebol
với tâm O đợc thể hiện bởi một ôvan xạ ảnh (SP ) không cắt hoặc cắt đờng
thẳng vô tận W tại hai điểm phân biệt và O là cực của W. Đờng thẳng afin tiếp
xúc với đờng elíp hay hypebol đợc thể hiện bởi tiếp tuyến của đờng ôvan
(SP ). V ậy từ bài toán HHSC7 trên ta suy ra bài toán HHX A 7 sau đây:
Bài toán HHXA 7. Trong P2 (R) cho đờng ôvan (SP ) không có điểm
chung hoặc cắt một đờng thẳng W cho trớc tại hai điểm phân biệt. Một hình
bốn đỉnh toàn phân A BCD nội tiếp đờng ôvan (SP ) hoặc ngoại tiếp (SP ) ( tức
là các cạnh A B, BC, CD, DA là các tiếp tuyến của (SP ) ) và P = AB ∩ CD, Q
= BC ∩ DA ®Ịu thuéc W. Chøng minh r»ng O = AC ∩ BD là cực của đờng
thẳng W.

2.8 Bài toán HHSC 8.
Trong mặt phẳng, chứng minh rằng nếu hai tiếp tuyến tại hai điểm A và B của
một parabol cắt nhau tại C thì phơng của đờng thẳng nối C với trung điểm
A B là phơng tiệm cận của parabol.
Trong mô hình xạ ảnh của không gian afin A2 (R), đờng parabol đợc thể
hiện bởi một ôvan xạ ảnh (SP ) tiếp xúc với đờng thẳng vô tận W tại một điểm
U. Khi đó điểm U xác định phơng tiệm cận của parabol, trung điểm của A B
đợc thể hiện bởi điểm M sao cho [A BMN] = -1 ( ở đây N = AB W , tức là
điểm vô tận của đờng thẳng A B). V ậy bài toán HHSC 8 trên suy ra bài toán
HHX A 8 sau:
Bài toán HHXA 8. Trong P2 (R) cho một đờng ôvan (SP ) tiếp xúc với
một đờng thẳngW cho trớc tại một điểm U. Hai tiếp tuyến tại hai điểm A , B
của (SP ) cắt nhau tại C. M là một điểm thuéc A B sao cho [A BMN] = -1, ë ®©y
13


N = AB ∩ W . Chøng minh r»ng ®−êng thẳng CM qua U.
2.9 Bài toán HHSC 9.
Chứng minh rằng nếu hai điểm A , B nằm trên một parabol thẳng hàng với tiêu
điểm của nố thì hai tiếp tuyến tại A , B của parabol vuông góc với nhau.
Trong mô hình xạ ảnh của mặt phẳng Ơclít E2P = P2 (R) \ W víi hai ®iĨm
xyclÝc I, J n»m trên đờng thẳng vô tận W, đờng parabol đợc thể hiện bởi một
ôvan xạ ảnh (SP ) tiếp xúc với đờng thẳng vô tận W , tiêu điểm F thể hiện bởi
giao điểm của hai tiếp tuyến ảo liên hợp kỴ tõ I, J. Hai tiÕp tun cđa parabol
kỴ tõ A , B thể hiện bởi hai đờng thẳng a và b tiếp xúc với (SP ) tại A và B.
V ậy bài toán đa đến chứng minh tỉ số kÐp [a ∩ W, b ∩ W, I, J] = -1 và ta có
bài toán HHX A 9 tơng ứng sau:
Bài toán HHXA 9. Trong mặt phẳng P2 (R) cho ôvan (SP ) tiếp xúc với
một đờng thẳng W cho trớc, F là giao điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ hai điểm
I, J cho trớc nằm trên W ( hai tiếp tuyến này khác với W ) , A , B là hai điểm

nằm trên (SP ) sao cho chúng thẳng hàng với F. Hai tiếp tuyến a, b tại A , B lần
lợt cắt W tại M và N. Chứng minh rằng M, N chia điều hoà cặp điểm I, J.

2.10 Bài toán HHSC 10.
Tìm quỹ tích trung điểm các dây cung của một đờng cônic đi qua một điểm
cho trớc.
Bổ sung vào mặt phẳng một đờng thẳng vô tận W ta đợc một không gian
xạ ảnh P2 (R). Khi đó đờng cônic đà cho đợc sinh ra bởi một ôvan xạ ảnh
(SP ). M là trung điểm của dây cung M1 M2 qua điểm A cho trớc ®−ỵc thĨ hiƯn
bëi ®iĨm M sao cho [M1 , M2 , M, E] = -1 (E = ∩ AM ).V ậy từ bài toán HHSC
10 ta suy ra bài toán HHX A 10 sau đây:
Bài toán HHXA 10. Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 (R) ( có bổ sung phần
tử ảo) cho một đờng ôvan (SP ), một đờng thẳng W và một điểm A không
thuộc W. Một đờng thẳng bất kì qua A cắt (SP ) tại hai điểm M1 , M2 và cắt W
tại một điểm E. tìm quỹ tích các điểm M thuộc đờng thẳng nói trên sao cho
[M1 , M2 , M, E] = −1.
14


2.11 Bài toán HHSC 11.
Trong mặt phẳng, cho elíp (S) và tam giác A BC có các cạnh A B, BC, CA tiếp
xúc với (S) lần lợt tại M, N, L. Chøng minh r»ng
[ABM ].[BCN ].[CAL] = −1.
Gäi W lµ đờng thẳng vô tận trong mô hình xạ ảnh của A2P (R) thì elíp (S)
đợc thể hiện bởi một ôvan (SP ) không có điểm chung với W. Một tam giác có
các cạnh tiếp xúc với (S) đợc thể hiện bởi một hình ba đỉnh A BC tiếp xúc với
(SP ) tại M, N, L. Đặt
P = AB W, Q = BC ∩ W, R = CA ∩ W.
Khi đó điều phải chứng minh của bài toán HHSC trên tơng đơng với việc
chứng minh

[ABMP ].[BCN Q].[CALR] = 1.
V ậy ta có bài toán HHX A 11 sau đây:
Bài toán HHXA11 Trong P2 (R), cho một ôvan (SP ) và một đờng thẳng
W không có điểm chung với (SP ). Một hình ba đỉnh A BC có các cạnh A B, BC,
CA tiếp xúc với (SP ) lần lợt tại M, N, L. Gäi P = AB ∩ W, Q = BC ∩ W, R =
CA ∩ W . Chøng minh rằng [ABM P ].[BCN Q].[CALR] = 1.
2.12 Bài toán HHSC 12.
Chøng minh r»ng ba ®−êng cao trong mét tam giác đồng quy.
Gọi W là đờng thẳng vô tận và I, J là hai điểm xyclíc trong mô hình xạ
ảnh của không gian Ơclít E2P . Giả sử A x, By, Cz là ba đờng cao của tam giác
A BC. Trong mô hình E2P ta có các cặp điểm (Ax ∩ W, BC ∩ W ), (By ∩ W, CA ∩
W ), (Cz ∩ W, AB ∩ W ) cïng chia điều hoà hai điểm I, J. Vậy từ bài toán HHSC
12 trên ta suy ra bài toán HHX A 12 sau:
Bài toán HHXA 12. Trong P2 (R) (có bổ sung phần tử ảo) cho một đờng
thẳng W và hai điểm phân biệt I, J nằm trên W. Giả sử A , B, C là ba điểm không
thẳng hàng và không thuộc W. Qua A , B, C kẻ các đờng thẳng A x, By, Cz sao
cho các cặp điểm (Ax ∩ W, BC ∩ W ), (By ∩ W, CA ∩ W ), (Cz ∩ W, AB ∩ W )
cùng chia điều hoà hai điểm I, J. Chứng minh r»ng A x, By, Cz ®ång quy.
15


2.13 Bài toán HHSC 13.
Trong mặt phẳng cho hai đờng thẳng phân biệt a, b và một điểm A thuộc a,
một điểm C không thuộc a, b. Một đờng thẳng biến thiên c đi qua C cắt a tại
M, cắt b tại N. Tìm quỹ tích các đờng thẳng đi qua M và vuông góc với đờng
thẳng A N.
Giả sử E2P = P2 (R) \ W là mô hình xạ ảnh của không gian Ơclít thực hai
chiều với đờng thẳng vô tận W và hai điểm xyclíc I, J nằm trên W. Gọi E
=AN W và F là điểm vô tận của đờng thẳng đi qua M và vuông góc với A N
thì [EFIJ] = -1. Từ đó ta có bài toán HHX A nh sau:

Bài toán HHXA 13. Trong P2 (R) (có bổ sung phần tử ảo) cho ba đờng
thẳng phân biệt a, b, W và một điểm A thuộc a nhng không thuộc W. Một
điểm C không thuộc cả a, b, W, hai điểm I, J phân biệt nằm trên W. Một đờng
thẳng biến thiên qua C lần lợt cắt a, b tại M, N. gọi E = W AN. Tìm quỹ
tích của các đờng thẳng m ®i qua M sao cho [m ∩ W, E, I, J] = 1.
2.14 Bài toán HHSC 14.
Trong mặt phẳng cho đờng tròn (S), dây cung A B, trung điểm H của A B và
hai dây cung CD, EF cùng ®i qua H. Gäi P = CE ∩ AB, Q = DF ∩ AB, R =
CF ∩ AB, T = DE ∩ AB. Chøng minh r»ng H cịng lµ trung điểm của hai đoạn
thẳng PQ và RT.
Gọi W là đờng thẳng vô tận và I, J là hai điểm xyclíc trong mô hình xạ
ảnh của không gian Ơclít E2P = P2 (R) \ W . Đờng tròn (S) đợc thể hiện bởi
đờng ôvan (SP ) đi qua I và J, các điểm A , B, C, D, E, F, P, Q, R , T, H đều
không nằm trên W và [A , B, H, AB ∩ W ] = -1. Từ đó ta suy ra bài toán HHX A
14 sau đây:
Bài toán HHXA 14. Trong mặt phẳng P2 (R) ( có bổ sung phần tử ảo ) cho
đờng ôvan (SP ) cắt một đờng thẳng W tại hai điểm ảo liên hợp I và J. Gọi A ,
B, C, D , E, F là những điểm nằm trên (SP ) mà không thuộc W và H là điểm
thuộc đờng thẳng A B sao cho H không thuộc W và [A , B, H, W AB] = -1.
Đặt P = CE ∩ AB, Q = DF ∩ AB, R = CF ∩ AB, T = DE ∩ AB. Chøng
minh r»ng:
[P, Q, H, W ∩ AB] = [R, T, H, W ∩ AB] = −1.
16


Bằng phơng pháp và các lý luận nh những bài toán trên, từ các bài
toán HHSC sau đây ta cũng suy ra các bài toán HHX A tơng ứng ( Bài toán
HHSC n suy ra bài toán HHX A n, n 15).
2.15 Bài toán HHSC 15.
Chứng minh rằng hình bình hành có hai đỉnh đối diện nằm trên một hypebol và

mỗi cạnh song song với một đờng tiệm cận của hypebol thì hai đỉnh đối diện
còn lại thẳng hàng với tâm của hypebol.
A p dụng kết quả trên để dựng tâm và các đờng tiệm cận của hypebol
bằng thớc kẻ khi cho biết trớc ba điểm và hai phơng tiệm cận của hypebol.
Bài toán HHXA 15.Trong mặt phẳng P2 (R) cho đờng ôvan (SP ) cắt một
đờng thẳng W cho trớc tại hai điểm phân biệt P, Q và hai điểm A , C thuộc
(SP ) và không trùng víi P, Q. Gäi B = AP ∩ CQ, D = CP AQ. Chứng minh
hai điểm B, D thẳng hàng với giao điểm O của hai tiếp tuyến của (SP ) tại P và
Q.
A p dụng kết quả trên để dựng cực của đờng thẳng W bằng thớc kẻ khi
cho trớc năm điểm của đờng ôvan (SP ) trong ®ã cã hai giao ®iĨm cđa (SP )
vµ W.

2.16 Bµi to¸n HHSC 16.
Chøng minh r»ng mäi tiÕp tun cđa mét hypebol đều cắt hai đờng tiệm cận
tại hai điểm đối xứng với nhau qua tiếp điểm.
Bài toán HHXA 16. Trong mặt phẳng P2 (R) cho một đờng ôvan (SP ) cắt
đờng thẳng W cho trớc tại hai điểm phân biệt P và Q. Một tiếp tuyến tại M
của (SP ) cắt hai tiếp tuyến tại P và Q lần lợt tại A và B và cắt W tại C. Chứng
minh rằng [A, B, M, C] = 1.
2.17 Bài toán HHSC 17.
Chứng minh rằng nếu A , B là hai điểm phân biệt nằm trên hypebol và đờng
thẳng A B cắt hai đờng tiệm cận tại C, D thì hai đoạn thẳng A B và CD có cùng
17


trung điểm.
Bài toán HHXA 17. Trong P2 (R) cho một đờng ôvan (SP ) cắt một đờng
thẳng W cho trớc tại hai điểm phân biệt P và Q. Gọi p, q là hai tiếp tuyến tại
P, Q của (SP ). Một đờng thẳng a cắt (SP ) tại A và B và cắt hai tiếp tuyến p, q

tại C và D. Gọi I là một điểm nằm trên a sao cho [A , B, I, a ∩ W ] = -1. Chøng
minh r»ng [C, D, I, a ∩ W ] = 1.

2.18 Bài toán HHSC 18.
Trong mặt phẳng cho parabol (S) và tam giác A BC có các đờng thẳng A B, BC,
CA tiÕp xóc víi (S). Gäi b’ lµ đờng thẳng qua B và song song với A C, đờng
thẳng b cắt (S) tại H và K. Tiếp tuyến tại H và K của (S) cắt nhau tại L. Chøng
minh r»ng LA song song víi BC, LC song song với A B.
Bài toán HHXA 18. Trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2 (R) cho đờng ôvan
(SP ) tiếp xúc với một đờng thẳng W tại O và tiếp xúc với các cạnh A B, BC,
CA của một hình ba ®Ønh A BC ( víi A , B, C ∈
/ W ) tại M, N, Q. Gọi b là đờng
thẳng qua B và giao điểm E của đờng thẳng A C với W. b cắt (SP ) tại H và K.
Tiếp tuyến của (SP ) tại H và K cắt nhau tại L. Chứng minh rằng:
a) LA , BC và W đồng quy.
b) LC, A B và W đồng quy.

2.19 Bài toán HHSC 19.
Trong mặt phẳng cho parabol (S) và tam giác A BC có các đờng thẳng A B, BC,
CA tiÕp xóc víi (S). Gäi P vµ Q lµ các tiếp điểm tơng ứng của A B và A C víi
parabol, d lµ tiÕp tun cđa parabol song song víi PQ. Chøng minh r»ng d ®i
qua trung ®iĨm cđa đoạn thẳng BC.
Bài toán HHXA 19. Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 (R) cho ôvan (SP ) tiếp
xúc với đờng thẳng W cho trớc và hình ba điểm A BC có các cạnh A B, BC,
CA tiếp xúc với (SP ). Gọi P, Q là hai tiếp điểm tơng ứng cđa A B vµ A C víi
(SP ). d lµ tiÕp tun cđa (SP ) ®i qua giao ®iĨm D của PQ và W. Chứng minh
rằng d đi qua điểm I cña BC sao cho [B, C, I, BC ∩ W ] = -1.
18

2.20 Bài toán HHSC 20.
Trong mặt phẳng cho đờng tròn (S) đờng kính A B và tiếp tuyến d của (S) tại A .
C là một điểm nằm trên đờng thẳng A B không trùng với A , B. Một đờng thẳng
biến thiên đi qua C cắt (S) tại hai điểm N và N. Đặt M = dBN, M = dBN .
Gọi T và T là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến ( không trùng với d) kẻ từ M và
M tới đờng tròn (S). Chứng minh rằng:
a) Các điểm D = MT MT nằm trên một đờng thẳng cố định.
b) Các đờng thẳng TT đi qua một điểm cố định.
Bài toán HHXA 20. Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 (R) ( có bổ sung phần tử
ảo ) cho một đờng ôvan (SP ) cắt với đờng thẳng W cho trớc tại hai điểm ảo
liên hợp I và Jvà một đờng thẳng đi qua cực O của W cắt (SP ) tại hai điểm
phân biệt A và B. C là một điểm nằm trên không trùng với A và B và C/
W.
Một đờng thẳng biến thiên đi qua C cắt (SP ) tại hai điểm N và N. Gọi d là
tiếp tuyến của (SP ) tại A . Đặt M = d BN, M = d BN . Gọi T và T là
các tiếp ®iĨm cđa hai tiÕp tun ( kh«ng trïng víi d) kẻ từ M và M tới (SP ).
Chứng minh rằng:
a) Các điểm D = MT MT nằm trên một đờng thẳng cố định.
b) Các đờng thẳng TT đi qua một điểm cố định.

2.21 Bài toán HHSC 21.
Trong mặt phẳng cho tam giác A BC có A , B cố định còn C biến thiên trên một
đờng thẳng d không đi qua A , B. Tìm quỹ tích trực tâm tam giác A BC.
Bài toán HHXA 21. Trong mặt phẳng xạ ¶nh P2 (R) ( cã bỉ sung phÇn tư ¶o)
cho một đờng thẳng cố định W và hai điểm ảo liên hợp I, J nằm trên W. Cho hệ
ba điểm ®éc lËp A , B, C kh«ng thuéc W, trong đó A , B cố định còn C biến thiên
trên một đờng thẳng d không đi qua A và B. §Ỉt M = AC ∩ W, N = BC ∩ W .
Tìm quỹ tích các điểm H sao cho [N, N’, I, J] = -1 vµ [M, M’, I, J] = -1, trong
®ã
N = AH ∩ W, M = BH ∩ W.

19


2.22 Bài toán HHSC 22.
Chứng minh rằng một hypebol ngoại tiếp một tam giác A BC là một hypebol
vuông khi và chỉ khi trực tâm của tam giác đó thuộc hypebol.
Bài toán HHXA 22. Trong mặt phẳng xạ ảnh P2 (R) ( có bổ sung phần tử
ảo ) cho một đờng thẳng cố định W và hai điểm ảo liên hợp I và J nằm trên W.
Một đờng ôvan (SP ) cắt W tại hai điểm phân biệt P , Q và ngoại tiếp một hình
ba điểm A , B, C ( A , B, C kh«ng thuéc W ). Gọi M, N là hai điểm nằm trên W
sao cho [M, BC ∩ W , I, J] = -1 vµ [N,AC ∩ W , I, J] = -1 vµ H = AM ∩ BN .
Chøng minh r»ng [ P, Q, I, J] = -1 khi vµ chØ khi H thuéc (SP ).

2.23 Bài toán HHSC 23.
Chứng minh rằng nếu từ một điểm M trên đờng chuẩn d ứng với tiêu ®iĨm F
cđa mét ®−êng c«nic (SE ) ta dùng mét tiÕp tun MT cđa (SE ) ( T lµ tiÕp điểm)
thì F nhìn đoạn thẳng MT dới một góc vuông.
Bài toán HHXA 23. Trong mặt phẳng P2 (R) ( có bổ sung phần tử ảo) cho
một đờng thẳng W và hai điểm ảo liên hợp I, J nằm trên W và một đờng ôvan
(SP ). Gọi F là giao điểm của hai tiếp tuyến ảo liên hợp của (SP ) kẻ từ I và J
và d là đờng đối cực cđa F. Chøng minh r»ng nÕu tõ mét ®iĨm M trên d ta kẻ
một tiếp tuyến MT của (SP ) ( T là tiếp điểm ) thì hai đờng thẳng FM, FT chia
điều hoà cặp đờng thẳng ( FI, FJ ).

2.24 Bài toán HHSC 24.
Trong mặt phẳng cho tam giác A BC và một parabol biến thiên tiếp xúc với các
đờng thẳng A B, BC, CA theo thứ tự tại các điểm R , P, Q.
a) Chứng minh rằng mỗi đờng thẳng biến thiên R P, PQ, QR đi qua một
điểm cố định.
b) Chứng minh rằng ba đờng thẳng A P, BQ, CR cùng đi qua một điểm

M. Tìm quỹ tích điểm M.
Bài toán HHXA 24. Trong mặt phẳng P2 (R) cho đờng thẳng W cố định
và một ôvan (SP ) biến thiên tiếp xúc với W và các đờng th¼ng A B, BC, CA
20


cđa hƯ ba ®iĨm ®éc lËp A , B, C cố định cho trớc theo thứ tự tại các điểm I, R ,
P, Q.
a) Chứng minh rằng mỗi đờng thẳng biến thiên R P, PQ, QR đi qua một
điểm cố định.
b) Chứng minh rằng ba đờng thẳng A P, BQ, CR cùng đi qua một điểm
M. Tìm quỹ tích điểm M.

2.25 Bài toán HHSC 25.

Trong mặt phẳng cho hai đờng thẳng phân biệt a, b cắt nhau tại O lần lợt đi
qua hai điểm A , B và một đờng thẳng d không trùng với a, b. Một điểm M di
động trên d, các đờng thẳng A M, BM theo thứ tự cắt b, a tại C và D. Tìm quỹ
tích trung điểm H của đoạn thẳng CD.
Bài toán HHXA 25. Trong mặt phẳng P2 (R) cho bốn đờng thẳng tứng
đôi một phân biệt W, a, b, d sao cho a và b cắt nhau tại O và lần lợt ®i qua hai
®iĨm A vµ B ( O, A , B đều không thuộc W ). Một điểm M biến thiên trên d, các
đờng thẳng A M, BM theo thứ tự cắt b, a tại C và D. Tìm quỹ tích các điểm H
sao cho [C, D, H, CD W ] = 1.

2.26 Bài toán HHSC 26.

Chứng minh rằng quỹ tích các chân đờng vuông góc hạ từ tiêu ®iĨm cđa mét
parabol ®Õn mét tiÕp tun thay ®ỉi cđa parabol là tiếp tuyến tại đỉnh của parabol.
Bài toán HHXA 26. Trong mặt phẳng P2 (R) ( có bổ sung phần tử ảo ) cho

một ôvan (SP ) tiếp xúc với một đờng thẳng cố định W tại một điểm A . Trên
W lấy hai điểm ảo liên hợp I và J. Hai tiếp tuyến ảo liên hợp kẻ từ I và J cắt
nhau tại F. Gọi O là giao ®iĨm thø hai cđa FA víi (SP ) vµ a là tiếp tuyến của
(SP ) tại O. Một tiếp tuyến t thay đổi của (SP ) cắt W tại M. Chứng minh rằng
quỹ tích các điểm H trên t sao cho [FH, FM, FI, FJ] = -1 là đờng thẳng a.
21


2.27 Bài toán HHSC 27.
Trong mặt phẳng cho tam giác A BC, đờng thẳng d và một điểm O thuộc d.
Dựng các đờng thẳng đối xứng với các đờng thẳng OA , OB, OC qua d. Các
đờng thẳng này cắt BC, CA , A B theo thø tù t¹i P, Q, R . Chứng minh rằng P, Q,
R thẳng hàng.
Bài toán HHXA 27. Trong mặt phẳng P2 (R) ( có bổ sung phần tử ảo)
cho một đờng thẳng W và hai điểm ảo liên hợp I, J nằm trên W. d là một
đờng thẳng đi qua điểm O, O
/ W, và d là đờng thẳng qua O sao cho
[d ∩ W, d ∩ W, I, J] = −1. Ox, Oy, Oz là ba đờng thẳng qua O sao cho
[OA, Ox, d, d ] = [OB, Oy, d, d ] = [OC, Oz, d, d ] = 1.
Các đờng thẳng này lần lợt cắt BC, CA , A B tại P, Q, R . Chøng minh r»ng P,
Q, R th¼ng hàng.

2.28 Bài toán HHSC 28.
Cho hai hypebol vuông cắt nhau tại bốn điểm A , B, C, D.
a) Chứng minh rằng các đờng bậc hai suy biến đi qua A , B, C, D là
những cặp đờng thẳng vuông góc, còn các đờng bậc hai không suy biến đi
qua các điểm ấy là những hypebol vuông hoặc elíp ( khác đờng tròn).
b) Tìm quỹ tích tâm các đờng bậc hai đi qua A , B, C, D.
Bài toán HHXA 28. Trong mặt phẳng P2 (R) ( có bổ sung phần tử ảo) cho
một đờng thẳng W và hai điểm ảo liên hợp I, J nằm trên W và hai đờng «van

(S1 ), (S2 ) ®i qua bèn ®iĨm A , B, C , D cho tr−íc ( A , B, C, D không thuộc đờng
thẳng W ) và lần lợt cắt đờng thẳng W tại các cặp điểm (P1 , Q1 ) và (P2 , Q2 )
sao cho các cặp điểm đó đều chia liên hợp điều hoà cặp điểm (I, J).
a) Chứng minh rằng mỗi đờng bậc hai đi qua A , B, C, D cắt đờng
thẳng W tại hai điểm ( thực hoặc ảo liên hợp) luôn liên hợp điều hoà với hai
điểm I, J.
b) Tìm quỹ tích cực của đờng thẳng W đối với các đờng bậc hai ®i
qua A , B, C, D.
22


2.29 Bài toán HHSC 29.
Chứng minh rằng tiếp tuyến Mt tại điểm M của Elíp ( hay Hypebol) (S) với hai
tiếp điểm F1 và F2 là một đờng phân giác của góc tạo bởi hai tia MF1 và M F2 .
Bài toán HHXA 29. Trong P2 (R) ( có bổ sung phần tử ảo) cho hai điểm
ảo liên hợp I, J và một đờng ôvan (SP ) cắt đờng thẳng W ( qua I và J ) tại
hai điểm phân biệt hay tại hai điểm ảo liên hợp khác với I, J. Các tiếp tuyến của
(SP ) kẻ từ I và J cắt nhau tại hai điểm phân biệt F1 vµ F2 . Mt lµ mét tiÕp tun
cđa (SP ) tại điểm M thuộc (SP ). Chứng minh rằng
[M I, MJ, M F1 , Mt] = [MI, M J, M t, M F2 ].

2.30 Bài toán HHSC 30.
Chứng minh rằng tiếp tuyến Mt tại M của Parabol (S) với tiêu điểm F tạo với
trục của Parabol (S) và bán kính qua tiêu MF những góc bằng nhau.
Bài toán HHXA 30. Trong P2 (R) ( có bổ sung phần tử ảo) cho hai điểm
ảo liên hợp I, J và một đờng ôvan (SP ) tiếp xúc với đờng thẳng W ( qua I và
J ) tại điểm T. Các tiếp tuyến của (SP ) kẻ từ I và J cắt nhau tại một điểm phân
biệt F. Mt là một tiếp tuyến của (SP ) tại điểm M thuộc (SP ). Chứng minh r»ng
[MI, M J, M T, M t] = [M I, MJ, M t, M F ].

23


24


Chơng 3

Giải các bài toán hay chứng minh các định
lí của hình học sơ cấp bằng hình học xạ
ảnh
V ới các phơng pháp của phần 2, từ bài toán hay định lí của HHSC ta suy
ra một bài toán hay một định lí của HHX A . Giải bài toán hay chứng minh định
lí này bằng những kiến thức của HHX A , rồi dùng mô hình hình học xạ ảnh của
hình học afin hay mô hình xạ ảnh của hình học Ơclít để chuyển kết quả thu
đợc sang hình học sơ cấp .
Để minh hoạ phần này, ta hÃy giải các bài toán và chứng minh các định lí của
HHSC đà nêu trong phần 2.

3.1 Chứng minh định lí HHSC 1.
Nh đà nói ở trên ta đi chứng minh §Þnh lÝ HHXA 1.
Gäi G = BB’∩CC’,
A ” = A R ∩ BC. Ta h·y chøng minh A ”≡ A ’. Theo gi¶ thiÕt ta cã: [A BC’C1 ] =
[A CB’B1 ] suy ra BC, B’C’, B1 C1 ®ång qui tại A1 . X ét hình bốn đỉnh toàn phần
A B’GC’ ta cã [BCA ”A1 ] = -1 ( xem chứng minh định lí HHX A 2 ). Mặt khác
[BCA ’A1 ] = -1, vËy A ’≡A ”. (§PCM).

3.2 Chøng minh định lí HHSC 2.
Nh đà nói ở trên ta đi chứng minh Định lí HHXA 2.
Hình bốn đỉnh toàn phần A BCD có ba điểm chéo O, P và Q. Gäi M =

25