Số phức với phép dời hình trong mặt phẳng

M cl c
Trang bìa ph ............................................................................................ 1
B n cam đoan ............................................................................................ 2
L i c m n ................................................................................................ 3
M đ u ...................................................................................................... 4
Ch

ng 1. Dùng s ph c nghiên c u phép d i hình .............................. 5
1.1. M t ph ng ph c ........................................................................... 5
1.2. Phép d i hình lo i 1 ..................................................................... 7
1.3. Phép d i hình lo i 2 ..................................................................... 18
1.4. Phép d i hình ............................................................................... 25
1.5. M t s bài toán hình h c ph ng .................................................. 27

Ch

ng 2. Gi i bƠi toán b ng cách dùng phép d i hình ....................... 36
2.1. Bài toán ch ng minh .................................................................... 36
2.2. Bài toán qu tích .......................................................................... 41
2.3. Bài toán d ng hình ....................................................................... 45
2.4. M t s bài toán b i d

ng h c sinh gi i qu c gia và qu c t .... 48

K t lu n ..................................................................................................... 55
TƠi li u tham kh o ................................................................................... 56

1


L i cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên c u c a riêng tôi và đ
h

ng d n c a TS. Nguy n V n

cs

oành. Các n i dung nghiên c u, k t qu

trong đ tài này là trung th c và ch a công b d

i b t k hình th c nào tr

c

đây. Nh ng s li u trong các b ng bi u ph c v cho vi c phân tích, nh n xét,
đánh giá đ

c chính tác gi thu th p t các ngu n khác nhau có ghi rõ trong

ph n tài li u tham kh o.
Hà N i, ngày 02 tháng 5 n m 2016
Tác gi

u Th Di u

2

Thang Long University Libraty

L ic m n
Lu n v n đ
- Hà N i d

c th c hi n và hoàn thành t i tr

i s h

ng

ng d n c a TS.Nguy n V n

oành,

Long. Tôi xin bày t lòng bi t n chân thành đ n th y h
đ a ra đ tài và t n tình h

i h c Th ng Long
i h c Th ng

ng d n, ng

i đã

ng d n trong su t quá trình nghiên c u giúp tôi

hoàn thành lu n v n.
Tôi c ng xin bày t lòng c m n sâu s c t i các th y cô giáo c a tr
i h c Th ng Long, nh ng ng

viên tôi v

i đã t n tình gi ng d y và khích l , đ ng

t qua nh ng khó kh n trong h c t p.

c m n Ban lãnh đ o tr

ng

ng

c bi t, tôi xin chân thành

i h c Th ng Long đã cho chúng tôi đ

c l nh

h i ki n th c tr c ti p t các th y giáo đ u ngành trong l nh v c toán s c p
Vi t Nam hi n nay.
Cu i cùng, tôi xin c m n gia đình và các b n trong l p Cao h c Toán
K3 đã đ ng viên giúp đ tôi trong quá trình h c t p và làm lu n v n.

3


M đ u
S ph c ra đ i do yêu c u c a vi c m r ng t p h p s th c khi gi i ph ng
trình, nh ng l i tìm th y nh ng ng d ng r ng rãi trong hình h c, c h c, v t
lý và các ngành k thu t khác. i v i h c sinh b c THPT thì s ph c là n i

dung còn m i m , v i th i l ng không nhi u, h c sinh m i hi u đ c nh ng
ki n th c r t c b n c a s ph c, vi c khai thác các ng d ng c a s ph c còn
h n ch .
Trong hình h c có th s d ng s ph c đ bi u di n các đ i t ng và
các tính ch t hình h c, t đó dùng s ph c đ gi i toán hình h c. Trên c s
khai thác vi c bi u di n b ng s ph c các đi m, vec t ta s l p các ph ng
trình d ng ph c c a đ ng th ng, đ ng tròn, các tính ch t th ng hàng c a ba
đi m, tính ch t song song, vuông góc c a hai đ ng th ng ... và các bi u th c
d ng ph c c a các phép bi n hình, d i hình. Xu t phát t quan đi m xem s
ph c là công c nghiên c u các đ i t ng, tính ch t hình h c và c th h n là
nghiên c u các phép d i hình tôi ch n nghiên c u đ tài "S ph c v i các
phép d i hình trong m t ph ng”.
M c đích chính c a lu n v n là h th ng các ki n th c c b n v s
ph c. T ng h p, phân tích các ki n th c giúp h c sinh th y đ c ý ngh a
quan tr ng c a s ph c trong Toán h c nói chung và trong gi i toán Hình h c
ph ng nói riêng. T đó rèn luy n k n ng, b i d ng n ng l c ng d ng s
ph c vào gi i toán hình h c.
N i dung c a lu n v n bao g m 2 ch ng:
Ch ng 1. Dùng s ph c nghiên c u phép d i hình
Ch ng 2. Gi i bài toán b ng cách dùng phép d i hình.
Do s hi u bi t c a b n thân và khuôn kh c a lu n v n th c s , nên
ch c r ng trong quá trình nghiên c u không tránh kh i nh ng thi u sót, tôi r t
mong đ c s đóng góp ý ki n c a các Th y Cô và đ c gi quan tâm đ n lu n
v n này.

4

Thang Long University Libraty

CH

NG I. DỐNG S PH C NGHIÊN C U PHÉP D I HÌNH
1.1. M t ph ng ph c
1.1.1. Trong m t ph ng E đã cho m t h t a đ

xoy thì m i đi m M c a E hoàn toàn đ

Khi đó s ph c z  x  yi đ

- các vuông góc

c xác đ nh b i t a đ (x, y) c a nó.

c g i là t a v c a M, vi t M (z) và E đ

cg i

là m t ph ng ph c (ta đã đ ng nh t m i đi m c a E v i m t s ph c).
Khi M có t a đ (x, y) đ i v i h t a đ Oxy thì vect OM c ng có t a
đ (x, y), nên đã nói M có t a v z thì c ng nói vect OM có t a v z và vi t
OM (z).





1
zw  zw đ
2

Cho OM (z), OP (w). S th c

c g i là tích vô h

ng

c a hai s ph c z, w và kí hi u là (z, w), nó chính là OM .OP . S th c

 z, w  

i
( zw  zw) đ
2

c g i là tích l ch c a hai s ph c z, w.

Ta có: (z, w) = z w cos(   ) ,   arg z,  arg w

 z,w   z w sin(   )
T đó nêu M, P khác g c O thì:

OM  OP  ( z, w) = 0

O, M , P th ng hàng   z,w   0
1.1.2. M i đ

ng th ng trong m t ph ng ph c đ

ph

ng trình z   z   ,   1,     0 .

ph

ng u (u ) mà

u


ng th ng này có vecto ch

  và đi qua đi m M0 (z0) z0 



u

vuông góc c a g c O lên đ
Ph

ng trình đ

ng th ng.

ng th ng có th vi t d
5

c xác đ nh b i

i d ng:

2

và M0 là hình chi u


 z   z    0,     0,  
Cho đ

ng th ng d có ph

ng trình: z   z   ho c

 z   z    0 và đi m M (z0).
Khi đó M' (z'0) là đi m đ i x ng v i M qua d thì z0'   z0   n u d có
ph

ng trình: z   z   còn  z0'   z0    0 n u d có ph

ng trình

z   z   0
i m P(w) là hình chi u vuông góc c a M lên d l n l

w=

1
(z   z   )
2

w=

1
( z   z   )
2

1.1.3. M t đ
ph

t là:

ng tròn trong m t ph ng ph c hoàn toàn xác đ nh b i

ng trình zz  (  z   z)  p  0,   , p  ,    p  0 .
ó là đ

ng tròn có tâm t i I     và bán kính R     p

1.1.4. Phép bi n trên hình f: E  E, z  f (z) mà f ( z)   z   z  

 ,  ,   C,    đ

c g i là phép bi n đ i afin.

Ta có m i song ánh f: E  E b o t n tính ch t th ng hàng c a các đi m
là m t bi n đ i afin.
Bi n đ i afin f ( z)   z   z   b o toàn h

   và đ o h

ng khi và ch khi

ng khi và ch khi    .

6

Thang Long University Libraty


1.2. Phép d i hình lo i 1
1.2.1. Phép t nh ti n
1.2.1.1.

nh ngh a 1.2.1

Trong m t ph ng P cho vỨc t
thành đi m M’ sao cho MM ' = v đ

v , phỨp bi n hình bi n m t đi m M

c g i là phỨp t nh ti n theo vỨc t v và
y

ký hi u là Tv .
Véc t v g i là véc t t nh ti n.

v
M'

Ta có Tv (M) = M’ hay Tv : M  M’.

M

* Cho véc t v có t a v là 
Gi s Tv : M (z)  M’ (z’)

O

Hình 1.2.1

 MM ' = v ta có OM ' = OM + MM ' = OM + v
 z’ = z + 
V y bi u th c t a v c a phép t nh ti n Tv là z’ = z +  (  là t a v
c a véc t t nh ti n v ).
1.2.1.2. Tính ch t
a. Phép t nh ti n b o t n kho ng cách gi a hai đi m b t k .
b. Phép t nh ti n bi n ba đi m th ng hàng thành ba đi m th ng hàng và
không làm thay đ i th t c a ba đi m th ng hàng đó.
c. Phép t nh ti n:
+ Bi n m t đ

ng th ng thành m t đ

ng th ng.

+ Bi n m t tia thành m t tia.
+ Bi n m t đo n th ng thành m t đo n th ng có đ dài b ng nó.
+ Bi n m t góc thành m t góc có s đo b ng nó.
+ Bi n m t tam giác thành m t tam giác b ng nó.

+ Bi n m t đ

ng tròn thành m t đ
7

ng tròn b ng nó.

x


1.2.1.3. Ch ng minh m t s tính ch t
Cho Tv là m t phép t nh ti n có bi u th c t a v là z’ = z + 
(  là t a v c a véc t t nh ti n v )
* Tv bi n m t đ
- Tr

ng th ng thành m t đ

ng h p đ

ng th ng.

ng th ng  có ph

ng trình là:

z =  z +  (   1,  +   0)

Tv có bi u th c t a v z’ = z +   z = z’ - 
Khi đó nh c a đ

ng th ng  qua Tv
z’ -  =  ( z '  ) + 

 z’ -  =  z ' -   ' + 
 z’ =  z ' +  +  -  
t  =  ’,  +  -   =  ’. Khi đó ta có: z’ =  ' z ' +  ’
Vì  '    1,  ' ' +  ’=  (  +  -   ) +  +  -  
=  +   -  +  +  -  =  +

=0
Nên z’ =  ' z ' +  ’ là ph

ng trình c a m t đ

V y phép t nh ti n Tv bi n đ
ph

ng th ng

ng th ng  thành đ

ng th ng  ' có

ng trình là z’ =  ' z ' +  ’ (v i  ’=  ,  ’=  +  -   ) và  ' song

song  .
- Khi đ
(t c  là đ

ng th ng  có ph

ng trình là z =  z +  (trong đó  


)


ng th ng song song v i véc t t nh ti n v ) thì

V i  ’=  



,  ’=  +  -   =  +  -   


8

Thang Long University Libraty


Khi đó  ' có ph
V y Tv bi n đ
đ

ng trình là z’ =  ' z ' +  . Suy ra    ' .
ng th ng song song v i véc t t nh ti n v thành chính

ng th ng đó.

* Tv bi n m t đ
Cho đ

ng tròn thành m t đ

ng tròn (C1) có ph

ng tròn b ng nó.

ng trình là

z z’ +  1 z + 1 z + p1 = 0 ( p1  )
(C1) có tâm có t a v là z0 = - 1 , bán kính R1  1  1  p1
nh c a đ

ng tròn (C1) qua Tv

(z’ -  ) ( z '  ) +  1 ( z’ -  ) +  1 ( z '  ) + p1 = 0

 z’ z ’ - z’  -  z ’ +   +  1 z’ -  1  + 1 z ’ - 1  + p1 = 0
 z’ z ’ + z’ (  1 -  ) + z ’( 1 -  ) +   - 1  - 1  + p1=0
t 1 -  =  2 ,   -  1  - 1  + p1 = p2
Khi đó ta có ph

ng trình

y

z’ z ’ + z’  2 + z ’  2 + p2 = 0

v
C1
O

C2

p2 =   -  1  - 1  + p1 

Hình 1.2.1.3

x

( vì   ,  1  , 1  , p1  ).

 2  2 - p2 = ( 1 -  ) (  1 -  ) -   +  1  + 1  - p1
= 1  1 - p1 > 0
Nên z’ z ’ + z’  2 + z ’  2 + p2 = 0 là ph

9

ng trình c a m t đ

ng tròn.


V y phép t nh ti n Tv bi n đ
ph

ng tròn (C1) thành đ

ng tròn (C2) có

ng trình là z’ z ’ + z’  2 + z ’  2 + p2 = 0 (  2 = 1 -  , p2=   -  1  -

1  + p1) và đ

ng tròn (C1) b ng đ

ng tròn (C2) (vì R2 =

 2  2  p2 =

1  1  p1 = R1).
nh lý: Tích c a hai phép t nh ti n lƠ phép t nh ti n

1.2.1.4.






T v .T w  T v  w




 

Ch ng minh:

Gi s T : z  z  1 , Tw : z  z  2
v

Khi đó: Tv.T : z  ( z  2 )  1
w





V y T .T là phép t nh ti n theo véc t có t a v  2  1 t c là véc t v  w
v

w

1.2.2. Phép quay
1.2.2.1.

nh ngh a 1.2.2

Trong m t ph ng P đã đ
m t góc đ nh h

c đ nh h

ng. Cho m t đi m A c đ nh và

ng  sai khác 2k  . M t phỨp quay tâm A v i góc quay 

là m t phỨp bi n hình bi n đi m A thành chính nó và bi n đi m M thành đi m

M’ sao cho AM = AM’ và ( AM , AM ')  
Ta ký hi u ( AM , AM ') là góc đ nh h

ng mà tia đ u là AM, tia cu i

là AM’.
Ký hi u phép quay tâm A góc quay  là QA
Ta có QA : M  M’ hay QA (M)=M’
Cho A là đi m có t a v là a, gi s QA : M(z)  M’(z’)
 AM  AM '
Khi đó ta có: 
( AM , AM ')  

10

Thang Long University Libraty


AM có t a v là z – a, AM ' có t a v là z’ – a.
Gi s
+)

z  a  z  a (cos  i sin ), z' - a= z ' a (cos ' i sin')

 AM  AM '
th a mãn 
ta ph i có:
(
AM
,

AM
')




 z  a  z ' a

 '     k2   '= +  k2

Ta có:
z ' a  z  a (cos(    k2 )  isin( + +k2 ))
= z  a (cos( + )+ isin(   ))
= z  a (cos + isin ) (cos +isin )

 z ' a  ( z  a )(cos + isin )
t cos + isin   p  p là s ph c có p  1 và argp=
Khi đó z’ – a = p(z – a)  z’ = p(z – a) + a
V y bi u th c t a v c a phép quay QA (A có t a v là a) là

z '  p( z  a )  a ( p  1 và argp =  ). N u A là g c O thì bi u th c
t a v c a phép quay là z'  pz .
Tr

ng h p phép quay tâm A có góc quay  =180o

Khi đó Q180
(A có t a v là a) có bi u th c t a v là
A
0

z '  (cos 1800  isin1800 )(z-a)+a = - (z - a)+a = - z + 2a
1.2.2.2. Tính ch t
a) Phép quay b o t n kho ng cách gi a hai đi m b t k
b) Phép quay bi n ba đi m th ng hàng thành ba đi m th ng hàng và
không làm thay đ i th t c a chúng
c) Phép quay QA
11


+ Bi n đ

ng th ng  ’ và (  ,  ’)= 

ng th ng  thành đ

+ Bi n m t tia thành m t tia
+ Bi n m t đo n th ng thành m t đo n th ng có đ dài b ng nó
+ Bi n m t góc thành m t góc có s đo b ng nó
+ Bi n m t tam giác thành tam giác b ng nó
+ Bi n m t đ

ng tròn thành m t đ

ng tròn b ng nó

d) Phép quay QA có tâm A là đi m kép duy nh t
1.2.2.3. Ch ng minh m t s tính ch t
Cho phép quay QA có bi u th c t a v là

z' = p (z-a) + a (a là t a v c a A, argp =  , p  1)
* QA bi n m t đ
+ Cho đ

ng th ng thành m t đ
ng th ng  có ph

ng th ng

ng trình là

z  a z   (   1,     0)

Do QA có bi u th c t a v là z '  p ( z  a )  a  z 
Khi đó nh c a đ

ng th ng  qua QA là đ

 z ' a 
z ' a
 a  
 a
p
p



z ' a
a
p

ng  ’ có ph

ng trình là

y
M'

 z ' a 
z ' a

 a  
 a
p
 p


N' N



 z ' p  a p  ap p   pz '  pa   p pa   p p

 pz '  p pa   p p   pa  a p  ap p
 z' 

p
p
 z' 

 pz '
p
  pa   p  a  a  ap
p
p

'
M



A
O

Hình 1.2.2.3a

x

12

Thang Long University Libraty


p

t

p

  ',  pa   p 

p
p

a  a  ap   '

Khi đó ta có: z '   ' z '  '

' 

p
p



 ' '  ' 

 p
p

 1 (vì   1, p  p ).

p

  . pa   p 
p 


p
a  a  ap

 a  a . p    pa   p 
p
p


 . pa

 p(   )  0 (vì     0)

Suy ra z '   ' z '  ' là ph
V y QA bi n đ
z '   ' z '  ' (v i  ' 

* QA bi n m t đ
Cho đ

ng trình c a m t đ

ng th ng  thành đ

p
p

,  '= p a   p 

ng tròn thành m t đ

ng tròn C1 có ph

ng th ng.

ng th ng  ’ có ph

 pa
p

ng trình là

 a  ap) .

ng tròn b ng nó

ng trình là zz  z1  z1  p1  0 (p1  )

Khi đó nh c a C1 qua QA là đ

ng C1’ có ph

ng trình là

y

C1

A

O

13


C1'
Hình 1.2.2.3b

x


 z'-a 
 z'-a   z'-a   z'-a 
+a
+a
+
+a
+


 p
 p
 p
 1  p +a  1 + p1 =0







 z'-a 
 z'-a   z'-a 
 z'-a   z'-a 

 z'-a 
+ a


+ a
 + aa + 
 1 +a 1 +p1 =0
1+ a 1+



p
p
p
p
p
p



 






 z'z' - z'a- az'+ aa+
+

z' 1 a 1
+a
p
p

1

z' a
az' aa az' a a
- +
- + aa + 1 - 1 + a
p
p
p p
p p

1

+ p1 = 0 (vì pp=1)

a

a

 z ' z '  z'  + 1 -a  + z'  + 1 - a  + 2aa + a 1 + a 1 p
p

p p 
a
aa aa a 1

t + 1 - a = 1' , 2aa + a 1 + a 1 p p
p
p
p

aa aa a 1 a 1
+ p1 =0
p p
p
p
-

a 1
+ p1 = p1'
p

Khi đó ta có:

z'z'+z' 1'+z' 1'+p1' = 0 b 2  4ac
p1 '  2aa  a 1  a 1 
(vì 2a a , a  1  a 1 ,

aa aa a  1 a 1



 p1 
p
p
p

p

aa aa a 1 a 1
,
, p1  )


p
p
p
p


a
 a
aa aa a
a
' 1 -p1'=  + 1 -a   + 1 -a  -2aa-a 1 -a 1 + + + 1 + 1 -p
p p
p
p
 p p  p p 

1

=

1 1

-p1 >0

T đó suy ra z'z'+z' 1'+z' 1'+p1' = 0 là ph
V y QA bi n đ

ng tròn C1 thành đ

ng trình c a m t đ

ng tròn C1’ có ph

ng tròn.

ng trình là:

z ' z '  1 z ' 1 ' z ' p1 '  0

(v i 1 ' 

a 1
aa aa a  1 a 1
  a , p1 '  2aa  a  1  a 1 



 p1 )
p
p
p p
p
p

14

Thang Long University Libraty


C1’ có tâm có t a đ v là z '0  1 '  
R1 '  1 '  1 ' p1 '  1  1 ' p1  R1  đ

a 1
  a , có bán kính
p p

ng tròn C1 b ng đ

ng tròn C1’

* PhỨp quay QA có A là đi m kỨp duy nh t
Gi s QA : A(a)  A’(a’)

 a '  p(a  a )  a  p.0  a  a  A  A'
V y A là đi m kép duy nh t
1.2.2.4.

nh lý 1: Tích c a phép t nh ti n và phép quay là 1 phép quay

Cho Tv : z  z '  z   , v(  )  0
Và Q( J , ) : z  z '   Z  (1   ) z0 ,   1,  1 ,   ei .
 Q( J , ) .Tv : z  z '   ( z   )  (1   ) z0 =  z    (1   ) z0
V y Q( J , ) .Tv là m t phép quay v i tâm quay J 1 ( z1 )

Trong đó: z1  z0 


 và cùng góc quay 
1

 Tv.Q( J , ) : z  z '   z  (1   ) z0   là phép quay v i cùng góc quay

 và tâm quay J2 (z2) trong đó: z2  z0 
*

1
 , ta có: Q( J , ) .Tv  Tv.Q( J , )
1

nh lý 2: Tích c a 2 phép quay khác tâm là phép quay ho c t nh ti n

Cho Q( J , ) xác đ nh b i z ' z1  1 ( z  z1 ), J 1 ( z1 );1  arg 1 , 1 1
1

Q( J

2 ,2 )

1

xác đ nh b i z ' z2   2 ( z  z2 ), J 2 ( z2 ),2  arg  2 ,  2 1

Khi đó Q( J

2 ,2

).Q( J , ) xác đ nh b i:
1

1

z  z '   2 ( z1  1 ( z  z1 )  z2 )  z2

=  21 z   2 (1  1 ) z1  (1   2 ) z2
V y ta có:
15


N u 1 2  1 (khi và ch khi 1  2  2k ) thì tích đó là phép t nh ti n
v i vect t nh ti n có t a v (1   2 )( z2  z1 ) .
N u  21  1 thì tích đó là phép quay v i góc quay   1  2 và tâm
quay J 0 ( z0 ) trong đó:

z0 

 2 (1  1 ) z1  (1   2 ) z2
1   21

T đó suy ra:

z0  z1 1   2

z2  z1 1   21

Và góc đ nh h



1
2

ng c a các đ

đo

z0  z2  2 (1  1 )

z1  z2 1   21

Suy ra góc đ nh h

2

ng th ng ( J 1 J 2 , J 1 J 0 ) có s

 k , ( k )
Còn t

2

Hình 1.2.2.4

ng c a các đ

ng th ng ( J 1 J 2 , J 1 J 0 ) có s đo

 k , ( k )
1.2.3. Phép d i hình lo i 1.
1.2.3.1.

nh ngh a.

- Bi n đ i c a m t ph ng ph c xác đ nh b i z

z '  z   là phép t nh

ti n Tv theo vect v có t a v  .
- Bi n đ i xác đ nh b i z

z '   z,   1,   1 là phép quay tâm O

(g c t a đ ) v i góc quay có s đo   arg  mà ta ký hi u là QO , .
- Ta xét các phép bi n đ i f c a m t ph ng ph c xác đ nh b i

z

z'   z   ,   1
+ Khi   1, f là 1 phép t nh ti n

16

Thang Long University Libraty

+ Khi   1, f có 1 đi m b t đ ng J (t c đi m J mà f(J) = J) duy nh t có
to v z0 xác đ nh b i z0   z0   t c z0 


và khi đó công th c
1

z '   z   có th vi t thành z ' z0   ( z  z0 ) t c là f là phép quay tâm
J( z0 ), góc quay có s đo   arg  .

z '   z   ,   1 xác đ nh m i phép t nh ti n

Do đó công th c z
và

m i

z

z '   z   ,   1 là các bi n đ i b o t n h
-

phép

quay

trong

m t

ph ng.

Nh ng

bi n

đ i

afin

ng, b o t n kho ng cách.

nh ngh a: Bi n đ i z '   z   ,   1 đ

c g i là phép d i hình

lo i 1 c a m t ph ng.
1.2.3.2. Các tính ch t c a phép d i hình lo i 1
T p h p các phép d i hình lo i 1 c a m t ph ng làm thành 1 nhóm (đ i
v i phép toán h p thành các ánh x ) g i là nhóm d i hình lo i 1.
- Bi n đ i đ ng nh t c a m t ph ng, kí hi u Id, xác đ nh b i z

z'  z

là m t d i hình lo i 1.
- f là d i hình lo i 1 thì f 1 (bi n đ i ng

c) c ng là d i hình lo i 1,

d dàng th y Tv   T v ;(QJ , ) 1  QJ , . N u f, g là d i hình lo i 1 thì tích g0f

1

là d i hình lo i 1.
Th t v y:
f xác đ nh b i z

z '  1 z  1; 1  1

g xác đ nh b i z

z ''  2 z ' 2 ; 2  1

thì g0f xác đ nh b i z

z ''   2 (1 z  1 )   2

=  21 z  ( 2 1   2 )
mà rõ ràng 21  2 . 1  1 .

17


1.3. Phép d i hình lo i 2.
1.3.1. Phép đ i x ng tr c
nh ngh a 1.3.1

1.3.1.1.

Trong m t ph ng P cho m t đ

ng th ng d c đ nh, phỨp bi n hình

bi n đi m M thành đi m M’ sao cho đo n th ng MM’ nh n đ
làm đ

ng trung tr c đ

c g i là phỨp đ i x ng tr c d.

ng th ng d

d

ng th ng d g i là tr c đ i x ng.
Ký hi u phép đ i x ng tr c d là
Ta có
Cho đ

z
(d là đ

d(M)

= M’ hay

d:

ng th ng d có ph

d.

M  M’
ng trình là:

M

M'

I

Hình 1.3.1

u
z   ( _     0, u  0 ).
u
u
u
_

ng th ng có véct ch ph
Gi s

d:

ng là véc t u có t a v là u).

M(z)  M’(z’)

Suy ra MM’  d và d đi qua trung đi m I c a MM’, I có t a v là
z1 =

z  z'
véc t MM ' có t a v là z’ – z.
2
 z ' z, u  0

MM’  d và d đi qua I thì ta ph i có:  z  z ' u  z  z ' 
 2  u 2 





( z ' z)u  ( z ' z)u  0


( z  z ')u  uz  uz ' 2 u  0

C ng hai ph

 z' 

ng trình trên v v i v ta đ

c: 2z’ u - 2u z - 2  u =0

u
u
z   (     0, u  0)
u

u

18

Thang Long University Libraty


N uđ t
Khi đó

u
  (   1)  z '   z  
u
d

là phép đ i x ng tr c có bi u th c t a v là





z '   z     1,     0 .

1.3.1.2. Tính ch t
a) Phép đ i x ng tr c b o t n kho ng cách gi a hai đi m b t k .
b) Phép đ i x ng tr c bi n ba đi m th ng hàng thành ba đi m th ng
hàng và không làm thay đ i th t c a chúng.
c) Phép đ i x ng tr c:
+ Bi n m t đ

ng th ng thành m t đ

ng th ng

+ Bi n m t tia thành m t tia
+ Bi n m t đo n th ng thành m t đo n th ng có đ dài b ng nó.
+ Bi n m t tam giác thành m t tam giác b ng nó.
+ Bi n m t góc thành m t góc có s đo b ng nó.
+ Bi n m t đ

ng tròn thành m t đ

ng tròn b ng nó.

d) Phép đ i x ng tr c là phép bi n hình có tính ch t đ i h p.
1.3.1.3. Ch ng minh m t s tính ch t
Cho phép đ i x ng tr c

d

có bi u th c t a v là

z’ =  z  
(d là đ
* PhỨp

d

ng th ng có ph

bi n m t đ

Cho đ

ng tình là z =  z   ,   1,     0 ).

ng th ng thành m t đ

ng th ng  có ph

d

ng th ng

ng trình là

z  1 z  1

Do

   1,     0 

   1, 
1

1

 1  0

có bi u th c t a v là z '   z    z 

Khi đó nh c a đ

ng th ng  qua phép
19

d

là

z ' 






z ' 




 z ' 
 1 
 


z ' 






  1



y
d

1 z ' 1
 1


  z '   1 z ' 1  1



 1 z '   z ' 1    1 (vì   1)




 z' 
 1
z '  
1
1 1
t

'
O
x
Hình 1.3.1.3a




  ',   1  '
1
1 1

Khi đó ta có: z '   ' z '  '

' 

 ' '  ' 


1



 1,
1 1  1.1

   
 


1 




 1   1  1    1 1 1   0
 
 
1 
 1  1 
 1 1
1
 1 

( vì 1    1,11  1  0) .
Nên z '   ' z '  ' là ph
V y

d

ng trình c a m t đ

ng th ng  thành đ

bi n đ

ng th ng.

ng th ng  ’ có ph

ng trình là




 
 1 .
z '   ' z '  '   ' 
;  '= 1
1 1 


*

d

bi n m t đ

ng tròn thành đ

ng tròn b ng nó

ng trình là zz   z   z  p  0 (p  ).

Cho đ

ng tròn  có ph

 là đ

ng tròn có tâm có t a v zo = -  , có bán kính R=    p
20

Thang Long University Libraty


y



d

'
x
O
Hình 1.3.1.3b

nh cu đ
 z ' 

 
(

  z ' 
 
 

z ' 

)(

ng tròn  qua

d

là đ


 z ' 
( z '  )



 




z ' 

)

( z '  )



ng  ' có ph

ng trình là


 p0



( z '  )

 p0




z ' z '  z '  z '    z '    z ' 


 p  0 (vì   1)


 z ' z ' z '(   )  z '(    )          p  0


t       ',       p  p '
Khi đó ta có ph

ng trình: z ' z ' z '  ' z '  ' p '  0

p '          p 

(vì p,  ,     )

 ' ' p '  (    )(   )          p
=   p 0
Suy ra z ' z ' z '  ' z '  ' p '  0 là ph
V y

d

bi n đ

ng tròn  thành đ

ng trình c a m t đ

ng tròn  ' có ph

ng tròn.

ng trình là

z ' z ' z '  ' z '  ' p '  0 (v i  '      , p '         p )

21


ng tròn có tâm có t a v là z’0= -  '      , có bán kính

 ' là đ

R '   '  ' p '     p  R  đ

*

d

ng tròn C b ng đ

ng tròn C ’

có tính ch t đ i h p
Gi s

d:

M(z)  M’(z’)

M’(z’)  M’’(z’’)

 z'   z  
z ''   z '    ( z   )     z    
= z+    z (vì   1,    0)
T z’’ = z  M ''  M . V y

d

có tính ch t đ i h p

1.3.1.4. Tích c a 2 đ i x ng tr c.
1 :

z  z '  1 z  1 , 1  1,1 1   2  0

2 :

z  z '   2 z   2 ,  2  1, 2  2   2  0

Tích

2

.

1

đ

c xác đ nh b i:

z  z '   2 (1 z   1 )   2   1 2 z   2  1   2

a) Khi 1 2  1 t c là 1   2 (nh v y 1 và  2 song song ho c trung
nhau) thì

2

.

1

các đi m có t a v

= Tv , v có t a v  2  1   2  1 1   2  1   2 . Ta đã bi t

1  2

; l nl
2 2

2.

t là hình chi u vuông góc c a góc O lên 1 và
y
1

1

H1

2
2

O
H2

2
2

x
Hình 1.3.1.4

22

Thang Long University Libraty


V y v  2 H1.H 2 (v hình h c r t hi n nhiên), H 1 là đi m tùy ý thu c
1 , H 2 là hình chi u vuông góc c a H 1 lên  2

b. Khi  1 2  1 ; 1 2  1 thì

2

.

1

là m t phép quay tâm J (đi m

b t đ ng duy nh t c a tích): J  1   2 và quay góc quay có s

  arg(1 2 ) là hai l n s đo góc đ nh h

ng (1, 2) gi a hai đ

đo

ng th ng

1 và 2.
H qu : M i phép t nh ti n và m i phép quay cho tr
Tv 

.

2

1

Q( J , ) 

1.3.2.
Ta có



2

xác

1.

i x ng tr

t

. Tv  Tv .



Th t v y: Gi s
Tv

.



đ nh

c luôn có th vi t

khi và ch khi v có ph

u
z '  z   ,  u,  0 ;
u

xác đ nh b i z

b i

ng 

z  z'  z  v

thì

Tv .



xác

đ nh

b i:

u
z  z '  .z    v
u


u
u
u
. Tv xác đ nh b i z  z '  ( z  v)    z  v
u
u
u

V y Tv .



=



. Tv khi và ch khi

u 
.v  v

u

hay uv  uv  0 hay u, v  0 . Do đó u, v cùng ph
ph

ng t c là v có

ng .


nh ngh a: Tích c a phép đ i x ng tr c
Tv theo vect

v có ph



v i m t phép t nh ti n

ng  g i là m t phép đ i x ng tr

( f  Tv .D  D .Tv ) tr c  v i vect tr

23

t v.

t

 Công th c c a đ i x ng tr

t: z  z ' 

u
z  v
u

 u,  0,u, v  0
Nh v y công th c c a phép đ i x ng tr

t có d ng:

u
z  z '   z   trong đó   ,     v
u

Kí hi u  (  ); ( ); v(v) thì  là thành ph n vuông góc v i  c a 
còn v là thành ph n song song v i  c a  .





v



u

Hình 1.3.2

 Bi n đ i xác đ nh b i z  z '   z   ,   1 là 1 phép đ i x ng
tr

t.
Th t v y, l y u  0 mà

u
  và g i u (u ),  (  ) và g i  ( ) là thành
u

ph n vuông góc v i u c a  và g i v(v) là thành ph n cùng ph
c a  thì công th c trên có th

vi t d

i d ng z  z ' 

ng v i u
u
z    v,
u

(u, )  0, u, v  0 nh v y bi n đ i đó là tích Tv .D  D .Tv ,  là đ
th ng có ph

ng trình Z 

ng

u
z   , (u,  )  0 .
u

24

Thang Long University Libraty


1.3.3. Phép d i hình lo i 2
-

t z'   z   ,   1 đ

nh ngh a: Phép đ i x ng tr

c g i là phép

d i hình lo i 2.
-

i x ng tr

t có đi m b t đ ng khi và ch khi nó là 1 đ i x ng tr c

(và khi đó có vô s đi m b t đ ng làm thành 1 đ
ng th ng đ

-

ng th ng).

c b t bi n qua đ i x ng tr

t f  Tv .



=

.

Tv

(t c f(d) = d). Khi v  0 bu c ph i là  vì n u d song song v i  (không c t
) thì d th y d và f(d) n m trong 2 n a m t ph ng khác nhau b , còn n u d
c t  t i đúng m t đi m thì đi m đó ph i là đi m b t đ ng c a f mà theo tính
ch t trên thì khi v  0 , f không có đi m b t đ ng, còn rõ ràng f() = .
- Tr c  c a phép đ i x ng tr
(M tu ý trong m t ph ng) và là đ

t f đi qua trung đi m m i đo n Mf(M)

ng th ng b t bi n b o t n h

ng duy nh t

c a f.
- Phép đ i x ng tr

t f  Tv .



=

.

Tv có tính ch t đ i h p t c

f 2  f . f  Id (bi n đ i đ ng nh t), khi và ch khi f là đ i x ng tr c vì

f 2  (Tv .

)

.(

.

Tv ) = Tv .Tv  T2 v là Id khi và ch khi v  0 .

1.4. Phép d i hình
1.4.1.

nh ngh a

4.1.1. M t phỨp bi n hình f: E 2  E 2 đ

c g i là phép d i hình n u

trong m t ph ng v i 2 đi m M, N b t k và 2 nh c a chúng l n l

t là

M '  f ( N ), N '  f ( N ) ta luôn có d (M ', N ')  d (M , N) ngh a là bi n đ i c a
m t ph ng b o t n kho ng cách gi a các đi m.
4.1.2.

tr

ng ph thông ta g i bi n đ i c a m t ph ng b o t n

kho ng cách là phép d i hình và ch ng minh r ng m i phép d i hình là tích

25