Định giá quyền chọn trong toán học tài chính

BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đặng Thị Kiêm Hồng

ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN
TRONG TOÁN HỌC TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011


BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đặng Thị Kiêm Hồng

ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN
TRONG TOÁN HỌC TÀI CHÍNH
Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN CHÍ LONG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của luận văn này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo
hướng dẫn TS.Nguyễn Chí Long - người thầy đã tận tình hướng dẫn em trong quá
trình hoàn thành luận văn này. Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô
giáo trong khoa Toán-Tin học, phòng Sau đại học đã giảng dạy và giúp đỡ chúng
em trong suốt quá trình học tập tại trường.
Đồng thời, tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp cao học Giải tích khóa 19,
chuyên ngành Giải tích đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp. Tôi
cũng xin cảm ơn các tác giả đã viết sách giúp tôi có nguồn tài liệu tham khảo quý
giá trong quá trình tìm hiểu về Toán học tài chính.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng 7 năm 2011
Học viên

Đặng Thị Kiêm Hồng


Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Chương 1. Một số kiến thức về giải tích ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2. Các khái niệm hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
6

1.2. Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3. Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ - đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4. Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.5. Mac-tin-gan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.6. Quá trình Wiener (chuyển động Brown) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3. Tích phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Nhắc lại một số kiến thức Giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Một số khái niệm liên quan đến quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Tích phân ngẫu nhiên Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4. Vi phân ngẫu nhiên Itô và Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Vi phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3. Biến phân bậc hai của hai quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4. Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15
15
16

17

26
26
27
28
29

1.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Chương 2. Mô hình tài chính cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.1. Giới thiệu mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2.1. Phương án đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Phương án đầu tư tự điều chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Phương án đầu tư chênh lệch thị giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4. Sản phẩm phái sinh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

34
37
38

2


2.2.5. Nguyên lý đáp ứng và khái niệm thị trường đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.3. Biến đổi độ đo xác suất và định lí Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.3.1. Các độ đo xác suất tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Định lí Girsanov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41
42

2.4. Định lí biểu diễn Mac-tin-gan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.5. Sự đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.6. Công thức Black-Scholes định giá và bảo hộ quyền chọn kiểu Châu Âu

52
2.6.1. Định giá quyền chọn mua và bán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2. Bảo hộ quyền chọn mua và bán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3. Phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54
56
58

2.7. Định lí cơ bản trong toán tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60
62

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

3


LỜI NÓI ĐẦU
Toán học tài chính là lý thuyết toán học của thị trường tài chính, nghiên cứu
các thành phần, đặc điểm, cấu trúc của thị trường tài chính, nhằm xây dựng các mô
hình toán học và ứng dụng chúng vào việc tính toán các sản phẩm tài chính trong

thị trường thực tế. Đây là một lĩnh vực mới, được quan tâm nghiên cứu trong những
năm gần đây ở Việt Nam.
Sự phát triển vượt bậc trong lý thuyết phái sinh tài chính được đánh dấu bởi bài
báo của Black và Scholes năm 1973. Hai ông đã tìm ra công thức nổi tiếng để tính
số tiền mà người mua cần phải trả cho người bán để có được quyền mua hoặc bán
một loại cổ phiếu tại một thời điểm ở tương lai với giá trị đã định trước và ngay lập
tức được áp dụng rộng rãi trong thực tế. Ngày nay, trên thế giới, thị trường phái sinh
tài chính phát triển rộng lớn hơn thị trường cổ phiếu chứng khoán. Nói cách khác,
lượng tiền đầu tư vào các Quyền Chọn dựa trên các cổ phiếu nhiều hơn lượng tiền
đầu tư vào chính các cổ phiếu đó.
Nội dung của luận văn này nói về việc định giá các Quyền Chọn và giới hạn
trong phạm vi mô hình tài chính cơ bản với thời gian liên tục. Luận văn được chia
thành 2 chương:
Chương 1: Một số vấn đề về giải tích ngẫu nhiên
Chương 2: Mô hình tài chính cơ bản
Chương 1 là các kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu nhiên nhằm chuẩn bị cho
việc thực hiện đề tài. Ở đây, chúng tôi diễn giải cụ thể các khái niệm về quá trình
ngẫu nhiên, đặc biệt là mac-tin-gan và quá trình Wiener. Chúng tôi cũng đưa ra cách
xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô, đây là một trong những khái niệm quan trọng
trong quá trình làm việc với mô hình tài chính thời gian liên tục.
Nội dung chính của luận văn được trình bày chi tiết trong chương 2. Ở đây chúng
tôi chỉ đề cập đến việc định giá các Quyền Chọn với thời gian liên tục trong mô hình
thị trường tài chính cơ bản gồm hai tài sản cơ sở để đầu tư là một trái phiếu không
rủi ro và một chứng khoán có rủi ro. Việc hiểu rõ hoạt động của thị trường trong mô
hình đơn giản này là nền tảng để mở rộng nghiên cứu lên những mô hình thị trường
tổng quát hơn.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn luận văn vẫn không thể tránh khỏi có
những sai sót trong cách trình bày. Mong được sự góp ý xây dựng của quý thầy cô
và các bạn. Xin chân thành cảm ơn!

4


Chương 1

Một số kiến thức về giải tích
ngẫu nhiên
1.1.

Không gian xác suất

1.1.1.

Định nghĩa

Định nghĩa 1.1. Cho Ω là một tập cho trước, một σ -đại số F trên Ω là một họ các
tập con của Ω có những tính chất sau
(i) 0/ ∈ F , Ω ∈ F .
(ii) A ∈ F ⇒ A ∈ F .
(iii) A1 , A2 , ... ∈ F ⇒

∞

Ai ∈ F .

i=1

Bộ (Ω, F ) được gọi là một không gian đo được.
Một độ đo xác suất P trên một không gian đo được (Ω, F ) là một hàm
P : F → [0, 1] sao cho

(a) P(0)
/ = 0, P(Ω) = 1.
(b) Nếu A1 , A2 , ... ∈ F và {Ai }∞
/ nếu i = j) thì
i=1 rời nhau (Ai ∩ A j = 0,
∞

P(

∞

Ai ) = ∑ P(Ai )
i=1

i=1

Bộ ba (Ω, F , P) được gọi là một không gian xác suất.
5


Định nghĩa 1.2. Nếu (Ω, F , P) là một không gian xác suất thì hàm X : Ω → Rn
được gọi là F -đo được nếu X −1 (U) = {ω ∈ Ω, X(ω) ∈ U} ∈ F .
Một biến ngẫu nhiên X là một hàm F -đo được, X : Ω → Rn .

1.1.2.

Các khái niệm hội tụ

Cho (Ω, F , P) là không gian xác suất cơ bản, P là độ đo đủ.
Định nghĩa 1.3. Hội tụ hầu chắc chắn (hay với xác suất 1)

Giả sử {Xn , n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên xác định trên cùng một không gian xác
suất (Ω, F , P).
Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn } được gọi là hội tụ hầu chắc chắn (hay với xác suất
h.c.c

1) đến biến ngẫu nhiên X, kí hiệu Xn −−→ X, nếu
P{ω : lim Xn (ω) = X(ω)} = 1.
n→∞

Định nghĩa 1.4. Hội tụ theo xác suất
Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn } hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X, kí hiệu
P

Xn −
→ X, nếu
lim P {ω : |Xn (ω) − X(ω)| ≥ ε} = 0, với mọi ε > 0.

n→∞
h.c.c

P

• Xn −−→ X ⇒ Xn −
→ X.
h.c.c

P

• Xn −
→ X ⇒ ∃{Xnk } ⊂ {Xn } : Xnk −−→ X.

Định nghĩa 1.5. Hội tụ trung bình
Giả sử {Xn } ⊂ L p , p ∈ (0, +∞).
Lp

Dãy {Xn } hội tụ trung bình cấp p đến X, kí hiệu Xn −→ X, nếu
lim E |Xn − X| p = 0.

n→∞
Lp

P

• Xn −→ X, p ∈ (0, +∞) ⇒ Xn −
→ X.

1.2.

Quá trình ngẫu nhiên

1.2.1.

Quá trình ngẫu nhiên

Ta muốn diễn tả một quá trình mà sự tiến triển theo thời gian là ngẫu nhiên. Một
đối tượng như vậy là một quá trình ngẫu nhiên.

6


Định nghĩa 1.6. Xét không gian xác suất (Ω, F , P) và một tập hợp chỉ số I (vô hạn

đếm được hay không đếm được). Ta xem I như một tập hợp các chỉ số thời gian; I
có thể là tập N, (−∞, +∞); (0, +∞) hay [0, T ]. Xét một họ các biến ngẫu nhiên xác
định trên (Ω, F , P) và lấy chỉ số trong I.
- Họ không đếm được các biến ngẫu nhiên {X(t)}t∈I được gọi là một quá trình
ngẫu nhiên với thời gian liên tục.
- Họ đếm được {X(t)}t∈I (I đếm được) các biến ngẫu nhiên được gọi là một quá
trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc.
Một cách tổng quát hơn, cho hai không gian đo được (Ω, F ), (E, ξ ) và I là
tập hợp chỉ số.
Một quá trình ngẫu nhiên xác định trên Ω, lấy giá trị trong E là một ánh xạ:
X : I × Ω → E đo được đối với độ đo tích trên I × Ω.
Quá trình ngẫu nhiên X, đôi khi được viết là X(t, •) hay X(t) hay Xt ,t ∈ I.
Định nghĩa 1.7. Nếu cố định ω ∈ Ω, thì {X(t, ω)}t∈I được gọi là quỹ đạo mẫu hay
sự thể hiện hay hàm mẫu của quá trình ngẫu nhiên (liên kết với ω).
Định nghĩa 1.8. Nếu X lấy giá trị trong không gian Rn (n ≥ 1) thì ta có một quá
trình ngẫu nhiên n chiều.

1.2.2.

Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ lọc

Định nghĩa 1.9. Một họ các σ - đại số con (Ft ,t ≥ 0) của F , Ft ⊂ F , được gọi
là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu:
• Đó là một họ tăng theo t, tức là Fs ⊂ Ft nếu s < t,
• Họ đó là liên tục phải, tức là Ft = ∩ Ft+ε ,
ε>0

• Với A ∈ F và P(A) = 0 thì A ∈ F0 (và do đó A nằm trong mọi Ft ).
Định nghĩa 1.10. Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt ,t ≥ 0). Xét σ - đại số FtX
sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên Xs với s ≤ t : FtX = σ (Xs , s ≤ t), σ - đại số này

chứa đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá trình X cho đến thời điểm t.
Ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình X, hay là lịch sử của X, hay cũng còn gọi
là trường thông tin về X.
Định nghĩa 1.11. Cho một bộ lọc bất kì (Ft ,t ≥ 0) trên (Ω, F ). Một quá trình
ngẫu nhiên X được gọi là thích nghi với bộ lọc này nếu: mọi Xt là đo được đối với
7


σ -đại số Ft .
Mọi quá trình X = (Xt ,t ≥ 0) là thích nghi với lịch sử của nó (FtX ,t ≥ 0).
Định nghĩa 1.12. Một không gian xác suất (Ω, F , P) trên đó có một bộ lọc (Ft )t≥0
được gọi là một không gian xác suất được lọc, kí hiệu là (Ω, F , (Ft ), P).

1.2.3.

Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ - đại số

Định nghĩa 1.13. Cho (Ω, F , P) là một không gian xác suất, X : Ω → Rn là biến
ngẫu nhiên sao cho E(X) < ∞ và G là một σ - đại số con của F , G ⊂ F .
Khi đó, một biến ngẫu nhiên Z sẽ được gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối
với σ - đại số G , nếu:
• Z là biến ngẫu nhiên đo được đối với G .
• Với mọi tập A ∈ G thì ta có
ZdP =
A

XdP.
A

Biến ngẫu nhiên Z được ký hiệu là E (X|G ).

Nếu ta chọn σ - đại số G là σ - đại số σ (Y ) sinh ra bởi một biến ngẫu nhiên Y
nào đó, thì khi đó kỳ vọng có điều kiện của X lấy đối với σ (Y ) cũng được ký hiệu
là E (X|Y ).
Một số tính chất của kỳ vọng có điều kiện
Giả sử X,Y : Ω → Rn là hai biến ngẫu nhiên với E(X) < ∞, E(Y ) < ∞. Tất cả
các hệ thức phát biểu dưới đây đều theo nghĩa hầu chắc chắn:
1. Nếu G là σ - đại số tầm thường {0,
/ Ω} thì E (X|G ) = EX.
2. E (X +Y |G ) = E (X|G ) + E (Y |G ).
3. Nếu X đo được đối với G thì E (XY |G ) = XE (Y |G ).
Nói riêng, nếu c là một hằng số thì E (cY |G ) = cE (Y |G ).
4. Nếu G1 ⊂ G2 thì
E (E (X|G2 ) |G1 ) = E (X|G1 ) .
Nói riêng, E (E (X|G )) = EX.
5. Nếu X độc lập với G thì E (X|G ) = EX.

8


6. Nếu G và H là hai σ - đại số con của F và độc lập với nhau, và X là biến
ngẫu nhiên độc lập đối với G thì
E (X|σ (G , H )) = E (X|H ) ,
trong đó σ (G , H ) là σ - đại số nhỏ nhất chứa cả G lẫn H .
7. Nếu g là một hàm lồi trên tập I ⊂ R và X là một biến ngẫu nhiên lấy giá trị
trên I thì
g (E (X|G )) ≤ E (g(X)|G ) .
Nói riêng,
(i) Với g(x) = |x| thì |E (X|G )| ≤ E (|X| |G ) .
(ii) Với g(x) = x2 thì (E(X|G ))2 ≤ E((X)2 |G ).
8. Sự hội tụ đơn điệu đối với kỳ vọng có điều kiện

Nếu Xn ≥ 0 và Xn ↑ X (Xn đơn điệu tăng dần tới X khi n → ∞) với E|X| < ∞
thì
E (Xn |G ) ↑ E (X|G ) .
9. Bổ đề Fatou đối với kỳ vọng có điều kiện
Nếu Xn ≥ 0 thì E lim inf Xn |G
n

≤ lim inf E (Xn |G ) .
n

10. Sự hội tụ bị chặn đối với kỳ vọng có điều kiện
Nếu lim Xn = X hầu chắc chắn và |Xn | ≤ Y với EY < ∞ thì
n→∞

lim E (Xn |G ) = E (X |G ) .

n→∞

11. Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập và φ (x, y) là một hàm hai biến sao
cho E |φ (X,Y )| < ∞. Khi đó thì
E (φ (X,Y ) |Y ) = E (φ (X,Y )) .

1.2.4.

Xác suất có điều kiện

Định nghĩa 1.14. Xác suất có điều kiện P(A|F ) của một biến cố A ∈ F là một
biến ngẫu nhiên xác định bởi
P(A|F ) = E(IA |F ),
9

trong đó IA là hàm đặc trưng của biến cố A, tức là
1 nếu ω ∈ A,
0 nếu ω ∈
/ A.

IA (ω) =
Tính chất
(1) P(Ω|F ) = 1 (h.c.c).

(2) ∀A ∈ F : P(A|F ) = 1 − P(A|F ) (h.c.c).
(3) ∀A1 , A2 , ... ∈ F rời nhau từng đôi một thì
∞

∞

An |F

P

=

n=1

n=1

1.2.5.

∑ P (An |F ).

Mac-tin-gan

Định nghĩa 1.15. Cho không gian xác suất được lọc (Ω, F , (Ft ), P). Một quá trình
ngẫu nhiên X = (Xt ,t ≥ 0) được gọi là một mac-tin-gan đối với bộ lọc (Ft ,t ≥ 0)
nếu
(i) Xt khả tích với mọi t ≥ 0, tức là E |Xt | < ∞, ∀t ≥ 0.
(ii) X thích nghi với bộ lọc (Ft ).
(iii) Với mọi s,t ≥ 0 và s ≤ t, hầu chắc chắn có
Xs = E(Xt |Fs ),
hay có thể viết dưới dạng tích phân
A

Xs dP =

A

Xt dP

với mọi s,t ≥ 0, s ≤ t, A ∈ Fs .
• Quá trình ngẫu nhiên Xt ,t ≥ 0 được gọi là mac-tin-gan dưới đối với bộ lọc
(Ft ) nếu thực hiện điều kiện (i), (ii) và
(iv) Với mọi s,t ≥ 0, s ≤ t hầu chắc chắn có
Xs ≤ E(Xt |Fs ),
hay có thể viết dưới dạng tích phân
A

Xs dP ≤

với s,t ≥ 0, s ≤ t, A ∈ Fs .

10

A

Xt dP


• Quá trình ngẫu nhiên Xt ,t ≥ 0 được gọi là mac-tin-gan trên đối với bộ lọc
(Ft ) nếu thực hiện điều kiện (i), (ii) và
(v) Với mọi s,t ≥ 0, s ≤ t hầu chắc chắn có
Xs ≥ E(Xt |Fs ),
hay có thể viết dưới dạng tích phân

A

Xs dP ≥

A

Xt dP

với s,t ≥ 0, s ≤ t, A ∈ Fs .
Ví dụ 1.1. Cho X là một biến ngẫu nhiên bất kỳ sao cho EX < ∞ và cho (Ft ) là
một bộ lọc bất kỳ trên (Ω, F , P). Đặt Mt = E[X|Ft ]. Khi đó quá trình ngẫu nhiên
(Mt )t≥0 là một mac-tin-gan đối với (Ft ).
Thật vậy,
- Theo định nghĩa của kỳ vọng có điều kiện ta có Mt thích nghi với lọc (Ft ) .
- Với mỗi t ta có
E|Mt | ≤ E [E [|X||Ft ]] = E|X| < ∞
nên Mt khả tích.

- Với mọi s < t ta có
E[Mt |Fs ] = E [E [X|Ft ]|Fs ] = E[X|Fs ] = Ms ,
(vì (Ft ) là bộ lọc nên Fs ⊂ Ft ).
Vậy Mt là một mac-tin-gan đối với lọc (Ft ) .
Ví dụ 1.2. Quá trình ngẫu nhiên (Wt ,t ≥ 0) khả tích, thích nghi với lọc (Ft ) và
thỏa mãn:
Với mọi s,t ≥ 0 sao cho s < t thì Wt −Ws độc lập đối với Fs . Tính chất này được
gọi là tính chất có số gia độc lập với quá khứ.
Khi đó (Wt ,t ≥ 0) là mac-tin-gan đối với bộ lọc tự nhiên FtW của nó, ở đây
ta viết FtW = σ {Xs , s ≤ t} (để cho gọn, ta viết Ft = FtW ).
Thật vậy, hiển nhiên nó thích nghi với Ft và với 0 ≤ s ≤ t, hầu chắc chắn có
E (Wt |Ft ) = E (Ws +Wt −Ws |Fs )
= E (Ws |Fs ) + E (Wt −Ws |Fs )
= Ws + E(Wt −Ws ) = Ws ,
vì đại lượng ngẫu nhiên Wt − Ws độc lập với tất cả các biến cố của σ -đại số FtW .
Điều này có được là do Wt − Ws không phụ thuộc vào số hữu hạn bất kì các đại
lượng ngẫu nhiên Wt1 , ...,Wtn ( 0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn ≤ s) sinh ra σ -đại số này.
11


Ví dụ 1.3. Giả sử Xt , 0 ≤ t < ∞, X0 = 0, EX = 0 là quá trình có gia số độc lập,
E(Xt − Xs )2 = F(t) − F(s), với 0 ≤ s ≤ t. Khi đó, Xt2 − F(t) là mac-tin-gan đối với
bộ lọc tự nhiên Ft .
Thật vậy,
E(Xt2 − F(t)|Fs ) = E[Xs2 + 2Xs (Xt − Xs ) + (Xt − Xs )2 − F(t)|Fs ]
= Xs2 + 2Xs E(Xt − Xs |Fs ) + E[(Xt − Xs )2 |Fs ] − F(t)
= Xs2 + E(Xt − Xs )2 − F(t)
= Xs2 − F(s) hầu chắc chắn với 0 ≤ s ≤ t.
Đặc biệt, đối với quá trình Wiener Wt , 0 ≤ t ≤ ∞,W0 = 0 thì Wt2 − t,t ≥ 0 là mactin-gan đối với FsW , s ≤ t (vì rằng E(Wt −Ws )2 = t − s).
Định lí 1.4. (Phân tích Doob-Meyer)

Nếu X = (Xt ,t ≥ 0) là một mac-tin-gan dưới đối với (Ft ), khả tích (tức E|Xt | <
∞,t ≥ 0) và liên tục phải theo t, thì X có một biểu thức phân tích như sau:
Xt = Mt + At ,
trong đó Mt là một mac-tin-gan đối với (Ft ) liên tục phải và At là một quá trình
tăng thích nghi với (Ft ).
Ứng dụng của lý thuyết Mac-tin-gan trong Toán học tài chính
Ý tưởng chính là như sau:
Trong Toán học tài chính, giá của các tài sản tài chính cơ bản (như giá cổ phiếu
St , giá trái phiếu Bt ) cũng như giá của các sản phẩm phái sinh (như giá các quyền
chọn Vt ) đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên. Nói chung, chúng không phải
là những mac-tin-gan đối với một trường thông tin (Ft ) đang xét.
Giả sử Xt là giá của một tài sản tại thời điểm mà ta cần xác định. Nói chung
Xt không phải là một mac-tin-gan. Nếu bằng một cách nào đó, ta biến đổi được Xt
thành một quá trình Zt = φ (Xt ) là một mac-tin-gan và giả thử ta biết giá trị đáo hạn
ZT . Khi đó, vì
E(ZT |Ft ) = Zt (t < T )
nên có thể tính được giá Xt tại thời điểm t < T bởi
Xt = φ −1 [E (ZT |Ft )] ,t < T.
Đặc biệt,
X0 = φ −1 [E (ZT |F0 )] .
Nghĩa là ta có thể tính được giá của tài sản tại thời điểm cần đầu tư dựa vào giá của
tài sản đó tại thời điểm đáo hạn.
12


Có hai cách để thực hiện sự biến đổi nói trên:
(a) Áp dụng phân tích Doob-Meyer:
Giả sử Xt là một mac-tin-gan dưới. Ta có phân tích
Xt = mac-tin-gan Mt + quá trình tăng At .
Nếu tìm được cụ thể quá trình tăng At thì ta biến đổi được Xt thành một mac-tingan cụ thể Mt = Xt − At . Nếu Xt là một mac-tin-gan trên thì −Xt là một mac-tin-gan

dưới, do đó ta cũng có kết quả tương tự.
(b) Thực hiện một phép biến đổi độ đo xác suất:
Khi ta nói Xt nói chung không phải là một mac-tin-gan, ấy là ta xét dưới độ đo
xác suất ban đầu P đã cho. Bây giờ giả sử ta tìm được một độ đo xác suất mới là Q
tương đương với độ đo xác suất P và một phép biến đổi quá trình Xt thành một quá
trình Xˆt sao cho dưới xác suất Q mới này thì Xˆt trở thành một mac-tin-gan.
Giả sử bằng cách nào đó ta biết được giá trị đáo hạn Xt , tức là biết XˆT . Khi đó
do tính chất mac-tin-gan của Xˆt ta có
EQ (XˆT |Ft ) = Xˆt ,

∀t < T.

Gọi φ là phép biến đổi từ Xt sang Xˆt , vậy Xt = φ −1 (Xˆt ) và ta định giá được tài sản
Xt tại thời điểm t bởi công thức
Xt = φ −1 EQ XˆT |Ft

.

Ta lưu ý hai điều quan trọng:
• Thông thường phép biến đổi đó là một phép chiết khấu không rủi ro, sao cho
XˆT = e−r(T −t) XT ,t < T
với hằng số r > 0 là lãi suất không rủi ro, còn T là thời điểm đáo hạn.
Vì
EQ (XˆT |Ft ) = Xˆt = e0 .Xt
nên cuối cùng ta có công thức định giá tài sản X tại thời điểm t < T là
Xt = e−r(T −t) EQ (XT )
• Xác suất Q ở đây sẽ gọi là xác suất rủi ro trung tính hay còn gọi là độ đo
mac-tin-gan.

13

1.2.6.

Quá trình Wiener (chuyển động Brown)

Định nghĩa 1.16. Một quá trình ngẫu nhiên W = (Wt ,t ≥ 0) là quá trình Wiener
hay một chuyển động Brown tiêu chuẩn nếu:
(a) W0 = 0 hầu chắc chắn.
(b) Hiệu Wt −Ws là một biến ngẫu nhiên chuẩn với kỳ vọng 0 và phương sai là
t − s, (s < t).
(c) Với mỗi n ≥ 1 và với mọi phân hoạch hữu hạn 0 ≤ t0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn , các biến
ngẫu nhiên Wtr −Wtr−1 , r = 0, n là các biến ngẫu nhiên độc lập.
(d) W là quá trình liên tục, tức là hầu hết các quỹ đạo của W là liên tục.
• Trường hợp tổng quát, trong điều kiện (b), phương sai của Xt − Xs là σ 2 (t − s).
Khi đó W là một chuyển động Brown.
Vài tính chất quan trọng
(a) Wt là một mac-tin-gan đối với bộ lọc tự nhiên FtW của nó.
(b) Hầu chắc chắn là Wt không khả vi theo t.
(c) Hầu chắc chắn là Wt không có biến phân bị chặn trên bất cứ khoảng hữu hạn
nào của t.
(d) W tuân theo luật lôgarit - lặp như sau:
Wt
lim sup √
= 1.
2t ln lnt
t→∞
(e) E(Wt ) = 0, E(Wt2 ) = t, ∀t ≥ 0.
Các mac-tin-gan quen biết tạo thành từ W
Mệnh đề 1.1. Cho (Wt ) là một chuyển động Brown và Ft = FtW . Khi đó, ta có 3

mac-tin-gan quen biết là:
(a) Bản thân Wt là một mac-tin-gan đối với (Ft ),
(b) Wt2 − t là một mac-tin-gan đối với (Ft ),
u2

(c) Với mọi u ∈ R thì euWt − 2 t là một mac-tin-gan đối với (Ft ).
Đặc trưng Lévy của chuyển động Brown
Định lí 1.5. Cho W = (Wt ,t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên có quỹ đạo liên tục.
Điều kiện cần và đủ để cho (Wt ) là một quá trình Wiener là
(∗)

Wt
Wt2 − t

là một martingale đối với (Ft ) với Ft = FtW
là một martingale đối với Ft = FtW

Điều kiện (*) được gọi là đặc trưng Levy của quá trình Wiener.

14


1.3.

Tích phân ngẫu nhiên Itô

1.3.1.

Nhắc lại một số kiến thức Giải tích

a. Hàm với biến phân giới nội
• Một hàm thực f được gọi là có biến phân giới nội trên [a, b] nếu tồn tại hằng
số C sao cho với mọi phân hoạch của đoạn ấy
D : a = x0 < x1 < ... < xn = b
thì ta có bất đẳng thức
n

∑ | f (xk ) − f (xk−1 )| ≤ C.
k=1

Ví dụ: Mọi hàm đơn điệu bị chặn đều có biến phân giới nội.
• Một số kết quả quan trọng
– Mọi hàm có biến phân giới nội đều có thể biểu diễn thành hiệu của hai
hàm đơn điệu không giảm.
– Nếu f : [a, b] → R là một hàm có đạo hàm giới nội f (x) ≤ C thì f là
một hàm có biến phân giới nội.
– Mọi hàm f : [a, b] → R liên tục tuyệt đối trên [a, b] là hàm có biến phân
giới nội.
b. Tích phân Lebesgue và tích phân Stieltjes
(i) Tích phân Lebesgue
Để xây dựng tích phân Lebesgue A f (x) dµ đối với độ đo µ, A ⊂ Ω trong
không gian xác suất (Ω, F , P), người ta định nghĩa A f dµ đối với hàm đặc
trưng f = IA , A ∈ F .
n

Sau đó, định nghĩa tích phân đối với hàm đơn giản f = ∑ ak IAk bởi
k=1

n

f dµ =
A

n

Ak = A, Ak ∈ F , Ak rời nhau với mọi 1 ≤ k ≤ n.

∑ ak µ(Ak ),
k=1

k=1

Cuối cùng, với một hàm f bất kì, f là giới hạn của một dãy fn các hàm đơn
giản khả tích trên A. Khi đó, người ta định nghĩa
f dµ = lim

n→∞ A

A

15

fn dµ.


(ii) Tích phân Stieltjes
• Tích phân Riemann-Stieltjes của hàm f lấy đối với một hàm φ liên tục
phải có biến phân giới nội được định nghĩa bởi
n

b

(R − S)

f (x) dφ (x) =
a

lim

∑ f (ξi )[φ (xi ) − φ (xi−1 )]

max(xi −xi−1 )→0 i=1

với mọi phân hoạch D : a = x0 < x1 < ... < xn = b, nếu giới hạn trên
tồn tại.
• Tích phân Lebesgue-Stieltjes của hàm f lấy đối với một hàm φ có biến
phân giới nội thường đưa về tích phân Lebesgue-Stieltjes của f đối với
một hàm không giảm (vì φ bằng hiệu của hai hàm không giảm). Khi
đó, ta định nghĩa
b

(L − S)

b

f (x)dF(x) = (L)
a

a

f dµF

trong đó µF : độ đo sinh bởi F (F(b) − F(a) = µ[a, b]).
* Như vậy, điều cần chú ý ở đây là, đối với việc xây dựng các tích phân Stieltjes
b
a f dφ , việc quan trọng là phải giả thiết φ là một hàm có biến phân giới nội trên
[a, b].

1.3.2.

Một số khái niệm liên quan đến quá trình ngẫu nhiên

a. Quá trình đo được lũy tiến
Cho không gian xác suất được lọc (Ω, F , (Ft )t≥0 , P).
Định nghĩa 1.17. Giả sử T là tập con Borel của R, kí hiệu Bt là σ -đại số tất cả
các tập con Borel của tập T (−∞,t].
Quá trình ngẫu nhiên X = (Xt ) được gọi là đo được lũy tiến đối với bộ lọc (Ft ) nếu
với mỗi t ∈ T, Xs (ω) trên tập (T (−∞,t]) × Ω đo được theo (s, ω) đối với σ -đại số
Bt × Ft .
Định nghĩa 1.18. Giả sử T là tập Borel. Ta đưa vào không gian T × Ω, σ -đại số
BF gồm tất cả các tập con A ⊆ T ×Ω, sao cho với mọi t ∈ T , tập con A ((−∞,t] × Ω)
là đo được đối với Bt × Ft .
Khi đó, các quá trình đo được lũy tiến đều đo được đối với BF .
b. Quá trình khả đoán
Định nghĩa 1.19. σ - đại số khả đoán
Đó là σ -đại số nhỏ nhất các tập con của R+ × Ω (kí hiệu là P) mà đối với nó, mọi
quá trình liên tục trái đều đo được.
16

Định nghĩa 1.20. Quá trình khả đoán
Cho quá trình ngẫu nhiên X = (X(t, ω)) thích nghi với (Ft ). Nếu X(t, ω) là P-đo
được thì ta nói X là quá trình khả đoán đối với (Ft ).

1.3.3.

Tích phân ngẫu nhiên Ito

a. Đặt vấn đề
Nhiều bài toán đưa đến yêu cầu phải tính toán một loại tích phân có dạng
b

I=

f (t, ω)dWt

a

(1.1)

trong đó f (t, ω) là một quá trình ngẫu nhiên nào đó, Wt là một quá trình Wiener.
Ta biết rằng mỗi quỹ đạo t → Wt là một hàm liên tục của t. Tuy nhiên, hầu hết
mọi quỹ đạo đó lại là những hàm không có biến phân giới nội trên bất cứ khoảng
hữu hạn nào. Như vậy, ta không thể định nghĩa tích phân (1.1) như một tích phân
Stieltjes, mà phải tìm một cách xây dựng khác.
Vào khoảng 1940-1941, một nhà toán học người Nhật Kyoshi Ito đã đưa ra cách xây
dựng tích phân (1.1) dựa trên nguyên tắc "ánh xạ đẳng cự" và tích phân này được
gọi là tích phân Ito.
b. Định nghĩa cấu trúc
Cho không gian xác suất được lọc (Ω, F , (Ft )t≥0 , P) và quá trình Wiener

Wt ,t ≥ 0,W0 = 0 với quỹ đạo liên tục, thích nghi với họ (Ft ) sao cho gia số Wu −Wt
sau thời điểm t độc lập với σ -đại số Ft (u > t).
Giả sử T là số không âm hoặc +∞. Ta sẽ định nghĩa tích phân ngẫu nhiên
T

I(t) =
0

f (t, ω)dWt

đối với hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo được lũy tiến đối với họ (Ft ) và E
∞, tức là đối với các hàm f ∈ L2 ([0, T ] × Ω, BF , µ × P).

T
0

| f (t, ω)|2 dt <

Định lí 1.6. Giả sử Wt và Ft là quá trình Wiener và họ σ -đại số liên hệ với nhau
như đã mô tả ở trên.
Khi đó, tồn tại duy nhất ánh xạ f → I( f ) từ không gian L2 (BF ) = L2 ([0, T ] ×
Ω, BF , µ × P) vào không gian L2 (Ω, F , P) sao cho
(a) I là ánh xạ tuyến tính: I(c1 f1 + c2 f2 ) = c1 I( f1 ) + c2 I( f2 ) hầu chắc chắn, trong
đó c1 , c2 là những hằng số, f1 , f2 ∈ L2 (BF ).
(b) I là ánh xạ đẳng cự: E |I( f )|2 = E

T
0

| f (t, ω)|2 dt.

17


(c) I(ηI[t1 ,t2 ] ) = η(Wt2 − Wt1 ) hầu chắc chắn, trong đó η là biến ngẫu nhiên tùy
ý đo được đối với Ft1 , bình phương khả tích (tức là η ∈ L2 (Ft1 )), 0 ≤ t1 ≤
t2 ≤ T .
Ta gọi tích phân ngẫu nhiên I( f ) = 0T f (t, ω)dWt là tích phân Ito của hàm
ngẫu nhiên f lấy đối với quá trình Wiener.
Chứng minh.
1. Trước hết, ta xét tích phân ngẫu nhiên đối với hàm ngẫu nhiên
bậc thang trên [0, T ].
Hàm ngẫu nhiên f (t, ω) được gọi là hàm bậc thang, nếu tồn tại các điểm
0 = t0 < t1 < t2 < ... < tn trên đoạn [0, T ] (tn = T nếu đoạn hữu hạn, tn < ∞
nếu T = ∞), sao cho


f (0, ω)
với mọi t ∈ [0,t1 )





với mọi t ∈ [t1 ,t2 )
 f (t1 , ω)
f (t, ω) = ...




f (tn−1 , ω) với mọi t ∈ [tn−1 ,tn )



0
với mọi t ≥ tn (nếu T = ∞)
Hàm ngẫu nhiên bậc thang đo được lũy tiến có dạng
η0 I[0,t1 ) (t) + η1 I[t1 ,t2 ) (t) + ... + ηn−1 I[tn−1 ,tn ) (t)

(1.2)

trong đó η0 = η0 (ω) là hàm ngẫu nhiên F0 -đo được, η1 là hàm Ft1 -đo
được,..., ηn−1 là hàm Ftn−1 -đo được (ηi (ω) = f (ti , ω)).
Ngược lại, một hàm bất kì có dạng (1.2) là hàm bậc thang đo được lũy tiến,
trong đó ηi ∈ L2 (Ω).
* Theo đòi hỏi (c), đối với hàm ηi .I[ti ,ti+1 ) (t) có thể đặt tích phân ngẫu nhiên
bằng ηi (Wti+1 − Wti ) (hoặc bằng tích phân này hầu chắc chắn). Vì vậy,
đối với hàm bậc thang, ta định nghĩa
n−1

T
0

f (t, ω)dWt = I( f ) =

∑ f (ti , ω)(Wti+1 −Wti ).

i=0

* Dễ dàng kiểm tra được ánh xạ I trên các hàm bậc thang là tuyến tính.

* Bây giờ, ta kiểm tra điều kiện (b) đối với hàm bậc thang thuộc L2 (BF ).

18