Đề thi HSG Toán Thanh Hóa có đáp án 2012

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Năm học 2012 – 2013
Môn thi: TOÁN
Lớp 12 THPT

ĐỀ CHÍNH THỨC

Ngày thi: 15/03/2013
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Đề thi này có 01 trang, gồm có 5 câu

Số báo danh
Câu I (4,0 điểm)

2x
x2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đò thị (C) sao cho khoảng cách từ I(-2;2) đến tiếp tuyến đó là
lớn nhất.
Câu II (4,0 điểm)
sin 3 x.sin 3x  cos3 x.cos3x
1
1. Giải phương trình



8



tan  x   .tan  x  
6
3


1  42 x  y  512 x  y  1  22 x  y 1

2. Giải hệ phương trình  x  y
 x, y  

ln
x

3

ln
y

3
  


 4
Câu III (4,0 điểm)
1. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=3. Chứng minh rằng:
x  y  z  y  z  x z  x  y 


 2xyz

4  yz
4  zx
4  xy
2. Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực
3

 x  mx  2  0
 x
x x
 4 x 1  0

4  3.2
Câu IV (4,0 điểm)
Cho hàm số y 

1. Cho khai triển 1  x  x2  ...  x14  =a 0  a1 x  a2 x2  ...  a210 x210 . Chứng minh rằng:
15

1
15
C150 a15  C15
a14  C152 a13  ...  C15
a0  15.
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;2). Phương trình
đường tròn đi qua trung điểm của hai cạnh AB, AC và chân đường cao hạ từ A đến cạnh BC của

tam giác ABC là  x  3   y  2  25. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC.
Câu V (4,0 điểm)
1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy AB bằng 2a và

ˆ bằng 300. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’, biết khoảng cách giữa hai đường
ABC
a
thẳng AB và CB’ bằng .
2
2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1; -2; -3), B(-6; 10; -3). Viết phương trình mặt
phẳng (P) sao cho khoảng cách từ A đến mp(P) bằng 15 và khoảng cahcs từ B đến mp(P) bằng 2.
………………………………..HẾT…………………………………….
2

2

Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

St: Nguyễn Huy Vinh.