Ôn tập cuối năm 10

ÔN TẬP PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a)
4
1694
300x
1696
298x
1698
296x
1700
294x
=
−
+
−
+
−
+
−
b)
18
1
42x13x
1
30x11x
1
20x9x
1
222
=

++
+
++
+
++
Bài 2: Giải và biện luận phương trình sau:
a) m(m-6)x + m = -8x + m
2
– 2
b)
1m2
1x
3x)2m(
−=
+
+−
c)
mx
1x
mx)1m2(
+=
−
−+
d)
3
mx
5x)2m3(
−=
−
−−

e)
( )
2x1m2x3xm
2
−−=−
f)
05m
2x
5m2
=−+
−
+
g)
1
x
1mx
1x
mx2
=
−+
−
−
+
h)
0
2mx
1x
2mx
1x
=

+−
−
−
++
+
mx
1
xm
3m4m3
mx
m
22
2
+
=
−
+−
+
−
Bài 3: Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn phương trình:
41x23x
=++−
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: |x| + |1-x| = m
HD: Điều kiện cần và đủ.
Bài 5: Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
3|x| + 2ax = 3a - 1
Bài 6: Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt
0mmx2xx
224
=−+−

HD:
( )




=+−
=−+
⇔=−−
)2(0mxx
)1(0mxx
0mxx
2
2
2
4
Ycbt
⇔
(1)& (2) mỗi pt có 2 nghiệm phân biệt nhưng không có n
o
chung
2 n
o
phân biệt ….
G/s có nghiệm x
o
chung thì
0m0x
0mxx
0mxx

o
o
2
o
o
2
o
=⇒=⇒





=+−
=−+
Bài 7: Biện luận số nghiệm của phương trình:
|x - 2| + |x - 1| + |x| = m
Bài 8: Giải các phương trình sau:
|2 - |2 - x|| = 1
Bài 9: Tìm a để phương trình |2x
2
– 3x - 2| = 5a – 8x - 2x
2
có nghiệm duy nhất
Bài 10: Cho phương trình: (1+ m
2
)x
2
– 2mx + 1 – m
2

= 0
a) CMR với mọi m > 1 phương trình luôn luôn có nghiệm.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc vào m.
HD:
( ) ( )
1xxxx
2
21
2
21
=++
Bài 11: Cho phương trình:
( )
01mx1m2x
2
=+−+−
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x
1
và x
2
mà không phụ thuộc vào m.
Bài 12: Giả sử phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có đúng một nghiệm dương là x
1
. CMR phương
trình cx
2
+ bx + a = 0 cũng có đúng một nghiệm dương gọi là x
2

.CMR x
1
+ x
2

2
≥
Bài 13: Cho hai phương trình:
01axx;0axx
22
=++=++
a) Với giá trị nào của a thì hai phương trình có nghiệm chung?
b) Với giá trị nào của a thì hai phương trình tương đương?
HD: a)Gọi x
o
là nghiệm chung



=
=
⇒





=++
=++
⇒

1a
1x
01axx
0axx
o
o
2
o
o
2
o
Như vậy n
o
chung nếu có thì bằng 1.Thay x
o
= 1 vào pt => a = -2.
Khi đó hai PT:
01x2x;02xx
22
=+−=−+
a = 1 hai PTVN.
b)Hai PT tương đương nếu mọi nghiệm của PT này là nghiệm của PT kia (loại theo ý a)) hoặc
cùng vô nghiệm.
Bài 14: Cho phương trình: mx
2
– 2(m + 1)x + 2m – 1 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Khi phương trình có 2 n
o
x

1
& x
2
. Hãy tìm Min, Max của biểu thức
P =
21
2
2
2
1
2
2
2
1
xx2xxxx
+++
Bài 15: Tìm Min, Max của hàm số y =
1xx
1x
2
++
+
Bài 16: Cho hàm số y =
1x
qpxx
2
2
+
++
.Tìm p; q để Maxy = 9; Miny = -1.

Bài 17: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
22
xxm22x3x
−+=−+−
Bài 18: Giải và biện luận phương trình:
mx1x
2
=−−
Bài 19: Giải các phương trình vô tỷ sau:
a)
36x3x3x3x
22
=+−++−
b)
11x68x1x43x
=−−++−−+
c)
1
x1x
1
1x2x
1
2x3x
1
=
++
+
+++
+
+++

d) (x - 1)(x + 2) + 2(x - 1)
8
1x
2x
=
−
+
Bài 20: Cho phương trình: x
2
+ 4x – m = 0. Xác định m để phương trình:
a) Có nghiệm thuộc khoảng (-3; 1).
b) Có đúng một nghiệm thuộc (-3; 1).
c) Có hai nghiệm phân biệt thuộc (-3; 1).
Bài 21: Cho phương trình: x
2
– 6x – 7 – m = 0. Xác định m để phương trình:
a) Có nghiệm thuộc D =
( ) ( )
+∞∪∞−
;70;
b) Có đúng một nghiệm thuộc D.
c) Có hai nghiệm phân biệt thuộc D.
Bài 22:Cho phương trình
( )
04mmx2x1m
2
=−+−−
.
Tìm một hệ thức giữa các nghiệm độc lập với tham số m.
Bài 23: Cho phương trình bậc hai:

( )
06m5x1mx
2
=−+−+
Xác định giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức:
1x3x4
21
=+
Bài 24: Cho hai phương trình bậc hai:
0qxpx;0qxpx
22
2
11
2
=++=++
CMR nếu hệ thức sau đây thỏa mãn thì ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm:
( )
2121
qq2pp
+=
.
BẤT ĐẲNG THỨC
I. BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG:
Bài 1:Cho a + b + c
≠
0. CMR:
cba
cba
333
++

++

≥

cba
abc3
++
.
Hd:
3
a
+
3
b
+
3
c
– 3abc =
3
)ba(
+
+
3
c
– 3ab(a + b) – 3abc = (a + b + c)(
2
a
+
2
b

+
2
c
– ab – bc –
ca).
Bài 2: CMR
∀
a
∈
R thì 3(1 +
2
a
+
4
a
)
≥

22
)aa1(
++
.
Hd: 3(1 +
2
a
+
4
a
) –
22

)aa1(
++
= 3[
22
)a1(
+
–
2
a
] –
22
)aa1(
++
= 3(1 +
2
a
+ a)(1 +
2
a
– a) –
22
)aa1(
++
Bài 3: CMR nếu a, b
R∈
nếu a + b
≥
2 thì
3
a

+
3
b

≤

4
a
+
4
b
.
Hd: [
4
a
+
4
b
– (
3
a
+
3
b
)] – [(a + b) – 2] =
3
a
(a – 1) +
3
b

(b – 1) – (a + b – 2)
= [
3
a
(a – 1) – (a – 1)] + [
3
b
(b – 1) – (b – 1)] =
2
)1a(
−
(
2
a
+ a + 1) +
2
)1b(
−
(
2
b
+ b + 1)
≥
0.
Bài 4: Cho a, b, c > 0. CMR:
3
a
b +
3
b

c +
3
c
a
≥

2
a
bc +
2
b
ca +
2
c
ab.
Bài 5: Cho a, b, c, d > 0. CMR:
db
1
ca
1
1
+
+
+

≥

b
1
a

1
1
+
+
d
1
c
1
1
+
Bài 6: Cho a, b > 0. CMR:
a) Nếu ab
≥
1 thì
a1
1
+
+
b1
1
+

≥

ab1
2
+
.
b) Nếu ab < 1 thì
a1

1
+
+
b1
1
+

≤

ab1
2
+
.
Bài 7: Cho a > c, b > c, c > 0. CMR:
)ca(c
−
+
)cb(c
−

≤

ab

Bài 8: Cho a + b
≥
2. CMR:
3
a
+

3
b

≥

2
a
+
2
b
.
Hd:
3
a
+
3
b
= (a + b)(
2
a
– ab +
2
b
)
≥
2(
2
a
– ab +
2

b
)
Bài 9: a)
∀
a, b, c, d, e. CMR:
( )
2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e+ + + + ≥ + + +
b)
∀
a, b, c. CMR:
2 2 2
a 4b 3c 14 2a 12b 6c+ + + ≥ + +
Hd: Chuyển vế phân tích thành tổng các bình phương.
Bài 10: Cho a, b, c, d > 0. CMR:
a b c d
1 2
a b c b c d c d a d a b
< + + + <
+ + + + + + + +
II.BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN
Bài 1: CMR: nếu a
≥
0, b
≥
0 thì 3
3
a
+ 7
3

b

≥
9a
2
b
.
Hd: Ad BĐT cho 3 số dương 3
3
a
, 4
3
b
, 3
3
b
Bài 2: Cho a, b
≥
0. CMR: 3
3
a
+ 17
3
b

≥
18a
2
b
Bài 3: Cho a, b, c > 0. CMR: (1 +

b5
a
)(1 +
c5
b
)(1 +
a5
c
)
≥

125
216
Bài 4: Cho a, b, c
≠
0. CMR:
2
2
b
a
+
2
2
c
b
+
2
2
a
c

≥

b
a
+
c
b
+
a
c
. Hd:
2
2
b
a
+ 1
≥
2
b
a
Bài 5: Cho a, b, c > 0. CMR:
3
b
a







+
3
c
b






+
3
a
c







≥

b
a
+
c
b
+

a
c
Bài 6: Cho a, b, c > 0. CMR:
cb
a
+
+
ac
b
+
+
ba
c
+

≥

2
3
Bài 7: Cho a, b > 0. CMR:
ba
1
+
+
b1
a
+
+
a1
b

+

≥

2
3
Hd: Cộng các phân số với 1, qui đồng.
Bài 8: Cho a, b, c > 0. CMR:
2
a
b c+
+
2
b
c a+
+
2
c
a b+

≥

a b c
2
+ +
Hd: (
2
a
b c+
+ a) + (

2
b
c a+
+ b) + (
2
c
a b+
+ c)…..
Bài 9: Cho a, b, c > 0 và abc = 1. CMR:
3
1
a (b c)+
+
3
1
b (a c)+
+
3
1
c (a b)+

≥

2
3
Hd: Đặt
1 1 1
x; y ; z
a b c
= = =

. BĐT trở về bài 8
Bài 10: Cho a > 0 , b>0, c>0 và a + b + c = 3.CM:
4a 1 4b 1 4c 1 3 5+ + + + + ≤
Bài 11: Cho a>1 và b>1 . CMR : a
b 1 b a 1 ab− + − ≤
Bài 12: Cho a > 0 , b > 0,
c 0
>
và a + b + c = 1. CMR:
a b b c c a 6+ + + + + ≤
Bài 13: Cho a > 0 , b >0, c > 0 CMR :
3 3 3 2 2 2
a b c a bc b ca c ab+ + ≥ + +
Hd: Ad BĐT :
3 2
a abc 2a bc+ ≥
Bài 14: Cho a, b, c > 0 thỏa:
1a
1
+
+
1b
1
+
+
1c
1
+

≥

2. CMR: abc
≤

1
8
Hd:
1a
1
+

≥
(1-
1b
1
+
) + (1-
1c
1
+
)
≥
b
b 1+
+
c
c 1+

≥
2
bc

(b 1)(c 1)+ +
. Tương tự, rồi nhân vế với
vế…
Bài 15: Cho a, b, c, d > 0 thỏa:
1a
1
+
+
1b
1
+
+
1c
1
+
+
1d
1
+

≥
3. CMR: abcd
≤

81
1
Tổng quát: Cho
i
a

≥
0, i = 1, 2, ..., n, n
≥
3, thỏa
1
a1
1
+
+ ... +
n
a1
1
+

≥
n – 1.CMR:
1
a
...
n
a

≤

n
)1n(
1
−
.
Bài 16: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. CMR:

1 1 1
1 1 1 64
a b c
   
+ + + ≥
 ÷ ÷ ÷
   
Hd: a + 1 = a + (a + b + c)
4
2
4 a bc≥
Tổng quát: Cho
1 2 n 1 2 n
a ,a ,...,a 0; a a ... a 1> + + + =
. CMR:
( )
n
1 2 n
1 1 1
1 1 ... 1 n 1
a a a
    
+ + + ≥ +
 ÷ ÷  ÷
    
Bài 17: Cho a, b, c, d > 0 . CMR:
2 2 2 2
5 5 5 5 3 3 3 3
a b c d 1 1 1 1
b c d a a b c d

+ + + ≥ + + +
. Hd:
2 2 2
5 5 5 3 3 3
a a a 1 1 1
5
b b b a a b
+ + + + ≥
Bài 18: Cho 0
≤
a, b, c
≤
1. CMR:
1cb
a
++
+
1ac
b
++
+
1ba
c
++
+ (1 – a)(1 – b)(1 – c)
≤
1.
Hd: ycbt
⇔
VT

≤

a
b c a+ +
+
b
b c a+ +
+
c
b c a+ +
⇔
(1 – a)(1 – b)(1 – c)
≤
1
b c a+ +
(
a(1 a)
b c 1
−
+ +
+
( )
b 1 b
c a 1
−
+ +
+
( )
c 1 c
a b 1

−
+ +
)
⇔
(1 – a)(1 – b)(1 – c)(a+b+c)
≤
(
a(1 a)
b c 1
−
+ +
+
( )
b 1 b
c a 1
−
+ +
+
( )
c 1 c
a b 1
−
+ +
)
Ad BĐT: (1 – a)(1 – b)(a+b+1)
1≤
=>
( )
c 1 c
a b 1

−
+ +
≥
(1 – a)(1 – b)(1-c)c. Tương tự, phân tích ….
Bài 19: Cho 0
≤
a, b, c, d
≤
1.
CMR:
a
b c d 1+ + +
+
b
c a d 1+ + +
+
c
a b d 1+ + +
+
d
a b c 1+ + +
+ (1 – a)(1 – b)(1 – c)(1-d)
≤
1.
Bài 20: Cho
yz x-1 xz y 2 xy z 3
1 1 1
x 1, y 2,z 3. CMR : 1
xyz 2
2 3

+ − + −
 
≥ ≥ ≥ ≤ + +
 ÷
 
III. ỨNG DỤNG CỦA BĐT TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN:
Bài 1: Tìm GTLN :
a) y =
2
x 1 x−
e) y =
3 4
4x x−
b) y =
x 1
x
−
f) y =
( ) ( )
3 4
1 x 1 x− +
với
0 x 1
≤ ≤
c) y =
2 1
1 x x
+
−
với 0<x < 1 Hd:y = 3 +

2x 1 x
1 x x
−
+
−
g) y = (3-x)(4-y)(2x + 3y),
d) y = 2x +
2
1
x
với x > 0 với x
[ ] [ ]
0;3 ;y 0;4∈ ∈
Bài 2: Tìm GTNN của y
a) Cho a > 0, y =
1
a
a
+
b) Cho
a,b 0
1
; S ab
a b 1
ab
>

= +

+ ≤


c) Cho
a,b,c 0
1 1 1
; S a b c
3
a b c
a b c
2
>


= + + + + +

+ + ≤


d)Cho
2 2 2
a,b,c 0
1 1 1
; S a b c
3
a b c
a b c
2
>


= + + + + +


+ + ≤


Bài 3: Áp dụng BĐT:
1 1 4
;x, y 0
x y x y
+ ≥ >
+
. Dấu “=”
x y⇔ =
1. Với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, p: nửa chu vi
a)
ap
1
−
+
bp
1
−
+
cp
1
−

≥
2(
a
1

+
b
1
+
c
1
) b)
ap
a
−
+
bp
b
−
+
cp
c
−

≥
6
2. Cho x, y > 0 & x +y
1≤
. Tìm GTNN y =
2 2
1 1
4xy
xy
x y
+ +

+
Hd: y =
2 2
1 1 1 1
4xy
2xy 4xy 4xy
x y
+ + + +
+
( )
2
1
2
x y
≥ + +
+

1
4xy
3. Cho x, y, z > 0 & x +y +z=1. Tìm GTNN y =
2 2 2
1 1 1 1
xy zy xz
x y z
+ + +
+ +
Bài 4: BĐT về các cạnh trong tam giác
a)CMR:
2
a

+
2
b
+
2
c
< 2(ab + bc + ca). Hd:
2
)ba(
−
<
2
c
b) CMR:
3
a
+
3
b
+
3
c
> a
2
)cb(
−
+ b
2
)ac(
−

+ c
2
)ba(
−
. Hd: Áp dụng kq ý a)
c) CMR: (a + b – c)(a – b + c)(b + c – a) < abc
d)CMR:
2
a
b(a – b) +
2
b
c(b – c) +
2
c
a(c – a)
≥
0 Hd: Đặt x =
2
acb
−+
; y =
2
bca
−+
; z =
2
cba
−+
e) CMR:

a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
−−−++
< 1.
VT =
ca
ac
bc
cb
ab
ba
222222
−
+
−
+
−
=
abc
1

)ac(b)cb(a)ba(c
222222
−+−+−
=
abc
1
(a – b)(b – c)(c – a) <
abc
abc
f)Nếu a
≤
b
≤
c thì
2
)cba(
++
< 9bc
g)
bc
p a−
+
ac
p b−
+
ab
p c−

≥
4p

Hd: Đặt x = a + b – c , y = b + c – a , z = c + a – b . Ycbt
( )
yz xz xy
x y z
x y x
⇔ + + ≥ + +
h)CMR:
2
a
+
2
b
+
2
c

≥
4
3
S +
2
)ba(
−
+
2
)cb(
−
+
2
)ac(

−
Hd:
2
a
–
2
)cb(
−
+
2
b
–
2
)ac(
−
+
2
c
–
2
)ba(
−

≥
4
3
S
4(p – c)(p – b) + 4(p – a)(p – c) + 4(p – b)(p – a)
≥
4

3
S
(p – c)(p – b) + (p – a)(p – c) + (p – b)(p – a)
≥

)cp)(bp)(ap)](cp()bp()ap[(3
−−−−+−+−
(*)
Đặt p – a = x; p – b = y; p – c = z (x, y, z > 0) (*)
⇔
2
)zxyzxy(
++

≥
3xyz(x + y + z)

IV.BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA
1) CMR:
∀
a, b
∈
R: 3(
2
a
+
2
b
+ 1)
≥

2
)1ba(
++
.
2) Cho a + b = 2. CMR
4
a
+
4
b

≥
2.
3) Cho x, y, z
∈
R, xy + yz + zx = 4. CMR:
4
x
+
4
y
+
4
z

≥

3
16

Hd: 3(
4
x
+
4
y
+
4
z
)
≥
( )
2
2 2 2
x y z+ +
( )
2
xy + yz + zx ≥
4) Cho 2x + y
≥
2. CMR: 2
2
x
+
2
y
≥

4
3

5) Giả sử phương trình
2
x
+ ax + b = 0 có nghiệm
0
x
. CMR:
2
0
x

≤
1 +
2
a
+
2
b
Hd:
( )
( ) ( )
2
2 2 2
2
4 2 2 2
0
0 0 0
a b x 1
x ax b a b x 1
2

 
+ + +
= + ≤ + + ≤
 ÷
 
6) Nếu phương trình
4
x
+ a
3
x
+ b
2
x
+ ax + 1 = 0 có nghiệm thì: 5(
2
a
+
2
b
)
≥
4.
7) CM nếu
0
x
là nghiệm PT:
3
x
+ a

2
x
+ bx + c = 0 thì:
2
0
x
< 1 +
2
a
+
2
b
+
2
c
8) Cho a, b, c > 0; ab + bc + ca = abc. CMR:
ab
b2a
22
+
+
bc
c2b
22
+
+
ac
a2c
22
+

≥

3
Hd: Đặt x =
a
1
, y =
b
1
, z =
c
1

⇒
x + y + z = 1.ycbt:
22
yx2
+
+
22
zy2
+
+
22
xz2
+

≥

3
(
2
x
+
2
x
+
2
y
)(
2
1
+
2
1
+
2
1
)
≥

2
)yxx(
++
hay
22
yx2
+

≥

3
1
(2x + y) (vì x, y > 0)
9) Với a, b, c > 0,
2
a
2
b
+
2
b
2
c
+
2
c
2
a

≥

2
a
2
b
2
c
CMR:

)ba(c
ba
223
22
+
+
)cb(a
cb
223
22
+
+
)ac(b
ac
223
22
+

≥

2
3
10) CMR:
a1
a
2
−
+
b1
b

2
−
+
ba
1
+
+ a + b
≥

2
5
, trong đó a, b > 0, a + b < 1.
11) Cho x
≥
y
≥
z. CMR:
z
yx
2
+
x
zy
2
+
y
xz
2

≥

2
x
+
2
y
+
2
z
Hd: (
z
yx
2
+
x
zy
2
+
y
xz
2
)(
2
x z
y
+
2
y x
z
+

2
z y
x
)
≥
(
2
x
+
2
y
+
2
z
)
2
Mà T =
z
yx
2
+
x
zy
2
+
y
xz
2
- (
2

x z
y
+
2
y x
z
+
2
z y
x
) =
( )
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
1
x y y z z x x z y x z y
xyz
+ + − − −
=
( ) ( ) ( ) ( )
1
x y y z x z xy yz xz 0
xyz
− − − + + ≥
12) Cho a, b, c > 0; abc = ab + bc + ca . CMR:
c3b2a
1
++
+
cb3a2
1

++
+
cb2a3
1
++
<
16
3
13) CMR:
222
8
)ba(
a
+
+
222
8
)cb(
b
+
+
222
8
)ac(
c
+

≥

12

1
14) Tìm GTLN của:
a)
2
2y x x= + −
; b) T = 2a + 3b với a, b thỏa mãn
2 2
2 3 5a b+ ≤
c) y =
x 1 5 x− + −
d) y =
2x 1 5 3x− + −
15) Cho x, y, z thỏa
2 2 2
1x y z+ + =
. Tìm GTLN của P = x + y + z + xy + yz + zx.
16) Cho
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 1x y z− + − + − =
. Tìm GTLN của T =
2 3 8 .x y z+ + −
Hd: T =
2 3 8x y z+ + −
=
1.( 1) 2.( 2) 3.( 1)x y z− + − + −
17) Cho a, b > 0 thỏa
2 2
4a b+ =
. Tìm GTLN của T =

2
ab
a b+ +
.
Hd: gt
⇔
2ab = (a + b)
2
– 4 = (a + b -2) (a + b + 2) => 2T = a + b -2
≤
2 2
2(a b )+
-2
18) Cho các số thực x, y, z thỏa
2 2 2 2
0
1
x y x t
x y z t
+ + + =


+ + + =

. Tìm Min, Max Q = xy + yz + zt + tx
Hd: Q = (xy + yz + zt + tx )
2 2 2 2
x y z t≤ + + +
=> MaxQ = 1 khi x = y = t = z =
1

2
Mà Q = (x + z )(y + t) = - (y + t)
2
0≤
=> MinQ = 0 …

19) CMR:
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
a b c d a c b d+ + + ≥ + + +
(Hệ quả Bunhia)
20) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. CMR:
x y z 3
x 1 y 1 z 1 4
+ + ≤
+ + +
Hd:
x y z 1 1 1
3
x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1
 
+ + = − + +
 ÷
+ + + + + +
 
21) Tìm GTLN của hàm số: a) y =
(
)
2

x 93 95 x+ −
b) y =
(
)
2
x 1997 1999 x+ −
Hd: a) Tìm GTLN nên chỉ xét x
0; 95
 
∈
 
. y =
(
)
2
x 93 95 x+ −
(
)
2
x 93 93 1. 95 x= + −
2 2
2
x 93 95 x
x 94 93 95 x 94
2
 
+ + −
≤ + − ≤
 ÷
 

22) Cho x, y > 0 &
2 3
6. Tìm GTNN: A x y
x y
+ = = +
Hd:
( )
2
2 3
( )(x y) 2 3
x y
+ + ≥ +
23) Cho a, b, c > 0 & ax + by = c. Tìm GTNN của A =
2 2
x y
a b
+
Hd: (a
3
+ b
3
)(
2 2
x y
a b
+
)
≥
( ax + by)
2

24) Cho x, y, z > 0 &
a b c
1
x y z
+ + =
. Tìm GTNN của A = xyz; B = x + y + z; C =
2 2 2
x y z+ +
25) Tìm GTNN của hàm số y =
cb
a
+
+
ac
b
+
+
ba
c
+
+
b c
a
+
+
c a
b
+
+

a b
c
+
HD:
cb
a
+
+
ac
b
+
+
ba
c
+
3
2
≥
&
b c
a
+
+
c a
b
+
+
a b
c
+

=
b c c a a b
6
a a b b c c
+ + + + + ≥
26) Cho 3 số x, y, z > 0 & x(x - 1) + y(y -1) + z (z -1)
4
3
≤
. CMR: x + y + z
4≤
Hd: x(x - 1) + y(y -1) + z (z -1)
4
3
≤

2 2 2
1 1 1 25
x y z
2 2 2 12
     
⇔ − + − + − ≤
 ÷  ÷  ÷
     
. Ad Bunhia…
27) CMR:
a,b,c∀
;
2
2 2 2

1 1 1 1 1 1
a b c a b c
2 3 6 2 3 6
 
+ + ≤ + +
 ÷
 
28) G/s A
4
x
+ B
3
x
+ C
2
x
+ Bx + A = 0 (A
≠
0) có nghiệm. CMR:
2
B
+
2
)A2C(
−
> 3
2
A
Hd:A
4

0
x
+ B
3
0
x
+ C
2
0
x
+ B
0
x
+ A = 0
⇔
A(
2
0
x
+
2
0
x
1
) + B(
0
x
+
0
x

1
) + C = 0. (1)
Đặt
0
x
+
0
x
1
= X, đk
X

≥
2. (1)
⇔
A(
2
X
– 2) + BX + C = 0 => A
2
X
+ BX + C – 2A = 0
⇒
–
2
X
=
A
B
X +

A
A2C
−
; VT
2
≤









−
+
2
2
2
2
A
)A2C(
A
B
(
2
X
+ 1)
⇒

4
X

≤

2
22
A
)A2C(B
−+
(
2
X
+ 1)
⇒

2
22
A
)A2C(B
−+

≥

1X
X
2
4
+

>
1X
1X
2
4
+
−
=
2
X
– 1 > 3
⇒

2
B
+
2
)A2C(
−
> 3
2
A
Tòm giaá trõ lúán nhêët vaâ nhoã nhêët cuãa
haâm söë
Bài 1: Cho
x, y,z 1>
. Tìm GTNN của
( )
y
z x

log x
log y log z
T x y z
x y z y x z
 
= + + + +
 ÷
+ + +
 
Bài 2: Cho
0 x
2
π
< <
. Tìm GTNN của y =
1 1
cosx sinx
+
Bài 3: Tìm GTNN của
n n
2 2
1 1
y 1 1
sin x cos x
   
= + + +
 ÷  ÷
   
Bài 4: Tìm GTLN và GTNN:
( ) ( ) ( ) ( )

2 2
f (x) sin x y cos x-y sin x y cos x+y
= + + −
Bài 5: Tìm GTNN của
2 2
cos x sin x
y 4 4
= +
Bài 6: Cho
ABC∆
, tìm GTLN của
A B C B A C
y tg tg 1 tg tg 1 tg tg 1
2 2 2 2 2 2
= + + + + +
HD: Bunhia
Bài 7: Tìm GTLN & GTNN của
( )
sinx+siny sin z cosx.cosy.cosz
y
1+sinx.siny
+
=
HD: Ad Bunhia cho tử số
Bài 8: