Gắn tọa độ không giản giải HHKG

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H̀nh h c không gian l p 12
----------

PH NG PH́P T A
TRONG KHÔNG GIAN

T́c gi : Ph

ng Nguy n


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

L I ŃI

U

Nh ćc b n đ u bi t , môn Tón lƠ m t môn r t quan tr ng vƠ ć
t m nh h ng r t l n t i vi c x́t tuy n vƠo i H c hay Cao ng
sau nƠy. Do đ́ đ ć đ c s đi m cao trong môn nƠy , ta c n ph i ć
1 v n ki n th c c n thi t vƠ hi u r̃ nh ng kh́i ni m , b n ch t tón
h c. VƠ trong chuyên đ ngƠy hôm nay m̀nh s đ c p đ n 1 trong 3
cơu h̀nh h c luôn xu t hi n trong đ thi đ i h c. ́ ch́nh lƠ ćc bƠi
tón v h̀nh h c không gian thu n t́y (c đi n) v i ph ng ph́p g n
h tr c Oxyz vƠ gi i nh m t bƠi tón gi i t́ch b̀nh th ng. a s
trong ćc bƠi tón nƠy, m̀nh th ng th y ćc b n ch lƠm đ c 1/2
yêu c u đ bƠi (gi ng m̀nh ĺc tr c hihi :v).Ćc cơu h i c̀n l i nh
t̀m kho ng ćch gi a 1 đi m đ n đ ng th ng hay t̀m kho ng ćch
gi a 2 đ ng th ng ho c ch ng minh song song,vuông ǵc v.v..... ćc

b n đ u b (vƠ m̀nh c ng v y :v ). Ĺ do lƠ b i v̀ b n đư quên 1 s
ki n th c v h̀nh h c l p 11 vƠ ćc ćch t duy d ng h̀nh. V̀ th
m̀nh s gíp ćc b n v t qua ćc bƠi tón y b ng ph ng ph́p t a
đ h́a nƠy 
u đi m :

 D hi u
 D lƠm
 Công vi c ch́nh lƠ ch t́nh tón
 Không c n ch ng minh nhi u
 Ph̀ h p v i ćc b n h c h̀nh y u
Nh

c đi m :

 T́nh tón d sai
 ôi khi s ch m h n so v i ćch c đi n
 ́t đ c s d ng
 ôi khi nh̀n r t d l n


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Ph n đ u tiên
Ćc ki n th c quan tr ng ( c n nh h t :v )
1.Ćc công th c v h̀nh h c
 Di n t́ch ćc h̀nh:
 Tam gíc th



SABC 

ng (ho c vuông nh trong h̀nh)

1
1
1
1
AB. AC.BC
AD.BC  AB. AC.sin A  AB.BC.sin B  AC.CB.sin C 
 pr
2
2
2
2
4R

( v i AD lƠ đ ng cao,R lƠ b́n ḱnh
đ ng tr̀n ngo i ti p, p lƠ n a chu vi , r lƠ b́n ḱnh
đ ng tr̀n n i ti p )

A

* M r ng :
- H th c l ng trong tam gíc vuông
( nh h̀nh v )
AC 2  CD.CB
AB 2  BD.BC
BC 2  AB 2  AC 2

1
1
1
AB. AC
 2
 AD 
2
2
AD
AB AC
AB 2  AC 2
AD 2  BD.CD
AB. AC  AD.BC

B

D

C

A

- H th c l ng trong m i tam gíc :
(v́ d tam gíc th ng nh h̀nh v )

AB 2  BC 2  AC 2  2 BC. AC.cos C
AB
BC
AC



sin C sin A sin B
1
1
AE 2  ( AB 2  AC 2 )  BC 2
2
4

B

E

C


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

 H̀nh thang ( th

S ABCD 

ng , cơn , vuông)

B

A

( AB  CD). AH
2

AH  DC  AH .DC  0
D

C

H

 H̀nh b̀nh hƠnh

A

B

S ABCD  AB. AH  2S ABC  2S ADC
AB  BC  CD  DA

K

AH  DC  AH .DC  0

D

C

H

A

 H̀nh thoi

1
AC.BD
2
AC  BD  AC.BD  0
AB  BC  CD  DA

S ABCD 

B

D
C

 H̀nh ch nh t

A

B

D

C

S ABCD  AB.BC
AB  DC
AD  BC


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

B

A
 H̀nh vuông

S ABCD  AB 2  BC 2  CD 2  AD 2

E

AB  BC  CD  DA

D

C

2.Ćc công th c t́nh th t́ch ćc h̀nh

S

 Th t́ch kh i ch́p
Ćch t́nh : L y đ
r i chia 3

ng cao nhơn di n t́ch đ́y

V́ d nh h̀nh v th̀ :

B

A

VSABC

1
 SA.S ABCD
3
D

C

Ch́ ́ :
- H̀nh chóp tam gíc đ u th̀ ć đ́y lƠ tam gíc đ u vƠ ć ćc c nh bên
b ng nhau nh ng không b ng c nh đ́y (t c lƠ ćc m t bên lƠ tam gíc cơn)
- H̀nh chóp đ u th̀ ć đ́y lƠ tam gíc đ u, ćc c nh bên b ng nhau vƠ b ng
v i c nh đ́y (ćc m t bên c ng lƠ tam gíc đ u).
- Còn h̀nh chóp có đ́y là tam gíc đ u vƠ ćc c nh bên không b ng nhau
th̀ đ bƠi s ghi lƠ "Cho h̀nh ch́p ć đ́y lƠ tam gíc đ u" vƠ không ńi g̀
thêm.


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

C'

B'

 Th t́ch kh i l ng tr
A'

Ćch t́nh : Gi ng nh h̀nh ch́p nh ng

không ć chia 3
V́ d nh h̀nh v th̀ :

VSABC  BB '.S ABC

B

Ch́ ́ :

C

A

- V i l ng tr th̀ ć 2 lo i : L ng tr đ ng vƠ l ng tr xiên . Nh h̀nh v
trên th̀ đ́ lƠ l ng tr đ ng vƠ đ i v i lo i nƠy th̀ ćc c nh bên đ u là
đ ng cao và vuông góc v i đ́y, lo i nƠy r t d lƠm. V y c̀n l ng tr xiên
th̀ sao? L ng tr xiên lƠ lo i l ng tr mƠ ćc b n nh̀n ń kh́c xa hoƠn toƠn
so v i l ng tr đ ng, ḿo ḿo, vƠ ch ć 1 đ ng cao :D. V́ d nh h̀nh v
k bên :D
V y khi nƠo ch́ng ta bi t đ́ lƠ l ng tr đ ng
S
B'
hay xiên đ mƠ v ? R t d , hưy theo quy t c sau
 Khi đ bƠi không ńi g̀  l ng tr đ ng
 Khi đ bƠi ć y u t h̀nh chi u
c a 1 đi m lên đ́y l ng tr xiên

A'

B

H

A

C

C'


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

3.Ćc công th c v h tr c t a đ OXYZ
 Vect trong không gian:
Cho a  (a1; a2 ; a3 ) vƠ b  (b1; b2 ; b3 )

a 

dƠi vect :
T ng hi u 2 vect

a12  a2 2  a3 2

a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )

Nhơn m t s v i 1 vect :
Hai vect b ng nhau

a c̀ng ph

a1  b1

a  b  a2  b2
a  b
 3 3

ng b 

Ba vect đ ng ph ng

k.a  (ka1; ka2 ; ka3 )

a1 a2 a3
 
b1 b2 b3

 a, b  .c  0
 

a.b  a1b1  a2b2  a3b3

T́ch vô h

ng

T́ch ć h

ng  a, b   (a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 )

Ǵc t o b i 2 vect

 

cos a, b 

a.b
a.b

1



a1b1  a2b2  a3b3

a12  a2 2  a32 . b12  b2 2  b32

VABCD   AB, AC  . AD
Th t́ch t di n ABCD
6
(đôi khi nhi u bƠi c n d̀ng )


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

 Ph

ng tr̀nh đ

ng th ng

Ph ng tr̀nh tham s c a đ ng th ng d đi qua đi m M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
vƠ ć vtcp a  (a1; a2 ; a3 ) v i a1.a2 .a3  0

 x  x0  a1t
 d  :  y  y0  a2t
z  z  a t
0
3

T đ́ ć th suy ra ph

d  :
 Ph

t  R 
ng tr̀nh ch́nh t c c a d :

x  x0 y  y0 z  z0


a1
a2
a3

ng tr̀nh m t ph ng

Ph ng tr̀nh m t ph ng đi qua đi m M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
ć vect ph́p tuy n n  ( A; B; C )

A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0

 Ph

ng tr̀nh m t c u :

M t c u (S) ć tơm I(a;b;c) vƠ b́n ḱnh R

D ng 1 : ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R 2

Khi đ́ (S): D ng 2 : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0

2
2
2
2
2
2
 R= a  b  c  d (a  b  c  d  0)
 Ǵc, kho ng ćch
Ǵc gi a 2 đ

ng th ng cos  d1 , d 2  

v i u d1 vƠ ud 2 l n l

ud1 .ud2
ud1 . ud2

t lƠ vtcp c a d1 vƠ d2

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Ǵc gi a 2 m t ph ng
v i n , n l n l
Ǵc gi a đ

cos  ( ), (  )  

t lƠ vtpt c a ( ), (  )

ng th ng vƠ m t ph ng

n .n
n . n

sin  d , ( )  

ud .n
ud . n

Kho ng ćch t đi m I ( x0 ; y0 ; z0 ) đ n m t ph ng (P): Ax+By+Cz + D = 0

d  I , ( P)  
Kho ng ćch gi a 2 đ

A2  B 2  C 2

ng th ng ch́o nhau

d d1 ,d2 

v i M1 , M 2 l n l

Ax0  By0  Cz0  D

ud , ud  .M1M 2
 1 2

ud , ud 
 1 2

t lƠ ćc đi m b t k̀ n m trên

d1 , d2

ây l̀ tòn b ćc công th c quan tr ng m̀ ćc b n c n
ph i ghi nh đ ć th l̀m t t ph n h̀nh không gian b ng
ph ng ph́p t a đ ǹy.S d c ng đ̃ ć nhi u b n đ̃
nh h t , nh ng đ cho ch c ch n m̀nh c ng đ̃ li t kê l i
nh m gíp cho ćc b n ć th h th ng l i ćc ki n th c v̀
b sung nh ng ći m̀ m̀nh c̀n thi u śt .
N u ćc b n đ̃ đ c đ n đây th̀ ch c ćc b n c ng đ̃ nh
g n 80% r i :D, v̀ gi m̀nh c̀ng chuy n sang ph n ch́nh
nh́ :D
*


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Ph n 2: Ph

ng ph́p gi i tón

V i ph ng ph́p nƠy , ćc b n ch c n quan tơm cho m̀nh đ́ lƠ đ́y c a ń
lƠ h̀nh g̀ thôi , không c n quan tơm đ n đ ng cao,không c n bi t đ́ lƠ
l ng tr hay ch́p ( v̀ 2 h̀nh nƠy đ u nh nhau v ćch d ng h tr c n u 2
đ́y gi ng nhau ) VƠ sau đơy lƠ ćch d ng khi g p 1 s lo i h̀nh sau :
- N u h̀nh ch́p,l ng tr ć đ́y lƠ h̀nh vuông,h̀nh ch nh t,h̀nh thang
vuông,tam gíc vuông th̀ d ng h tr c v i A lƠ g c t a đ ( n u tam gíc
vuông A th̀ d ng A,vuông B th̀ d ng B).
- N u h̀nh ch́p,l ng tr ć đ́y lƠ tam gíc cân ho c đ u th̀ k đ
vƠ d̀ng chơn đ ng cao lƠm g c t a đ

ng cao

- N u h̀nh ch́p, l ng tr ć đ́y lƠ h̀nh thoi th̀ ch n giao đi m 2 đ
ch́o lƠm g c t a đ .

Ph n 3: Ćc v́ d

ng

minh h a

V́ d 1 ( v i đ́y là h̀nh vuông) :
Cho h̀nh ch́p S.ABCD ć đ́y ABCD lƠ h̀nh vuông đ dƠi c nh b ng a ,
SD =

3a
.H̀nh chi u vuông ǵc c a S trên m t ph ng (ABCD) lƠ trung đi m
2

c a c nh AB. T́nh th t́ch kh i ch́p S.ABCD vƠ kho ng ćch gi a 2
đ ng th ng SC vƠ BD.


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

z
S (a/2;0;a)

A (0;0;0)

H (a/2;0;0)
B (a;0;0)

x

C (a;a;0)

D (0;a;0)
y

H ng d n : u tiên đi v h̀nh , vƠ ch n A lƠ g c t a đ nh trên.V̀ h̀nh
vuông ć đ dƠi a nên AB=BC=CD=AC=a, do đ́ đi m B ć t a đ lƠ
(a,0,0) v̀ n m trên tr c hoƠnh vƠ m t kh́c đi m D ć t a đ lƠ (0,a,0) do
n m trên tr c tung. T i đơy ta ć th d dƠng t̀m đ c t a đ đi m C b ng
ćch s d ng công th c 2 vect b ng nhau ( đơy lƠ AB  CD )

 xB  xA  xD  xc


AB  CD   yB  y A  yD  yC  C  a; a;0 
z  z  z  z
D
C
 B A
G i H lƠ h̀nh chi u c a S lên (ABCD) đ ng th i lƠ trung đi m AB. Do đ́
a



t a đ c a H lƠ  ; 0; 0  . VƠ đ t̀m đ c t a đ đi m S,ch́ng ta ph i ć
2

đ c đ dƠi SH, đ t́nh đ dƠi SH ta s đi t́nh DH , khi t́nh đ c DH k t
h p v i đ dƠi SD đ bƠi cho ta t̀m đ c SH qua vi c s d ng đ nh ĺ
pitago trong tam gíc SDH vuông t i H


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

-́p d ng đ nh ĺ pitago trong tam gíc vuông ADH vuông t i A
 DH=

a 5
2

-́p d ng đ nh ĺ pitago trong tam gíc vuông SDH vuông t i H
 SH=a
a
T đ́ suy ra S  ;0; a  V̀ H lƠ h̀nh chi u c a S nên S vƠ H s ć c̀ng tung

2




đ ,hoƠnh đ , ch kh́c nhau cao đ vƠ cao đ

đơy c a S lƠ đ dƠi SH=a.

T̀m xong t t c ćc đ nh ta th y bƠi tón tr nên d dƠng h n r t nhi u
Khi đ́ :

VSABCD

1
1 2 a3
 SH .S ABCD  a.a 
(đvtt)
3
3
3

VƠ cu i c̀ng lƠ cơu t́nh kho ng ćch gi a 2 đ ng th ng SC vƠ BD ( v̀ đơy
lƠ bƠi đ u tiên nên m̀nh s ńi chi ti t h t ćc ćch lƠm )
u tiên ch́ng ta s đi t́nh t́ch vô h

ng 2 vect

a


SC   ; a; a 
2

BD   a; a;0 

3
 SC , BD    a 2 ; a 2 ; a 2 

 
2 
Sau đ́ l n l t trên 2 vect nƠy ch n l n l t 1 đi m ć t a đ đ n gi n . V́
d
đơy, m̀nh ch n đi m B trên BD vƠ đi m C trên SC
T đ́ suy ra BC   0; a;0 
́p d ng công th c kho ng ćch 2 đ

ng th ng

 SC , BD  .BC
a3
a3
2a 17



 2

d ( SC , BD) 
17
17 4 a 17

 SC , BD 


a
4
2


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

M t v́ d kh́c
H̀nh ch́p S.ABCD ć đ́y lƠ h̀nh vuông ABCD c nh a . H̀nh chi u vuông
ǵc c a S lên (ABCD) lƠ tr ng tơm G c a tam gíc BAD . SA t o v i đ́y
m t ǵc  bi t tan   2 2 . G i I lƠ h̀nh chi u vuông ǵc c a A lên SC .
T́nh th t́ch kh i ch́p S.ABCD vƠ kho ng ćch 2 đ ng th ng AI vƠ SD
theo a .

z
S ( a/3;a/3;4a/3 )

I ( 2a/3;2a/3;2a/3 )

B ( a;0;0 )

A ( 0;0;0 )

x
G ( a/3;a/3;0 )
O ( a/2;a/2;0 )
D ( 0;a;0 )

C ( a;a;0 )
y


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H

ng d n: Gi ng nh bƠi trên v̀ đơy lƠ h̀nh ch́p ć đ́y lƠ h̀nh vuông

nên ta s ch n luôn A lƠm g c t a đ vƠ ć SG lƠ đ ng cao . T đ́ ́p d ng
ćc h th c vect b ng nhau nh bƠi v́ d v a nưy ta d dƠng t̀m đ c t a
đ ćc đi m B,C,D,O.
V̀ G lƠ tr ng tơm tam gíc BAD

x A  xB  xD a



x
G

3
3

y  yB  yD a

a a 
  yG  A
  G  ; ;0 

3
3
3 3 

z A  zB  zD

0
 zG 
3

Ta ć : AO 
MƠ AG =

AC a 2

2
2

2
2a 2 a 2
AO 

( do G lƠ tr ng tơm tam gíc ABD )
3
3 2
3

Theo đ bƠi th̀ AG lƠ h̀nh chi u vuông ǵc c a SA trên (ABCD)
Suy ra ǵc  ch́nh lƠ ǵc SAG vƠ tan   2 2
Tam gíc SAG vuông t i G ( gt )

 SG  AG.tan  

4
a 2
.2 2  a
3
3

 a a 4a 

T đ́ suy ra S  ; ;  V̀ G lƠ h̀nh chi u c a S nên S vƠ G s ć c̀ng
3 3 3 
tung đ ,hoƠnh đ , ch kh́c nhau cao đ vƠ cao đ
đơy c a S lƠ đ dƠi
4
3

SG = a .
Khi đ́ :

1
1
4
4
VS . ABCD  S ABCD .SG  a 2 . a  a 3 (đvtt)
3
3
3
9

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

VƠ bơy gi ch́ng ta c̀ng chuy n sang ́ th 2 c a bƠi tón . V̀ đ bƠi ch
ńi I lƠ h̀nh chi u vuông ǵc c a A lên SC nên ch́ng ta không th t̀m đ c
ngay t a đ đi m I ( n u cho I lƠ trung đi m c a SC th̀ ch́ng ta s d dƠng
h n ) . V y bơy gi lƠm nh th nƠo ? R t đ n gi n , vi c t̀m t a đ đi m I
ĺc nƠy c ng gi ng nh lƠm 1 bƠi tón OXYZ v i yêu c u t̀m h̀nh chi u
c a 1 đi m lên đo n th ng . Tr c tiên ch́ng ta hưy vi t ph ng tr̀nh
đ ng th ng SC :

 2a 2a 4a 
; ;

 3 3 3 

Ta ć : SC  

3
SC  1;1; 2  ( lƠm nh v y đ đ n gi n a trong vtcp SC
2a
t đ́ gíp ch́ng ta vi t ptts tr nên d dƠng ́t xu t hi n a gi m b t qú tr̀nh
t́nh tón )
 Ch n uSC 

qua C  a; a;0 
VTCP uSC  1;1; 2 

ng th ng SC : 

x  a  t

 PTTS dt SC :  y  a  t (t  R)
 z  2t

V̀

I  SC  I  a  t; a  t; 2t 

V̀ I lƠ h̀nh chi u c a A lên SC

 SC. AI  0  uSC . AI  0  t 
2 2 2 
 I  a; a; a 
3 3 3 

a
3


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

T̀m đ c đi m I bƠi tón coi nh đư đ
c a ch́ng ta ch lƠ đi t́nh tón

c gi i quy t vƠ bơy gi nhi m v


 2a 2a 2a 

 AI   3 ; 3 ; 3 




 a 2a 4a 
 SD   ; ;

 3 3 3 
Ta ć : 
 AD   0; a;0 


 4a 2 2a 2 2a 2 
;
;
  AI , SD   

3
3
3 


2a 3
3

2a 3
 AI , SD  . AD
a 6



 d  AI , SD  

 3 
6
2a 6 2a 6
 AI , SD 


3
3

V́ d 2 (v i đ́y là h̀nh ch nh t )
Cho l ng tr ABCD.A'B'C'D' ć đ́y ABCD lƠ h̀nh ch nh t AB=a,AD=2a
H̀nh chi u vuông ǵc c a c a đi m A' trên m t ph ng (ABCD) lƠ đi m H
tr̀ng v i giao đi m c a AC vƠ BD, A'H=3a.T́nh th t́ch kh i l ng tr
ABCD.A'B'C'D' vƠ kho ng ćch t B' đ n m t ph ng (A'BD) theo a


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

z

D' (a/2;3a;3a)

A' (a/2;a;3a)

B' (3a/2;a;3a)

C' (3a/2;3a;3a)

A (0;0;0)
B (a;0;0)

H ( a/2;a;0)
D (0;2a;0)
C (a;2a;0)
y

H

ng d n : R̃ rƠng khi đ c đ bƠi ta ć th th y đ c đơy lƠ h̀nh l ng

tr xiên do ć y u t h̀nh chi u vuông ǵc c a 1 đi m lên m t ph ng đ́y.
T đ́ ta ti n hƠnh đi v h̀nh, v i đ́y lƠ h̀nh ch nh t nên ta ch n A l m
g c t a đ . Khi ch n xong ta ć th x́c đ nh đ c t a đ ćc đi m
A,B,D,C,H,A' vƠ bơy gi nhi m v bơy gi ch c̀n lƠ t́nh tón.V̀ bƠi nƠy
ch́ng ta ch c n bi t t a đ ćc đi m A,B,D,C,H,A' nên s kh́ d dƠng.
V i nhi u bƠi th̀ ch́ng ta s c n ph i bi t h t t a đ ćc đi m m i ć th
t́nh tón đ c.V̀ th l y v́ d nh bƠi nƠy,m̀nh c ng đư t́nh h t trên h̀nh
đ cho ćc b n th y.Mu n t̀m t a đ ćc đi m trên nh D' ch́ng ta ch
c n s d ng 2 vect b ng nhau đ́ lƠ AA '  DD ' vƠ t ng t v i DD '  CC '
CC '  BB ' ch́ng ta d dƠng t̀m đ c t a đ đi m C', B'.Khi t̀m xong ćc
đi m, bƠi tón s tr nên d dƠng
Khi đ́ :

VABCD. A ' B 'C ' D '  S ABCD . A ' H  a.2a.3a  6a 3 (đvtt)
Bơy gi ch́ng ta s đ n v i ́ c̀n l i c a bƠi tón. t̀m kho ng ćch c a
B' đ n (A'BD) ch́ng ta c n ph i bi t ph ng tr̀nh t ng qút c a (A'BD)

x


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

u tiên ch́ng ta s đi t̀m vect ph́p tuy n c a (A'BD):

 A ' B, BD    6a 2 ;3a 2 ;0 


1
 A ' B, BD    6;3;0 
nên ch n n( A ' BD ) 
2 

a

(lƠm nh th nƠy đ đ n gi n a trong t́ch ć h ng, t đ́ ch́ng ta ć th
vi t ph ng tr̀nh d dƠng không d́nh d́ng nhi u t i a trong đ́ )


a

qua A'  2 ; a;3a 


Ta ć ( A ' BD) 
vtpt n
( A ' BD )  (6;3;0)


a

  A ' BD  : 6  x    3  y  a   0
2

  A ' BD  : 6 x  3 y  6a  0

V y ta t́nh đ

c kho ng ćch t B' đ n (A'BD)

d  B ',  A ' BD   

6.

3a
 3a  6a
2
62  32



6a 2 5a

5
3 5

V́ d 3 : ( v i đ́y là h̀nh thang vuông )
Cho h̀nh ch́p S.ABCD ć đ́y lƠ h̀nh thang vuông ( Aˆ  Dˆ  900 )
AD=DC=2a , AB=a.SA vuông ǵc v i m t ph ng đ́y đ ng th i SB t o v i

đ́y 1 ǵc 600 . T́nh th t́ch kh i ch́p S.ABCD vƠ t́nh ǵc gi a 2 đ ng
th ng SB vƠ DC


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

z
S ( 0;2a;a√3 )

C ( 2a;0;0 )
D ( 0;0;0 )

x

60°

B ( 2a;2a;0 )

A ( 0;2a;0 )
y

H

ng d n: V i nh ng d ki n đ bƠi cho ta ć th d dƠng x́c đ nh đ c

CD lƠ đ́y l n , AB lƠ đ́y nh , AD lƠ chi u cao h̀nh thang ABCD vƠ
CD=2AB . Ch n D lƠm g c t a đ vƠ t đ́ ch́ng ta ć th d dƠng t́nh
đ c t a đ đi m B b ng h th c vect theo d ki n đ bƠi : CD  2 AB . Ĺc
nƠy ch c̀n t a đ đi m S, v i vi c t̀m đ c đ dƠi SA lƠ bƠi tón s tr nên
d dƠng.

Nh n th y : AB lƠ h̀nh chi u vuông ǵc c a SB lên (ABCD)
Tam gíc SAB vuông t i A suy ra SA  AB.tan 600  a 3
Khi đ́

1
1  CD  AB 
1  2a  a 
VS . ABCD  S ABCD SA 
AD.SA 
2a.a 3  a 3 3 (đvtt)
3
3
2
3 2


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

́ th nh t đư xong, bơy gi ch́ng ta c̀ng chuy n sang ́ th hai c a bƠi
tón.
t́nh ǵc gi a 2 đ ng th ng SB vƠ DC ch́ng ta ch c n t́nh 2
vect SB, DC r i ́p d ng công th c m̀nh đư đ a lƠ xong
Ta ć

SB  (a;0; a 3)
DC   2a;0;0 
t cos   cos( SB, DC )

 cos  

SB.DC
SB . DC



2a 2
4a 2 4a 2



1
2

   600
V y ǵc gi a 2 đ

ng th ng SB vƠ DC lƠ 600

V́ d 4 ( v i đ́y là tam gíc vuông )
Cho h̀nh l ng tr đ ng ABC.A'B'C' ć đ́y ABC lƠ tam gíc vuông t i
B.AB=a,AA'=2a vƠ A'C=3a . G i M lƠ trung đi m c a c nh A'C' , I lƠ giao
đi m c a AM vƠ A'C.T́nh th t́ch kh i t di n IABC vƠ kho ng ćch t A
đ n m t ph ng (IBC) theo a


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

z
B' ( 0;0;2a)

C' (2a;0;2a)

M (a;a/2;2a)

A' (0;a;2a)

I (2a/3;2a/3;4a/3)

B (0;0;0)

C (2a;0;0)

x

A (0;a;0)

y

H

ng d n :

c qua đ bƠi ch́ng ta ć th th y ngay đơy lƠ h̀nh l ng tr
đ ng , đ́y lƠ tam gíc vuông t i B nên ta ch n luôn B lƠm g c t a đ . V i
d ki n đ bƠi ch́ng ta ch ć th x́c đ nh đ c t a đ 4 đ nh A,A',B,B'. VƠ
bơy gi nhi m v c a ch́ng ta lƠ đi t̀m ćc đ nh c̀n l i vƠ h́a gi i ćc yêu
c u bƠi tón. u tiên ch́ng ta s d dƠng t́nh đ c đ dƠi c nh AC v i tam
gíc A'AC vuông t i A
́p d ng đ nh ĺ pytago trong tam gíc A'AC vuông t i A

 AC  A ' C 2  A ' A2 

3a    2a 
2

2

a 5

́p d ng đ nh ĺ pytago trong tam gíc ABC vuông t i B

 BC  AC 2  AB 2 



a 5



2

 a 2  2a

V y C (2a;0;0)  C'(2a;0;2a) do ćc c nh bên A'A , B'B , C'C ć c̀ng cao
đ


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

VƠ bơy gi ch c̀n t a đ đi m I lƠ ch́ng ta ch a ć. V y t̀m đi m I nh

th nƠo ? R t d , nh n th y I lƠ giao đi m c a A'C vƠ AM . V̀ th n u
ch́ng ta ć đ c ph ng tr̀nh đ ng th ng A'C vƠ AM ch́ng ta s t̀m
đ ct ađ I
qua A  0; a;0 
ng th ng AM : 
a
VTCP AM  (a; ; 2a )

2
 x  at

a

 PTTS AM:  y  a  t ( t  R )
2

 z  2at

qua C (2a;0;0)
VTCP A ' C   2a; a; 2a 

ng th ng A'C : 

 x  2a  2at1

 PTTS A ' C :  y  at1
 t1  R 
 z  2at
1




G i I thu c AM suy ra I  at; a  t ; 2at 
2
a





Ta ć h : at  2at1  2a
 2
t
 a

 3
 t  at1  a  
 2
t  2
1
2at  2at1  0
3


2 2 4 
I
  3 a; 3 a; 3 a 
1
4

Khi đ́ VIABC   IA, IB  .IC  a 3 (đvtt)

6
9

VƠ gi ch́ng ta s đ n ́ ti p theo lƠ kho ng ćch t A đ n m t ph ng (IBC)
 8a 2 4 2 
 IB, IC    0;
; a 


3 3 


Nên ch n n IBC  

1
 8 4 



IB
,
IC
  0; 3 ; 3 
a2 


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

qua B(0;0;0)

Ta ć : (IBC) : 
 8 4 

VTPT
n
; 
 IBC   0;

 3 3

  IBC  : 8 y  4 z  0
V y kho ng ćch t A đ n (IBC) lƠ :

d  A,  IBC   

8a

 8

2

 42



8a
2 5a


5
4 5

M t v́ d kh́c :
Cho l ng tr ABC.A'B'C' ć đ́y ABC lƠ tam gíc vuông cơn t i B , AC=2a ,
H̀nh chi u vuông ǵc c a đi m A' trên m t ph ng (ABC) lƠ trung đi m c a
c nh AC , đ ng th ng A'B t o v i m t ph ng (ABC) m t ǵc 450 . T́nh
theo a th t́ch kh i l ng tr ABC.A'B'C' vƠ ch ng minh A'B vuông ǵc B'C
( Tŕch đ thi H 2016 )

z
B' ( a√2/2;-a√2/2;a )

C' ( 3a√2/2;-a√2/2;a )

A' ( a√2/2;a√2/2;a )

45°

B ( 0;0;0 )

C ( a√2;0;0 )
H ( a√2/2;a√2/2;0 )

A ( 0;a√2;0 )
y

x

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

H

ng d n: R̃ rƠng khi đ c đ bƠi ta ć th th y đ c đơy lƠ h̀nh l ng

tr xiên . V i đ́y lƠ tam gíc vuông cơn t i B nên ta ch n B lƠm g c t a
đ vƠ AC lƠ c nh huy n b ng 2a nên suy ra 2 c nh c̀n l i ć đ dƠi lƠ a 2
b ng vi c s d ng đ nh ĺ pytago đ ng th i BH 

AC
a
2

T đ́ ta d dƠng t̀m đ c t a đ ćc đ nh c̀n l i qua vi c s d ng ćc
vect b ng nhau nh nh ng bƠi tr c.
Nh n th y : ǵc gi a đ

ng th ng A'B vƠ m t ph ng (ABC) lƠ ǵc A'BH

0
Ta ć : A ' H  BH tan 45  a

Khi đ́ :

VABC . A ' B 'C '  S ABC . A ' H 

1
1
BC.BA. A ' H  a 2.a 2.a  a 3 (đvtt)

2
2

Gi ch́ng ta c̀ng chuy n sang ́ ti p theo c a bƠi tón .
bƠi yêu c u
ch́ng ta ch ng minh A'B vuông ǵc B'C . V y lƠm nh th nƠo đơy ? R t
đ n gi n , hưy ch ng minh vect A'B vuông ǵc vect B'C qua t́ch vô
h ng c a ch́ng b ng 0
Ta ć :
 a 2 a 2

;
; a 
A ' B  
2
 2

a 2 a 2

B ' C  
;
; a 
2
 2


A ' B.B ' C  0  A ' B  B ' C
V y A'B vuông ǵc B'C (đpcm)

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

V́ d 5 ( v i đ́y là tam gíc cân ) :
Cho h̀nh l ng tr đ ng ABC.A'B'C' ć đ́y ABC lƠ tam gíc cơn t i C , AB=
6a , ǵc ABC = 300 , ǵc gi a 2 m t ph ng (C'AB) vƠ m t ph ng (ABC)
b ng 600 . T́nh th t́ch kh i l ng tr ABC.A'B'C' vƠ kho ng ćch gi a hai
đ ng th ng B'C vƠ AB theo a.

z

A' ( 0;3a;3a )

C' ( -a√3;0;3a )

B' ( 0;-3a;3a )

y

C ( -a√3;0;0 )
A ( 0;3a;0 )
60°

30°

I (0;0;0)

B ( 0;-3a;0 )

x