14 cuc tri toa do khong gian p1

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn



I. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG CÓ YẾU TỐC CỰC TRỊ
Dạng 1: Tìm điểm M thuộc (P) sao cho
= + +
   
u aMA bMB cMC
có

u
đạt min.
Phương pháp giải:
+ Tìm điểm I thỏa mãn hệ thức
0
aIA bIB cIC
+ + =
   

+ Phân tích
(
)
( ) ( )
u aMA bMB cMC a b c MI aIA bIB cIC a b c MI
= + + = + + + + + = + +
        

Khi đó
min

u a b c MI u
= + + ⇒ ⇔
 
M là hình chiếu vuống góc của I lên (P).
Tọa độ điểm
( ; ; )
M x y z
thỏa mãn hệ phương trình
( )
∈



=


 
P
M P
IM kn

Ví dụ 1.
Cho các
đ
i
ể
m A(2; 1; −1), B(0; 3; 1) và
( ): 3 0.
P x y z
+ − + =

Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c (P) sao cho
a)

min
+
 
MA MB

b)

min
2
MA MB
−
 

Đ/s: a)
(1;2;0), ( 1;0;2).
I M
−
b)
(4; 1; 3), (1; 4;0).
I M
− − −

Ví dụ 2. Cho các điểm
A
(1; 0; −1),
B
(2; −2; 1),
C
(0; −1; 0) và
( ): 2 2 6 0.
− + + =
P x y z Tìm điểm
M
thuộc
(
P
) sao cho
a)
min
+ +
  
MA MB MC

b)
min
2 4 3− +
  
MA MB MC

Đ/s: a)
(0;1; 2).

≡ −
M G
b)
32 89 10
( 6;5; 6), ; .
9 9 9
 
− − − −
 
 
I M

Ví dụ 3.
Cho các
đ
i
ể
m A(1; 1; 2), B(−2; 1; −7) và
( ): 1 0.
+ − + =
P x y z
Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c (P) sao cho
a)

min
+
 
MA MB

b)

min
2 +
 
MA MB

Đ/s:

b)

(0;1; 1)
−
I
Ví dụ 4.
Cho các
đ
i
ể
m A(0; 1; −1), B(2; 3; −2), C(6; 1; 14) và
( ): 2 1 0.
+ − + =
P x y z
Tìm
đ

i
ể
m M thu
ộ
c (P)
sao cho
min
2 3+ −
  
MA MB MC
Đ/s:

(
)
(2;2;1), 1;0;2 .
I M

Dạng 2: Tìm điểm M thuộc (P) sao cho
= + +
2 2 2
T aMA bMB cMC
đạt max hoặc min.
Ph
ươ
ng pháp gi
ả
i:
+ Tìm
đ
i

ể
m I th
ỏ
a mãn h
ệ
th
ứ
c
0
aIA bIB cIC
+ + =
   

+ Phân tích
2 2 2 2
( )= + + + + +
T a b c MI aIA bIB cIC

+ N
ế
u a + b + c > 0 thì T
đặ
t min; a + b + c < 0 thì T
đặ
t max
14. CỰC TRỊ TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Khi đó

ax min min
;
⇔ →
m
T T MI M là hình chiếu vuống góc của I lên (P).
Tọa độ điểm
( ; ; )
M x y z
thỏa mãn hệ phương trình
( )
∈



=


 
P
M P
IM kn

Ví dụ 1.
Cho các
đ
i
ể
m A(
−
3; 5;

−
5), B(5;
−
3; 7) và
( ): 0.
+ + =
P x y z
Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c (P) sao cho
a)

2 2
= +
T MA MB
đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.
b)

2 2

2
= −
T MA MB
đạ
t giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t.
Đ/s:

a)

(1;1;1); (0;0;0)
I M
b)

(13; 11;9), (6; 18;12).
− −
I M
Ví dụ 2.
Cho các
đ
i
ể
m A(1; 4; 5), B(0; 3; 1), C(2;
−
1; 0) và

( ):3 3 2 15 0.
− − − =
P x y z
Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c
(P) sao cho
a)

2 2 2
= + +
T MA MB MC
đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.
b)

2 2 2
2 4
= + −
T MA MB MC

đạ
t giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t.
Đ/s:

a)

(4; 1;0)
≡ −
M G là tr
ọ
ng tâm tam giác
b)

25 74 9
(7; 16; 7), ; .
11 11 11
 
− − − −
 
 
I M

Ví dụ 3.
Cho các

đ
i
ể
m A(1; 1; -1), B(2; 0; 1), C(1; −1; -1) và
( ): 2 0.
+ + + =
P x y z
Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c (P)
sao cho
a)

2 2
2
= +
T MA MB
đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.
b)

2 2 2
2= + −
T MA MB MC
đạ
t giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t.
Đ/s:

b)

(
)
(2;1;1), 0; 1; 1 .
− −
I M

Ví dụ 4.
Cho các
đ
i
ể
m A(0; 4; -2), B(1; 2; -1) và
( ): 1 0.
− + + =

P x y z
Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c (P) sao cho bi
ể
u
th
ứ
c
2 2
2
−
MA MB
đạ
t giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t?
Đ/s:

(
)
(2;0;0), 1;1; 1 .

−
I M

Ví dụ 5.
Cho các
đ
i
ể
m A(1; 1; 0),
5
; 1;0 ,( ) : 2 0
3
 
− − + =
 
 
B P x y z
. Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c (P) sao cho bi
ể
u th
ứ
c
2 2
3−

MA MB
đạ
t giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t?
Đ/s:

(
)
(2; 2;0), 1;0; 1 .
− −
I M