14 cuc tri toa do khong gian p3

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn



III. BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH CÓ YẾU TỐ CỰC TRỊ
Phương pháp đại số:
+ Gọi véc tơ pháp tuyến hoặc véc tơ chỉ phương của mặt phẳng (hoặc đường thẳng) cần lập là (a; b; c)
+ Thiết lập một phương trình quy ẩn (a theo b, c hoặc ngược lại) từ một dữ kiện về mặt phẳng chứa đường,
song song hoặc vuông góc. Giả sử phương trình thu gọn ẩn là a = f(b; c)
+ Thiết lập phương trình khoảng cách mà đề bài yêu cầu, thay a = f(b; c) vào ta được một phương trình hai
ẩn b; c.
Xét hàm khoảng cách
( ; )
=
d g b c

+ Nếu c = 0 thì
1
0
≠ → =
b d d
, lưu lại giá trị khoảng cách d
1
này.
+ Nếu
0 ( );
 
≠ ⇒ = = =
 
 

b b
c d g g t t
c c

Kh
ả
o sát hàm g(t) ta thu
đượ
c k
ế
t qu
ả
.
Chú ý:
+ Công th
ứ
c kho
ả
ng cách t
ừ
m
ộ
t
đ
i
ể
m
đế
n m
ộ

t m
ặ
t ph
ẳ
ng
( )
0 0 0
2 2 2
;( )
+ + +
=
+ +
Ax By Cz D
d A P
A B C

+ Công th
ứ
c kho
ả
ng cách t
ừ
m
ộ
t
đ
i
ể
m
đế

n m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng
( )
;
;
∆
∆
 
 
∆ =
 

u AM
d A
u
; v
ớ
i M thu
ộ
c
∆
.
+ Công th
ứ
c kho

ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
( )
1 2 1 2
1 2
1 2
; .
;
;
∆ ∆
∆ ∆
 
 
∆ ∆ =
 
 
  
 
u u M M
d
u u

Bây giờ chúng ta xét bản chất hình học của các bài toán về khoảng cách thường gặp
Bài toán 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A

đến (P) lớn nhất, với A là điểm không thuộc d
Phương pháp giải:

+ Kẻ
( ); ( ;( ))
⊥ ⊥ ⇒ =
AH P AK d AH d A P
và điểm K cố định.
+ Ta có
(
)
max
;( )
≤ ⇒ = ⇔ ≡
AH AK d A P AK H K
. Khi đó mặt phẳng (P) cần lập chứa đường thẳng d và
nhận véc tơ

AK
là véc tơ pháp tuyến.
14. CỰC TRỊ TRONG TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN – P3
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Ví dụ 1. (Khối A – 2008)
Cho các điểm A(2; 5; 3) và đường thẳng
1 2
: .
2 1 2
− −

= =
x y z
d
Lập (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) max.
Đ/s:
(3;1;4), ( ): 4 3 0.
− + − =
K P x y z
Ví dụ 2. Cho các điểm A(3; 2; –1) và đường thẳng
: 1
=


= −


= −

x t
d y
z t

Lập (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) max.
Đ/s:
( ): 4 0.
+ + − =
P x y z
Bài toán 2: Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đi qua điểm A cho
trước sao cho khoảng cách từ điểm B đến d lớn nhất? nhỏ nhất?
Phương pháp giải:

+ Kẻ
; ( ) ( ; )
⊥ ⊥ ⇒ =
AB d BK P BH d B d
và điểm K cố định.
+ Ta có
(
)
max
;
≤ ⇒ = ⇔ ≡
BH BA d B d BA H A
. Khi đó đường thẳng d nằm trong (P), đi qua A và vuông
góc với đường thẳng AB, suy ra d có một véc tơ chỉ phương là ;
 
=
 
  
d P
u n AB

+ Mặt khác, lại có
(
)
min
;
≥ ⇒ = ⇔ ≡
BH BK d B d BK H K
. Khi đó đường thẳng d nằm trong (P), đi qua A

và đi qua hình chiếu K của B. Ta dễ thấy d có một véc tơ chỉ phương là
; ;
 
 
=
 
 
   
d P P
u n n AB

Ví dụ 1. Cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; –3) và
( ): 2 1 0.
+ − − =
P x y z

Lập phương trình đường d nằm trong (P); đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất? nhỏ nhất?
Đ/s:
( )
1
max :
1 1 1
6 ; 14
1
min :
1 0 1
−

= =


−
≤ ≤ ⇒

−

= =


x y z
d B d
x y z

Ví dụ 2. Cho các điểm A(1; 2; 4), B(1; 2; –2) và
( ): 1 0.
+ − + =
P x y z

Lập phương trình đường d nằm trong (P); đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất? nhỏ nhất?
Đ/s:
max : (1; 1;0)
min : (1;1;1)

= −

=




d

d
u
u

Còn nữa ở phần 4!!!