Bài giảng đại số tuyến tính tích vô hướng

CHƯƠNG V

7/13/2014

ThS. NGUYỄN HẢI SƠN

1




§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ THỰC




§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH

1.1 Định nghĩa.
Đ/n. Cho V là một R-kgvt, ánh xạ φ: VxV→R gọi là
một dạng song tuyến tính trên V nếu nó thỏa mãn
các t/c sau:
(i) ( x1  x2 ; y )  ( x1; y )  ( x2 ; y )
(ii) (x; y )  ( x; y )
(iii) ( x; y1  y2 )  ( x; y1 )  ( x; y2 )
(iv) ( x; y )  ( x; y )
với x, x1 , x2 , y, y1 , y2 V ,   




§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH

Chú ý: Nếu cố định một biến thì dạng song tuyến
tính trở thành dạng tuyến tính theo biến còn lại.
VD1. Ánh xạ φ: RxR → R xác định bởi φ(x,y)=x.y là
một dạng song tuyến tính.
VD2. Ánh xạ φ : R2x R2 → R xác định bởi
φ(u,v)=x1.x2+y1 y2 là một dạng song tuyến tính với
u=(x1 , y1), v=(x2 , y2).




§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH

Chú ý. Ánh xạ tuyến tính f : V → R với V là một Rkgvt gọi là dạng tuyến tính trên V.
VD3. Nếu V là kgvt và f, g là hai dạng tuyến tính
trên V thì ánh xạ φ : VxV → R xác định bởi
φ(u,v)=f(u).g(v) là một dạng song tuyến tính.




§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH

VD4. Ánh xạ φ : R2x R2 → R xác định bởi

( x, y )   x1

1 3   y1 
x2  
y 
2
4

 2

là một dạng song tuyến tính.
Đ/n. Dạng song tuyến tính φ : Vx V → R gọi là đối
xứng nếu φ(x;y)= φ(y;x) với mọi x,y thuộc V.
VD5. Các dạng song tuyến tính ở VD1, VD2 là các
dạng song tuyến tính đối xứng.




§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH

1.2 Ma trận của dạng song tuyến tính.
a.Đ/n. Cho φ: VxV → R là dạng song tuyến tính
trên V. Gọi B={e1, e2,…, en} là một cơ sở của V.
Đặt φ(ei,ej)=aij với i,j=1,…,n. Khi đó, ma trận
A=[aij] gọi là ma trận của φ đối với cơ sở B.
VD. Cho dạng song tuyến tính φ : R2x R2 → R xđ
bởi φ(u,v)=x1.x2+y1y2 với u=(x1 , y1), v=(x2 , y2).
Viết ma trận của đối với cơ sở chính tắc của R2 và
B={v1=(1;1),v2=(1;2)}.



§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH

b. Biểu thức tọa độ.
Cho x=x1e1+x2e2+…+xnen và y=y1e1+y2e2+…+ynen.
Khi đó.
n

n
t
B

( x, y )   xi y j (ei , e j )   aij xi y j  [x] A[ y ]B
i , j 1

i , j 1

t
B

( x, y)  [x] A[ y]B




§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH

c. Công thức đổi tọa độ
G/s B’={v1, v2,…, vn} là cơ sở khác của V và T là

mtr chuyển cơ sở từ B sang B’.
Gọi A’ là ma trận của φ đối với cơ sở B’.
Ta có [x]B  T [x]B ' , [y]B  T [y]B '
t
B'

( x, y )  [x] A '[y]B '
t

t
B

Suy ra ( x, y )  [x] A[y]B  T [x]B '  A T [y]B ' 
t
B'

t

 [x] (T AT )[y]B '




§1: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH
t
B'

t

t

B'

Do đó [x] (T AT )[y] B '  [x] A '[y] B '
t

 A '  T AT
ĐL. Hạng của ma trận của dạng song tuyến tính
trên kgvt V không phụ thuộc vào cơ sở được chọn.
Đn. Hạng của dạng song tuyến tính trên kgvt Vlà
hạng của ma trận của dạng song tuyến tính đó đối
với một cơ sở bất kì.



§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG




§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG

2.1 Định nghĩa
a. Đ/n. Cho dạng song tuyến tính đối xứng φ trên Rkgvt V. Khi đó ω(x) = φ(x,x) gọi là dạng toàn
phương sinh bởi dạng song tuyến tính φ đã cho.
- Ma trận của dạng toàn phương này theo một cơ sở
B nào đó là mtr của dạng song tuyến tính đối xứng
sinh ra nó theo một cơ sở B.
Chú ý: Ma trận của dạng toàn phương là mtr đối
xứng.



§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG

b. Dạng toàn phương xác định dương, xác định âm.
Cho dạng toàn phương ω(x) =φ(x,x).
+ φ(x,x) gọi là xác định dương nếu ( x; x)  0, x  
+ φ(x,x) gọi là xác định âm nếu ( x; x)  0, x  
- Nếu φ(x,x) không xác định dương, không xác định âm
thì nó gọi là không xác định dấu.
- Ma trận tương ứng của dạng toàn phương cũng được gọi
là xác định dương, xác định âm và không xác định dấu.




§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG

c. Dạng chính tắc của dạng toàn phương.
Cho dạng toàn phương ω(x) = φ(x,x) của ma trận
A đối với cơ sở B của V.
n

t

Ta có ( x, x)   x B A x B   aij xi x j
i , j 1

Trong trường hợp A là mtr chéo thì dạng toàn

phương φ(x,x) gọi là có dạng chính tắc
2
11 1

2
22 2

2
nn n

( x, x)  a x  a x  ...  a x




§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG

( x, x)  a11 x12  a22 x22  ...  ann xn2
NX: φ(x,x) xác định dương khi và chỉ khi aii  0, i
φ(x,x) xác định âm khi và chỉ khi aii  0, i




§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG

→ Bài toán:
“Đưa dạng toàn phương về dạng
chính tắc”
hay “Tìm một cơ sở của V để ma

trận của dạng toàn phương có
dạng chéo”




§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG

2.2. Rút gọn dạng toàn phương
Có 3 phương pháp
◆ Phương pháp Lagrange (SV tự đọc)
◆ Phương pháp Jacobi
◆ Phương pháp chéo hóa trực giao




§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG

2.2.1 Phương pháp Lagrange (SV tự đọc)
VD. Dùng phương pháp Lagrange, đưa các dạng
toàn phương sau về dạng chính tắc.
2
1

2
2

2
3

a) ( x )  2 x  x  x  3 x1 x2  4 x1 x3
b)

( x)  x1 x2  x2 x3  x3 x1




§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG

2.2.2 Phương pháp Jacobi
Cho dạng toàn phương ω(x) có ma trận A=[aij ]
đối với một cơ sở {e1, e2,…, en } nào đó của V.

 a11 a12
a
a22
21
A

 
a
 n1 an 2

 a1n 

 a2 n

  


 ann 




§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG

Nếu A có các định thức con chính  k  0, k  1, n
a11 a12  a1k

k 

a21


a22  a2 k






ak1 ak 2  akk
thì tồn tại một cơ sở B của V sao cho theo cơ sở
đó dạng toàn phương có dạng chính tắc.
1 2 1 2
 n1 2
( x ) 
y1 

y2  ... 
yn
1
2
n




§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG

•Tiêu chuẩn Sylvester
Cho dạng toàn phương ω(x) có ma trận A theo
một cơ sở nào đó của V.
+ ω(x) xác định dương khi và chỉ khi Δk>0 với
mọi k =1,2,…,n.
+ ω(x) xác định âm khi và chỉ khi (-1)kΔk>0 với
mọi k =1,2,…,n.




§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG

VD 1. Xác định dấu của dạng toàn phương
2
1

2
2

2
3

a) ( x )  5 x  x  5 x  4 x1 x2  8 x1 x3  4 x2 x3
b)

( x)   x12  2 x1 x2  3 x22  4 x32

VD 2. Xác định a để các dạng toàn phương sau xác
định dương
2
2
2
a) ( x )  5 x1  x2  ax3  4 x1 x2  2 x1 x3
2
2
b) ( x)  2 x1  ax2  2 x1 x2  2 x2 x3




§2: DẠNG TOÀN PHƯƠNG

•Định luật quán tính
Với một dạng toàn phương cho trước, số các số
hạng mang dấu dương và số các số hạng mang dấu
âm của các dạng chính tắc của nó không thay đổi,
không phụ thuộc vào phép biến đổi không suy biến,
hay nói cách khác không phụ thuộc vào sự lựa chọn

cơ sở.




§3:KHÔNG GIAN EUCLIDE




§3: KHÔNG GIAN EUCLIDE

3.1 Tích vô hướng và không gian Euclide.
Đ/n: Cho V là R-không gian vectơ, ánh xạ
.,. : V  V  R

( x, y )  x, y
gọi là một tích vô hướng nếu thỏa mãn
(i) x, y  y, x , x, y V
(ii) x, y   x, y , x, y V ,   
(iii) x1  x2 , y  x1 , y  x2 , y , x1 , x2 , y V
(iv) x, x  0, x V . Dấu “=” chỉ xảy ra khi x=θ.