Nội dung lý thuyết môn giải tích 1

Nội dung lý thuyết môn Giải tích I
1. Phát biểu định nghĩa lim xn   .
2.
3.
4.
5.
6.

Phát biểu định lý kẹp về giới hạn dãy số.
Phát biểu định nghĩa dãy Cauchy.
Phát biểu tiêu chuẩn Cauchy về điều kiện cần và đủ để dãy số hội tụ.
Phát biểu điều kiện đủ để dãy số đơn điệu có giới hạn.
Phát biểu định nghĩa lim f ( x)   .
x 

7. Phát biểu định nghĩa lim f ( x)   theo ngôn ngữ  ,  .
x  x0

8. Phát biểu định nghĩa lim f ( x)   thông qua giới hạn dãy số
x  x0

9. Phát biểu định lý kẹp về giới hạn hàm số.
10. Phát biểu định nghĩa vô cùng bé, hai vô cùng bé tương đương, quy tắc thay thế vô cùng bé tương
đương khi tìm giới hạn hàm số.
11. Phát biểu định nghĩa hàm liên tục tại một điểm, phát biểu định nghĩa liên tục phải, liên tục trái.
12. Phát biểu định nghĩa hàm liên tục trong khoảng (a; b) , trên đoạn [a; b] .
13. Định nghĩa hàm liên tục đều trên một tập.
14. Thế nào là điểm gián đoạn loại I, điểm gián đoạn khử được, điểm gián đoạn loại II. Định nghĩa
bước nhẩy của hàm số tại điểm x0 .
15. Phát biểu các tính chất cơ bản của hàm liên tục trên [a; b] (định lý về giá trị trung gian, định lý
về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, định lý về tính liên tục đều).

16. Phát biểu định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm.
17. Phát biểu định nghĩa đạo hàm phải, đạo hàm trái của hàm số tại một điểm.
18. Định nghĩa hàm khả vi tại một điểm. Mối quan hệ giữa tính khả vi và có đạo hàm.
19. Nêu quy tắc Leibnitz tìm đạo hàm cấp cao của tích hai hàm số.
20. Phát biểu định lý Fermat, định lý Rolle.
21. Phát biểu định lý Rolle, định lý Lagrange
22. Phát biểu định lý Cauchy về giá trị trung bình của hàm khả vi.
23. Phát biểu công thức Taylor, công thức Maclaurin.
0
.
0

25. Phát biểu công thức L’Hospital khử dạng vô định .


24. Phát biểu công thức L’Hospital khử dạng vô định

26. Phát biểu quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa vào đạo hàm cấp cao.
27. Định nghĩa tích phân bất định, nêu các tính chất của tích phân bất định. Phát biểu điều kiện đủ
để một hàm có tích phân bất định trong (a; b) .
28. Phát biểu công thức Newton-Leibnitz, công thức tích phân từng phần, công thức đổi biến trong
tích phân xác định.
29. Phát biểu các tính chất của tích phân xác định.


30. Định nghĩa tích phân xác định theo cận trên biến thiên. Phát biểu định lý về tính liên tục, tính
khả vi của tích phân theo cận trên biên thiên.


31. Phát biểu định nghĩa tích phân suy rộng



f ( x) dx .

a


32. Định nghĩa sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng



f ( x)dx .

a

33. Phát biểu định nghĩa tích phân suy rộng của hàm không bị chặn trong (a; b] .
b

34. Định nghĩa sự hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng

 f ( x)dx .
a

35. Phát biểu tiêu chuẩn so sánh bất đẳng thức để kiểm tra tính hội tụ của tích phân suy rộng




f ( x) dx .

a

36. Phát biểu tiêu chuẩn so sánh bất đẳng thức để kiểm tra tính hội tụ của tích phân suy rộng
b

 f ( x)dx .
a


37. Phát biểu tiêu chuẩn so sánh giới hạn để kiểm tra tính hội tụ của tích phân suy rộng



f ( x) dx .

a


38. Định nghĩa tích phân suy rộng



f ( x)dx hội tụ tuyệt đối, hội tụ bán tuyệt đối. Mối quan hệ giữa

a

tính hội tụ và hội tụ tuyệt đối của tích phân suy rộng.
39. Định nghĩa chuỗi số hội tụ, chuỗi số phân kỳ. Phát biểu điều kiện cần để chuỗi số hội tụ.
40. Phát biểu tiêu chuẩn Cauchy về điều kiện cần và đủ để chuỗi số hội tụ.

41. Phát biểu tiêu chẩn so sánh giới hạn dùng để kiểm tra sự hội tụ của chuỗi số dương.
42. Phát biểu tiêu chẩn so sánh bất đẳng thức dùng để kiểm tra sự hội tụ của chuỗi số dương.
43. Phát biểu tiêu chẩn D’Alembert dùng để kiểm tra sự hội tụ của chuỗi số dương.
44. Phát biểu tiêu chẩn căn thức Cauchy dùng để kiểm tra sự hội tụ của chuỗi số dương.
45. Phát biểu tiêu chẩn tích phân dùng để kiểm tra sự hội tụ của chuỗi số dương.
46. Định nghĩa chuỗi số đan dấu. Phát biểu tiêu chuẩn Leibnitz để kiểm tra sự hội tụ của chuỗi số
đan dấu.
47. Định nghĩa chuỗi số hội tụ tuyệt đối, hội tụ bán tuyệt đối. Nêu mối quan hệ giữa sự hội tụ tuyệt
đối và hội tụ bán tuyệt đối của chuỗi số.
48. Định nghĩa chuỗi hàm, miền hội tụ của chuỗi hàm, tổng của chuỗi hàm.
49. Định nghĩa sự hội tụ đều của chuỗi hàm. Phát biểu tiêu chuẩn Weierstrass về sự hội tụ đều của
chuỗi hàm.
50. Định nghĩa chuỗi lũy thừa, miền hội tụ và bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
51. Phát biếu các định lý nói lên tính chất của chuỗi lũy thừa trong khoảng hội tụ của nó.


Bài tập minh họa lý thuyết môn Giải tích I
1. Chứng minh lim

n
 1 theo định nghĩa.
n2

3cos n  (1) n .n
.
n2  1
1
1
1
3. Chứng minh dãy số {xn } với xn 


 ... 
là dãy Cauchy.
1.2 2.3
n(n  1)

2. Áp dụng định lý kẹp để tìm giới hạn lim

4. Dùng tiêu chuẩn Cauchy, chứng minh dãy số { xn } với xn 

1
1
1

 ... 
là dãy hội tụ.
1.2 2.3
n(n  1)

xn

 xn 1 
1  xn có giới hạn.
5. Chứng minh dãy số 
x  1
 1
x
 1 theo định nghĩa.
x  x  1

6. Chứng minh lim

7. Chứng minh lim x3  1 theo định nghĩa.
x 1

1
không tồn tại theo định nghĩa.
x0
x
1
9. Dùng định lý kẹp, tìm giới hạn lim x cos 2 .
x0
x

8. Chứng minh lim sin

sin x  x sin 3x 3
10. Sử dụng quy tắc thay thế vô cùng bé tương đương, tìm giới hạn lim
x 0
ln(1  x)  1
 x 1 1
khi x  0

11. Xét tính liên tục của hàm số f ( x)  
tại x  0 .
x
x 1
khi x  0

 x ( x  1)

khi x  0

12. Xét tính liên tục của hàm số f ( x)   x
trong [0;1] .
 1
khi x  0

ax 2  3bx  1 khi x  1

13. Tìm a, b để hàm số f ( x)  3
khi x  1 liên tục tại x  1 . Vẽ đồ thị hàm số ứng với
ax  4b
khi x  1

a , b vừa tìm được.

14. Chứng minh hàm số f ( x ) 

1
không liên tục đều trong (0;1) .
x

 x 1 1
khi x  0

15. Tính bước nhẩy của hàm số f ( x)   x  x 2
tại x  0 .
cos x
khi x  0


16. Chứng minh phương trình x  sin x  2  0 có nghiệm.

17. Tính đạo hàm của hàm số f ( x)  x 3 tại điểm x0  1 theo định nghĩa.


18. Hàm số f ( x)  x  1 có đạo hàm tại x  1 không ?
19. Tính vi phân của hàm số f ( x)  x3  x tại x  2 theo định nghĩa.
20. Áp dụng quy tắc Leibnitz để tính f (20) ( x) với f ( x)  x 4 e x .
21. Hàm số f ( x)  x có thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle không ?
22. Cho f ( x)  x3 . Tìm điểm trung gian c trong định lý Lagrange ứng với hàm số f ( x ) xét trên
đoạn [2;3] .
23. Kiểm tra xem các hàm số f ( x)  x 2 , g ( x)  x 3 xét trên đoạn [1;1] có thỏa mãn điều kiện của
định lý Cauchy không ?
24. Viết khai triển Taylor của hàm f ( x )  x  ln x tại điểm x0  1 đến lũy thừa 2.
1  cos x  x sin x
x2
log x
26. Áp dụng công thức L’Hospital tìm giới hạn lim 3 2 .
x 
2x 1
x  sin x
27. Tìm giới hạn lim
. Ta có thể tính giới hạn đó bằng cách áp dụng công thức L’Hospital
x 
x 1

25. Áp dụng công thức L’Hospital tìm giới hạn lim
x0

được không ?

28. Áp dụng quy tắc đó kiểm tra xem x  0 có là điểm cực trị của hàm số f ( x )  2  2 cos x  x sin x
không ?
29. Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm f ( x )   cos 2 x biết F (0)  1 .
1

30. Tính tích phân

 x.

3

1  x 2 dx

1


2

31. Chứng minh




sin x
dx  1 .
x

4

x

 (e
32. Tính giới hạn lim
x 0

t2

 1)dt

0

t3


33. Tính tích phân suy rộng


2

dx
theo định nghĩa.
x 1
2



34. Xét sự hội tụ của tích phân

dx

 2 x  1 theo định nghĩa.
2

5

35. Tính tích phân suy rộng


1

dx
theo định nghĩa.
x 1
3

36. Xét sự hội tụ của tích phân


2

dx
theo định nghĩa.
x2


37. Sử dụng tiêu chuẩn so sánh, xét sự hội tụ của tích phân


1

xdx
.
x3  1


2

38. Sử dụng tiêu chuẩn so sánh, xét sự hội tụ của tích phân

xdx

 ( x  2)

x 1

1



39. Sử dụng tiêu chuẩn sao sánh, xét sự hội tụ của tích phân

( x  1) dx

x

x2  3

1



40. Xét sự hội tụ của tích phân


1



41. Xét sự hội tụ của chuỗi số

.

.

sin xdx
.
x2  1

n

 n 1 .
n 1



42. Dùng tiêu chuẩn Cauchy để kiểm tra sự hội tụ của chuỗi số

1

 n(n  1) .

n 1



43. Dùng tiêu chuẩn so sánh giới hạn xét sự hội tụ của chuỗi số


n 1

n 1
n n2  1


44. Dùng tiêu chẩn so sánh bất đẳng thức xét sự hội tụ của chuỗi số

.

n 1

 (n  3)n

2

.

n 1

2n
45. Dùng tiêu chẩn D’Alembert xét sự hội tụ của chuỗi số  n .
n 1 3  1



n



46. Dùng tiêu chẩn căn thức Cauchy xét sự hội tụ của chuỗi số


47. Xét sự hội tụ của chuỗi số

 n 1 


 .
n 1  2 n  1 

1

 n ln n .
n 1



48. Dùng tiêu chẩn tích phân xét sự hội tụ của chuỗi số

1

 n ln n .
n 1



49. Dùng tiêu chuẩn Leibnitz xét sự hội tụ của chuỗi số


n 1

(1) n
.
n 1



50. Xét sự hội tụ của chuỗi số

sin n
.
n2
n 1





51. Chứng minh chuỗi hàm

n  cos nx
có miền hội tụ là R .
n3  1

n 1



xn
trên [1;1] .

2
n 1 n  1


52. Dùng tiêu chuẩn Weierstrass, xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm

xn
.

n 1 n  1


53. Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa