Dãy hội tụ về điểm bất động của ánh xạ không giãn và điểm bất động chung

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH


LÊ ANH TUẤN

DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

LÊ ANH TUẤN

DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA
ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN VÀ ĐIỂM BẤT
ĐỘNG CHUNG
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số

: 60 4601

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... 0
LỜI NÓI ĐẦU ...................................................................................................... 1
CHƯƠNG I ........................................................................................................... 3
KIẾN THỨC CƠ SỞ ............................................................................................ 3
1.1. Bổ đề 1.1 .................................................................................................... 3
1.2. Không gian mêtric. ..................................................................................... 3
Định nghĩa 1.2 ................................................................................................. 3
Bổ đề 1.3.......................................................................................................... 3
Định nghĩa 1.4 ................................................................................................. 4
Định lý 1.5 ....................................................................................................... 4
1.3 Không gian Banach lồi đều ......................................................................... 6
Định nghĩa 1.6 ................................................................................................. 6
Bổ đề 1.7.......................................................................................................... 6
CHƯƠNG II .......................................................................................................... 7
ĐỊNH LÝ VỀ SỰ DUY NHẤT CỦA ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC
ÁNH XẠ TƯƠNG THÍCH YẾU.......................................................................... 7
2.1 Các định nghĩa ............................................................................................. 7
Định nghĩa 2.1 ................................................................................................. 7
Định nghĩa 2.2 ................................................................................................. 7
Định nghĩa 2.3 ................................................................................................. 7
Định nghĩa 2.5 ................................................................................................. 8
Định nghĩa 2.6 ................................................................................................. 8
2.2 Định lý 2.7 .................................................................................................. 8
2.3 Định lý 2.8 ................................................................................................ 10
2.4 Định lý 2.9 ................................................................................................ 12
2.5 Hệ quả 2.10 ............................................................................................... 14

2.6 Hệ quả 2.11 ............................................................................................... 14
2.7 Định lý 2.12 .............................................................................................. 15


2.8 Định lý 2.13 .............................................................................................. 16
2.9 Định lý 2.14 .............................................................................................. 17
2.10 Hệ quả 2.15 ............................................................................................. 18
2.11 Định lý 2.16 ............................................................................................ 19
CHƯƠNG III....................................................................................................... 23
LẬP DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG HỌ N ÁNH XẠ TỰA TIỆM CẬN
KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LỒI ĐỀU ....................... 23
3.1 Các định nghĩa ........................................................................................... 23
Định nghĩa 3.1 ............................................................................................... 23
Định nghĩa 3.2 ............................................................................................... 23
Định nghĩa 3.3 ............................................................................................... 23
Định nghĩa 3.4 ............................................................................................... 23
Định nghĩa 3.5 ............................................................................................... 24
Định nghĩa 3.6 ............................................................................................... 24
3.2 Định lý 3.7 ................................................................................................ 24
3.3 Định lý 3.8 ................................................................................................ 24
3.4 Định lý 3.9 ................................................................................................ 25
3.5 Ánh xạ loại (A) ......................................................................................... 25
3.6 Ánh xạ loại (B) ......................................................................................... 26
3.7 Lập dãy hội tụ về điểm bất động họ ánh xạ tựa tiệm cận không giãn ...... 26
3.8 Bổ đề 3.10 ................................................................................................. 27
3.9 Bổ đề 3.11 ................................................................................................. 29
3.10 Định lý 3.12 ............................................................................................ 36
3.11 Định nghĩa 3.13 ...................................................................................... 38
3.12 Định lý 3.14 ............................................................................................ 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 40

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS LÊ
HOÀN HÓA – người đã tận tâm hướng dẫn và tạo mọi điều kiện thuận lợi để
tôi hoàn thành luận văn này.
Tiếp theo, tôi xin gửi lời cám ơn đến quý Thầy Cô trong hội đồng chấm
luận văn đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến cho tôi hoàn
thành luận văn này một cách hoàn chỉnh.
Tôi xin cám ơn bàn Giám Hiệu, phòng Sau Đại Học cùng toàn thể quý Thầy
Cô khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM đã giảng dạy và tạo điều
kiện tốt cho tôi trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài.
Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này khó tránh khỏi những điều sai
sót, rất được mong sự góp của quý Thầy Cô và Bạn đọc để hoàn thiện đề tài
hơn nữa.


1

LỜI NÓI ĐẦU
Định lý điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên
trên không gian mêtric đã được trình bày bởi nhiều tác giả trên các bài: A.
Mbarki, Fixed points for near-contractive type multivalued mapping,
Southwest J. Pure Appl. Math; A. Djoudi and L. Nisse, Gregus type fixed
points for weakly compatiple mappings, Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin;
M. Imdad and J. Ali, Jungck’s common fixed point theorems and E. A.
Property, Acta Math. Sin; …
Cách lập một dãy hội tụ mạnh tới điểm bất động chung của một họ N các
ánh xạ tựa tiệm cận không giãn trên không gian Banach lồi đều cũng được
nghiên cứu bởi nhiều tác giả qua các bài: B. E. Rhoades, Fixed point iteration

for certain nonlinear mapping, J. Math. Anal. Appl; N. Shahzad and A.
Udomene, Approximating common fixed points of two asymptotically quasi
nonexpansive mappings in Banach spaces, Fixed point theory and
Applicatoins; H. K. Xu, Existence and convergence for fixed points of
mappings of asymptotically non-expansive type, Nonlinear Anal; ...
Luận văn này là sự trình bày lại một cách có hệ thống các kết quả về định lý
điểm bất động chung duy nhất của các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên trên
không gian mêtric và cách lập một dãy lặp hội tụ về điểm bất động chung của
họ N các ánh xạ tựa tiệm cận không giãn trên không gian Banach lồi đều.


2

Luận văn sẽ được trình bày trong ba chương:
Chương I. KIẾN THỨC CƠ SỞ
Trình bày lại một số kết quả về sự hội tụ của dãy số thực, không gian
mêtric, không gian Banach lồi đều và sử dụng cho việc chứng minh trong các
chương sau.
Chương II. ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ
TƯƠNG THÍCH YẾU
Xây dựng điều kiện đủ để các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên trên
không gian mêtric có điểm bất động chung duy nhất.
Chương III. LẬP DÃY HỘI TỤ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA HỌ
N CÁC ÁNH XẠ TỰA TIỆM CẬN KHÔNG GIÃN
Cách lập một dãy hội tụ về điểm bất động chung của họ N các ánh xạ tựa
tiệm cận không giãn trên không gian Banach lồi đều.


3

CHƯƠNG I
KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Bổ đề 1.1
∞
∞
∞
Cho các dãy số thực không âm =
, {rn }n 1 thỏa điều kiện:
{α n }n 1 ,=
{β n }n 1 =

β n < ∞ và ∑ n 1 rn < ∞ thì lim α n tồn tại.
1 . Nếu ∑ n 1 =
α n +1 ≤ (1 + β n )α n + rn , ∀n ≥=
n →∞
∞

∞

(Bổ đề được chứng minh bởi: K. K. Tan and H. K. Xu, Approximating fixed
points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iteration process, J. Math.
Anal. Appl 178 (1993), pp 301-308).
1.2. Không gian mêtric.
Bên cạnh những kiến thức quan trọng đã được nghiên cứu trong quá trình
học đại học về không gian mêtric, trong phần này sẽ nhắc lại một số định
nghĩa sử dụng trong quá trình thực hiện luận văn.
Định nghĩa 1.2
Cho hai tập compact A và B trong không gian mêtric X. Độ lệch của A đối
với B là đại lượng được ký hiệu e ( A, B ) và được xác định như sau:
e ( A, B ) = sup d ( x , B ) .

x∈A

( ) ( )

Nhận xét: e A, B ≠ e B, A .
Ví dụ A ⊆ B và A ≠ B . Khi đó ta có e ( A, B ) = 0 còn e ( B, A ) ≠ 0.
Bổ đề 1.3
Độ lệch e ( A, B ) là hữu hạn và tồn tại điểm a ∈ A sao cho e ( A, B ) = d ( a, B )


4

Chứng minh.
Vì A là compact nên giới nội. Do đó với y0 ∈ B tìm được α > 0 để
d ( x , y0 ) < ε , ∀x ∈ A ,

vì thế e ( A, B ) hữu hạn. Theo định nghĩa e ( A, B ) tồn tại

xn ∈ A để e ( A, B ) = lim d ( xn , B ) . Do A là compact nên { xn } có dãy con hội tụ tới
n →∞

a∈ A

(không mất tính tổng quát ta có thể xem dãy con đó chính là dãy { xn } ).

d ( xn , a ) + d ( a, B ) =
d ( a, B ) . Vậy e ( A, B ) = d ( a, B ) .
Khi đó d ( a, B ) ≤ e ( A, B ) ≤ lim
n →∞

Định nghĩa 1.4
Khoảng cách Hausdorff (hay còn gọi là siêu mêtric) giữa A và B là đại
lượng được ký hiệu H ( A, B ) và được xác định như sau:

{

}

H ( A, B ) = max e ( A, B ) , e ( B, A ) .

Ký hiệu ℘fb ( X ) là tập hợp mà các phần tử của nó là các tập compact khác
rỗng trong không gian mêtric X.
Định lý 1.5
Siêu mêtric

H

( 5) H ( A, B ) ≥ 0

có những tính chất sau đây:
, ∀A, B ∈℘fb ( X ).

( 6 ) H ( A, B ) = 0 ⇔ A = B.

( 7=
) H ( A, B )

H ( B, A ) , ∀A, B ∈℘fb ( X ).

( 8) H ( A, C ) ≤ H ( A, B ) + H ( B, C )

Chứng minh.

, ∀A, B, C ∈℘fb ( X ).


5

( 5) H ( A, B ) = max {e ( A, B ) , e ( B, A )}


= max sup d ( x, B ) ,sup d ( y, A ) ≥ 0 , ∀A, B ∈℘fb ( X ).
 x∈A

y∈B

( 6 ) H ( A, B ) = max {e ( A, B ) , e ( B, A )}


= max
=
sup d ( x , B ) ,sup d ( y, A )  0
y∈B
 x∈A


 x ∈ B, ∀x ∈ A
 d ( x , B )= 0, ∀x ∈ A
⇔
⇔
 y ∈ A, ∀y ∈ B


 d ( y, A )= 0, ∀y ∈ A
A ⊂ B
⇔
B
hay A =
B ⊂ A

( 7)

∀A, B ∈℘fb ( X ), ta coù:

{
{

}
}

 H ( A, B ) = max e ( A, B ) , e ( B, A )


 H ( B, A ) = max e ( B, A ) , e ( A, B ) .

Suy ra H ( A, B ) = H ( B, A )

(8) Từ bổ đề 1.2 suy ra mọi

x ∈ A , tồn tại c ∈ C để:

d ( x, B ) ≤ d ( x, c ) + d ( c, B ) ≤ d ( x, C ) + d ( c, B ) , với d ( x, C ) = d ( x, c ) . Ta suy ra

e ( A, B ) ≤ e ( A, C ) + e ( C , B ) .

Tương tự ta cũng có: e ( B, A ) ≤ e ( B, C ) + e ( C , A) . Theo tính chất ( 3) ta có:
H ( A, B ) = max {e ( A, B ) , e ( B, A )}
≤ max {e ( A, C ) + e ( C , B ) , e ( C , A ) + e ( B, C )}
≤ max {H ( A, C ) + H ( C , B ) , H ( C , A ) + H ( B, C )} .

Từ định lý trên chúng ta có thể khảo sát (℘fb ( X ) , H ) như một không gian
mêtric.