Vật lý thống kê - P5

Chương 4: Các phân bố thống
kê lượng tử
KE

4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử
•
Phương pháp thống kê lương tử: Được tìm
bằng cách lượng tử hóa năng lượng, số hạt và
sử dụng toán tử phân bố (đây là toán tử với
biến là toán tử năng lượng).
)1.4(N
ˆ
N&H
ˆ
E →→
Trước hết ta xét các hàm phân bố cổ điển rồi
lấy toán tử của nó.
Hàm phân bố chính tắc cổ điển có dạng:
)2.4(
)x(EF
exp)]x(E[(
i
i






θ

−
=ρ

4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử
Toán tử Hamilton có các hàm riêng
ϕ
n

và các trị riêng E
n
F là năng lượng tự do của hệ,
θ
là nhiệt độ
thống kê, x
i
các tọa độ
Khi chuyển sang toán tử năng lượng ta có
toán tử thống kê:
)3.4(
H
ˆ
F
exp]H
ˆ
[(
ˆ









θ
−
=ρ
)4.4(/
)x(.E)x(H
ˆ
nmmn
innin
δ>=ϕϕ<
ϕ=ϕ

4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử
•
Phần tử ma trận chéo của toán tử xác suất liên
quan xác suất tìm thấy hạt ở năng lượng tương
ứng :
)5.4(dx)x(
ˆ
)x(
/
ˆ
/
iiki
*
k
kkkk

ϕρϕ=
>=ϕρϕ=<ρ
∫
Để tính phần tử ma trận, ta viết 4.2 ở dạng như sau:
)6.4(
H
ˆ
exp.
F
exp)]x(E[(
i








θ






θ
=ρ

Khai triển hàm mủ exp(x)

4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử
Ký hiệu phần tử chéo:
Khai triển số hạng thứ hai của vế phải 4.6 và
viết lại ta được:
]
EF
exp[)E(
)8.4(/P
ˆ
/)E(
n
k
kkkkk
θ
−
=ρ
>ϕϕ=<ρ=ρ
)7.4(
H
ˆ
!J
1
.
F
exp)]x(E[(
J
1J
i









θ
−






θ
=ρ
∑
∞
=

4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử
(Ribbs quantum distribution)
•
Tính lại phần tử ma trận chéo của toán tử xác suất:
)9.4(dx)x(
H
ˆ
!J
1

).
F
exp()x(
/
ˆ
/
iik
J
1J
i
*
k
kkkk
ϕ














θ
−

θ
ϕ
>=ϕρϕ=<ρ
∑
∫
∞
=
Chú ý tích của toán tử H nhiều lần (thí dụ J=2):
( )
( )
)10.4(EH
ˆ
E)E(H
ˆ
)H
ˆ
(H
ˆ
H
ˆ
K
J
nK
J
K
2
KKKKK
2
ϕ=ϕ→
ϕ=ϕ=ϕ=ϕ

4.1 – Phân bố chính tắc lượng tử
(Ribbs quantum distribution)
Đưa hàm riêng ra ngoài dấu tổng và viết lại
Đưa kết quả 4.10 vào 4.9 và viết lại ta được:
)11.4(dx)x(.
E
!J
1
).
F
exp()x(
i
1J
ik
J
K
i
*
kkk















ϕ
θ
−
θ
ϕ=ρ
∑
∫
∞
=
)12.4()
E
F
exp(dx)x()
E
F
exp()x(
dx)x(
E
!J
1
)
F
exp()x(
K
iiK
K

i
*
K
iiK
1J
J
K
i
*
KKK
θ
−
θ
=ϕ






θ
−
θ
ϕ=
ϕ















θ
−
θ
ϕ=ρ
∫
∑
∫
∞
=

Photo of Ribbs and
Ribbs distribution
]
EF
exp[
)E(
n
kKK
θ
−
=

=ρ=ρ