bài tập tính đơn điệu của hàm số

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Chuyên đề: Hàm số

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ ANH TUẤN
Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) y  x 3  3x 2  9 x  5
b) y  x 3  3x 2  3x  7
c) y  x 4  2 x 2  1
e) y 

x 1
x 1

d) y  x 4  2 x 3  2 x  1

g) y  4  x 2

h) y  x 4  x

a) y  x  3x  9 x  5
3




x 2  2x  2
x 1

f) y 

2

Giải
b) y  x 3  3x 2  3x  7



D=R
y '  3x 2  6 x  9

D=R
y '  3x 2  6 x  3
Cho y'  0  3x 2  6 x  3  0  x  1

 x  1
Cho y '  0  3x 2  6 x  9  0  
x  3
 BBT



Vậy: hàm số đồng biến: (;1) và (3;)
Hàm số nghịch biến: (1;3)

c) y  x 4  2 x 2  1



D=R
y'  4 x 3  4 x

x  0
Cho y '  0  4 x 3  4 x  0   2
x  1
 BBT



e) y 




Vậy: hàm số tăng : (1;0) và (1;)
Hàm số giảm: (;1) và (0;1)
x 1
x 1
D= R \ {1}
2
y' 
0
( x  1) 2
BBT

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!



BBT



Vậy: hàm số luôn đồng biến trên D

d) y  x 4  2 x 3  2 x  1



DR
y'  4 x 3  6 x 2  2

x  1
Cho y '  0  4 x  6 x  2  0  
x   1

2
 BBT
3



2

1
Vậy: Hàm số tăng : ( ;)
2
1

Hàm số giảm: (; )
2

x 2  2x  2
x 1
 D= R \ {1}

f) y 



y' 

x 2  2x
( x  1) 2

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Chuyên đề: Hàm số

x  0
Cho y '  0  x 2  2 x  0  
x  2
 BBT



Vậy: hàm số luôn giảm trên D

g) y  4  x 2





D  [2;2]
x
 y' 
4  x2
Cho y'  0  x  0





Vậy: hàm số giảm: (0;1) và (1;2)
Hàm số tăng: (;0) và (2;)

h) y  x 4  x

BBT



D  (;4]



y'  4  x 



8
Vậy: hàm số tăng: (; )
3
8 
Hàm số giảm:  ; 4 
3 

x

8  3x

2 4 x
8
Cho y'  0  8  3x  0  x   4
3
 BBT

Vậy: hàm số giảm: (0;2)
Hàm số tăng: (2;0)

2 4 x



Bài 2. Định m để hàm số luôn đồng biến
a) y  x 3  3x 2  mx  m

b) y  mx3  (2m  1) x 2  (m  2) x  2

c) y 

mx  4
xm

Giải
a) y  x 3  3x 2  mx  m



D=R
y '  3x 2  6 x  m

 '  0
 9  3m  0  m  3
Hàm số luôn đồng biến  y '  0  
a  1  0
 Vậy: với m  3 thì hs luôn đồng biến trên D.
b) y  mx3  (2m  1) x 2  (m  2) x  2

 DR
 y'  3mx 2  2(2m  1) x  m  2
Hàm số luôn đồng biến
TH1: Xét m=0 => hàm y '  2 x  2 Suy ra loại vì y’ không thể >=0 với mọi x thuộc D.

4m2  4m  1  3m(m  2)  0
(m  1) 2  0
 '  0


TH2: y '  0  
 vô nghiệm
m

0
m

0
a  3m  0




Vậy: không tồn tại m để hàm số luôn đồng biến trên D.

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

- Trang | 2 -


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)



m2  4
y' 
( x  m) 2

 x 2  2mx  m2  3
( x  m)2

y' 

uO



nT

m  2
Hàm số luôn đồng biến  y '  0  m2  4  0  
m  2
m  2
 Vậy: với 
thì hs luôn đồng biến trên D.
m  2
x 2  mx  3
Bài 3. Định m để hàm số luôn nghịch biến: y 
trên tập xác định.

mx
Giải
 D  R \{m}

ai
H

D  R \{m}

D



oc
01

mx  4
xm

hi

c) y 

Chuyên đề: Hàm số

Ta

iL

ie

 '  0
Hàm số luôn nghịch biến  y '  0  
 m2  m2  3  0 (vô lý)
a  1  0
 Vậy: không tồn tại m để hs luôn nghịch biến trên D.

k.
co
m

/g

ro

up

s/

Bài 4. Định m để hàm số y  x 3  3x 2  (m  1) x  4m nghịch biến trong [1;1]
Giải
 DR
 y '  3x 2  6 x  m  1
Hàm số nghịch biến trong [1;1]  y' 0 trong [1;1]
Hay
y '  3x 2  6 x  m  1  0

 3x 2  6 x  1  m  m  3x 2  6 x  1
 m  min  3x 2  6 x  1  8
  1; 1

bo
o

 m  8

.fa

ce

mx 2  (1  m) x  2m
Bài 5. Định m để hàm số y 
đồng biến trên [4; )
2x  3
Giải

w

w
w

Hàm số đồng biến trên [4; )  y 

2mx 2  6mx  (3  m)
 0, x  [4; )
(2 x  3)2

 2mx 2  6mx  (3  m)  0, x  [4; )
3
m 2

: f ( x), x  [4; )
2x  6x 1
 m  max f ( x)
[4;  )

Ta có f ( x) 

6(2 x  3)
 0, x  [4; )
(2 x 2  6 x  1)2

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Suy ra hàm đồng biến trên [4; ) nên m  max f ( x)  f (4) 
[4; )

Chuyên đề: Hàm số

3
7

mx  9
.
xm
a. Xác định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên 2;   .

Bài 6. Cho hàm số y 

c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên  ;  1

Giải

a. TXĐ: D  R \  m

y/ 

m2  9

x  m2

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định  y'  0, x  m
 m2  9  0  m   ; 3   3;  

Vậy: m   ; 3  3;   thỏa điều kiện bài toán.
b. TXĐ: D  R \  m

y/ 

m2  9

x  m2

Hàm số đồng biến trên 2;  

 y /  0 x   2;    và x  m

m 2  9  0
m   ;  3  3;    m   ;  3  3;   



m3
m  2
 m  2;     m  2
Vậy: m  3 thỏa điều kiện bài toán.
c. TXĐ: D  R \  m
y/ 

m2  9

x  m2

Hàm số nghịch biến trên  ;  1  y /  0 x   ;  1 và x  m

m 2  9  0
m   3; 3 m   3; 3




 3  m  1

m


1
m

1



m



;

1



Vậy:  3  m  1 thỏa điều kiện bài toán.
Bài 7. Tìm m để hàm số y  x 3  mx 2   2m 2  7m  7  x  2  m  1 2m  3 đồng biến trên  2,  
Giải:
+TXĐ: D  R
+ Hàm số đồng biến trên  2,    y  3x 2  2mx   2m 2  7m  7   0, x  2





2

Ta có  7  m 2  3m  3  7  m  3

2


 3   0 nên y   0 luôn có 2 nghiệm x1  x 2
4

Ta có y’  0 có sơ đồ miền nghiệm G là:
(phần gạch là phần bỏ)
Ta có y   x   0 đúng x  2   2,    G

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Chuyên đề: Hàm số

   0
 x1  x 2  2  3 y   2   3  2m 2  3m  5   0

S  m  2
2 3
1  m  5

2  1  m  5

2
m  6


Bài 8. Tìm m để hàm số y  x3  3mx2  3x  3m  4 nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2
Giải
TXĐ: D  R

y '  3x 2  6mx  3

có  ' y '  9m2  9

TH 1 :  '  0  y  0, x  R => hàm số luôn đồng biến trên R nên loại
TH 2 :  '  0  f ( x)  0 có hai nghiệm phân biệt x1  x2
=> để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 2 thì y’  0 phải có đúng 2 nghiệm x1  x2
thoả mãn x2  x1  2

9m 2  9  0
m 2  1


2
2
 x2  x1   4

 x2  x1   4 x1 x2  4
2
m 2  1
m  1

 2
m 2
2
 2m   4  4
m  2
1
1
Bài 9. Tìm m để hàm số y  mx3  (1  3m) x 2  (2m  1) x  nghịch biến trên [1;5]
3
3
Giải:
TXĐ: D  R
Hàm số nghịch biến trên [1;5]

 y  mx 2  2(1  3m) x  (2m  1)  0x  [1;5]  m( x 2  6 x  2)  (2 x  1)  0x  [1;5]
1 2x
m 2
: f ( x)x  [1;5]  m  max f ( x)
x  6x  2
[1;5]
2( x 2  x  1)
 0, x  3  7
Ta có f ( x)  2
( x  6 x  2) 2
Do đó max f ( x)  f (5)  3

[1;5]

Vậy giá trị cần tìm là m  3
Bài 10. Tìm m để hàm số y  x3  mx2  (m2  m  2) x  2 nghịch biến trên đoạn [  1;1]
Giải:
TXĐ: D  R
Hàm số nghịch biến trên [-1;1]  y  f ( x)  3x 2  2mx  (m2  m  2)  0, x [  1;1]
Ta có  ' f ( x )  4m2  3m  6
TH 1 :  '  0  f ( x)  0, x [  1;1]  y  0, x  R => hàm số luôn đồng biến => không tồn tại m
TH 2 :  '  0  f ( x)  0 có hai nghiệm phân biệt x1  x2
Khi đó f ( x)  0  x1  x  x2  f ( x)  0, x [-1;1]
Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học: Pen C – N3 (Thầy Lê Anh Tuấn – Thầy Nguyễn Thanh Tùng)

Chuyên đề: Hàm số

Ta có

  0
 x1  1 x2  1  0
 x1  1  x2



 x1  1  x2  
 x1  1  x2
 x1  1 x2  1  0
x  1  x
 1
2

 x1 x2   x1  x2   1  0
 m2  m  2   1  0

 x1 x2  1  0  
3
 x1 x2   x1  x2   1  0
1

m  (1  21)

2
 m2  m  5  0  
1
 m  (1  21)

2

Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt !!

Giáo viên

: Lê Anh Tuấn

Nguồn

:

Tổng đài tư vấn: 1900 – 69 – 33

Hocmai.vn

- Trang | 6 -