(Hình học 9 - Chường II: Đường tròn) Bài giảng: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

HÌNH HỌC 9
CHƯƠNG II. ĐƯỜNG TRỊN

§3 Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ
tâm tới dây
 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội
Email:
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

1


PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Đọc lần 2 tồn bộ:
• Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.
• Định hướng thực hiện các hoạt động
• Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
• Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
• Chép lại các chú ý, nhận xét
• Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ
• Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách
giải như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng
em hãy viết u cầu theo mẫu:
• Nơi dung chưa hiểu
• Hoạt động chưa làm được
• Bài tập lần 1 chưa làm được
• Bài tập lần 2 chưa làm được
• Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ để nhận
2


được giải đáp.

3

Đ3 l iên hệ giữa dây

và khoảng

cách từ tâm đến dây

bài giảng theo chơng trình chuẩn
1. Bài toán
Trong chơng trình toán 7 Tập 2 các em đà đợc biết về mối quan hệ giữa đờng
xiên và hình chiếu và ý tởng đó cũng sẽ đợc sử dụng trong bài học này.

Bài toán: Cho AB, CD là hai dây (khác ®êng kÝnh) cđa ®êng trßn (O; R). Gäi
OH, OK theo thứ tự là các kc từ O đến AB, CD. Chøng minh r»ng:
OH2 + HB2 = OK2 + KD2.



Gi¶i − Sử dụng hình 68/tr 104 Sgk
Sử dụng định lí Pytago cho các tam giác OHB và OKD, ta đợc:
OH2 + HB2 = OB2 = R2.
(1)
OK2 + KD2 = OD2 = R2.
(2)
2
2
2
2
Tõ (1) vµ (2) suy ra OH + HB = OK + KD .



Chó ý: KÕt ln cđa bµi toán trên vẫn đúng nếu một dây là đờng kính
hoặc hai dây là đờng kính.

2. liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Thí dụ 1: (HĐ 1/tr 105 sgk): Sử dụng kết quả trong bài toán ë mơc 1 ®Ĩ
chøng minh r»ng:
a. NÕu AB = CD th× OH = OK.
b. NÕu OH = OK th× AB = CD.



l

A
Giải
h
Từ kết quả của bài toán trong mục 1, ta cã biÕn ®ỉi:
h
AB2
CD 2
2
2
OH +
= OK +
.
(*)
4

4
D
a. NÕu AB = CD th×:
AB2
AB2
(*) ⇔ OH2 +
= OK2 +
⇔ OH2 = OK2 ⇔ OH = OK.
4
4
b. NÕu OH = OK th×:
AB2
CD 2
(*) ⇔ OH2 +
= OH2 +
⇔ AB2 = CD2 ⇔ AB = CD.
4
4

4

B
C
l

O


Nh vậy là có kết quả:
Định lí 1: Trong một đờng tròn:

a. Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
b. Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Thí dụ 2: (HĐ 2/tr 105 sgk): Sử dụng kết quả trong bài toán ở mục 1 để so
sánh độ dài:
a. OH vµ OK, nÕu biÕt AB > CD.
b. AB vµ CD, nếu biết OH < OK.



Giải
Từ kết quả của bài toán trong mơc 1, ta cã biÕn ®ỉi:
AB2
CD 2
OH2 +
= OK2 +
.
4
4
a. NÕu AB > CD th×:
(*) ⇒ OH2 < OK2 ⇔ OH < OK.
b. NÕu OH < OK th×:
AB2
CD 2
(*) ⇒
>
⇔ AB2 > CD2 ⇔ AB > CD.
4
4
Nh vËy lµ có kết quả:

Định lí 2: Trong hai dây của một đờng tròn:
a. Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
b. Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.



(*)

A

l

B

h
O h'

C
l'

D

Chú ý: Kết quả trong định lí 1 và định lí 2 vẫn đúng với trờng hợp hai đờng tròn có bán kính bằng nhau (gọi là hai đờng tròn bằng nhau)
và nó tỏ ra rất hiệu quả trong bài toán cực trị.

Thí dụ 3: (HĐ 3/tr 105 sgk): Cho ABC, O là giao điểm của các ®êng
trung trùc cđa tam gi¸c; D, E, F theo thø tự là trung điểm của các
cạnh AB, BC, CA. Cho biÕt OD > OE, OE = OF. (h.69/tr 105 −
Sgk). HÃy so sánh các độ dài:
a. BC và AC.

b. AB và AC.



Giải Sử dụng hìng 69/tr 105 Sgk

Từ giả thiết suy ra đờng tròn (O; OA) là đờng tròn ngoại tiếp ABC và OD, OE,
OF theo thứ tự là khoảng cách từ tâm O tới các dây AB, BC, CA.
Ta cã:
OD > OE ⇔ AB < BC
OE = OF ⇔ BC = AC ⇒ AB < AC.
5


bài tập lần 1

Bài tập 1: Cho một đờng tròn (O) và điểm P ở bên trong đờng tròn. Vẽ dây
Bài tập 2:

Bài tập 3:
Bài tập 4:

Bài tập 5:

Bài tập 6:

Bài tập 7:

AB vuông góc với OP tại P. Vẽ dây CD bất kì đi qua P và không
vuông góc với OP. HÃy so sánh độ dài hai dây AB và CD.

Cho đờng tròn (O) và hai dây AB, CD bằng nhau, các tia AB và CD
cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đờng tròn. Gọi H và K theo thứ
tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh r»ng:
a. EH = EK.
b. EA = EC.
Cho h×nh 70 trong đó hai đờng tròn cùng có tâm là O. Cho biết AB
> CD. HÃy so sánh các độ dài:
a. OH và OK.
b. ME và MF.
c. MH và MK.
Cho đờng tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8cm.
a. Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
b. Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho IA = 1cm. Kẻ dây CD qua I
và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD = AB.
Cho đờng tròn (O) và hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với
nhau tại I. Giả sử IA = 2a, IB = 2b (a < b).
a. Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây.
b. Tính bán kính của đờng tròn (O).
Cho đờng tròn (O), dây AB = 2a và khoảng cách từ nó tới tâm bằng
h. Gọi I là trung điểm của AB. Tia IO cắt đờng tròn tại C.
a. Chứng minh rằng ABC là tam giác cân.
b. Tính khoảng cách từ O đến BC.
Cho đờng tròn tâm O bán kính 25cm, d©y AB b»ng 40cm. VÏ d©y
cung CD song song víi AB và có khoảng cách đến AB bằng 22cm.
Tính độ dài dây CD.

bài giảng nâng cao
A. Tóm tắt lí thuyết
Ta có các kết quả sau:
1. Trong một đờng tròn hai dây bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm.

2. Trong hai dây không bằng nhau của một đờng tròn dây lớn hơn khi và chỉ
khi nó gần tâm hơn.
A

l

A

B
h

O

C

h

l

C
l'

l
D

B

h
O h'
D

Cả hai kết quả trên vẫn đúng với trờng hợp hai đờng tròn có bán kính bằng nhau
(gọi là hai đờng tròn bằng nhau) và nó tỏ ra rất hiệu quả trong bài toán cực trị.
6


B. phơng pháp giải toán
Ví dụ 1: (Bài 16/tr 106 Sgk): Cho một đờng tròn (O) và điểm P ở bên trong

đờng tròn. Vẽ dây AB vuông góc với OP tại P. Vẽ dây CD bất kì đi
qua P và không vuông góc với OP. HÃy so sánh độ dài hai dây AB
và CD.

Hớng dẫn: Ta thực hiện phép so sánh khoảng cách từ tâm O tới
AB và CD.



C

A
H

P

B

O

D

Giải
Hạ OH vuông góc với CD, ta có ngay:
OH OP, vì trong tam giác vuông cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền
AB CD.

Ví dụ 2: (Bài 13/tr 106 Sgk): Cho đờng tròn (O) và hai dây AB, CD bằng

nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đờng
tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chøng
minh r»ng:
a. EH = EK.
b. EA = EC.

 Híng dẫn: Trớc tiên, để cần vẽ đợc hình đúng với lu ý của giả thiết là "Các tia AB và



CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đờng tròn". Khi đó:
Với câu a), sử dụng định lí Pytago cho các tam giác vuông
OHE và OKE ta sẽ có đợc kết quả EH = EK.
Với câu b), đơn giản là phép trừ đoạn thẳng.

Giải Học sinh tự vẽ hình
Từ giả thiết AB = CD suy ra OH = OK.
a. Trong các tam giác vuông OHE và OKE, ta cã:
EH2 = OE2 − OH2 = OE2 − OK2 = EK2 ⇔ EH = EK.
b. Ta cã:
AB
CD
= EK +

EA = EH + AH = EH +
= EK + CK = EC.
2
2



Chú ý: Trong ví dụ này điều quan trọng là vẽ đợc đúng hình.

Ví dụ 3: (Bài 15/tr 106 Sgk): Cho hình 70 trong đó hai đờng tròn cùng có

tâm là O. Cho biết AB > CD. HÃy so sánh các độ dài:
a. OH và OK.
b. ME và MF.
c. MH và MK.

Hớng dẫn: Sử dụng kết quả của định lí 2.
Giải Sử dụng hình 70/tr 106 Sgk
a. Với giả thiết xét trong đờng tròn nhá:
AB > CD ⇔ HO < OK.

7


b. Từ kết quả câu a) xét trong đờng tròn lín:
HO < OK ⇔ ME > MF.
c. BiÕn dỉi (*) vỊ d¹ng:
2MH > 2MK ⇔ MH > MK.

(*)

VÝ dơ 4: (Bài 11/tr 104 Sgk): Cho đờng tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB

bằng 8cm.
a. Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
b. Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho IA = 1cm. Kẻ dây CD qua I
và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD = AB.

Hớng dẫn: Ta lần lợt:





Với câu a), bằng việc gọi H là trung điểm của AB, ta đợc d(O,
AB) = OH và độ dài của OH đợc tính dựa vào định lí Pytago
cho tam giác vuông OHB.
Với câu b), ta cần đi tính độ dài của OK (K là trung điểm của CD).
Từ đó, sử dụng kết quả của định lí 1.

Giải
a. Gọi H là trung điểm của AB, suy ra:
2

AB 
d(O, AB) = OH = OB2 − HB2 = OB − 

÷
 2 
2

C
A

H

B

I
K

2

O

8
= 52 −  ÷ = 25 − 16 = 3cm.
D
2
b. Gäi K lµ trung điểm của CD, suy ra:
OHIK là hình chữ nhật
AB
IA = 4 − 1 = 3cm = OH ⇔ CD = AB.
⇒ OK = HI = HA − IA =
2



Chú ý: Ví dụ tiếp theo minh hoạ yêu cầu nợc lại của ví dụ 1.

Ví dụ 5: Cho đờng tròn (O) và hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với

nhau tại I. Giả sử IA = 2a, IB = 2b (a < b).
a. Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây.
b. Tính bán kính của đờng tròn (O).



Giải

C
A
K

a. Hạ OH, OK theo thứ tự vuông góc với AB và CD, ta có:

OH = OK vì AB = CD.
HA = HB =
8

AB AI + IB 2a + 2 b
=
=
= a + b.
2
2
2

H
I

D

B

O


Tứ giác IHOK có ba góc vuông nên là hình chữ nhật, ngoài ra có hai cạnh liên
tiếp OH và OK bằng nhau nên là hình vuông.
Suy ra:
OH = OK = IH = AH – AI = a + b – 2a = b − a.
b. Trong ∆HOB, ta cã:

R2 = OB2 = OH2 + HB2 = (b - a)2 + (a + b)2 = 2(a2 + b2) ⇒ R =
Vậy, ta đợc R =

2( a 2 + b 2 ) .

2( a 2 + b 2 ) .

VÝ dô 6: Cho đờng tròn (O), dây AB = 2a và khoảng cách từ nó tới tâm bằng

h. Gọi I là trung điểm của AB. Tia IO cắt đờng tròn tại C.
a. Chứng minh rằng ABC là tam giác cân.
b. Tính khoảng cách từ O đến BC.

Hớng dẫn: Ta lần lợt:

Với câu a), ta đi chứng tỏ rằng ABC có một đờng trung tuyến
cũng là đờng cao.
Với câu b), cần hiểu rằng để có đợc "Khoảng cách từ tâm đến một
dây cần có đợc độ dài của dây đó và ngợc lại"



Giải
a. Ta có:
AI = IB = a OI AB.
Suy ra ABC có trung tuyến CI là đờng cao nên là tam giác cân.
b. Hạ OH vuông góc víi BC, ta cã:
1
HB = HC =
BC.
2
Trong ∆OIB, ta cã:
OB2 = IO2 + IB2 = h2 + a2 ⇒ OB = a 2 + h 2 .
A
Ta cã:
IC = IO + OC = IO + OB = h +
Trong ∆IBC, ta cã:
BC2 = IC2 + IB2 = (h +
⇒ BC =

C
O
I

H

B

a2 + h2 .

2
2
2
2
a 2 + h 2 ) + a = 2(a + h a 2 + h 2 + h )

2( a 2 + h a 2 + h 2 + h 2 )

1
2( a 2 + h a 2 + h 2 + h 2 ) .
2
Trong ∆OHB, ta cã:

⇒ HB =

9


1

OH 2 = OB – HB 2 = ( a 2 + h 2 ) 2 – [
2
1 2
=

(a + h a 2 + h 2 + h2)
2

2

a2 − h a2 + h2 + h2 .
2

⇒ OH =



2(a 2 + h a 2 + h 2 + h 2 ) ]

Nhận xét: Trong lời giải trên:

1. ở câu a) ta chỉ cần sử dụng kết quả "Đờng kính đi qua trung điểm của

một dây thì vuông góc với dây ấy ", từ đó dẫn tới tam giác có trung
tuyến là đờng cao, do đó nó là tam giác vuông.
2. ở câu b) chúng ta đà lựa chọn phơng pháp trình bày ngợc sau suy
nghĩ theo kiểu phát sinh yêu cầu, cụ thể ta nghĩ:
Để tính OH cần xác định BH và OB.


BH =

1
BC và BC đợc xác định thông qua IBC nếu biết OC (tức
2

là OB).
OB đợc xác định thông qua OIB.
3. Tất nhiên có thể tính OH thông qua sự đồng dạng của hai tam giác
vuông là OHC và BIC Bạn đọc tự làm.
Các em học sinh có thể luyện tập bằng việc giải lại ví dụ trên trong trờng hợp a
= 24cm và h = 7cm.
Ví dụ 7: (Bài 14/tr 106 Sgk): Cho đờng tròn tâm O bán kính 25cm, dây AB

bằng 40cm. Vẽ dây cung CD song song với AB và có khoảng cách
đến AB bằng 22cm. Tính độ dài dây CD.

Hớng dẫn: Sử dụng định lí Pytago để tính khoảng cách từ O tới AB, từ đó suy ra


khoảng cách từ O tới CD và độ dài của CD.

Giải Học sinh tự vẽ hình
Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD.
Trong OEA vuông tại E, ta cã:
2

2

 AB 
 40 
2
OE = OA − EA = OA − 
÷ = 25 −  ÷ = 15cm.
 2

2
2

2

2

2

Trong OFC vuông tại F, ta có:
CF2 = OC2 − OF2 = OC2 − (EF − OE)2 = 252 − (22 − 15)2 = 576
⇒ CD = 2CF = 2 576.

10


bài tập lần 2
Bài 1: Cho đờng tròn (O) và hai dây AB, AC sao cho AB < AC và tâm O nằm trong
góc ABC. Chứng minh rằng OÂB > OÂC.
Bài 2: Cho đờng tròn (O, R). Tìm quỹ tích trung điểm M của các dây AB sao cho

AOB = 600.
Bài 3: Cho đờng tròn (O) và một điểm A ở bên trong đờng tròn đó (A O). Dựng hình
thoi ABCD sao cho B, C, D nằm trên đờng trßn (O).

Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 500.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941

Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT
ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

11