Bài tập tính thể tích khối chóp phần 1+2 thầy lê bá trần phương

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

TH TÍCH KH I CHÓP (PH N 01 + 02)
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH
NG
Các bài t p trong tài li u này đ

c biên so n kèm theo bài gi ng Th tích kh i chóp ( Ph n 01+ Ph n 02) thu c khóa

h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn.
hi u qu , B n c n h c tr c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

s d ng

(Tài li u dùng chung cho P1+ P2)

Các bài đ

c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao

Bài 1. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA  (ABCD), SA = a; A’, B’, C’, D’ l n
l t là trung đi m c a SC, SD, SA, SB. S’ là tâm hình vuông ABCD. Tính th tích kh i chóp
S’A’B’C’D’.
Gi i

S

- (A’B’C’D’)// (ABCD).
- SA  ( ABCD)  SA  ( A' B ' C ' D ')
- SA/ / SA  S ' A'  ( A' B ' C ' D ')

C'

1
VS’A’B’C’D’= .SA' B'C ' D ' .S ' A' .
3
Mà:
a
1
+ SA’= SA=
2
2
+ A’B’C’D’ là hình vuông.

B'

D'

A'

A
B

S'
D

C

1 a2 a a3
a a a2
SA’B’C’D’ = A’B’.A’D’= . =
=> VS’A’B’C’D’ = . . =
3 4 2 24
2 2 4

Bài 2. Cho hình chóp t giác SABCD có đáy là hình thang, ABC  BAD  900 , BA = BC = a; AD = 2a.
Gi s SA vuông góc v i (ABCD) và SA = a 2 . G i H là hình chi u c a A trên SB. Tìm th tích c a t
di n SHCD.
Gi i:
Ta có

SA   ABCD   BC   SAB  BC  AH
mà AH  SB  AH   SBC 

M t khác AD  (SAB)=>AD  HA
Nh v y AH là kho ng cách gi a AD và (SAB)

 d D , SHC   AH
1
1
1
2a 2 .a 2 2 2
SA2 AB2
2



 AH  2

 a
3a 2
3
AH 2 AS2 AB2
SA  AB2
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

 AH  a

ng)

Hình h c không gian

2
3

AC  AB2  BC 2  a 2
 HC  AC 2  AH 2  2a 2 

2a 2 2a

3
3

2
2a
SH  SA2  AH 2  2a 2  a 2 
3
3
SC  SA2  AC 2  2a 2  2a 2  2a

G i I là trung đi m c a SC =>
a
1
4a 2
2
2
SI  SC  a  HI  SH  SI 
 a2 
2
3
3
 SSHC

a2 3
1
1 a 3
 HI .SC  .

.2a 
2
2 3
3

 VSHCD

2 a2 3 a3 2
1
1
.
=
 .HAS
. SHAC  . a
3
3
3
3
9

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a , SA vuông góc v i đáy và SA= a . G i M, N
l n l t là trung đi m c a SB và SD; I là giao đi m c a SC và m t ph ng (AMN). Ch ng minh SC vuông
góc v i AI và tính th tích kh i chóp MBAI.
Gi i
Ta có

 AM  BC , ( BC  SA, BC  AB)

 AM  SB, ( SA  AB)

 AM  SC (1)

AN  SC (2)
AI  SC
T (1) và (2) suy ra
V IH song song v i BC c t SB t i H. Khi đó IH
1
vuông góc v i (AMB)=> VABMI  SABM .IH
3
T

ng t ta có

Ta có

SABM

H
I

VABMI 

2

M

N

a2


4

B

A

1
IH
SI SI .SC
SA2
a2





2
2
2
2
2
3
BC SC
SC
SA  AC
a  2a
1
1
 IH  BC  a
3

3

V y

S

D
C

3

1a a a

3 4 3 36

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc v i đáy. Góc gi a m t
ph ng (SBC) và (SCD) b ng 600. Tính theo a th tích kh i chóp S.ABCD.
Gi i
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

G i M là hình chi u vuông góc c a B lên SC. Ch ng minh
đ c góc DMB = 1200 và  DMB cân t i M
Th t v y:
- Do BD vuông góc v i (SAC)=> BD vuông góc SC
- Mà MB vuông góc v i SC (theo cách d ng)


MB, DM (chú ý góc gi a 2 đ

SBC , SDC

ng th ng là góc nh n)

Có tam giác DMB cân t i M đi u này d th y (do SDC

SBC )

S

Gi s góc gi a 2 đ ng th ng DM, MB= DMB 60
=>Tam giác DMB là tam giác đ u => đi u này vô lý do DB>BM
0

=> DMB 1200
Tính đ

c: DM2 =

2 2
a
3

M

 SCD vuông t i D và DM là đ

ng cao nên

1
1
1
=
+
2
2
DM DS DC2

A

B

Suy ra DS = a 2 . Tam giác ASD vuông t i A suy ra SA = a.
1
D
C
V y th tích S.ABCD b ng a3

3
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc v i m t ph ng (ABC). áy là tam giác ABC cân t i
A, đ dài trung tuy n AD là a , c nh bên SB t o v i đáy m t góc  và t o v i m t (SAD) góc  . Tìm th
tích hình chóp S.ABC
Gi i
1
Th tích hình chóp S.ABC là: V  .SAS
. ABC
3
Tam giác ABC cân đ nh A nên trung tuy n AD
c ng là đ ng cao c a tam giác.
Theo gi thi t:

SA  mp  ABC   SBA   SB, mp  ABC    
BD  mp  SAD   BSD  
t BD = x suy ra: AB  a 2  x2  SA  a 2  x2 .tan 
SB 

BD
SA

sin  sin 

 x sin   a 2  x2 tan  sin 
 x2 

a 2 sin 2 
cos 2  sin 2 

a 3 sin  .sin 

1
Do đó: V  . a 2  x2 .tan  .a.x 
cos 2  sin 2 
3
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có SC  (ABC) và ABC vuông t i B. Bi t r ng AB = a, AC = a 3  a  0 
và góc gi a hai m t ph ng (SAB) và (SAC) b ng  v i tan   13 .
6
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

Tính th tích kh i chóp S.ABC theo a.
Gi i
G i H, K là hình chi u c a C lên SA, SB.
Ta ch ng minh đ c
CK  (SAB), SA  (CHK) suy ra CHK vuông t i K
và SA  KH.
2

Do đó =CHK. T tan   13  sin   13  CK 2  13 1
6
19
19
CH
t SC = x >0. Trong tam giác vuông SAC

có
T

1  1  1  CH 2  3a 2 x2
CH 2 CA2 CS 2
3a 2  x2
2 2
ng t trong tam giác vuông SAC có CK 2  2a2 x 2
2a  x

1  2  3a  x   13  x  6a . Suy ra VSABC  1 SC.SABC  2a 3
3
3  2a 2  x2  19
2

2

Bài 7. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc v i đáy hình chóp. Cho
AB = a, SA = a 2 . G i H và K l n l t là hình chi u vuông gãc c a A lên SB, SD. Ch ng minh SC 
(AHK) và tính th tích kh i chóp OAHK.
Gi i
*) BC vuông góc v i (SAB)
 BC vuông góc v i AH mà AH vuông v i SB

 AH vuông góc v i (SBC)  AH vuông góc SC (1)
T ng t AK vuông góc SC (2)
(1)
và (2)  SC vuông góc v i (AHK )
2
2
2
2
*) SB  AB  SA  3a

 SB  a 3  AH.SB  SA.AB  AH 

a 6
3

2a 3
2a 3
 SK 
3
3
(do 2 tam giác SAB và SAD b ng nhau và cùng vuông t i A)
 SH 

HK SH
2a 2

 HK 
BD SB
3
+ K OE// SC c t mf (AHK) t i E  OE  ( AHK)(doSC  ( AHK))

+ Ta có HK song song v i BD nên
suy ra OE là đ

ng cao c a hình chóp OAHK

+ G i I là giao đi m c a AE v i SC, SA  AC  a 2
Tam giác SAC cân t i A
Mà AI vuông góc v i SC (do SC vuông góc (AHK))=>SI=CI hay I là trung đi m c a SC
Có OE//SC, OA=OC =>OE=1/2 IC=1/4SC = a/2
+ Có ta giác AHK cân t i A (do 2 tam giác vuông SAB và SAD b ng nhau)
+ G i AM là đ ng cao c a tam giác cân AHK ta có

AM 2  AH 2  HM 2 
Hocmai.vn – Ngôi tr

4a 2
2a
 AM=
9
3

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

1
1a 1
a3 2
VOAHK  OE.SAHK 
. HK. AM 
3
32 2
27
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i AB = a , AD = 2a . C nh SA vuông
góc v i m t ph ng đáy , c nh bên SB t o v i m t ph ng đáy m t góc 600 .Trên c nh SA l y đi m M sao

cho AM =

a 3
, m t ph ng ( BCM) c t c nh SD t i N .Tính th tích kh i chóp S.BCNM
3

Gi i
Tính th tích hình chóp SBCMN.
( BCM)// AD nên m t ph ng này c t mp( SAD) theo giao tuy n MN // AD
 BC  AB
Ta có : 
 BC  BM .
 BC  SA

T giác BCMN là hình thang vuông có BM là đ

ng cao

MN SM
MN



Ta có SA = AB tan600 = a 3 ,
AD SA
2a

a 3
3 2
3
a 3

a 3

2a
4a
. BM =
3
3
Di n tích hình thang BCMN là :
Suy ra MN =

4a 


 2a  3  2a 10a 2
BC  MN
BM  

S =

2
2
3
3 3




H AH  BM . Ta có SH  BM và BC  (SAB)  BC  SH.
V y SH  ( BCNM)  SH là đ ng cao c a kh i chóp SBCNM
AB AM
1
Trong tam giác SBA ta có SB = 2a ,
=
.

SB MS
2
V y BM là phân giác c a góc SBA  SBH  300  SH = SB.sin300 = a
10 3a 3
1
SH .(dtBCNM ) =
3
27

Bài 9. Kh i chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đ nh C và SA vuông góc v i m t
ph ng (ABC), SC = a . Hãy tìm góc gi a hai m t ph ng (SCB) và (ABC) đ th tích kh i chóp l n nh t.

G i V là th tích chóp SBCNM ta có V =

Gi i
S

G i  là góc gi a hai mp (SCB) và (ABC) .
Ta có :   SCA; BC = AC = a.cos  ; SA = a.sin 
1
1
1
VSABC  .SABC .SA  . AC.BC.SA  a 3 sin .cos 2
3
6
6
V y
1
 a 3 sin  1  sin 2  
6
Xét hàm s : f(x) = x – x3 trên kho ng ( 0; 1)
1
Ta có : f’(x) = 1 – 3x2 . f '  x  0  x  
3
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

B
A

C

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

T đó ta th y trên kho ng (0;1) hàm s f(x) liên t c và
2
 1 
có m t đi m c c tr là đi m c c đ i, nên t i đó hàm s đ t GTLN hay Max f  x  f 


x 0;1
 3 3 3

V y MaxVSABC =

a3
,đ tđ
9 3

c khi sin  =

1
1

hay   arc sin
(v i0< )
2
3
3

Bài 10. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA  (ABCD), SA = a, đi m M  AD,
a
E  CD, AM = CE = . G i N là trung đi m c a BM, K là giao đi m c a AN và BC. Tính th tích kh i
4
chóp SADK theo a và ch ng minh r ng: (SKD)  (SAE).
Gi i

S

N

1
CK.CD
2
1
1 3a
= a2 - AB. AM - . .a
2

2 4

= a2 - SABM -

= a2 -

M

A

1
1
+ VSADK = SADK .SA  SADK .a
3
3
Mà :
SADK  SABCD  SABK  SDCK

B
K

3a 2 a 2
1 a
= .
. .a 8
2
2 4

A

M

D

N

1 a2
a3
 VSADK= . .a  .
3 2
6

E
B

C

K

+ ( L u ý: Vì AM//BK nên theo h qu c a đ nh lý talet
NM NA AM
.
ta có


NB NK BK
Mà N là trung đi m c a BM NM=NB => NA=NK, AM=BK).
+ Ta th y tam giác vuông ADE = tam giác vuông DCK ( vì CK=DE, AD=DC) => DAE  CDK .
M t khác: DAE  AED  900  CDK  AED  900  AE  DK.
 DK  AE

 DK  ( SAE ) , mà DK  (SKD) => (SAE)  (SKD).
Ta có: 
 DK  SA

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn

- Trang | 6 -