Luyện tập khoảng cách giữa hai đường thẳng đoàn việt hùng

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

LUYỆN TẬP VỀ KHOẢNG CÁCH ĐƯỜNG
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Ví dụ 1. [Video]: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với với AB = a 3 ; AD = 3a.
Gọi M là một điểm trên BC sao cho BM = 2MC, N là điểm trên cạnh AD sao cho AM ⊥ BN . Biết

( SBC ; ABCD) = 600 và SN ⊥ ( ABCD ) . Tính khoảng cách
a) giữa AB và SC.

b) giữa BC và SD.

c) giữa AB và SD.

Ví dụ 2. [Video]: Cho hình chóp tam giác SABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Gọi M là trung điểm
của BC, hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là H ∈ AM sao cho AH =

1
AM . Biết ( SBC ; ABCD) = 600 .
4

Tính khoảng cách

a) giữa SA và BC.

b) giữa SB và AC.

Ví dụ 3. [Tham khảo]: Cho hình chóp đều S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O , cạnh bên

SA = a 5 , mặt phẳng ( SCD ) tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc 600 . Tính
a) Khoảng cách giữa AB và SD.
b) Khoảng cách giữa BD và SC.
Lời giải:
a) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD suy ra tam
giác SMN đều.
Ta có: ON ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SON ) ⇒ SNO = 600
+) Đặt AB = 2 x ⇒ OA = x 2, ON = x
SO
SA2 − OA2
5a 2 − 2 x 2
+) tan 60 =
=
=
= 3
ON
ON
x
⇔ 5a 2 = 5 x 2 ⇒ x = a ⇒ AB = 2a, SO = a 3
0

+) d ( AB; SD ) = d ( AB; SCD ) = MK = a 3 .

b) Ta có: BD ⊥ ( SAC ) .

+) Dựng OE ⊥ SC ⇒ d ( BD; SC ) = OE
Ta có: OE =

SO.OC
SO 2 + OC 2

=a

6
5

Ví dụ 4. [Tham khảo]: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 3a , hai
mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Gọi G là trong tâm tam giác ABC,
mặt phẳng qua SG song song với BC cắt AB và AC lần lượt tại M và N và tạo với đáy một góc 450 . Tính
khoảng cách.
a) d ( SA; MN )
b) d ( SM ; AC )

Lời giải:

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

a) Gọi I là trung điểm của BC.
3a 5
+)Ta có: AI = AB 2 + IB 2 =
⇒ AG = a 5 .
2
+) Do MN ⊥ ( SMA ) ⇒ SMA = 450 ⇒ SA = AM = 2a .
+) d ( SA; MN ) = AM = 2a .

b) Dựng Mx / / AC , AK ⊥ Mx ⇒ AC / / ( SMx ) .
+) Khi đó: d ( SM ; AC ) = d ( A; SMK ) .

+) Dựng AH ⊥ SK ⇒ AH ⊥ ( SMK ) .

+) Ta có: AK = AM sin AMK = 2a sin 450 = a 2 .
SA. AK
2a
⇒ AH =
=
3
SA2 + AK 2
2a
Vậy d ( AC ; SM ) =
3

Ví dụ 5*. [Tham khảo]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD có 2 đương chéo AC vuông
3a
góc với BD, AD = 2 BC = 2a , tam giác SAC vuông tại S có SA =
. Biết mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD )
2
cùng vuông góc với mắt phẳng ( ABCD ) . Tính khoảng cách:
a) d ( BD; SC )

b) d ( AD; SC )
Lời giải:
HA HD AD
=
=
=2.

HC HB BC
3
9a 2
Ta có: SA2 = HA. AC = HA. HA =
2
2

a) Theo định lý Talet ta có:

⇒ HA = a 3 ⇒ HD = AD 2 − HA2 = a
3
.
2
+) Dựng HK ⊥ SC ⇒ d ( BD; SC ) = HK

+) Ta có: SH = HA.HC = a

+) HK =

SH .HC

=

a
2

SH 2 + HC 2
b) Dựng HI ⊥ BC , HE ⊥ SI . Ta có HE ⊥ ( SBC ) .
d ( AD; SC ) = d ( AD; SBC ) = d ( A; SBC )

= 3d ( H ; SBC ) = 3HE

1
1
1
1
1
1
6
a
=
+ 2 =
+
+
= 2 ⇒ HE =
2
2
2
2
2
HE
SH
HI
SH
HB
HC
a
6
3a
Vậy d ( AD; SC ) =

.
6
Ví dụ 6. [Tham khảo]: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi có AC = 2a, BD = 2a 3 , tam
+) Mặt khác:

giác SAC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng tạo với đáy một góc 600 . Biết hình chiếu vuông góc của
đỉnh S lên mặt đáy ( ABCD ) thuộc đoạn OB. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng
a) SB và AC
b) AB và SC.
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Lời giải:

a) Gọi O là tâm hình thoi ta có: SO ⊥ AC
mà AC ⊥ BD ⇒ AC ⊥ ( SBD ) . Dựng SH ⊥ BD suy ra
SH là đường cao của khối chóp S.ABCD.
+) Ta có: SOH = 600 ⇒ OH = SO cos 600
a 3 1
Do SO = a 3 ⇒ OH =
= OB suy ra tam giác
2
2
SOB là tam giác đều.
3a
+) Dựng OK ⊥ SB ⇒ d ( SB; AC ) = OK =

.
2
3a
b) Ta có: SH =
. d ( AB; SC ) = d ( AB; SCD )
2
4
= d ( B; SCD ) = d ( H ; SCD )
3
Dựng HN ⊥ CD , HE ⊥ SN : d ( H ; SCD ) = HE
+) Ta có : HN =

3
3
OC.OD
3a 3
27
d ( O; CD ) = .
=
⇒ HE = a
2
2 OC 2 + OD 2
4
28

3
.
7
Ví dụ 7. [Tham khảo]: Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a, gọi M là trung điểm
của AB , tam giác A’CM cân tại A’ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết A’A tạo với mặt

phẳng ( ABC ) một góc 600 . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và CC’.
Lời giải:
+) Ta có: ∆A ' CM cân tại A’. Dựng A ' H ⊥ CM ⇒ H là
trung điểm của CM và A ' H ⊥ ( ABC ) .

Vậy d ( AB; SC ) = 2a

a 3
a 3
⇒ MH =
2
4
a 7
+) Ta có: AH = AM 2 + MH 2 =
.
4

+) Khi đó: CM =

a 21
.
4
a 6
+) Mặt khác: A ' M = A ' H 2 + HM 2 =
.
2
+) d ( AB; CC ' ) = d ( CC '; A ' AB ) = d ( C ; A ' AB ) = CK
+) A ' AH = 600 ⇒ A ' H = AH tan 600 =

Vậy CK =

A ' H .CM
42
=a
= d ( AB; CC ' )
A' M
8

Ví dụ 8. [Tham khảo]: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA =
a. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:

a) BC và SA.

b) AB và SD.

c) BD và SC.

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Ví dụ 9. [Tham khảo]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a 2 ; AD = 2a.
Biết tam giác SAB là tam giác cân tại S; nằm trong mp vuông góc với đáy và có diện tích bằng

a2 6
. Gọi
6

H là trung điểm của AB. Tính khoảng cách

a) từ A đến (SBD).
b) giữa hai đường thẳng SH và BD.
c) giữa hai đường thẳng BC và SA.
Ví dụ 10. [Tham khảo]: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, I là trung điểm của AB. Dựng IS ⊥ (ABCD)
và IS =

a 3
. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SD, SB. Hãy dựng và tính độ dài đoạn
2

vuông góc chung của các cặp đường thẳng:

a) NP và AC
Đ/s: a) d =

a 3
4

b) MN và AP.
a
b) d = .
2

Ví dụ 11. [Tham khảo]: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
(ABCD), SA = a 3. Gọi E là điểm đối xứng của B qua A, tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

a) AC và SD

Đ/s: b) d =

b) AC và SE

a 21
7

Ví dụ 12. [Tham khảo]: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

SA = SB = SC = SD = a 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AD và SC.
Đ/s: d =

a 42
.
7

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!