Thể tích khối chóp phần 7 đoàn việt hùng

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – P7
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

DẠNG 4. PHƯƠNG PHÁP TỈ SỐ THỂ TÍCH
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB = a; BC = a 3. Cạnh SA
vuông góc với đáy. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB, K là trung điểm của SC. Tính thể tích khối
chóp AHKBC biết

a) ( SB; ABC ) = 600
b) d ( A; SBC ) =

a 2
.
3

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD = a 2. Hình chiếu
vuông góc của đỉnh S lên mặt đáy là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi M là điểm thuộc cạnh SD sao cho
SM =

1
a 2
MD; và O là tâm đáy. Biết khoảng cách từ O tới mặt phẳng (SBC) bằng
. Tính
2
3

a) thể tích khối chóp S.ABCD
b) thể tích khối chóp AMCD
c) thể tích khối chóp SABM.
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là
trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện
MNABCD biết SA = AB = a và góc hợp bởi đường thẳng AN và mặt phẳng (ABCD) bằng 300.

Lời giải:
+) Trong (SAC) kẻ AG cắt SC tại M, trong (SBD) kẻ BG cắt SD tại N.
+) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên dễ có
S

SG 2
= suy ra G cũng là trọng tâm tam giác SBD.
SO 3
Từ đó suy ra M, N lần lượt là trung điểm của
N

SC, SD.
1
1
+) Dễ có: VS . ABD = VS . BCD = VS . ABCD = V .
2
2

D

A

Theo công thức tỷ số thể tích ta có:

VS . ABN SA SB SN
1 1
1
=
. .
= 1.1. = ⇒ VS . ABN = V
VS . ABD SA SB SD
2 2
4
VS .BMN SB SM SN
1 1 1
1
=
.
.
= 1. . = ⇒ VS . ABN = V
VS . BCD SB SC SD
2 2 4
8

M

G

O

B

C

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Từ đó suy ra:
3
VS . ABMN = VS . ABN + VS .BMN = V .
8
1
+) Ta có: V = SA.dt ( ABCD) ; mà theo giả thiết SA ⊥ ( ABCD ) nên góc hợp bởi AN với mp(ABCD) chính là
3
góc NAD , lại có N là trung điểm của SC nên tam giác NAD cân tại N, suy ra NAD = NDA = 300.
Suy ra: AD =

SA
=a 3.
tan 300

1
1
3 3
Từ đó ta có V = SA.S ABCD = a.a.a 3 =
a .
3
3
3
3

5
5 3a 3
Thể tích cần tìm là: VMNABCD = VS . ABCD − VS . ABMN = V − V = V =
.
8
8
24

Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với BAD = 1200 , BD = a > 0. Cạnh bên
SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 600. Một mặt phẳng (α) đi qua BD và vuông
góc với cạnh SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp do mặt phẳng (α) tạo ra khi cắt hình chóp.
Hướng dẫn giải:
Gọi V, V1 và V2 là thể tích của hình chóp S.ABCD, K.BCD và phần còn lại của hình chóp S.ABCD.
V S ABCD .SA
SA
Ta có
=
= 2.
= 13 .
V1 S BCD .HK
HK
V V1 + V2
V
V
Suy ra
=
= 1 + 2 = 13 ⇔ 2 = 12
V1
V1
V1

V1
Ví dụ 5*: [ĐVH]. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy góc 600. Gọi M là

điểm đối xứng với C qua D, N là trung điểm của SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp thành hai phần. Tính
tỉ số thể tích của hai phần đó.
Hướng dẫn giải:
Gọi P = MN ∩ SD, Q = BM ∩ AD ⇒ P là trọng tâm ∆SCM, Q là trung điểm của MB.
VMDPQ MD MP MQ 1 2 1 1
5
•
=
.
.
= . . = ⇒ VDPQCNB = VMCNB
VMCNB MC MN MB 2 3 2 6
6
• Vì D là trung điểm của MC nên d ( M , (CNB )) = 2d( D, (CNB ))

1
⇒ VMCNB = 2VDCNB = VDCSB = VS . ABCD
2
V
5
7
7
⇒ VDPQCNB = VS. ABCD ⇒ VSABNPQ = VS . ABCD ⇒ SABNPQ =
12
12
VDPQCNB 5

Ví dụ 6*: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh a, ABC = 600 , chiều cao SO của
hình chóp bằng

a 3
, trong đó O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M là trung điểm của AD,
2

mặt phẳng (P) chứa BM và song song với SA, cắt SC tại K. Tính thể tích khối chóp K.BCDM.
Hướng dẫn giải:
Gọi N = BM ∩ AC ⇒ N là trọng tâm của ∆ABD.
1
Kẻ NK // SA (K ∈ SC). Kẻ KI // SO (I ∈ AC) ⇒ KI ⊥ (ABCD). Vậy VK .BCDM = KI .S BCDM
3
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Ta có: ∆SOC ~ ∆KIC ⇒

KI CK
=
(1),
SO CS

∆KNC ~ ∆SAC ⇒

Facebook: Lyhung95
CK CN
=
CS CA

(2)

1
CO + CO
2
2
a 3
3
= ⇒ KI = SO =
2CO
3
3
3
a 3
1
3 3 2
Ta có: ∆ADC đều ⇒ CM ⊥ AD và CM =
⇒ S BCDM = ( DM + BC ).CM =
a
2
2
8
1
a3
⇒ VK .BCDM = KI .S BCDM =
3
8
Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình
KI CN CO + ON

=
=
=
Từ (1) và (2) ⇒
SO CA
2CO

chóp. Cho AB = a; SA = a 2 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh SC ⊥ ( AHK )
và tính thể tích hình chóp OAHK.

Lời giải:
 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH
Ta có: 
 BC ⊥ SA
Mà AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ SC
Tương tự ta chứng minh được AK ⊥ SC

⇒ SC ⊥ ( AHK )
Gọi M = SO ∩ HK , I = AM ∩ SC
Vì SC ⊥ ( AHK ) ⇒ SC ⊥ AI
Mà AC = SA = a 2 ⇒ I là trung điễm của SA
d ( O, ( AHK ) ) =

1
1
d ( C , ( AHK ) ) = d ( S , ( AHK ) )
2
2

1
⇒ VOAHK = VSAHK
2
Ta có:

SH
SA2
SH 2
SK 2
=
=2⇒
= , tương tự thì ta cũng có
=
2
HB AB
SB 3
SD 3

VSAHK SA SH SK 2 2 4
4
2
1
1
=
.
.
= . = ⇒ VSAHK = VSABD = VSABCD ⇒ VOAHK = VSAHK = VSABCD
VSABD SA SB SD 3 3 9
9
9

2
9
1
1
a3 2
a3 2
Mà VSABCD = .SA.S ABCD = a 2.a.a =
⇒ VOAHK =
3
3
3
27

Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông
góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và
SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.

Lời giải:

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

SA2
SM .SB SM
4a 2 SM
Ta có:

=
=
⇒ 2 =
BM
AB 2 BM .SB BM
a
⇒

SM
SM 4
SN 4
=4⇒
= . Tương tự
=
BM
SB 5
SC 5

Ta có:

VSAMN SA SM SN
4 4 16
=
= 1. . =
.
.
VSABC SA SB SC
5 5 25

VSAMN =

16
VSABC ⇒ VABCMN = VSABC − VSAMN
25

= VSABC −

16
9
VSABC = VSABC
25
25

Mà VSABC

1
1
a2 3 a3 3
= SA.S ABC = .2a.
=
3
3
4
6

⇒ VSBCMN =

9
3 3a 3
VSABC =

25
50

Ví dụ 9: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA
vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho
AM =

a
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.
3

Lời giải:
Ta có: ( SB, ( ABCD ) ) = SBA = 600
tan SBA =
Mà AM =

SA
⇒ SA = AB.tan SBA = a 3
AB
a
3

⇒

SM 2
=
SA 3

Vì MN / / BC / / AD ⇒

SN SM 2
=
=
SD SA 3

Ta có: VSBCNM = VSABM + VSMNC

VSABM SM 2
2
1
=
= ⇒ VSABM = VSABC = VSABCD
VSABC
SA 3
3
3
VSMNC SM SN SC 2 2 4
4
2
=
.
.
= . = ⇒ VSMNC = VSACD = VSABCD
VSACD
SA SD SC 3 3 9
9
9
1
2
5

⇒ VSBCNM = VSABM + VSMNC = VSABCD + VSABCD = VSABCD
3
9
9
1
1
2a 3 3
5
10a 3 3
Mà VSABCD = .SA.S ABCD = .a 3.a.2a =
⇒ VSBCNM = VSABCD =
3
3
3
9
27

Ví dụ 10: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B; SA = a 3 vuông góc với (ABC). Biết
AB = BC = a. Kẻ AH ⊥ SB và AK ⊥ SC.
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

a) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp S.ABC là các tam giác vuông
b) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
c) Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK)
d) Tính VS.AHK

Lời giải:
a) Ta có: SA ⊥ AB, SA ⊥ AC ⇒ ∆SAB, ∆SAC là các
tam giác vuông tại A

 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB
Ta có : 
 BC ⊥ SA
⇒ ∆SBC là tam giác vuông tại B

b) Ta có : VSABC

1
1
a3 3
= .SA.S ABC = .a 3.a.a =
3
3
3

c) Ta có : BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH mà AH ⊥ SB

⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ SC
Mà SC ⊥ AK ⇒ SC ⊥ ( AHK )
d) AC =
Ta có:

AB 2 + BC 2 = a 2 + a 2 = a 2

SA2

SH .SB SH
SH 3a 2
SH 3
=
=
⇒
= 2 =3⇒
=
2
BH .SB BH
BH
SB 4
AB
a

SA2
SK .SC SK
SK 3a 2 3
SK 3
=
=
⇒
= 2 = ⇒
=
2
CK .SC CK
CK 2a
2
SC 5
AC

Ta có:

VSAHK SA SH SK 3 3 9
9
9 a 3 3 3a 3 3
=
.
.
= . =
⇒ VSAHK = VSABC = .
=
VSABC SA SB SC 4 5 20
20
20 3
20

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
• CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI (Học sinh TB – Khá chỉ nên tham khảo)

Bài 1: [ĐVH]. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạch AB = a, các cạch bên SA, SB, SC tạo với đáy một
góc 600. Gọi D là giao điểm của SA với mp (α) qua BC và vuông góc với SA.

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC.
b) Tính thể tích của khối chóp S.DBC
Đ/s: a)

V1 5
= ;
V2 8

b) V =

5a 3 3
.
96

Bài 2: [ĐVH]. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạch a, SA = 2a và SA vuông góc
(ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính VA.BCNM.

Đ/s: V =

3a 3 3
.
50

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

Bài 3: [ĐVH]. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD
lần lượt tại B '; C '; D ' . Biết rằng AB = a;

SB ' 2
= .
SB 3

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S . A ' B ' C ' D ' và S.ABCD.

b) Tính thể tích của khối chóp S . A ' B ' C ' D ' .
Đ/s: a)

V1 1
= ;
V2 3

b) V =

a3 6
.
18

Bài 4: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Gọi B’ và D’ lần lượt là trung điểm của AB và AD.
(CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Đ/s:

V1 1
=
V2 3

Bài 5: [ĐVH]. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy là hình vuông tâm O cạch a, có mặt bên tạo với
đáy một góc 600.
a) Tính thể tích của tứ giác S.ABCD và tính khoảng cách từ từ O đến (SCD).
b) M là trung điểm của cạnh SB, mặt phẳng (α) qua CD và trung điểm M của SB chia khối chóp thành hai
phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Đ/s: V =

a3 3
a 3 V1 3
, d=
,
=
6
4
V2 5

Bài 6: [ĐVH]. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với
(ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính
thể tích khối tứ diện CDEF và tỉ số thể tích giữa CDEF và DABC.

Đ/s: VCDEF

a 3 VCDEF 1
= ,
=
36 VD. ABC 6

Bài 7: [ĐVH]. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B '; C ' trên AB và AC sao cho
a
2a
AB = ; AC ' =
. Tính thể tích tứ diên AB ' C ' D.
2
3
a3 2
Đ/s: V =
.

36

Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!