Nghiên cứu việc dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------

Phạm Anh Lý

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN THỊ NGA

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập,những
trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực.


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Thị Nga, người
đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn
Tiến, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình
giảng dạy cho chúng tôi những kiến thức về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi
những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu.

Ngoài ra tôi cũng xin chân thành cảm ơn:
- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng sau đại học Trường ĐHSP TP.HCM đã
tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học.
- Ban Giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ toán Trường THCS Phường 1, thị
xã Gò Công – Tiền Giang đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm.
Xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các bạn cùng khóa, những
người đã cùng tôi chia sẻ những khó khăn trong suốt khóa học.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong
gia đình đã luôn động viên tôi hoàn thành khóa học.
PHẠM ANH LÝ


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
DANH MỤC CÁC BẢNG
MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1
1. Những ghi nhận ban đầu .....................................................................................1
2. Câu hỏi nghiên cứu .............................................................................................3
3. Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu .............................................3
3.1. Nghiên cứu thể chế.......................................................................................3
3.2. Đồ án sư phạm .............................................................................................4
4. Tổ chức của luận văn ..........................................................................................5
Chương 1: TỔNG HỢP MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VỀ MÔ HÌNH HÓA
TOÁN HỌC ...................................................................................................6
1. Mô hình hóa toán học. Quá trình mô hình hóa toán học .....................................6
1.1. Mô hình hóa toán học...................................................................................6
1.2. Quá trình mô hình hóa toán học ...................................................................9

1.3. Dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa .................................11
2. Lợi ích của mô hình hóa trong dạy học toán .....................................................12
3. Những khó khăn và trở ngại của việc dạy học mô hình hóa toán học ..............14
4. Sự quan tâm đến dạy học mô hình hóa toán học ở các nước và ở Việt Nam ...15
4.1. Ở Pháp ........................................................................................................15
4.2. Ở một số nước khác ...................................................................................15
4.3. Ở Việt Nam ................................................................................................17


Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TRONG MỐI LIÊN HỆ VỚI MÔ
HÌNH HÓA TOÁN HỌC ............................................................................21
1. Ở bậc đại học .....................................................................................................22
1.1. Mô hình thu nhập quốc dân (Keynes) ........................................................24
1.2. Mô hình cân bằng thị trường ......................................................................25
1.3. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô ................................................................27
1.4. Kết luận ......................................................................................................28
2. Ở bậc phổ thông ................................................................................................29
2.1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - giai đoạn công cụ ngầm ẩn ..................29
2.2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - giai đoạn đối tượng và công cụ tường
minh...................................................................................................................33
2.2.1. Phân tích chương trình ........................................................................33
2.2.2. Phân tích sách giáo khoa .....................................................................34
2.2.3. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK10...................................46
2.3. Kết luận ......................................................................................................48
Chương 3: THỰC NGHIỆM (ĐỒ ÁN DẠY HỌC) .................................................52
1. Mục đích thực nghiệm.......................................................................................52
2. Nội dung thực nghiệm .......................................................................................53
2.1. Giới thiệu các tình huống thực nghiệm ......................................................53
2.2 Dàn dựng kịch bản ......................................................................................55
3. Đối tượng thực nghiệm .....................................................................................57

4. Phân tích tiên nghiệm ........................................................................................57
4.1. Biến và giá trị của chúng ............................................................................57
4.2. Chiến lược và cái có thể quan sát được, ảnh hưởng của biến ....................59
4.2.1. Phiếu số 1 ............................................................................................59
4.2.2. Phiếu số 2 và phiếu số 3 ......................................................................59


4.2.3. Phiếu số 4 ............................................................................................64
4.2.4. Phiếu số 5 ............................................................................................64
4.3. Phân tích kịch bản ......................................................................................66
5. Phân tích hậu nghiệm ........................................................................................68
5.1. Ghi nhận tổng quát .....................................................................................68
5.2. Phân tích chi tiết kết quả thực nghiệm .......................................................69
5.2.1. Pha 1 ....................................................................................................69
5.2.2. Pha 2 và pha 3: Tiếp cận và sử dụng hệ phương trình ........................70
5.2.3. Pha 4: Thể chế hóa ..............................................................................77
5.2.4. Pha 5 và pha 6: Vận dụng ...................................................................79
6. Kết luận .............................................................................................................83
KẾT LUẬN ...............................................................................................................85
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................88
PHỤ LỤC 1: ĐỒ ÁN ................................................................................................90
PHỤ LỤC 2: MỘT SỐ BÀI LÀM CỦA HỌC SINH...............................................94
PHỤ LỤC 3: Protocole ...........................................................................................101


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
BTĐS10

: Bài tập Đại số 10 cơ bản.

HS

: Học sinh.

GV

: Giáo viên.

PTTT

: Phương trình tuyến tính.

SGK

: Sách giáo khoa.

SGK4

: Sách giáo khoa toán lớp 4.

SGK5

: Sách giáo khoa toán lớp 5.

SGK8

: Sách giáo khoa toán lớp 8.

SGK9

: Sách giáo khoa toán lớp 9 tập 2.

SGK10

: Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản.

SGK10NC : Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao.
SGV

: Sách giáo viên.

SGV9

: Sách giáo viên toán lớp 9 tập 2.

SGV10

: Sách giáo viên Đại số 10 cơ bản.

THCS

: Trung học cơ sở.

THPT

: Trung học phổ thông.


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1. Giá trị các biến được lựa chọn trong tình huống .......................................58
Bảng 2. Thống kê số nhóm giải theo chiến lược .....................................................68
Bảng 3. Thống kê kết quả pha 1 ..............................................................................69
Bảng 4. Thống kê chiến lược giải các nhóm trong pha 2 và pha 3 .........................70
Bảng 5. Thống kê kết quả pha 5 ..............................................................................79


1

MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu
Trong chương trình toán phổ thông, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là một
chủ đề quan trọng xuyên suốt từ bậc tiểu học đến bậc trung học. Nó không chỉ xuất
hiện trong chương trình môn toán mà còn hiện diện như một công cụ trong nhiều
môn học khác và trong thực tiễn cuộc sống. Ngoài ra, hệ phương trình tuyến tính
cũng là một chủ đề quan trọng trong chương trình toán cao cấp ở bậc đại học.
Những ghi nhận này thúc đẩy chúng tôi đi tìm hiểu việc dạy và học tri thức hệ
phương trình tuyến tính.
Ngày nay, mục đích lớn nhất của việc dạy học toán là phải mang lại cho học
sinh những kiến thức phổ thông, những kỹ năng cơ bản để bước vào cuộc sống sau
này. Ngoài ra, đa số học sinh phổ thông sau này không phải là người làm toán mà là
người sử dụng toán cho nên việc dạy học toán cần phải chuẩn bị cho học sinh khả
năng áp dụng kiến thức linh hoạt vào thực tiễn cuộc sống, hình thành và nâng cao
năng lực tự học của học sinh. Để đạt được mục đích này, việc chú trọng vấn đề mô
hình hóa trong dạy học là thật sự cần thiết.
Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA (Programme for International
Student Assessment) là chương trình hợp tác của các quốc gia thành viên của tổ
chức Hợp tác và phát triển kinh tế (OECD – Organization

for Economic

Cooperation and Development) đánh giá mức độ chuẩn bị của học sinh tuổi mười
lăm nhằm đáp ứng những thách thức của xã hội. Bắt đầu từ năm 1997, chương trình
PISA đánh giá theo chu kỳ ba năm một lần với quy mô toàn cầu, hiện đã có trên 70
quốc gia và nền kinh tế tham gia. Chương trình PISA đưa ra cho học sinh những
vấn đề được đặt trong các tình huống lấy từ thực tế cuộc sống và được xây dựng sao
cho toán học giải quyết các vấn đề đó. Mục tiêu của điều tra PISA là xác định trong
chừng mực nào học sinh có khả năng khai thác các tri thức và kĩ năng toán học của
họ để giải quyết các vấn đề được đặt ra. Chương trình này không chỉ đánh giá kiến


2

thức mà còn xem xét những khả năng, kĩ năng cần thiết của học sinh trong độ tuổi
mười lăm trong việc áp dụng kinh nghiệm và kiến thức của mình vào giải quyết các
vấn đề thực tế. Dưới đây là một ví dụ đã được PISA đưa ra đánh giá: Bài toán “Đèn
đường”.
“Hội đồng thành phố quyết định dựng một cây đèn đường trong một công viên
nhỏ hình tam giác sao cho nó chiếu sáng toàn bộ công viên.
Người ta nên đặt nó ở đâu?”

[The Pisa (2003); tr.26]
Chương trình PISA làm nổi bật vai trò của mô hình hóa trong toán học cũng
như trong các khoa học khác.
Từ ghi nhận về tầm quan trọng của mô hình hóa trong dạy học và vai trò
công cụ của hệ phương trình tuyến tính trong việc giải quyết các bài toán thực tế,
chúng tôi xác định chủ đề nghiên cứu của mình là dạy học hệ phương trình tuyến
tính trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học.
Về vấn đề mô hình hóa trong chương trình toán trung học Việt Nam, nghiên
cứu của tác giả Nguyễn Thị Nga (2011) đã đưa ra kết luận như sau:

“Vấn đề dạy học mô hình hóa không hề được đề cập trong chương trình và sách
giáo khoa ở Việt Nam. Sách giáo khoa chỉ đưa vào các bài tập áp dụng kiến
thức toán để giải quyết một số vấn đề thực tế. Trong các bài tập, những mô hình
toán học (…) được cung cấp trong đề bài và thực tế đã được mô hình hóa chỉ là
cái cớ để làm việc toán học trong mô hình đã được xác định rõ.”

Theo tác giả này, việc dạy học mô hình hóa ở Việt Nam và Pháp thực sự đặt ra một
vấn đề:
“Như vậy, thực sự tồn tại một vấn đề dạy học: hoặc người ta tránh dạy học mô
hình hóa bằng cách xây dựng mối quan hệ giữa toán học và các môn khoa học
khác như mối quan hệ ứng dụng (Việt Nam), hoặc người ta khuyến khích sự
quan tâm đến mô hình hóa nhưng không cung cấp cho giáo viên những phương
tiện để dạy học nó (Pháp)”. [Nguyễn Thị Nga (2011); tr.318]

Liên quan đến hệ phương trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn, chúng tôi có ghi
nhận việc trình bày của sách giáo khoa lớp 9 về tri thức này như sau: Nêu bài toán
thực tiễn→Trình bày định nghĩa hệ phương trình bậc nhất hai ẩn → Trình bày các
cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn → Củng cố bằng cách giải các hệ phương


3

trình, các bài toán thực tiễn. Bài toán thực tiễn ban đầu được đưa vào chỉ nhằm mục
đích dẫn dắt vào bài học. SGK9 đưa vào định nghĩa hệ phương trình trực tiếp bằng
ngôn ngữ toán học, tách rời với bài toán thực tiễn ban đầu. Các bài toán thực tiễn
khác chỉ được giải quyết sau khi các kiến thức về hệ phương trình đã được trình
bày. Như vậy, ở đây, mối liên hệ giữa toán học và vấn đề thực tiễn là mối quan hệ
ứng dụng. Câu hỏi cần thiết đặt ra là liệu có thể đưa vào hệ phương trình tuyến tính
bậc nhất hai ẩn trong mối liên hệ với mô hình hóa hay không?
2. Câu hỏi nghiên cứu

Những ghi nhận trên dẫn chúng tôi đến việc đặt ra một số câu hỏi ban đầu
để định hướng cho nghiên cứu như sau:
1) Hệ phương trình tuyến tính và sự mô hình hóa toán học bởi hệ phương
trình tuyến tính được trình bày như thế nào ở bậc đại học? Chúng nhằm giải
quyết những vấn đề gì?
2) Việc nghiên cứu hệ phương trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn được thể hiện
như thế nào trong chương trình toán ở bậc phổ thông? Có sự chênh lệch nào
giữa tri thức toán học và tri thức cần giảng dạy về đối tượng hệ phương trình
tuyến tính bậc nhất hai ẩn? Việc dạy học tri thức này có mối liên hệ nào với
việc mô hình hóa toán học?
3) Liệu có thể tổ chức dạy học hệ phương trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn
bằng mô hình hóa trong đó có tính đến các điều kiện và ràng buộc của thể
chế?
3. Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu
3.1. Nghiên cứu thể chế
Chúng tôi thực hiện nghiên cứu này nhằm trả lời các câu hỏi 1 và 2.
Để nghiên cứu thể chế chúng tôi dựa vào lý thuyết nhân chủng học. Lý
thuyết này nghiên cứu và chỉ ra tầm quan trọng của mối quan hệ thể chế với đối


4

tượng tri thức; đưa vào khái niệm tổ chức toán học để làm rõ đặc trưng của mối
quan hệ thể chế với đối tượng tri thức đã chọn.
Phân tích các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hệ phương trình tuyến tính và các
tổ chức toán học liên quan giúp chúng tôi làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng
tri thức này và lý do của các lựa chọn của thể chế. Chúng tôi nghiên cứu thể chế dạy
học hệ phương trình tuyến tính trong mối liên hệ với mô hình hóa ở bậc đại học làm
tham chiếu cho thể chế dạy học ở bậc phổ thông. Việc nghiên cứu đồng thời hai thể

chế và so sánh chúng với nhau giúp chúng tôi hiểu rõ ràng buộc thể chế đối với đối
tượng hệ phương trình tuyến tính ở bậc phổ thông.
Ngoài ra khái niệm hợp đồng sư phạm giúp chúng tôi tìm hiểu ứng xử của
giáo viên và học sinh: có những quy tắc ngầm ẩn nào liên quan đến việc dạy học hệ
phương trình tuyến tính được hình thành giữa họ?
Chúng tôi cụ thể hóa các câu hỏi 1 và 2 như sau:
CH1: Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, hệ phương trình tuyến tính được trình
bày như thế nào? Vai trò công cụ của hệ phương trình tuyến tính là gì? Việc mô
hình hóa bằng hệ phương trình tuyến tính cho phép giải quyết những vấn đề thực
tiễn nào?
CH2: Trong thể chế dạy học ở bậc phổ thông, hệ phương trình tuyến tính bậc nhất
hai ẩn xuất hiện ngầm ẩn, tường minh khi nào? Có sự tiến triển nào qua các giai
đoạn? Việc dạy học các bài toán thực tiễn gắn liền với hệ phương trình tuyến tính
được trình bày như thế nào trong chương trình phổ thông? Việc dạy học mô hình
hóa, dạy học bằng mô hình hóa hệ phương trình tuyến tính được quan tâm như thế
nào và có những đặc trưng, ràng buộc gì?
3.2. Đồ án sư phạm
Dựa vào khái niệm đồ án dạy học trong lý thuyết tình huống kết hợp với lý
thuyết mô hình hóa chúng tôi sẽ xây dựng một tình huống dạy học hệ phương trình
tuyến tính bậc nhất hai ẩn bằng mô hình hóa. Tình huống này được xây dựng theo
các ràng buộc thể chế.


5

Có thể trình bày phương pháp luận nghiên cứu theo sơ đồ:
NGHIÊN CỨU
TRI THỨC KHOA HỌC

Thể chế dạy học bậc đại học

NGHIÊN CỨU
TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY

Thể chế dạy học PT ở Việt Nam

GIẢ THUYẾT NGHIÊN CỨU

NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM
ĐỒ ÁN DẠY HỌC

4. Tổ chức của luận văn
Luận văn bao gồm phần mở đầu, phần kết luận và các chương sau:
Chương 1: Tổng hợp một số kết quả nghiên cứu về mô hình hóa toán học.
Trong chương này chúng tôi trình bày hai phần:
- Các khái niệm chung về mô hình hóa toán học.
- Tổng hợp một số kết quả nghiên cứu về mô hình hóa.
Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học.
Trong chương này chúng tôi sẽ phân tích hai thể chế (thể chế dạy học ở bậc đại học
và thể chế dạy học phổ thông) để làm rõ các đặc trưng của việc dạy học hệ phương
trình tuyến tính trong mối liên hệ với mô hình hóa. Cụ thể, kiểu nhiệm vụ “Giải bài
toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình” sẽ được xem xét trong cả hai thể chế để
so sánh các đặc trưng, ràng buộc của chúng.
Chương 3: Thực nghiệm (Đồ án dạy học).
Trong chương này chúng tôi xây dựng, thực nghiệm và phân tích tình huống
dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng mô hình hóa.


6

Chương 1:
TỔNG HỢP MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
VỀ MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC
1. Mô hình hóa toán học. Quá trình mô hình hóa toán học
1.1. Mô hình hóa toán học
Trong ba thập kỷ qua, các nhà nghiên cứu nhấn mạnh tầm quan trọng và thảo
luận về vai trò của mô hình toán học và các ứng dụng trong toán học giảng dạy và
học tập (Pollak, 1970; Blum Niss năm 1991; Lesh & Doerr, 2003). Henry Pollak
(1970) ghi nhận rằng truyền thống toán học giảng dạy nên chuyển từ việc hiểu “Đây
là một bài toán, giải quyết bài toán” hoặc “Đây là một định lý, chứng minh điều
đó", sang việc hiểu "Ở đây là một tình huống, suy nghĩ về nó”. Ông cũng chỉ ra rằng
có một nhu cầu mạnh mẽ để cho phép sinh viên khám phá một tình huống có vấn
đề, đặt ra các giả thuyết và tìm hiểu các công cụ thích hợp hoặc định lý họ cần sử
dụng để giải quyết tình hình trong thế giới thực dựa trên tình huống đó.
Ngày nay, mô hình hóa được hầu hết mọi người ưa chuộng, giải quyết vấn
đề, hoạt động học tập và các hoạt động khác, liên kết toán học với các đối tượng
khác, có thể đóng góp phần nào trong việc hướng tới ý nghĩa của việc học tập và
giảng dạy toán học.
“Theo Từ điển bách khoa toàn thư, mô hình hóa là sự chuyển đổi trừu tượng
một thực tiễn cụ thể nhằm mục đích mô tả thế giới trực giác hay thế giới đã
được quan niệm hóa bằng ngôn ngữ tự nhiên. Sự chuyển đổi này được đặt dưới
sự kiểm tra của tư duy lôgic hay tư duy toán học. Nói cách khác, mô hình hóa
toán học là sự giải thích toán học cho một hệ thống ngoài toán học nhằm trả lời
cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này.”

[Quách Huỳnh Hạnh (2009); tr.8]
Mô hình toán học có thể được thể hiện thông qua đồ thị, bảng biểu, phương
trình, hệ thống các phương trình…

7

Mô hình hóa toán học có vai trò hết sức quan trọng, ứng dụng trong nhiều
lĩnh vực khác nhau của khoa học và cuộc sống. Những tình huống được mô hình
hóa có tình huống trong toán học và cả tình huống ngoài toán học.
Một số ví dụ về mô hình toán học:
+ Trong sinh học: Mô hình về sự phát triển của dân số. Một mô hình đơn giản cho
bài toán này là mô hình phát triển Malthus, là một mô hình mô tả sự tăng trưởng
của dân số theo hàm mũ dựa trên sự bất biến của tỉ lệ của hệ số phức. Mô hình này
được đặt theo tên của Thomas Malthus. Mô hình này xác định bởi công thức:
P(t) = P 0 er.t
Với P 0 : Số dân ban đầu (Initial Population); r: tỉ lệ tăng trưởng, t: thời gian.
Tuy nhiên, theo Joel E. Cohen thì sự đơn giản của mô hình đưa ra chỉ hữu ích cho
việc dự đoán trong khoảng thời gian ngắn, và không tốt nếu áp dụng cho khoảng
thời gian 10 hay 20 năm hoặc lâu hơn. Để khắc phục yếu điểm này Pierre Francois
Verhulst đã phát triển mô hình hàm logistic (logistic function) vào năm 1838.
+ Trong kinh tế: Mô hình mô tả hành vi (có lí trí) của một khách hàng. Khách
hàng mong muốn mua nhiều nhất các mặt hàng trong số tiền hiện có. Trong mô
hình này, ta xem xét trường hợp một khách hàng phải lựa chọn để mua trong số n
mặt hàng được đánh nhãn 1,2,...,n, mỗi thứ có giá là p 1 , p 2 ,..., p n . Giả thiết rằng
khách hàng có một hàm tiện ích U với mục đích là gán một giá trị (tương ứng cho
số lượng) với mỗi mặt hàng mà khách hàng định mua x 1 , x 2 ,..., x n . Mô hình còn giả
thiết là khách hàng sở hữu số tiền giá trị M dùng để mua các mặt hàng và mục đích
là cực đại U(x 1 , x 2 ,..., x n ). Bài toán cần giải quyết về mô hình hành vi của khách
hàng trở thành bài toán tối ưu hóa, nghĩa là:
max U ( x1 , x2 ,..., xn )

thỏa mãn:

n

∑px
i =1

i i

≤M

xi ≥ 0, ∀i ∈ {1, 2,..., n}


8

Mô hình này được sử dụng trong lý thuyết cân bằng chung, đặc biệt dùng để chứng
minh sự tồn tại và tối ưu hóa Pareto của cân bằng kinh tế. Tuy nhiên, việc sử dụng
mô hình này gán giá trị số để phân mức thỏa mãn của khách hàng vẫn là vấn đề
tranh cãi.
+ Trong vật lí: Mô hình biểu diễn cho một hạt (phần tử) trong trường-điện thế
(potential-field). Trong mô hình này, một phần tử được xem là một khối điểm m với
quĩ đạo của nó được mô hình bởi hàm x: R → R3, với tọa độ của nó trong không
gian là một hàm theo thời gian. Trường-điện thế được cho bởi hàm V: R3 → R và
quĩ đạo là nghiệm của phương trình sai phân:

m

(

d2
x ( t ) = − grad V ( x ( t ) )
dt 2

)

Chú ý mô hình này lấy giả thiết phần tử là một khối điểm, điều mà không đúng
trong nhiều trường hợp, ví dụ: mô hình cho chuyển động của hành tinh.
+ Trong cơ học cổ điển: Mô hình dao động của dây, của màng; mô hình chuyển
động của tên lửa; mô hình chuyển động của tàu ngầm... Một dạng đặc biệt của dao
động có chu kỳ chiếm vị trí quan trọng trong thực tế là dao động điều hòa. Về mặt
động học dao động điều hòa được miêu tả bởi hệ thức:
q = Asin(kt + α)
Ở đây: q là toạ độ của điểm dao động tính từ vị trí trung bình của nó (chọn làm gốc
toạ độ); A là toạ độ của q ứng với độ lệch lớn nhất của điểm về một phía và được
gọi là biên độ dao động; (kt + α) là argument của sin gọi là pha dao động; α là pha
ban đầu; k là tần số vòng (riêng) của dao động. Tần số riêng k liên quan với chu kỳ
T bởi hệ thức:
k=

2π
( rad / s )
T

Số lần dao động trong một đơn vị thời gian được tính theo công thức:
f=

1 T
=
T 2π


9

1.2. Quá trình mô hình hóa toán học
Quá trình mô hình hóa vấn đề thực tiễn được thực hiện theo sơ đồ sau: (Theo
Nguyễn Thị Nga (2011))

Sơ đồ này chia quá trình mô hình hóa thành 4 bước: (Tham khảo Nguyễn Thị Nga
(2011))
- Bước 1: Chuyển hệ thống ngoài toán học thành một mô hình trung gian.
Xây dựng mô hình định tính của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan
trọng nhất và xác lập những quy luật mà chúng phải tuân theo. Mô hình trung gian
giữa tình huống ngoài toán học và mô hình toán học cần xây dựng biểu thị một cấp
độ trừu tượng hóa đầu tiên của “thực tiễn”. Mô hình này tiến triển từ từ qua việc mô
hình hóa: một mô hình trung gian có thể gần về ngữ nghĩa ít hoặc nhiều hơn so với
tình huống thực tế được xem xét hoặc so với mô hình toán học cần xây dựng.
- Bước 2: Chuyển mô hình trung gian thành mô hình toán học, tức là diễn tả
lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình định tính. Khi có mô hình trung gian
ta chọn các biến đặc trưng cho các yếu tố của tình huống đang xét. Từ đó dẫn đến
việc lập mô hình toán học thiết lập mối quan hệ giữa các biến số và các tham số của
tình huống. Như vậy mô hình hóa toán học là trừu tượng hóa dưới dạng ngôn ngữ
toán học của hiện tượng thực tế, cần phải được xây dựng sao cho việc phân tích nó
cho phép ta hiểu được bản chất của hiện tượng.


10

- Bước 3: Hoạt động toán học trong mô hình toán học. Sử dụng các công cụ
toán học để khảo sát và giải quyết mô hình toán học hình thành ở bước thứ hai. Căn
cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho
phù hợp.
- Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba. Trở

lại tình huống được nghiên cứu để chuyển câu trả lời của vấn đề toán học thành câu
trả lời của những câu hỏi ban đầu và đối chiếu chúng với thực tiễn được mô hình
hóa.
Trong bước này có hai khả năng:
* Khả năng 1: Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế.
* Khả năng 2: Mô hình và các kết quả tính toán không phù hợp với thực tế. Khi đó
cần xem xét các nguyên nhân sau:
- Tính chính xác của lời giải toán học, thuật toán, quy trình.
- Mô hình định tính đã xây dựng chưa phản ánh đầy đủ vấn đề đang xét.
- Tính thỏa đáng của mô hình toán học đang xây dựng.
- Các số liệu ban đầu không phản ánh đúng thực tế.
Có thể phải thực hiện lại quy trình cho đến khi tìm mô hình toán học thích hợp cho
tình huống đang xét.
Ngoài ra theo Coulange (1998), bước 1 chuyển bài toán thực tiễn thành bài
toán phỏng thực tiễn như là tiến hành mô tả các vấn đề bản chất của một hệ thống,
tình huống cần giải quyết để đưa vào một bài toán phỏng thực tiễn bằng cách loại
bỏ những chi tiết không quan trọng làm cho bài toán có nội dung thực tiễn trở nên
dễ hiểu và dễ nắm bắt hơn. Từ đó, xác định các yếu tố, khía cạnh cốt lõi của hệ
thống rút ra những mối liên hệ, điều kiện, ràng buộc liên quan đến các yếu tố cốt lõi
của hệ thống.
Những bước của quy trình mô hình hóa trên chỉ có ý nghĩa với tình huống
thực tế thực sự, còn đối với những tình huống trong dạy – học toán ở trường phổ
thông chỉ là những tình huống nhân tạo liên quan đến một số chủ đề toán học. Quá


11

trình mơ hình hóa chỉ chủ yếu thực hiện bước 2, bước 3 và q trình mơ hình hóa
dừng lại khi chu kỳ chỉ có một.
1.3. Dạy học mơ hình hóa và dạy học bằng mơ hình hóa

Theo Lê Thị Hồi Châu (2011) “Để nâng cao năng lực hiểu biết tốn 1 cho
học sinh, khơng thể coi nhẹ việc dạy học cách thức xây dựng mơ hình tốn học để
giải quyết một vấn đề nào đó do thực tiễn đặt ra”. Mơ hình hóa tốn học khơng thể
thiếu trong việc nâng cao năng lực hiểu biết của học sinh, do đó việc áp dụng mơ
hình hóa vào dạy – học tốn ở trường phổ thơng là rất cần thiết. Việc giảng dạy tốn
ở trường phổ thơng thường có thể theo hai tiến trình sau (Tham khảo Lê Văn Tiến
(2005)):
“…, dạy học mơ hình hố là dạy học cách thức xây dựng mơ hình tốn học của
thực tiễn, nhắm tới trả lời cho những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn.
…, quy trình dạy học có thể là: Dạy học tri thức tốn học lí thuyết → Vận
dụng các tri thức này vào việc giải các bài tốn thực tiễn và do đó vào việc xây
dựng mơ hình của thực tiễn.
Quy trình này làm mất đi vai trò động cơ của các bài tốn thực tiễn và do đó
làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức tốn học: tri thức tốn học
khơng còn nảy sinh từ nhu cầu giải quyết các bài tốn thực tiễn.
Quan niệm “Dạy học bằng mơ hình hố” cho phép khắc phục khiếm khuyết
này. Theo quan niệm này, vấn đề là dạy học tốn thơng qua dạy học mơ hình
hố. Như vậy, tri thức tốn học cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua q trình giải
quyết các bài tốn thức tiễn. Quy trình dạy học tương ứng có thể là:
Bài tốn thực tiễn → Xây dựng mơ hình tốn học → Câu trả lời cho bài tốn
thực tiễn→ Tri thức cần giảng dạy → Vận dụng tri thức này vào giải các bài
tốn thực tiễn.”

[Lê Văn Tiến (2005); tr.171-172]
Tiến trình dạy học bằng mơ hình hố đã khắc phục được khuyết điểm của
tiến trình dạy học mơ hình hố và giúp học sinh nâng cao khả năng vận dụng tốn

1

“Hiểu biết tốn là năng lực của một cá nhân, cho phép xác định và hiểu vai trò của tốn học trong cuộc

sống, đưa ra những phán xét có cơ sở và gắn kết với tốn học theo những cách khác nhau nhằm đáp ứng nhu
cầu cuộc sống của cá nhân đó với tư cách là một cơng dân có tinh thần xây dựng, biết quan tâm và biết phản
ánh.” (xem [2]).


12

học vào cuộc sống hằng ngày. Điều này rất cần thiết trong dạy – học toán ở trường
phổ thông hiện nay. Việc tăng cường dạy toán thông qua dạy học bằng mô hình hóa
giúp học sinh có khả năng áp dụng nhiều hơn vào các môn học khác (mô hình toán
học cũng được sử dụng nhiều trong các môn vật lý, hóa học, sinh học,…) cũng như
cuộc sống hằng ngày.
2. Lợi ích của mô hình hóa trong dạy học toán
Hiện nay, nhiều chương trình giáo dục mong muốn nâng cao năng lực hiểu
biết toán học cho học sinh và khả năng ứng dụng toán học vào cuộc sống. Từ năm
1997 chương trình đánh giá quốc tế PISA ra đời chú trọng đánh giá khả năng sử
dụng các kiến thức đã học vào thực tế và năng lực xử lý các tình huống mà các học
sinh có thể sẽ đối mặt trong cuộc sống sau khi rời ghế nhà trường. Điều này cho
thấy vai trò của mô hình hóa trong dạy – học toán ngày càng được chú trọng.
Mô hình hóa cho phép làm rõ lợi ích của toán học, giúp phát triển ở học sinh
khả năng phê phán đối với việc giải quyết các vấn đề trong cuộc sống thực tiễn,
chuẩn bị cho họ những kiến thức và kỹ năng cần thiết cho hoạt động nghề nghiệp đa
dạng sau này và nối liền toán học với các môn học khác.
Theo W.Blum (1993), gần đây trong dạy – học toán đã có một xu hướng thay
đổi, đó là xu hướng nhấn mạnh quá trình chuyển đổi về mô hình toán học (bước 1
và bước 2: quá trình “dịch” tình huống ban đầu về mô hình toán học). Ngày nay, có
nhiều lý do khác nhau để ứng dụng mô hình hóa trong giảng dạy toán. W.Blum
(1993) đã đề cập đến bốn lý do chính sau đây:
- Toán học được thiết kế để giúp học sinh hiểu và đối phó với tình huống và

các vấn đề của thế giới thực.
- Học sinh cần được học các chủ đề toán học như là một nguồn cho sự phản
ánh, hoặc để tạo ra một hình ảnh toàn diện và cân bằng của toán học như một khoa
học và một phần của lịch sử và văn hóa của con người.
- Chúng ta hy vọng học sinh có được trình độ chung (chẳng hạn như khả
năng để giải quyết vấn đề) hoặc thái độ (chẳng hạn như sự cởi mở đối với những