Sự ổn định của phương pháp sắp xếp spline đối với phương trình vi tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐINH THỊ THU

SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG PHÁP SẮP XẾP
SPLINE ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
VI-TÍCH PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
TS. Nguyễn Văn Tuấn

HÀ NỘI, 2015


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến TS Nguyễn
Văn Tuấn, người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng
dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học,
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng
nghiệp, BGH và tổ KHTN trường THCS Xuân Hòa thị xã Phúc Yên
tỉnh Vĩnh Phúc đã cổ vũ, động viên, tạo điều kiện để tôi hoàn thành
luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Đinh Thị Thu


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS Nguyễn Văn
Tuấn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:“Sự ổn định
của phương pháp sắp xếp spline đối với phương trình vi tích
phân ” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân
tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2015
Tác giả

Đinh Thị Thu


Mục lục

Mở đầu

5

1 Kiến thức cơ bản

8

1.1

Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.1

Khái niệm không gian định chuẩn . . . . . . . .

12

1.2.2

Sự hội tụ trong không gian định chuẩn

. . . . .

16

1.3

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4

Không gian các hàm spline . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.4.1

Spline đa thức bậc ba với mốc cách đều . . . . .

19

1.4.2

Spline đa thức tổng quát . . . . . . . . . . . . .

24

Sai số, tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.5.1

Sai số

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.5.2

Xấp xỉ tốt nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.5.3

Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ . . . . . . . . .

30

1.5.4

Ma trận đường chéo trội . . . . . . . . . . . . .

31

1.5.5

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định . . .

32

1.5

2

Sự ổn định của phương pháp sắp xếp spline đối với

phương trình vi tích phân
2.1

36

Định nghĩa phương pháp sắp xếp spline

2

. . . . . . . .

36


2.2

Sự ổn định của phương pháp sắp xếp spline với phương
trình vi phân
2.2.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sử dụng ma trận đường chéo trội nghiên cứu tính
ổn định của phương trình vi phân . . . . . . . .

2.2.2

38

Sự ổn định của phương pháp sắp xếp spline cho

phương trình vi phân bậc hai

2.3

38

. . . . . . . . . .

45

Sự ổn định của phương pháp sắp xếp spline với phương
trình vi tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1

Phương pháp sắp xếp spline cho phương trình vi
tích phân Volterra bậc hai . . . . . . . . . . . .

2.3.2

48

48

Sự ổn định của phương pháp sắp xếp spline cho
phương trình vi tích phân Volterra bậc hai

. . .

3 Ứng dụng

54
58

3.1

Ứng dụng với phương trình vi phân . . . . . . . . . . .

58

3.2

Ứng dụng với phương trình vi tích phân

60

Kết luận

. . . . . . . .

67

Tài liệu tham khảo

68

3


BẢNG KÍ HIỆU
N

N∗
R
C
C[a,b]
S3 (π)
·

Tập số tự nhiên
Tập số tự nhiên khác không
Tập số thực
Tập số phức
Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b]
Tập tất cả các hàm spline đa thức bậc 3
Chuẩn

4


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Trong khoa học tự nhiên, kĩ thuật, trong kinh tế, cũng như trong các
lĩnh vực khác của cuộc sống ta gặp rất nhiều bài toán đưa tới việc nghiên
cứu các phương trình vi phân, phương trình vi tích phân.... Giải đúng
phương trình vi tích phân rất khó vì vậy người ta thường áp dụng các
phương pháp xấp xỉ để giải. Có rất nhiều phương pháp giải gần đúng
khác nhau, phương pháp sắp xếp spline là một phương pháp thường
được lựa chọn.
Ưu điểm của phương pháp sắp xếp spline là sử dụng các hàm đa thức
tính toán để giải. Các hàm đa thức dễ dàng lập trình đưa lên máy tính,
tính toán thuận lợi, hiệu quả. Trong một số trường hợp phương pháp

sắp xếp spline thường đạt tốc độ hội tụ nhanh, độ chính xác của nghiệm
gần đúng tốt hơn các phương pháp khác. Có thể khái quát cho nghiệm
xấp xỉ bằng spline bậc cao hoặc các hàm B-spline.
Sự ổn định của nghiệm xấp xỉ luôn được các nhà Toán học trong
và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Với mong muốn tìm hiểu về sự ổn
định của nghiệm xấp xỉ và phương pháp sắp xếp spline nhằm nâng cao
kiến thức đã học trong chương trình đại học và cao học nên em chọn đề
tài này để nghiên cứu và làm luận văn tốt nghiệp cho mình.

5


2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu khái niệm và các định lý cơ bản của phương pháp sắp xếp
spline .
Nghiên cứu sự ổn định của phương pháp sắp xếp spline với phương
trình vi phân và phương trình vi tích phân.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu ổn định của phương pháp sắp xếp spline với phương trình
vi phân, phương trình vi tích phân.
Nghiên cứu về lập trình Maple để ứng dụng.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: “Sự ổn định của phương pháp sắp xếp spline ”.
Phạm vi nghiên cứu: các khái niệm, định lý các kết quả cơ bản của
phương pháp sắp xếp spline. Các phương trình vi phân, vi tích phân.
Lập trình Maple với phương pháp sắp xếp spline.

5. Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp phân tích, tổng hợp, phương pháp lấy ý
kiến chuyên gia.

6. Đóng góp mới
Sẽ nghiên cứu sự ổn định của một lớp phương trình vi tích phân
bằng phương pháp sắp xếp spline, có thể chứng minh được sự ổn định

6


của một lớp phương trình vi tích phân bằng phương pháp sắp xếp spline.

7


Chương 1

Kiến thức cơ bản
Chương này trình bày một số không gian thường dùng như: Không
gian vectơ, không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian các
hàm spline, sai số, tốc độ hội tụ, sự ổn định của nghiệm để phục vụ
chứng minh ở chương sau.

1.1

Không gian vectơ

Định nghĩa 1.1.1. Cho V là một tập khác rỗng mà các phần tử được
kí hiệu : α, β, γ, . . . và K là một trường mà các phần tử được kí hiệu:

x, y, z, . . .
Giả sử trên V được trang bị hai phép toán, gồm:
1. Phép toán cộng, kí hiệu + :
V × V −→ V.

(α, β) −→ α + β.
2. Phép toán nhân, kí hiệu là · :
K × V −→ V.

(x, α) −→ x · α.

8


thỏa mãn các tiên đề sau:

• α + β = β + α, ∀α, β ∈ V;

• (α + β) + γ = α + (β + γ), ∀α, β, γ ∈ V;

• tồn tại θ ∈ V sao cho θ + α = α + θ = α, ∀α ∈ V;

• Với mỗi α tồn tại α ∈ V sao cho α + α = α + α = θ;

• (x + y)α = xα + yα, ∀α ∈ V và x, y ∈ K;

• x(α + β) = xα + xβ, ∀α, β ∈ V và x ∈ K;

• x(yα) = (xy)α, ∀α ∈ V và x, y ∈ K;

• 1 · α = α, ∀α ∈ V và 1 là phần tử đơn vị của trường K.
Khi đó V cùng với hai phép toán trên gọi là không gian vectơ
trên trường K, hay K-không gian vectơ,hay không gian tuyến tính.

Khi K = R thì V được gọi là không gian vectơ thực.
Khi K = C thì V được gọi là không gian vectơ phức.
Ví dụ: Dễ dàng kiểm tra C[a, b] là một không gian vectơ.

9


Định nghĩa 1.1.2. Trong không gian vectơ V
Hệ vectơ (α1 , . . . , αn ) được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức:

λ1 α1 + · · · + λn αn = 0
Chỉ xảy ra khi λ1 = · · · = λn = 0.
Hệ vectơ (α1 , . . . , αn ) được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không
độc lập tuyến tính.
Ví dụ: Trong không gian vectơ thực R2 cho hệ ba vectơ:

α1 = (2; 0); α2 = (0; 4); α3 = (4; 4)
Hệ (α1 , α2 ) độc lập tuyến tính vì :

λ1 α1 + λ2 α2 = 0 ⇒ (2λ1 ; 0) + (0; 4λ2 ) = (0; 0)
⇒ (2λ1 ; 4λ2 ) = (0; 0) ⇒ λ1 = λ2 = 0
Hệ (α1 , α2 , α3 ) phụ thuộc tuyến tính vì 2α1 + α2 − α3 = 0.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử V là một không gian vectơ
Một hệ vectơ của V được gọi là một hệ sinh của V nếu mọi vectơ của
V đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó.
Khi V có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì V được gọi là không

gian vectơ hữu hạn sinh.
Một hệ vectơ của V được gọi là một cơ sở của V nếu nó là hệ sinh
độc lập tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.4. Cho V là không gian vectơ có cơ sở gồm hữu hạn
phần tử thì số phần tử trong cơ sở đó được gọi là số chiều của không
gian vectơ.
10


Khi V là một K-không gian vectơ có số chiều n ta kí hiệu:

dim V = n( hay dimK V = n).
Nếu V = {0} ta quy ước dim V = 0.
Nếu V không có cơ sở nào gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi là
không gian vectơ vô hạn chiều.
Ví dụ: Trong K−không gian vectơ Kn xét hệ vectơ:

(e) = {e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1)}
n

n

thì với mọi α = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ K ta đều có α =
một hệ sinh của Kn . Mặt khác, nếu có

xi ei nên (e) là
i=1

n

λi ei = 0 thì (λ1 , . . . , λn ) =
i=1

(0, . . . , 0). Suy ra λ1 = · · · = λn = 0.
Vậy hệ (e) còn là một hệ độc lập tuyến tính. Do đó hệ (e) là một cơ
sở của Kn . Cơ sở này được gọi là cơ sở chính tắc ( hay cơ sở tự nhiên )
của Kn . Từ đó suy ra dimKn = n.
Định nghĩa 1.1.5. Tập con W = ∅ của một K -không gian vectơ E
được gọi là không gian vectơ con của E nếu nó ổn định với hai phép
toán của E, nghĩa là thỏa mãn các điều kiện sau:
1. ∀α, β ∈ W, α + β ∈ W,
2. ∀α ∈ W và ∀x ∈ K thì xα ∈ W.
( xem [6])

11


1.2

Không gian định chuẩn

1.2.1

Khái niệm không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.2.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến
tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R
hoặc P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là

. và đọc là chuẩn,thỏa mãn các tiên đề sau đây:

1. (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ (kí hiệu phần tử không là θ );
2. (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) αx = |α| x ;
3. (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y .
Số x gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng kí hiệu không gian định
chuẩn là X . Các tiên đề trên gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Ví dụ: Không gian R2 là không gian định chuẩn với chuẩn thường
chọn là chuẩn:

x

x21 + x22 .

2=

Ngoài ra còn có những chuẩn khác chẳng hạn như:

x

1 =|

x1 | + | x2 | .

hay

x

∞=

max {| x1 |, | x2 |}.

trong đó x = (x1 , x2 ) ∈ R2 . Ví dụ: Không gian C[a, b] = {f : [a, b] →
R | f liên tục trên [a, b]} là không gian định chuẩn

f (t) = max | f (t) | .
a≤t≤b
12


Định nghĩa 1.2.2. Cho không gian tuyến tính X với hai chuẩn
2.

1

và

Hai chuẩn này được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số M > 0

và m > 0 sao cho:

m

x1 ≤ x2 ≤ M

x1 , ∀x ∈ X.

Định lý 1.2.1. Cho không gian định chuẩn X . Đối với hai vectơ bất kì

x, y ∈ X ta đặt
d(x, y) = x − y .

(1.1)

Khi đó d là một metric trên X .
Chứng minh của định lý trên dễ dàng suy ra từ hệ tiên đề chuẩn và
hệ tiên đề tuyến tính.
Mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian metric
với metric (1.1). Do đó mọi khái niệm,mệnh đề đã đúng trong không
gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.2.3. Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi
là hội tụ đến x0 ∈ X nếu

lim xn − x0 = 0.

n→∞

Khi đó ta kí hiệu

lim xn = x0 hoặc xn → x0 khi n → ∞.

n→∞

Định nghĩa 1.2.4. Dãy điểm (xn ) trong không gian định chuẩn X gọi
là dãy cơ bản, nếu

lim

m,n→∞

xn − xm = 0.

Định nghĩa 1.2.5. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach,
nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
13


Định nghĩa 1.2.6. Giả sử không gian định chuẩn X là một không gian
metric đầy đủ (với khoảng cách d(x, y) = x − y ). Khi đó X được gọi
là một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.
Định nghĩa 1.2.7. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường

P . Ánh xạ A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y
được gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu A thỏa mãn:
1. A(x + y) = Ax + Ay ;
2. A (αx) = αA (x).
- A được gọi là toán tử cộng tính nếu A chỉ thỏa mãn 1.
- A được gọi là toán tử thuần nhất nếu A chỉ thỏa mãn 2.
- Khi Y = P thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến
tính.
Định nghĩa 1.2.8. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Toán tử
tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn
tại hằng số c > 0 sao cho:

Ax ≤ c

x , với mọi x ∈ X.

A được gọi là ánh xạ giới nội.
Định lý 1.2.2. Ánh xạ A : X → Y tuyến tính, liên tục khi và chỉ khi

A giới nội.

Chứng minh. Giả sử A giới nội. Lấy {xn } ⊂ X, xn → x tương đương với

xn − x → 0.
Ta có A(xn ) − A(x) = A(xn − x) ≤ k xn − x → 0.
Suy ra d (A(xn ), A(x)) = A(xn ) − A(x) → 0 suy ra A(xn ) → A(x)

14


do đó A liên tục.
Ngược lại, giả sử A liên tục nhưng A không giới nội.
Tức ∀m > 0, ∃xn ∈ X :
Ta đặt ym =

xm
m xm

A(xm ) > m xm .

Suy ra {ym } → 0. Ta có A(ym )

0 ⇔ A(ym )

A(ym )

xm
1
m xm = m → 0, m
A(xm )
m xm

> m
m xm
xm ≥ 1.

. Ta được ym =

=

→ ∞.
Suy ra

0 = A(0) (mâu thuẫn)

Vậy A giới nội.
Ta có điều phải chứng minh.
Định nghĩa 1.2.9. Cho hai không gian định chuẩn X và Y. Kí hiêu
L(X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X
vào không gian Y . Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán:
1. Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là toán tử,kí hiệu A + B , xác
định bởi biểu thức.

(A + B)(x) = Ax + Bx, với mọi x ∈ X;
2. Tích vô hướng của α ∈ P (P = R hoặc P = C) với toán tử A ∈
L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu αA, được xác định bởi biểu thức

(αA)(x) = α(Ax)
Dễ kiểm tra được rằng A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và hai
phép toán trên thỏa mãn tiên đề tuyến tính. Khi đó, tập L(X, Y )
trở thành một không gian tuyến tính trên trường P .
Định lý 1.2.3. Nếu Y là một không gian Banach thì L(X, Y ) là không

gian Banach.
( xem [5])
15


1.2.2

Sự hội tụ trong không gian định chuẩn

Giả sử X là không gian định chuẩn và {xn }∞
n=1 ⊂ X, x0 ∈ X .
1. xn → x0 ( dãy xn hội tu tới x0 ) có nghĩa là
2. Nếu xn → x0 thì

xn − x0 → 0.

xn → x0 , tức là chuẩn

xn

là một hàm

liên tục của x.
3. Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, tức là: nếu xn hội tụ thì ∃M ∈ R, M >

0, ∀n, xn ≤ M.
4. Nếu xn → x0 , yn → y0 thì xn + yn → x0 + y0 .
5. Nếu xn → x0 , αn → α0 thì xn αn → x0 α0 , ∀{αn }∞
n=1 ⊂ R, α0 ∈ R.
6. Một dãy cơ bản trong không gian định chuẩn X là một dãy {xn } ⊂

X sao cho:
lim

m,n→∞

xn − xm = 0.

Nếu trong không gian định chuẩn mọi dãy cơ bản đều hội tụ,tức là:

xn − xm → 0 kéo theo sự tồn tại x0 ∈ X sao cho xn → x0 , thì không
gian đó được gọi là không gian đủ thường gọi là không gian Banach.

1.3

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.3.1. (Tích vô hướng) Cho không gian tuyến tính X trên
trường P (P là trường số thực R hoặc trường số phức C ). Ta gọi là tích
vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X × X vào
trường P ,kí hiệu (., .), thỏa mãn tiên đề:
1. (∀x, y ∈ X) (y, x) = (x, y);
2. (∀x, y, z ∈ X) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) ;

16


3. (∀x, y ∈ X) (∀α ∈ P ) (αx, y) = α (x, y) ;
4. (∀x ∈ X) (x, x) > 0, nếu x = θ (θ là kí hiệu phần tử không),

(x, x) = 0, nếu x = θ.
Các phần tử x, y, z, . . . gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x, y)
gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y ,các tiên đề trên gọi là tiên
đề tích vô hướng.
Định lý 1.3.1. Đối với mỗi x ∈ X . Ta đặt

(x, x).

x =

(1.2)

Khi đó ∀x, y ∈ X ta có bất đẳng thức Schwarz

|(x, y)| ≤ x

y .

(1.3)

Công thức (1.2) xác định một chuẩn trên không gian X .
Định nghĩa 1.3.2. Không gian tuyến tính trên trường P cùng với một
tích vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert.
Định nghĩa 1.3.3. Ta gọi một tập H = ∅ gồm những phần tử x, y, z, . . .
nào đấy là không gian Hilbert,nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:
1. H là không gian tuyến tính trên trường P ;
2. H được trang bị một tích vô hướng (., .);
3. H là không gian Banach với chuẩn x =

(x, x), x ∈ H. Ta gọi

mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian H .
Định nghĩa 1.3.4. (Trực giao) Cho không gian Hilbert H . Hai phần
tử x, y ∈ H gọi là trực giao,ký hiệu x⊥y ,nếu (x, y) = 0.

17


Định nghĩa 1.3.5. Cho không gian Hilbert H và tập con A ⊂ H, A =

∅. Phần tử x ∈ H gọi là trực giao với tập A, nếu x⊥y (∀y ∈ A) và kí
hiệu x⊥A.
Định lý 1.3.2 (Định lý hình chiếu lên không gian con). Cho không gian
Hilbert H và H0 là không gian con của H . Khi đó phần tử bất kì x ∈ H
biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng

x = y + z, y ∈ H0 , z ∈ H0 .

(1.4)

Phần tử y trong biểu diễn (1.4) gọi là hình chiếu của phần tử x lên
không gian con H0 .
Định nghĩa 1.3.6. (Hệ trực chuẩn) Cho không gian Hilbert H . Một
tập (còn gọi là hệ thống) gồm hữu hạn hay đếm được các phần tử

(en )n≥1 ⊂ H gọi là một hệ trực chuẩn, nếu
(ei , ej ) = δij

(1.5)

δij là kí hiệu Kroneckes,δij = 0 với i = j ,δij = 1 với i = j ,(i, j =
1, 2, . . .).
Nhận xét: Không gian định chuẩn và không gian Hilbert có hai cấu
trúc tôpô và đại số.
Về cấu trúc tôpô: Họ lân cận của 0, U = {Uα }α∈I , Uα là lân cận của
0.

x ∈ X, {x + Uα }α∈I là họ lân cận của x.
Định nghĩa 1.3.7. Mọi họ các lân cận của điểm 0 (Kí hiệu: U ) được
gọi là họ cơ sở của lân cận nếu:
1. U bất kỳ là lân cận của điểm 0 thì tồn tại U0 ⊂ U sao cho U0 ⊂ U ;
2. Với U1 , U2 ∈ U thì U1 ∩ U2 ∈ U ;
18


∞

Ui ∈ U ;

3. Với Ui ∈ U , i = 1, · · · , ∞ thì
i=1

4. Với W ∈ U , tồn tại U0 ∈ U sao cho U0 + U0 ⊆ W.

1.4

Không gian các hàm spline

1.4.1

Spline đa thức bậc ba với mốc cách đều

Xét phân hoạch π trên đoạn [a, b] với các mốc nội suy

a = t0 < t1 < t2 < . . . < tn = b.
Kí hiệu hi = ti − ti−1 , nếu hi = h = const thì các mốc nội suy

t0 , t1 , t2 , . . . , tn gọi là các mốc nội suy cách đều.
Định nghĩa 1.4.1. Một spline đa thức bậc ba trên đoạn [a, b] với phân
hoạch π là hàm số y = s(t) thỏa mãn hai điều kiện sau:
1. s(t) ∈ C 2 [a, b];
2. Hạn chế của s(t) trên mỗi khoảng ∆i = [ti ; ti+1 ] là đa thức s(t) |∆i ,
với deg(s(t) | ∆) ≤ 3, ∀i = 0, 1, 2, · · · , n.
Không gian gồm tất cả các hàm số s(t) thỏa mãn hai điều kiện trên
kí hiệu là S3 (π).
Từ định nghĩa ta có không gian S3 (π) chứa tất cả các đa thức có bậc
nhỏ hơn hoặc bằng 3. Dễ dàng kiểm tra các tiên đề của không gian vec
tơ suy ra S3 (π) là không gian tuyến tính.
Mệnh đề 1.4.1. Không gian S3 (π) là không gian tuyến tính và không
gian đó chứa tất cả các đa thức có bậc nhỏ hơn bằng 3.
Bài toán 1.4.1. Tồn tại duy nhất hàm số s(t) ∈ S3 (π) thỏa mãn hệ

19


điều kiện:


s (t0 ) = f (t0 ),






s(ti ) = f (ti ), 0 ≤ i ≤ n,





s (tn ) = f (tn ).

(1.6)

Khi đó s(t) được gọi là đa thức nội suy spline bậc ba của hàm số f (t).
Xây dựng sự tồn tại của hàm s(t) với các mốc nội suy cách đều
i(b − a)
ti = t0 +
,trong đó chúng ta bổ sung thêm 4 mốc nội suy tn−2 <
n
tn−1 < t0 và tn+2 > tn+1 > tn đồng thời xét hàm số Bi (t) được xác định
bởi công thức:

(t − ti − 2)3 , t ∈ [ti−2 , ti−1 ],




h3 + 3h2 (t − ti−1 ) + 3h(t − ti−1 )2 − 3(t − ti−1 )3 ,





t ∈ [ti−1 , ti ],
1  3
2
2
Bi (t) = 3 h + 3h (ti+1 − t) + 3h(ti+1 − t) − 3(ti+1 − t)3 ,
h 

t ∈ [ti , ti+1 ],



3

(ti+2 − t) , t ∈ [ti+1 , ti+2 ],



0, t ∈
/ [ti−2 , ti+2 ].
(1.7)
Bằng cách thay vào (1.7) các hàm số Bi (t) liên tục khả vi hai lần
trên R, mà

4, j = i,
Bi (tj ) = 1, j = i − 1 hoặc j = i + 1,


0, j = i − 2 hoặc j = i + 2,

(1.8)

Đồng thời Bi (t) ≡ 0 với t ≥ ti+2 và t ≤ ti−2 .
Các hàm B -spline khác không nhỏ gọn nhất với các mốc nội suy

t−2 < t−1 < t0 < . . . < tn < tn+1 < tn+2 đó là, bất kì spline đa thức bậc
3 s(t) đồng nhất triệt tiêu bằng 0 ngoài khoảng (tj−2 , tj+2 ).
Hơn nữa mỗi Bi (t) là bậc 3 trên [tj , tj+1 ] nên Bi (t) ∈ S3 (π).
Tính Bj (t), Bj (t), Bj (t) chúng ta có bảng sau:
20


t

tj−2

tj−1

tj

tj+1

tj+2

Bj (t)

0

1

4

1

0

Bj (t)

0

3
h

0

− h3

0

Bj (t)

0

6
h2

− h122

6
h2

0

Bảng 1.1: Giá trị Bj (t), Bj (t), Bj (t)

Giả sử B = B−1 , B0 , . . . , Bn+1 và B3 (π) = spanB .
Dễ thấy hệ B là độc lập tuyến tính và B3 (π) là không gian n + 3
chiều.
Định lý 1.4.1. Có duy nhất hàm s(t) ∈ B3(π) thỏa mãn bài toán (1.6).
Chứng minh. Giả sử s(t) ∈ B3(π) thì

s(t) = x−1 B−1 (t) + x0 B0 (t) + . . . + xn+1 Bn+1 (t).

(1.9)

s(t) thỏa mãn bài toán (1.6) nên chúng ta có:

s (t0 ) = x−1 B−1 (t) + x0 B0 (t) + . . . + xn+1 Bn+1 (t) = f (t0 ),



s(ti ) = x−1 B−1 (ti ) + x0 B0 (ti ) + . . . + xn+1 Bn+1 (ti ) = f (ti ),
0 ≤ i ≤ n,



s (tn ) = x−1 B−1 (tn ) + x0 B0 (tn ) + . . . + xn+1 Bn+1 (tn ) = f (tn ).
(1.10)

Đây là hệ phương trình tuyến tính gồm n + 3 phương trình dạng:

21


Ax = b, với


x−1





f (t0 )







 x0 
 f (t0 ) 













 x1 
 f (t1 ) 




x=
,b = 

 ... 
 .. 


 . 








 xn 
 f (tn ) 





xn+1
f (tn )
và ma trận hệ số:


B−1 (t0 ) B0 (t0 ) B1 (t0 ) . . . Bn+1 (t0 )



 B−1 (t0 )


 B−1 (t1 )

A=

..

.



B−1 (tn )

B−1 (tn )











=









B0 (t0 ) B1 (t0 ) . . .
B0 (t1 ) B1 (t1 ) . . .

B0 (tn ) B1 (tn ) . . .
B0 (tn ) B1 (tn ) . . .

− h3 0

3
h

0

0



Bn+1 (t0 ) 


Bn+1 (t1 ) 






Bn+1 (tn )


Bn+1 (tn )



0

...




...




...


0 . . .






4 1


3
0 h

1

4 1

0

0

0

0

1 4

1

0

0

0

0 1

4

1

0

0

0 0 ... 0

1

0

0 0 . . . 0 − h3

..
.



A là ma trận có đường chéo trội nên không suy biến từ đó hệ (1.10)có
nghiệm duy nhất.
22


Định lý 1.4.2. Với các không gian S3(π) và B3 (π)nêu trên chúng ta có:

B3 (π) = S3 (π).

(1.11)

Chứng minh: Từ định nghĩa B3 (π) ta có B3 (π) ⊂ S3 (π).
Chúng ta đi chứng minh S3 (π) ⊃ B3 (π).
Lấy f (t) ∈ S3 (π) khi đó f (t0 ), f (tn ) và f (ti ), 0 ≤ i ≤ n đều xác
định.
Giả sử s(t) ∈ B3 (π) là hàm spline duy nhất được xác định trong
định lý (1.4.1),đặt f (t) − s(t) = g(t) thì g(ti ) = 0, 0 ≤ i ≤ n.
Vì f (t), g(t) ∈ C 2 [a, b] nên g(t) ∈ C 2 [a, b] theo định lý Rolle thì g (t)
có n nghiệm yi thỏa mãn ti < yi < ti+1 đồng thời t0 , tn là hai nghiệm
của g (t). Như vậy g (t) có ít nhất n + 2 nghiệm do đó g (t) có ít nhất

n + 1 nghiệm zi và xi < zi < yi , 0 ≤ i ≤ n .
Nhưng g (t) là đa thức có bậc cao nhất bằng 1 trên ti , ti+1 với các
điểm lưới của phân hoạch π , vì g (t) nhận zi , i = 0, 1, 2, . . . , n là các

nghiệm nên chúng ta suy ra g (t) ≡ 0 trên ti , ti+1 .
Do đó g (t) ≡ 0 trên ti , ti+1 từ đó chúng ta được: g(t) = αt + β . Mà

g(t0 ) = g(tn ) = 0 suy ra α = β = 0 hay g(t) ≡ 0 trên t0 , tn .
Do đó

s(t) = f (t) ∈ B3 (π).
Kết luận

B3 (π) = S3 (π).
Hệ quả 1.4.1. S3 (π) là không gian tuyến tính n + 3 chiều với hệ cơ sở

B = B−1 , B0 , . . . , Bn+1 .

23