BÀI THI HỌC SINH GIỎI 9

DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC.
Bài 1: Cho biểu thức
P =
( ) ( )
3
a1
2
2
a
a12
1
a12
1
−
+
−
−
+
+
a) Rút gọn P.
b) Tìm Min P.
Bài 2: Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x
2
+ y = y
2
+ x
Tính giá trị biểu thức : P =
1 -xy
xy
2
y

2
x
++
Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q =
yx
y-x
+
Biết x
2
-2y
2
= xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0
Bài 4: Cho biểu thức
P =
3x
3x2
x-1
2x3
3x2x
11x15
+
+
−
−
+
−+
−
a) Tìm các giá trị của x sao cho P =
2
1

b) Chứng minh P ≤
3
2
Bài 5: Cho biểu thức
P =
a
2a
2a
1a
2aa
39a3a
1
−
−
+
+
+
−
−+
−+
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên.
Bài 6: Cho biểu thức
P =
2
a
16
a
8
-1

4-a4a4-a4a
+
−++
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên.
Bài 7: Cho biểu thức
P =
















−
−
+−
−
−
1a
2

1a
1
:
aa
1
1a
a
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2
2
c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0.
Bài 8: Cho biểu thức
1
P =

















−
−
−
−
−
+
x
2
x2x
1x
:
x4
8x
x2
x4
a) Rút gọn P.
b) Tính x để P = -1
c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m(
x
- 3)P > x + 1.
Bài 9: Cho biểu thức
P =

















+
−
−
+
++
−
xy
yx
xxy
y
yxy
x
:
yx
xy -y
x
a) Tìm x, y để P có nghĩa.
b) Rút gọn P.
c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2
3
Bài 10: Cho biểu thức
P =

x
2007x
1x
14xx
1x
1-x
1x
1x
2
2
+
−
−−
+
+
−
−
+










a) Tìm x để P xác định.
b) Rút gọn P.

c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên.
Bài 11: Rút gọn P.
P =
2
224
22
22
22
22
b
baa4
:
baa
baa
baa
baa
−
−+
−−
−
−−
−+











Với | a | >| b | > 0
Bài 12: Cho biểu thức
P =
2
2
x1
.
1x2x
2x
1x
2x
















−

++
+
−
−
−
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm GTLN của P.
Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
P =
6x5x
10x
3x4x
1x5
2x3x
2x
++
+
+
++
+
+
++
Không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
P =
x
x
x
++−

−+−
+
52.549
347.32
4
63
Không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 15: Cho biểu thức
P =
1x
1xx
xx
1xx
xx
22
++
+−
+
−
++
−
2
Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1 .
Bài 16: Cho biểu thức
P =
1x
)12(x
x
x2x
1xx

xx
2
−
−
+
+
−
++
−
a) Rút gọn P.
b) Tìm GTNN của P
c) Tìm x để biểu thức Q =
P
x2
nhận giá trị là số nguyên.
Bài 17: Cho biểu thức
P =
1x2
x
1x2x
1x
1x
xx
1xx
xxx2x
−
+
−+
−
⋅

−
+
−
−
−+








a) Tìm x để P có nghĩa
b) Rút gọn P.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó.
Bài 18: Rút gọn biểu thức
P =
5310
53
5310
53
−+
−
−
++
+
Bài 19: Rút gọn biểu thức
a) A =
7474

−−+

b) B =
5210452104
+−+++
c) C =
532154154
−−−++
Bài 20: Tính giá trị biểu thức
P =
123412724
−−++−++
xxxx
Với
2
1
≤ x ≤ 5.
Bài 21: Chứng minh rằng:
P =
26
4813532
+
+−+
là một số nguyên.
Bài 22: Chứng minh đẳng thức:
1
2
3
11
2

3
1
2
3
11
2
3
1
=
−−
−
+
++
+
Bài 23: Cho x =
3
725
3
725
−−+
Tính giá trị của biểu thức f(x) = x
3
+ 3x
Bài 24: Cho E =
yx
xy1
yx
xy1
−
−

−
+
+
Tính giá trị của E biết:
3
x =
222.222.84
+−+++
y =
45272183
2012283
+−
+−
Bài 25: Tính P =
2008
2007
2
2008
2
2007
2
20071
+
+
+
Bài 26: Rút gọn biểu thức sau:
P =
51
1
+

+
95
1
+
+ ... +
20052001
1
+
Bài 27: Tính giá rẹi của biểu thức:
P = x
3
+ y
3

- 3(x + y) + 2004 biết rằng
x =
3
223
3
223
−++
y =
3
21217
3
21217
−++
Bài 28: Cho biểu thức A =







−








+
+
−
−
−
+
a
aa
a
a
a
a 1
4
1
1
1
1

a) Rút gọn A.
b) Tính A với a = (4 +
15
)(
10
-
6
)
154
−
Bài 29: Cho biểu thức
A =
( ) ( )
( )






−
−⋅
−−
−++−−
1
1
1
14
1414
2

x
xx
xxxx
a) x = ? thì A có nghĩa.
b) Rút gọn A.
Bài 30: Cho biểu thức
P =
xxx
x
xx
x
+
+
+++
+−
+
−+−
−+
1
1
11
11
11
11
a) Rút gọn P.
b) So sánh P với
2
2
.
Bài 31: Cho biểu thức

P =
1
2
1
3
1
1
+−
+
+
−
+
xxxxx
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1.
Bài 32: Cho biểu thức
P =
a
a
a
a
aa
a
−
+
−
−
+
−
+−

−
3
12
2
3
65
92
a) Rút gọn P.
b) a = ? thì P < 1
c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên.
Bài 33: Cho biểu thức
P =
x
x
yxyxx
x
yxy
x
−
−
−
−−+
−
−
1
1
22
2
2
a) Rút gọn P.

b) Tính P biết 2x
2
+ y
2
- 4x - 2xy + 4 = 0.
4
Bài 34: Cho biểu thức
P =
x
x
yxyxx
x
yxy
x
−
−
−
−−+
−
−
1
1
22
2
2
a) Rút gọn P.
b) Tính P biết 2x
2
+ y
2

- 4x - 2xy + 4 = 0.
Bài 35: Cho biểu thức
P =
yxxy
yyxxyx
yx
yxyx
33
33
:
11211
+
+++








++
+









+
a) Rút gọn P.
b) Cho xy = 16. Tìm Min P.
DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT.
Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a
2
+3b
2
= 10ab.
Tính giá trị của biểu thức: P =
ba
ba
+
−
Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x
2
+2y
2
= 5xy
Tính giá trị biểu thức E =
yx
yx
+
−
Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0
CMR: a
3
+ b
3

+ c
3
= 3abc
2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0
Tính giá trị biểu thức:
5
M =
222
z
xy
y
xz
x
yz
++
Bài 4: Cho a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc. Tính giá trị của biểu thức:
P =






+







+






+
a
c
c
b
b
a
111
Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử:
(x + y + z)
3
- x
3
- y
3
-z
3

b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 và x
3
+ y
3
+ z
3
= 1 .
Tính giá trị của biểu thức: A = x
2007

+ y
2007
+ z
2007
Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 14. Tính giá trị của biểu thức:
P = a
4
+ b
4
+ c
4
Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn:
a
100

+ b
100
=

a
101
+ b
101
= a
102
+ b
102
Tính giá trị của biểu thức P = a
2007
+ b
2007
Bài 8: Cho
1
=+
b
y
a
x
và
2
−=
ab
xy
. Tính
3

3
3
3
b
y
a
x
+
Bài 9: Cho a + b + c = 0 . Tính giá trị của biểu thức
P =
222222222
111
cbabcaacb
−+
+
−+
+
−+
Bài 10: Cho
bab
y
a
x
+
=+
1
4
4
; x
2

+ y
2
= 1. Chứng minh rằng:
a) bx
2
= ay
2
;
b)
10041004
2008
1004
2008
)(
2
bab
y
a
x
+
=+
Bài 11: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì:

xzzyzyxyx
++
+
++
+
++
1

1
1
1
1
1
= 1
Bài 12: Cho a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức:
A = (a – b)c
3
+ (c – a)b
3
+ (b – c)a
3
Bài 13: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Tính giá trị của biểu thức:
P =
))(())(())((
222
acbc
c
abcb
b
caba
a
−−
+
−−
+
−−
Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc
Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều.

Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau thì:

accbbabcac
ba
abcb
bc
caba
cb
−
+
−
+
−
=
−−
−
+
−−
−
+
−−
−
222
))(())(())((
Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p
Chứng minh rằng:
))()((
1111
cpbpapp
abc

pcpbpap
−−−
=−
−
+
−
+
−
Bài 17: Cho a, b khác 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh :
6