skkn phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua dạy học chủ đề diện tích tam giác và hệ thức lượng trong tam giác vuông

Phần I: LỜI NÓI ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Tư duy là một hình thức nhận thức lí tính của con người. Tư duy không tự
nhiên có mà do quá trình rèn luyện lâu dài, muốn phát triển tư duy thì cần được
rèn luyện thường xuyên, tất cả các môn học điều phát triển tư duy cho học sinh
nhưng môn toán có vai trò quan trọng hơn cả. Lứa tuổi của học sinh THCS đang
phát triển mạnh về tư duy nên giáo viên cần quan tâm không được xem nhẹ vấn
đề này đặc biệt là giáo viên toán. Qua một bài toán hình học có thể có thể phát
triển tư duy logic, tư duy trừu tượng, tư duy lí luận …của học sinh. Điều quan
trọng là là giáo viên truyền thụ tri thức như thế nào để phát triển tư duy cho học
sinh một cách tốt nhất.
Trong chương trình toán THCS đặc biệt là toán hình học, do tính chất trừu
tượng, đòi hỏi khả năng tư duy tích cực cho nên học sinh thường thụ động tiếp
thu kiến thức, gặp khó khăn trong việc tìm đường lối giải bài toán hình học, làm
bài tập một cách máy móc và chỉ dừng lại ở việc ra kết quả của bài toán. Nếu bài
toán đó được biến thành bài toán khác thì đa số học sinh không nhận ra, lúng
túng và không làm được. Đây là cách học hết sức nguy hiểm và không phát triển
tư duy. Đối với toán hình học các bài tập hết sức phức tạp và đa dạng, học sinh
không thể làm hết các bài tập mà chỉ cần nắm được dạng bài tập nên học sinh cần
hiểu được bản chất của bài tập phụ thuộc vào mức độ nhận thức của học sinh, sau
đó ra bài toán mới, dạng mới vừa hệ thống kiến thức vừa phát triển tư duy.
Chính vì những lí do trên nên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Phát triển
năng lực tư duy cho học sinh thông qua dạy học chủ đề: Diện tích tam giác và
hệ thức lượng trong tam giác vuông”, giúp học sinh thay đổi cách nhìn về bài
toán, thay đổi cách học, hình thành được kĩ năng suy luận, bước đầu giúp học sinh
tự phân tích và tìm ra đường lối giải một bài toán, phát huy năng lực tư duy logic,
tư duy sáng tạo đem lại hiệu quả cao trong công tác giáo dục đào tạo và đổi mới
phương pháp dạy học ở trường THCS.
II. MỤC ĐÍCH ĐỀ TÀI:

1

Trên cơ sở yêu cầu phát triển tư duy, tìm ra biện pháp nhằm rèn luyện và phát
triển tư duy toán học cho học sinh thông qua việc hướng dẫn học sinh tư duy tìm
đường lối giải các bài toán hình học qua dạy học chủ đề: “Diện tích tam giác và hệ
thức lượng trong tam giác vuông”, qua đó giúp học sinh tích cực học tập, tìm ra
đường đi ngắn ngọn và hợp lí nhất, nắm vững tri thức phương pháp để vận dụng
giải các bài toán tương tự hay phát triển thành bài toán tổng quát.
III. LỊCH SỬ ĐỀ TÀI
Trong quá trình giảng dạy trong năm học 2014 – 2015 tôi thấy học sinh lớp 9
gặp khó khăn về năng lực tư duy để tìm phương pháp giải các bài toán liên quan
đến diện tích tam giác và hệ thức lượng trong tam giác vuông. Từ đó tôi đã đưa ra
các giải pháp để giúp học sinh giải đúng các dạng toán đó trong năm học 2015 –
2016 đối với học sinh lớp 9 mà tôi giảng dạy thông qua đề tài: “Phát triển năng
lực tư duy cho học sinh thông qua dạy học chủ đề: Diện tích tam giác và hệ
thức lượng trong tam giác vuông”.
IV. PHẠM VI ĐỀ TÀI:
Đề tài chủ yếu nghiên cứu phần hình học :
- Diện tích tam giác - Chương II. Đa giác. Diện tích đa giác ở lớp 8 tập 1.
- Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Chương I. Hệ thức lượng trong tam
giác vuông ở lớp 9 tập 1.
- Sách tham khảo, sách nâng cao, sách chuyên đề hình học có liên quan đến
chủ đề: “Diện tích tam giác và hệ thức lượng trong tam giác vuông”. Được tiến
hành trong trường THCS đang công tác giảng dạy.

2


Phần II: NỘI DUNG VÀ GIẢI PHÁP
I. THỰC TRẠNG ĐỀ TÀI

Qua kiểm tra 15 phút của 35 học sinh lớp 9 tại trường THCS Hưng Hà, tỉ lệ
học sinh gặp khó khăn trong giải toán về diện tích tam giác và hệ thức lượng trong
tam giác vuông của 35 học sinh lớp 9 trong năm học 2014 – 2015 là 17/35 em
chiếm tỉ lệ 48,57%.
Trong bài kiểm tra 45 phút chương I –Đại số 9 của 35 học sinh lớp 9 trong năm
học 2014 – 2015 thì số học sinh gặp khó khăn trong giải toán về diện tích tam giác
và hệ thức lượng trong tam giác vuông là 19/35 em chiếm tỉ lệ 54,29%.
Trong bài kiểm tra HKI của 35 học sinh lớp 9 trong năm học 2014 – 2015 thì số
học sinh gặp khó khăn trong giải toán về diện tích tam giác và hệ thức lượng trong
tam giác vuông là 23/35 em chiếm tỉ lệ 65,71%.
Như vậy số lượng học sinh gặp khó khăn trong giải toán về diện tích tam giác và
hệ thức lượng trong tam giác vuông là tương đối cao, việc phát triển năng lực tư
duy của học sinh để các em tìm ra phương pháp giải các bài toán liên quan đến diện
tích tam giác và hệ thức lượng trong tam giác vuông trong những năm học tiếp theo
là một việc vô cùng quan trọng và cấp thiết trong quá trình giảng dạy bộ môn toán ở
trường THCS, nhất là học sinh khối lớp 9.
Kết quả nghiên cứu được thể hiện cụ thể qua bảng số liệu sau đây:

Năm học

2014-2015

Lớp

9

Sĩ

Hình thức

số

kiểm tra

Số học sinh mắc

Số học sinh không

sai lầm.

mắc sai lầm.

SL

TL(%)

SL

TL(%)

35 Kiểm tra 15’

17

48,57

18

51,43

Kiểm tra 45’

19

54,29

16

45,71

Kiểm tra HKI

23

65,71

12

34,29

3


Qua bảng số liệu trên chúng ta thấy, số lượng học sinh không giải được các dạng
toán liên quan đến tích tam giác và hệ thức lượng trong tam giác vuông là rất cao so
với học sinh giải được các dạng toán trên. Lý do, năng lực tư duy của các em chưa
được chú ý phát triển nên gặp rất nhiều khó khăn khi giải một số bài toán hình học
phức tạp.
II. NỘI DUNG CẦN GIẢI QUYẾT:
Mỗi bài tập giáo viên đưa ra hệ thống câu hỏi và đưa ra bài toán tương tự giúp

hình thành và phát triển kỹ năng tìm ra đường lối giải bài toán hình học cho học
sinh, sẽ phát huy được năng lực tư duy độc lập, tích cực, sáng tạo, rèn cho các em
kỹ năng tiến hành các họat động phân tích, tổng hợp, thực hiện các hoạt động
tương tự, khái quát hoá, trừu tượng hoá, đồng thời giúp học sinh khắc sâu, nhớ lâu
kiến thức, nâng cao năng lực tự học, khắc phục trình trạng áp đặt kiến thức đối với
học sinh, phù hợp với thực tiễn đổi mới giáo dục hiện nay, do đó sẽ nâng cao chất
lượng giảng dạy và giáo dục.
III. GIẢI PHÁP:
1. Những nội dung có thể phát triển tư duy toán học cho học sinh khi dạy
học chủ đề: “Diện tích tam giác và hệ thức lượng trong tam giác vuông”.
1.1 Diện tích tam giác
1.2 Hệ thức lượng trong tam giác vuông.
§1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.
§2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn.
§3. Hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông.
2. Phát triển tư duy toán học thông qua hệ thống bài tập.
2.1. DIỆN TÍCH TAM GIÁC
Trên cơ sở giúp học sinh nắm vững công thức tính diện tích tam giác
và một số công thức tính diện tích của đa giác như công thức tính diện
tích hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, diện tích tứ
giác đặc biệt là diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc …. giáo

4


viên đưa ra hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao: Từ việc sử dụng
trực tiếp công thức diện tích tam giác, sau đó nâng dần trình độ nhận
thức, khả năng suy luận và phát triển tư duy cho học sinh bằng những
bài tập mang tính chất vận dụng các công thức tính diện tích của một số
hình để giải một bài toán hình học.

A. Kiến thức cần nhớ
1. Diện tích tam giác
Diện tích tam giác bằng nửa tích Acủa một cạnh với chiều cao tương ứng
của nó
1
S = a.h
2

h

B

C

H

a

Diện tích của tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông .
S=

1
a.b
2
a

b

- Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.
- Hai tam giác có cùng chiều cao và hai đáy tương ứng bằng nhau

thì có diện tích bằng nhau.
- Hai tam giác có cùng một đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau
thì có diện tích bằng nhau.
1.

Diện tích hình thang bằng nửa tích của nửa tổng của hai đáy với
b

chiếu cao:
S=

1
( a + b) h
2

h

a

2.

Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó .

3.

Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó.
5


4.

Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao
tương ướng với cạnh đó:

h

S = ah

5.

a

Diện tích tứ giác:

B
A

S ABCD = S ABC + S ADC
D
C

Đặc biệt:
a) Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng nửa tích độ
dài hai đường chéo.
b) Diện tích hình thoi bằng nửa tích độ dài hai đường chéo.
B. Hệ thống bài tập.
Bài 1: (Bài 18, SGK Toán 8 tập 1, trang 121)
Cho tam giác ABC và đường trung tuyến AM. Chứng minh:
S AMB = S AMC

Câu hỏi
1. Em hãy vẽ hình và cho biết giả thiết và kết luận của bài toán.
2. Xác định dạng của bài toán ?
Dạng chứng minh
3. Để chứng minh hai tam giác có diện tích bằng nhau ta chứng minh gì?
- Chứng minh hai tam giác bằng nhau
- Chứng minh hai tam giác có cùng chiều cao và hai đáy tương ứng bằng
nhau
- Chứng minh hai tam giác có cùng một đáy và chiều cao tương ứng bằng
nhau
4. Nếu từ A ta kẻ đường cao AH thì diện tích các tam giác AMB và AMC
ứng với chiều cao AH là bao nhiêu?

6


1
BM . AH
2
1
= CM . AH
2

S AMB =
S AMC

5. Em có nhận xét gì về hai đoạn thẳng MB và MC?
MB = MC (gt)
6. Ta được điều phải chứng minh chưa?
Giải

A

GT

∆ABC , MA = MB

KL

SAMB = SAMC

B

H

M

C

Chứng minh:
Kẻ đường cao AH cắt BC tại H
Khi đó ta có:
1
BM . AH
2
1
= CM . AH
2

S AMB =
S AMC

Mà MB = MC (gt)
Vậy S AMB = S AMC
Đề xuất bài toán mới:
1.1. Cho tam giác ABC. Trên cạnh đáy BC lần lượt lấy hai điểm M, N
sao cho đoạn thẳng BN bằng đoạn thẳng CN. Chứng minh rằng:
S ABN = S ACM

1.2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BC, lấy điểm C’ sao cho
BC’ = BC. Chứng minh rằng : S ACC ' = 2S ABC
Bài 2: (Bài 21, SGK Toán 8 tập 1, trang 122)

7


Tìm x sao cho diện tích hình chữ nhật ABCD gấp 3 lần diện tích tam
giác ADE.
Câu hỏi:
1. Đọc bài toán và cho biết giả thiết và kết luận của bài toán là gì?
2. Theo đề bài ta có được điều gì?
S ABCD = 3S ADE

3. Theo đề bài ta có S ABCD = 3S ADE . Vậy để tính x ta cần tính diện tích hình
chữ nhật ABCD và diện tích tam giác ADE.
4. Em hãy tính diện tích hình chữ nhật ABCD theo x.
S ABCD = AB.BC = 5 x (cm 2 )

5. Ta tính được diện tích tam giác ADE chưa?
S ADE =

1
1
EH . AD = .2.5 = 5 (cm 2 )
2
2

6. Để tính diện tích tam giác ADE ta cần tính độ dài cạnh nào nữa?
Tính cạnh AD
7. Vậy ta tính được x chưa? x bằng bao nhiêu?
Giải
E

Hình chữ nhật ABC D
S ABCD = 3S ADE , AH ⊥ AD
GT BC = 5cm, EH = 2cm
AB = x cm

2cm

A

D
H

x

KL

Tính x
B

Ta có: S ABCD = AB.BC = 5 x (cm 2 )
S ADE =

1
1
EH . AD = .2.5 = 5 (cm 2 )
2
2

Theo đề bài ta có:
S ABCD = 3S ADE
⇒ 5 x = 3.5 ⇔ x = 3cm

8

5cm

C


Vậy x = 3 cm
Đề xuất bài toán mới:
2.1. Tìm x sao cho diện tích hình chữ nhất gấp 2 lần diện tích tam giác
ABE.
E

x
A

B
H

5cm

D

4cm

C

2.2. Tìm x sao cho diện tích hình chữ nhất gấp 2 lần diện tích tam giác
ABE.
E

4cm

B

A
H
x

D

3cm

C

Bài 3: (Bài 24, SGK Toán 8 tập 1, trang 123)

Tính diện tích của tam giác cân có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b.
Câu hỏi:
1. Đọc bài toán và cho biết giả thiết và kết luận của bài toán là gì?
2. Theo đề bài ta có được điều gì?
3. Để tính được diện tích tam giác ABC ta cần thêm dữ kiện nào nữa?
4. Từ a kẻ đường cao AH. Khi đó AH được tính bằng công thức nào?
5. Để tính AH ta cần tính cạnh nào?
6. Vậy diện tích tam giác ABC bằng bao nhiêu?

9


Giải
A

GT
KL

∆ABC ( AB = AC)
BC = a, AB = AC = b

b

B

S ABC = ?

H

C

a

Kẻ đường cao AH
1
2

1
2

Khi đó ta có: BH = HC = BC = a ( ∆ABC là tam giác cân)
Áp dụng định lí Pi-ta-go cho tam giác vuông AHB ta có:
a2
AH = AB − BH = b −
4
2

2

2

2

a2 1
⇒ AH = b −
=
4b 2 − a 2
4
2
2

Diện tích tam giác ABC là:
S ABC =

1
1 1
1
AH .BC = ⋅ ⋅ 4b 2 − a 2 ⋅ a = a 4b 2 − a 2 (đvdt)
2
2 2
4

Đề xuất bài toán mới:
3.1. Tính diện tích của một tam giác đều có cạnh bằng a.
3.2. Tính diện tích của một tam giác vuông cân có đáy bằng a.
Bài 4: (Bài 30, SBT Toán 8 tập 1, trang 129)
Cho tam giác ABC, biết AB = 3AC. Tính tỉ số đường cao xuất phát từ
các đỉnh B và C .
Câu hỏi:
1. Giả thiết và kết luận của bài toán là gì?
2. Gọi K, H lần lượt là chân các đường cao hạ từ B và C. Để tính được tỉ số
đường cao BH và CK ta dựa vào dữ kiện nào?
3. Làm thế nào để biểu thị tỉ số hai đường cao theo dữ kiện đã biết?
4. AB và CK; AC và BH liên hệ với nhau qua công thức nào?
Từ (1) và (2) ta lập được tỉ số nào?

10


Giải

H
K A

ABC, AB = 3AC
GT
BH ⊥ AC, CK ⊥ AB
KL

C

BH
=?
CK

B

Ta có:
1
1
AB.CK = AC.BH
2
2
⇒ AB.CK = AC.BH
BH AB
⇒
=
=3
CK AC
S ABC =

Vậy đường cao BH dài gấp 3 lần đường cao CK.
Đề xuất bài toán mới:
4.1. Cho tam giác ABC, gọi H, K lần lượt là chân các đường cao hạ từ
đỉnh B, C. Tìm tỉ số

AB
AH
= 5.
Biết
AC
AC

4.2. Cho tam giác ABC có hai đường cao AH và BK, độ dài cạnh BC và
BK lần lượt là 6 và 4. Tính tỉ số

AH
.
AC

Bài 5: (Toán nâng cao hình học 8 – T.s. Đậu Thế Cấp – NXB Đà Nẵng)
Cho tam giác ABC ba đường cao AA’, BB’, CC’ và trực tâm H. Chứng
minh hệ thức :

HA" HB' HC '
+
+
=1
AA' BB ' CC '

Câu hỏi:

1. Đọc bài toán và cho biết giả thiết và kết luận của bài toán là gì?
2. Dạng của bài toán là gì?
Dạng chứng minh
3. Hệ thức cần chứng minh liên quan đến những đường nào trong tam giác?

11


Đường cao
4. Hãy tính diện tích của tam giác ABC theo ba đường cao của tam giác.Từ
công thức đó em hãy tính các cạnh của tam giác.
5. Em có nhận xét gì về diện tích của tam giác ABC và diện tích của các
tam giác HBC, HCA và ABH?
6. Ta tính được diện tích các tam giác HBC, HCA và ABH chưa?
7. Từ (1), (2) và (3) ta được điều phải chứng minh chưa?
Giải
A

∆ABC , AA’ ⊥ BC

GT

KL

BB ' ⊥ AC , CC’ ⊥ AB
B'

trực tâm H

C'

Chứng minh :
HA" HB' HC '
+
+
=1
AA' BB' CC '

H

B

Chứng minh
Gọi S là diện tích tam giác ABC
1
2

1
2

1
2

Ta có: S = AA'.BC = BB'.AC = CC '.AB
Suy ra BC =

2S
;
AA'

AC =

2S
;
BB '

AB =

2S
CC '

Mặt khác ta có,
1
BC.HA' =
2
1
= AC.HB ' =
2
1
= BB.HC ' =
2

S HBC =
S HCA
S HAB

HA'.S
AA'
HB '.S
BB'

HC '.S
CC '

(1)
( 2)
( 3)

Cộng vế với vếcủa (1), (2) và (3) ta được:

12

A'

C


 HA' HB ' HC ' 
S = S
+
+

 AA' BB' CC ' 
HA' HB ' HC '
⇒
+
+
=1
AA' BB' CC '

Đề xuất bài toán mới:

Cho tam giác ABC đều, ba đường cao AA’, BB’, CC’ và trực tâm H.
Chứng minh hệ thức sau:

HA" HB' HC ' 1
=
=
= ]
AA' BB' CC ' 3

2.2. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Trên cơ sở các kiến thức về tam giác đồng dạng, định lí Py-ta-go giáo
viên cho học sinh tiếp cận các kiến thức về:
- Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
- Tỉ số lượng giác của góc nhọn
-

Hệ thức giữa các cạnh và các góc trong tam giác vuông.

Sau đó giáo viên cho học sinh vận dụng các kiến thức này vào việc giải
các bài tập từ dễ đến khó nhằm rèn cho học kỹ năng vẽ hình, khả năng tư
duy logic, phân tích giả thiết và kết luận của bài toán để đi đến kết quả,
trong đó giáo viên đóng vai trò là người hướng dẫn, giúp đỡ học sinh phát
hiện và giải quyết vấn đề, qua đó phát triển tư duy cho học sinh.
§1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.
A. Kiến thức cần nhớ.

A

Cho tam giác ABC vuông tại A.
c

BC = a, AC = b, AB = c
BH = c’, CH = b’, AH = h

b
h

b'

c'
B

H

C
a

1. Hệ thức liên hệ giữa các cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên
cạnh huyền

13


 Định lí 1: Trong một tam giác vuông, bình phương một cạnh góc vuông
bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh
huyền.
b 2 = a.b' ; c 2 = a.c'

2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao
 Định lí 2: Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với

cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh
huyền.
h 2 = b'.c '

 Định lí 3: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích
của cạnh huyền và đường cao tương ứng.
bc = ah
 Định lí 4: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương
đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương
hai cạnh góc vuông.
1
1
1
= 2 + 2
2
h
b
c

3. Định lí Py-ta-go: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền
bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
a2 = b2 + c2

B. Hệ thống bài tập.
Bài 1: ( Bài 5, SGK Toán 9 Tập 1, trang 69)
Trong tam giác vuông ABC với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4.
Kẻ đuờng cao AH ứng với cạnh huyền . Hãy tính đường cao này và độ
dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.
Câu hỏi:
1. Em hãy vẽ hình và cho biết giả thiết và kết luận của bài toán là gì?

2. Em hãy nhắc lại một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác
vuông?
14


3. Để tính được độ dài đường cao và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra
trên cạnh huyền thì ta cần tính gì?
(Ta cần tính BC)
4. Ta tính BC chưa? Tính bằng công thức nào?
5. Như vậy theo hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta
tính được AH; BH và CH chưa? Tính bằng cách nào?
Giải

GT

KL

A

∆ABC vuông tại A
AB = 3; AC = 4
AH ⊥ BC

4

3

AH = ?; BH = ?; CH = ?

B

H

C

Tam giác ABC vuông tại A có AB = 3; AC = 4.
Theo định lí Py-ta-go, ta có:
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 9 + 16 = 25
⇒ BC = 5

Mặt khác, AB 2 = BH .BC , suy ra
AB 2 3 2
BH =
=
= 1,8
BC
5

CH = BC – BH = 5 – 1,8 = 3,2
Ta có AH.BC = AB.AC, suy ra
AH =

AB. AC 3.4
=
= 2,4
BC
5

Đề xuất bài toán mới:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH =

3a
và BC = 2a. Tìm
5

các cạnh góc vuông theo a.
Bài 2 : (Bài 7, SGK Toán 9 Tập 1, trang 70)
Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn a, b
(tức là x2 = a.b) như trong hai hình sau:

15


Cách 1 :

Cách 2 :

Hãy dựa vào hệ thức liên hệ giữa cạnh và đường cao trong tam giác
vuông chứng minh các cách vẽ trên là đúng.
Câu hỏi:
1. Yêu cầu học sinh vẽ hình để hiểu rõ bài toán.
2. Tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?
3. Căn cứ vào đâu có x 2 = a.b
Giải
Cách 1 :

1
BC ⇒ ∆ ABC vuông tại A
2

∆ ABC có đường trung tuyến AO =

Do đó AH2 = BH.CH hay x2 =a.b
Cách 2 :

∆ DEF có đường trung tuyến DO =

1
EF ⇒ ∆ DEF vuông tại D
2

Do đó DE2 = EI.EF hay x2 =a.b
Bài 3 : (Bài 9, SGK Toán 9 Tập 1, trang 70)

16


Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và
tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng d vuông góc với DI. Đường thẳng
này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng :
a. Tam giác DLI là một tam giác cân.
b. Tổng

1
1
+
không thay đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
2
DI
DK 2

Câu hỏi:
1. Hãy vẽ hình và cho biết giả thiết và kết luận của bài toán.
2. Dạng của bài toán là gì?
(dạng chứng minh)
a. Chứng minh tam giác DLI là một tam giác cân
- Để chứng minh tam giác DIL cân ta cần chứng minh điều gì?
- Tại sao DI = DL?
- Em hãy chứng minh hai tam giác AID và CDL bằng nhau.
Em có nhận xét gì về hai cạnh AD và DC?
Em có nhận xét gì về góc ADI và góc CDL?
- Vậy ta chứng minh được hai tam giác ADI và CDL bằng nhau chưa?
b. Chứng minh

1
1
+
không thay đổi khi I thay đổi trên cạnh AB
2
DI
DK 2

b1. Để chứng minh

1
1
+
không thay đổi khi I thay đổi trên cạnh
2
DI

DK 2

AB nên ta cần biến đổi tỉ số này về một tỉ số không phụ thuộc vào vị trí
của điẻm I và có giá trị không đổi.
- Em có nhận xét gì về tam giác DKL?
- DL và DK liên hệ với nhau qua biểu thức nào?
- DL và DI có quan hệ như thế nào? Vì sao?
- Ta được điều phải chứng minh chưa?
Giải:

17


Hình vuông ABCD; I ∈ AB

K

DI ∩ CB = { K } ; d ⊥ DI
d ∩ BC = { L}

GT

A

a) ∆ DLI cân
KL b) 1 + 1 = const
DI 2 DK 2

I

B

C

D
d

khi I thay đổi trên AB

L

a. Tam giác DLI là một tam giác cân
Xét hai tam giác vuông DAI và DCL có:
AD = DC (ABCD là hình vuông)

(1)

ˆ = 900 − IDC
ˆ
ADI
CDˆ L = 90 0 − IDˆ C
⇒ ADˆ I = CDˆ L

(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra ∆ADI = ∆CDL

( g .c.g )

⇒ DI = DL

Suy ra ∆ DIL cân tại D
1
1
+
không thay đổi khi I thay đổi trên cạnh AB
2
DI
DK 2

b. Tổng
Ta có:

1
1
1
=
+
2
2
DC
DL
DK 2

(DC là đường cao của ∆ DKL)

Mà DL = DI (chứng minh trên)
⇒

1

1
1
=
+
( không đổi vì CD không đổi) (đpcm)
2
2
DC
DI
DK 2

Bài 4: (Bài 10 SBT Toán 9 Tập 1, trang 91)
Cho một tam giác vuông. Biết tỉ số hai cạnh góc vuông là 3:4 và hai
cạnh huyền 12,5cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của
các cạnh góc vuông trên góc vuông trên cạnh huyền.
Câu hỏi:
1. Bài toán cho gì và yêu cầu gì?
2. Tỉ số giữa hai cạnh góc vuông 3: 4 có nghĩa là gì?

18


Giả sử tam giác vuông này có độ dài một cạnh là 3a thì cạnh góc vuông
còn lại có độ dài bằng bao nhiêu?
3. Để tính độ dài hai cạnh góc vuông ta cần tính gì?
4. Ta tính được a chưa? Tính như thế nào?
5. Vậy hai cạnh của tam giác vuông có độ dài là bao nhiêu?
6. Độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông trên BC tức là ta cần tính gì?
7. Ta tính được BH, CH chưa? Tính bằng công thức nào?
Giải

Vì tỉ số giữa hai cạnh góc vuông là 3: 4 nên nếu mộ cạnh góc vuông có độ
dài là 3a thì cạnh kia có độ dài là 4a.
Theo định lí Pitago ta có:

( 3a ) 2 + ( 4a ) 2 = 125 2
⇒ 25a 2 = 125 2
⇒ a = 25

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 75 cm và 100 cm.
Hình chiếu của hai cạnh góc vuông ta có:
AB 2 75 2
=
= 45 cm
BC 125
AC 2 100 2
CH =
=
= 80 cm
BC
125
BH =

Đề xuất bài toán mới:
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, biết BC = 8 . Tính độ dài các cạnh
góc vuông và hình chiếu của chúng định ra trên cạnh huyền.
Bài 5 : (Những Bài Toán cơ bản và Nâng Cao 9 Tập 1-NXB ĐHSP)
Cho tam giác ABC, góc A nhọn. Kẻ đường cao CH, H ∈ BC . Chứng
minh BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AH
Câu hỏi:
1. Vẽ hình và cho biết giả thiết, kết luận của bài toán là gì?

2. Điều phải chứng minh liên quan đến các cạnh của tam giác và đường cao
CH nên ta phải xét sự liên hệ giữa các cạnh này với đường cao CH.
19


3. Em có nhận xét gì về hai tam giác HBC ?
4. Hãy thiết lập hệ thức liện hệ giữa cạnh BC với CH và BH? (1)
5. Tương tự hãy thiết lập hệ thức liên hệ giữa HC với AC và AH? (2)
6. Em có nhận xét gì về vị trí của điểm H so với hai điểm A, B? Vì sao? (3)
7. Từ (1), (2) và (3) ta được điều phải chứng minh chưa?
Giải
C
GT

KL

∆ ABC, góc A nhọn
CH ⊥ AB ; H ∈ BC
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AH

A

H

B

Trong tam giác vuông BCH ta có:
BC 2 = CH 2 + HB 2 (1)

Trong tam giác vuông ACH ta có:

HC 2 = AC 2 − AH 2 (2)

Vì Aˆ là góc nhọn nên H nằm giữa hai điểm A và B
Suy ra: AB = AH + HB ⇒ HB = AB – AH (3)
Thay (2) và (3) vào (1) ta được:
BC 2 = AC 2 − AH 2 + ( AB − AH )

2

⇒ BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AH

Đề xuất bài toán mới:
5.1. Cho tam giác ABC, góc A là góc tù. Kẻ đường cao CH, H ∈ AB .
Chứng minh BC 2 = AB 2 + AC 2 + 2 AB. AH .
5.2. Cho tam giác ABC, đường cao AH, H ∈ AB và M là trung điểm của
cạnh BC. Chứng minh AB 2 + AC 2 = 2. AM 2 +

BC 2
.
2

Bài 6: (Những Bài Toán cơ bản và Nâng Cao 9 Tập 1-NXB ĐHSP)

20


Cho hình vuông ABCD. Qua A kẻ đường thẳng cắt BC, cắt đường
thẳng DC lần lượt tại E và F. Đường thẳng Ax vuông góc với AF cắt
đường thẳng DC tại G. Chứng minh :
a. ∆ADG = ∆ABE

b.

1
1
1
+
=
2
2
AE
AF
AD 2

Câu hỏi :
1. Vẽ hình, cho biết giả thiết và kết luận của bài toán là gì?
a. Chứng minh: ∆ADG = ∆ABE
a1. Để chứng minh hai tam giác bằng nhau ta có bao nhiêu trường hợp?
a2. Đối với bài toán này ta nên chứng minh theo trường hợp nào?
a3. Em hãy so sánh hai đoạn thẳng AD và AB?
a4. Điều phải chứng minh tiếp theo là gì?
a5. Em hãy chứng minh góc DAG bằng góc BAE?
DAˆ G + DAˆ E = ....................( .do..............................................)
BAˆ E + .......... = ...................( do...............................................)
⇒ ADˆ G = ................

a6. Vậy ta đuợc điều phải chứng minh chưa?
b. Chứng minh:

1
1

1
+
=
2
2
AE
AF
AD 2

b1. Em hãy cho biết tam giác AGF là tam giác gì?
b2. Hai đoạn thẳng AD và GF có quan hệ như thế nào?
b3. Hệ thức liên hệ giữa các cạnh AG, FA với đường cao AD là gì?
b4. Em hãy so sánh hai cạnh AG và AE?
b5. Ta được điều phải chứng minh chưa?
Giải

21


Hình vuông ABCD, qua A kẻ đường
GT

thẳng cắt BC và DC tại E và F;

A

Ax ⊥ AF ; Ax ∩ DC = { G}

B

a. ∆ ADG = ∆ ABE
KL

b.

E

1
1
1
+
=
2
2
AE
AF
AD 2

G

D

C

F

a. Cm: ∆ADG = ∆ABE .
DAˆ G + DAˆ E = 90 0 ( do AG ⊥ AH )
BAˆ E + EAˆ D = 90 0 ( do AD ⊥ AB )
⇒ ADˆ G = BAˆ E

(1)

Ta có: AD = AB (ABCD là hình vuông)

( 2)

Từ (1) và (2) suy ra ∆ADG = ∆ABE (g.c.g)
b. Chứng minh:

1
1
1
+
=
2
2
AE
AF
AD 2

Trong tam giác GAF thì

1
1
1
+
=
2
2

AG
AF
AD 2

Mặt khác ta có: AG = AE (vì ∆ADG = ∆ABE )
Nên suy ra

1
1
1
+
=
2
2
AE
AF
AD 2

Đề xuất bài toán mới:
Cho hình thoi ABCD với Aˆ = 120 0 . Tia Ax tạo với tia AB góc Bax bằng
15 0 và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N. Chứng minh rằng :
1
1
4
+
=
2
2
AM
AN

3 AB 2

Bài 7: (Toán nâng cao hình học 8 – T.s. Đậu Thế Cấp – NXB Đà Nẵng)
Cho hình thang ABCD (AB // CD), đường cao BH = 4cm, đường chéo
BD = 5cm. Hai đường chéo AB và BD vuông góc với nhau. Tính diện
tích hình thang ABCD.
Câu hỏi:
1. Hãy vẽ hình và ghi giả thiết, kết luận của bài toán?

22


2. Có mấy công thức diện tích của hình thang ABCD?
3. Ta cần tính độ dài của cạnh nào?
4. Nếu từ B kẻ đường thẳng BE song song với AC cắt DC tại E. Khí đó
em có nhận xét gì về tứ giác ABEC?
5. Hai cạnh AC và BE có mối quan hệ như thế nào?
6. Tam giác DBE là tam giác gì? Vì sao?
7. Em hãy viết hệ thức liên hệ giữa BD và BE với BH?
8. Ta tính được BE bằng bao nhiêu?
9. Vậy diện tích hình thang ABCD bằng bao nhiêu?
Giải
Hình thang ABCD(AB//CD)
GT

KL

A

BH ⊥ DC , AC ⊥ BD

BH = 4cm; BD = 5cm

B

5

4

S ABCD = ?
D

C

H

Kẻ đường thẳng BE song song với AC cắt DC tại E.
Ta có: AB // DC nên ABEC là hình bình hành
⇒ AC = BE

Ta có: BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ BE
⇒ ∆DBE vuông tại B

Trong tam giác vuông BDE ta có:
1
1
1
=
+
2
2

BH
BD
BE 2
1
1
1
BD 2 − BH 2
⇒
=
−
=
BE 2 BH 2 BD 2
BH 2 .BD 2
BH 2 .BD 2
BH .BD
⇒ BE 2 =
⇒ BE =
=
2
2
BD − BH
BD 2 − BH 2

Mà BE = AC =

20
3

23

4 .5
25 − 16

=

20
3

E


S ABCD =

1
1
20 50
BD. AC = ⋅ 5 ⋅
=
2
2
3
3

( cm )
2

Đề xuất bài toán mới:
Cho hình thang ABCD (AB // CD), đường cao BH, DH = 3 cm , đường
chéo BD = 5 cm. Hai đường chéo AB và BD vuông góc với nhau. Tính diện
tích hình thang ABCD.

Bài 8: (Bài 20, SBT Toán 9 Tập 1 , trang 92)
Cho tam giác ABC. Từ một điểm M bất kì trong tam giác. Kẻ MD,
ME, MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA, AB (h.8). Chứng
minh rằng: BD 2 + CE 2 + AF 2 = DC 2 + EA 2 + FB 2
Câu hỏi:
1. Giả thiết và kết luận của bài toán là gì?
2. Điều phải chứng liên quan đến độ dài các đoạn thẳng nên ta cần thiết
lập mối quan hệ giữa các đoạn thẳng này.
3. Nối MA thì các tam giác AFM và AME là tam giác gì?
4. Em có nhận xét gì về độ dài các đoạn thẳng MA với các đoạn thẳng
MFvà AF, với đoạn thẳng ME và AE?
5. Tương tự em hãy biểu diễn dộ dài các đoạn MB và MC?
6. Từ các điều trên ta được điều phải chứng minh chưa?
∆ABC ; M là điểm bất kì

Giải
GT

KL

Ta có:

nằm trong tam giác
MD ⊥ BC ; ME ⊥ CA; MF ⊥ AB

BD 2 + CE 2 + AF 2
= DC 2 + EA 2 + FB 2

MA 2 = AF 2 + MF 2 = AE 2 + ME 2

(1)

( ∆AMF , ∆AME vuông góc tại E và F)
MB 2 = BD 2 + MD 2 = BF 2 + MF 2

( 2)

( ∆BMF , ∆BMD vuông góc tại G và F)
MC 2 = CE 2 + ME 2 = CD 2 + MD 2

24

(3)


( ∆CMG, ∆CME vuông góc tại E và G)
Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được :
AF 2 + MF 2 + BD 2 + MD 2 + CE 2 + ME 2 = AE 2 + ME 2 + BF 2 + MF 2 + CD 2 + MD 2
⇒ BD 2 + CE 2 + AF 2 = DC 2 + EA2 + FB 2

(đpcm)

Bài 9: (Toán nâng cao hình học 8 – T.s. Đậu Thế Cấp – NXB Đà Nẵng)
Cho tam giác ABC vuông góc tại A. Từ trung điểm D của cạnh AB kẻ
DE vuông góc BC. Chứng minh hệ thức AC 2 = EC 2 − EB 2
Câu hỏi:
1. Hãy vẽ hình và cho biết giả thiết và kết luận của bài toán?
2. Điều phải chứng minh liên quan đến độ dài các đoạn thẳng nên ta cần
thiết lập mối quan hệ giữa các đoạn thẳng với nhau.
3. Nối CD thì tam giác EDC là tam giác gì?

4. Trong tam giác vuông EDC thì ba cạnh liên hệ với nhau qua công thức
nào? Khi đó ta có EC 2 bằng bao nhiêu?
5. Tương tự em hãy tính EB 2 ?
6. Khi đó ta được EC 2 - EB 2 bằng gì?
7. Em hãy so sánh AD và BD? Vì sao?
8. Điều phải chứng minh tiếp theo là gì? ( CD 2 − AD 2 = AC 2 )
9. Tại sao CD 2 − AD 2 = AC 2 ?
10. Em hãy chứng minh bài toán bằng cách khác.
Giải
A

∆ABC Vuông tại A
GT

KL

D

DA = DB, DE ⊥ BC
AC 2 = EC 2 − EB 2

C
E

25

B