Hướng dẫn giải bài tập rung động tàu trần công nghị

TRẦN CÔNG NGHỊ

HƯỚNG DẪN

GIẢI BÀI TẬP

Hư VIỆN

la

HỌC NHA TRANG

M

623.8
121 Ngh

3000022094

i)g Ị NHÀ XUÂT BẬN
= ‫ ؛‬ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. Hồ CHÍ MINH

.


ĐẠi HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ Hồ CHÍ IVIINH
TRƯỜNG ĐẠI HQC BÁCH KHOA
T rầ n Công N ghị

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬ P

RUNG DỘNG TÀU
(T á i b ả n l ầ n t h ứ nhâTy có sử a c h ữ a v à b ổ s u n g )

ỊĨHươỉvGBẠi f;ạcfiHí ĩí Aí

. :■
.
(

__

T H i r v ị :٠·H

30022094
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC Q ư ố c GIA
THÀNH PH Ố HỒ CHÍ MINH - 2010


i

Л

Л

У

)

DHQG.HCM-10

191-201./CXB/115-08/OHQGTPHCM
К тЬ сТ .155 ٠10(Т)


iVỈỤC LỤC
L Ờ I N Ó I ĐẦU

5

C hư ơng 1 DAO DỘNG HỆ THỐNG MỘT BẬC Tự DO

7

1.1 Tóm tắ t

7

1.2 Xác định khối lượng tương đương, độ cứng tương đương
của hệ thống

9

1.3 Dao động tự do chịu lực cản nhớt

21

1.4 Dao động tư do chịu cản Coulomb

25

1.5 Dao động cưỡng bức

27

1.6 Vòng quay giới hạn

32

1.7 T hiết bị giảm chấn

33

1.2

36

Bài tập

C hư ơng 2 DAO ĐỘNG HỆ THỐNG NHIỀU BẬC Tự DO

45

2.1 Tóm tắ t

45

2.2 Bài tập

61

C hư ơng 3 DAO ĐỘNG DẦM. DAO ĐỘNG TẤM

72

3.1 Dao động dọc dầm

72

3.2 Dao dộng xoán trục tròn

73

3.3 Dao động ngang dầm trụ

74

3.4 Va dập ngang dầm

74

3.5 Hãm đột ngột trục quay

76

3.6 Dao động tâ"m

77

3.7 Bài tập

79

C hư ơn g 4 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH
4.1 Tính tần số

83
83

4.2 Xác định trị riêng

122

4.3 Tích phân phương trình động lực học

123

4.4 Bài tập

128


C hư ơn g 5 DAO ĐỘNG THÂN TÀU THỦY

132

5.1 Các mode dao động th â n tàu

132

5.2 Lượng nước kèm khi rung tàu

134

5.3 Công thức của P.F. Papkovitch

136

5.4 Dao động xoắn th â n tàu

152

5.5 Bài tập

163

T rả lời bài tập

164

PH Ụ LỤC

174

TÀI LIỆU THAM KHẢO

179


‫ ا ﻫﺎ‬Nố١ ĐẦU
HƯỚNG DÀN GIAI BAI t ạ p r u n g d ộ n g TA ư tritili ba,

tóm tắ t 1‫ ﻵ‬tTгu‫ﻻ‬ết dao dộag 1‫ ﻵأ‬t ١^aật) tld dụ gtat các bài toda dao
động kỹ th u ậ t cổ ứng d ụ n g trong xem xét rung động than tàu tìiiíy.
Caốa sdcb ddal^ cHươĩig caOt trinli ba‫ ﻻ‬al^ữag cdcí^ tta b dao dộag
tlian tda daa.g d ù a g t ٣oag rtgliicn cứa ١tldết bế tda.
CJ^(ơag 1 dề cệp a ١
١
,ữag bai toda lieri qaaa dao dộag m ột bạc
tự do
Chương 2 trin h bày cácĩi xác định tần số riêìig và dang dao
dộag cdc liệ tìiốĩig ĩiKiều bậc tự do.
Cl^ươag s dề cẠp các liệ tl^ốì^g ddiU) kliurig, tầm.
Cl^aoag 4 tóiì١ tắt cdc pl^ươag p1١
,áp tta l ٦
, d d a g xử 1‫ ﻻ‬cdc liệ
p b ‫ﺀا‬ơag trla li dộag tực lo c tl^ư.ờag gặp.
Cliươĩig 5 trlnlx
t١
١
^dix tda.

١
‫ﺟﺪ‬
‫ ﻻا‬pluíaag

plxdp tt'ixlx gầa d d a g tda số xaag

Ciiốĩi sdclx ]‫ ﻻةأ‬cùa,g υ‫ة‬i. các tat liẹu da xadt bda ta
(iRung đ ộ n g tà u J\ N hà xuất bản Đại học Quốc gia TPHCM , 2002 "Cơ ‫ ﻵﻵ‬t h u ậ t II", N ha xadt bail Đạì. Iiọc Qaốc gta TPHCM , 2004,
gtiip stall I)tèa bộ m ôa tdii ‫ ﻻزاﻻ‬t٠
i١

oa.g ttia litCa ٣aag dộag tdii \)à clidc
cỏ tcli clio dồag aglitệp lilit xcia xCt ٧a gtat 1 ٩‫'ﻻةﻻأأ‬iliữag ٧di'i dc dao
dộiig, tcoag dó có dao dộiigliaag đ-ộag tioiig tda.
Mạc da. da cố gdag d ể bdii la dú.a.g, ‫ ﻻااﻻ‬riliica aliữag agươt oiết
aglit ٣àag cliita tliề ado txdali các sat sót dáag ttếc. Cliitag tôt ٣át
lìioag dOag gOp của bại'i dọc aliàia tam clio ciiOa sácli d ủ a g oa cliada
hoa. M ọt ‫ ﻻ‬htếa dằ agli‫ ؛‬gử,t I)ề Klioa K‫ ؟‬tliaạt Gtao tliOag, Trườag
Đqt liọc Bácli hlioa - B ạt liọc Q ‫ا‬٤ốc gt.a TPHCM , aha .C5, 268 L‫؛‬
TliaOag K tệt Q.IO. Điẹa thoạt: (08) 8645643.
T rầ n C ô n g N g h ị


Chứ ấg

1

DAO DỘNG HỆ ThOn G một bậc Tự DO
1.1 TÓM TẮT
1.1.1 Tần s ố dao d ộn g và chu kỳ
Phươĩig trm h dao động liệ một bậc tự d,o uiet dưứt d,ạng:
mx + k x : Q

( 1 . 1)

tron g dó: m - khối lượng; k - độ cứng.
Phương trin h (1.1) có thể chuyển th àn h X + ω,،2^ = 0
vỏ'i ω,ι là tần số riêng hiểu như là ω 2 = A .
m
2π
/m

Chu kỳ dao đông: τ = : = 2π. ~~
ω„

]ịk

( 1 .2 )

Ten số ký ìiiệu ‫( ؛‬uĩết tắt. từ frequency), tìnlr theo công thức:
= 1.3)
τ
2π

= ‫)ذ‬

Ví d ụ 1.1 Tinh tần số riêng và chu kỳ dao dộng khối lượng m gắn với
điểm cố định nhờ lò xo độ cứng k. Bỏ qua trọng lượng 10 xo khi tin h .
Phương trin h chuyển dộng khối lượng m:
m ‘x + b = 0.
{P = D
--. Dô giãn dài 10 xo
‫ﺀﺀة‬
S lỷ ĩi
trụ dưới tác dộng tải dơn vị tinh bằng công thức ‫ﺀﺀج‬
Ρ ξ Ι,
Gd٩
trong d(); D - dường kinh ngoài 10 xo; d - dường k in h dây 10 xo
n - số vOng;
G - mô dun dàn hồi cắt.
Đò cứng 10 xo tru tinh từ cống thức k :

CHƯƠNG 1

G d‘
T ần số riêng dao động co = J — — — .
V8. n m
Chu kỳ dao động T =

co.

Ví d ụ 1.2 Xác định tầ n số riêng dao động ngang khối lượng m đ ặ t tại
vị trí p khung phẳng, h ìn h 1.1. B iết rằn g chiều dài các dầm L, độ
cứng dầm E J.

Độ cứng hệ thống như định nghĩa tỷ lệ nghịch của chuyến vị
tĩn h do tải đơn vị gây. Chuyển vị ôst do lực ngang P=1 gây ra , xem
ỉứ
. M omen
h ìn h l . í , tín h theo công thức M ohr ô =
ịM '^(x)dx 3EJ
EJ ị
Lí

uốn do tải đơn vị gây trìn h bày tại h ìn h phía phải.
T ần số riên g dao động khối lượng m tín h từ biểu thức:
n~

,. . C _ 1 o ■ 3E J
™ ~ rir ®
ồs،m ‫ ؛‬2Ừ m

2

D ao đ ộ n g xoắn : c ô n g th ứ c c h u y ể n đ ộ n g h ệ th ô n g m a n g
dạng:
/ e + ce = o
trong đó, với trục trò n

(1.4 )

gắn

đĩa đường k ín h D, công thức tín h
.2
momen quán tín h có dạng: I = —-— , m - khối lượng đĩa.

8

c = ^ ^ - độ cứng hệ thống
32L

( 1.5 )


DAO ĐỘNG HẼ THỐNG MÔT BÃO Tự DO

( 1. 6 )

TicPG
^ _ 1 1 ncỨG

~ 2n \Ã m D ^L

(1.7)

ãmíỉií

(٠

‫؛‬

b)

s)

H ìn h 1.2 Dao động xoắn
1 .2

XÁC ĐỊNH KHỐI LƯỢNG TƯỜNG ĐƯƠNG, ĐỘ CỨNG TƯƠNG ĐƯƠNG
CỦA HỆ THỐNG

Đ ộ cứ n g k của hệ thống có quan hệ với lực tác động tĩn h và
chuyến vị dưới tác động lực tĩnh đó ô = P!k hay là Ã = p/ô. Từ đây có
p
th ể viết hai biếu thức xác định độ cứng k: k = ~ từ đó:
6
k =

T jnv٥, ‫؛‬١٥^"
p=l/

=

( 1.8 )

T hế năng của hệ tín h bằng biểu thức liên quan độ cứng k và
p s 1
chuyên vị ô: ơ = —— = - kĩ)^ . Từ công thức này có th ể tín h được:
2‫؛‬
2
، ٠| ^ v à ، ٥2 ư l،..

(1.9)

Với hệ thống gồm nhiều th à n h phần, độ cứng khác nhau cần
th iế t xác định độ cứng tương đương phục vụ các phép tín h tầ n sô" w'i
hoặc chu kỳ dao động.


CHƯƠNG 1

10

C ác th à n h p h ầ n n ố i so n g so n g
Chuyển vị tĩn h bằng nhau, h ìn h 1.3a, m ang giá trị di tín h bằng
công thức:
D
D
D
Pn
=

^
=
5=^
(a)
h
K
và

kg = ki + k 2 + ■■ . + kn

(b)
////////////////////////

ki

b)

C ác th à n h p h ầ n n ô i liê n tiế p
Hệ thống gồm n th à n h ph ần độ cứng A1‫؛‬, Ã2,.··. k,i nối liên tiếp ,
h ìn h 1.3b, chuyển vị của hệ thống dưới tác động lực tĩn h sẽ có dạng;
5st = ôi + 62 + . . . + Sn

(a)

Chuyển vị toàn bộ được xẻt như k ế t quả của phép chia p cho độ
cứng tương đương toàn hệ, có th ể tín h theo công thức:
ổ.st

p

(b)

Các chuyển vị th à n h phần tín h bằng:
/ = 1,2,...,«.


DAO ĐỘNG HÊ THỐNG MÓT BÃC l ư DO

L

Từ đó:

hoặc là:

k,, =

J
k-2

11

.

+

(c)

k.

ỉ

(d)

tl

Ví d ụ 1.3 Xác định độ cứng tương đương dầm th ẳn g , th am gia dao
động cùng khối lượng m tại giữa sải, trìn h bày tại h ìn h 1.4 .
m

/777777777

/777777777

L/2

L/2

a)

k.

I

b)

H ình 1.4
Độ võng dầm dưới tác động tải tĩnh m g đ ặ t tại giữa sải của dầm
dài L, tính từ biểu thức:

٥sí

(ing)ữ
ASEỈ

tro n g đó: E - mô đun đàn hồi v ật liệu;
/ - momen quári tính m ặt cắt ngang dầm .
E)ộ cứng qui đổi dầm khi dao động dầm, xét trong điều kiện mg = 1
sẽ là;


CHƯƠNG 1

12

kjỊ —
5|f =i

ASEI
ứ

K ết cấu th ậ t và mô hìn h trìn h bày độ cứng qui đổi (độ cứng
tương đương) giới thiệu tại hìn h 1.4.
Trường hợp tổng quát, độ cứng tương đương dầm dài L, độ cứng
EI, tựa trê n hai gối tạ i h ai đầu, chịu tải tậ p tru n g w đ ặ t tại vị trí c’
tín h từ đầu p hía trá i, h ìn h 1.5, tín h như sau.

A .

w

H ìn h 1.5
Chuyển vị ngang dầm y(x) tín h từ quan hệ:
y{x) =

W c ^ { L -c Ỷ
ZEỈL

Độ cứng tương đương tín h cho dầm nêu tạ i h ìn h 1.5 hiểu là:
Từ đó:
với

3E /L
c H L -c f

w - 1.

Ví d ụ 1.4 Xác đ ịn h độ cứng tương đương của hệ và tầ n số dao
động của cùng hệ gồm dầm công xôn t iế t d iệ n 6 X
= 5 X 1 (cm),
đ ặ t ngan g ,·đ ầu tự do g ắn lò xo, còn khôi lượng m = Ik g móc tạ i đầu
dưới lò xo trụ . Bỏ qua trọ n g lượng dầm và lò xo khi tín h . C hiều dài
dầm L = 0,5m. V ật liệu và cấu h ìn h lò xo: D = lOcm, d = 0,5cm , số
vòng n = 10; E = 2.105 MPa; G = 8.104 M Pa.
o 17.7

Độ cứng dầm /ỉi = —٢- = 2 .10^ N / m với I =
ứ
Độ cứng lò xo: k 2 =

Gd'^

= 625 N/m
8D'^n

b .¥

5_

12

12

(a)
(b)


٠

13

DAO ĐỘNG HỆ THỐNG M ỘT BẬC Tự DO

Độ cứng tương đương xác định theo cách sau. Chuyển vị của trọng
vật (mg) tín h bằng 7rz‫؛‬g(— + — ),
k
h)
từ đó

^
٠٠

1
1/ kị + 1/

kỵỉio
~ ki+ÌỈ2

(c)

T ần số dao động hệ thống: co = J — = 24,62s ^
Vm

(d )

Ví d ụ 1.5 Xác định hệ số cứng qui đổi hệ trục trìn h bày tại h ìn h 1.6.
B iết rằn g tỷ lệ truyền cặp bánh răng là n :l

8
1

Hãy ký kiệu; 9 - góc xoắn đầu trục số 2, tại vị trí gắn đĩa momen
khối lượng I, (ị) - góc xoắn trục tại đầu trục kia, xem hìn h 1.6. Độ cứng
trục ký hiệu C2, trục 1 là Ci.
M omen xoắn trục 2 xác định theo biểu thức:
2‫ = ؟‬C.2 (9 “ ٠t>)
Momen xoắn trục 1:
Ty =: Cyti^
B iết rằng:
nTy = T2; và T2 = Cyn^ệ

CHƯ0MG1

14

φ

C.2 + Cịĩt

Thay biểu thức này vào vị trí của (ị) tạ i phương trìn h :
w + c \{ ỡ -ệ ) = 0
có th ể viết:
/0

+

\

‫ﻧﻢ‬

6=0

Biểu thức xác áịn h Ceq nh ư sau:
1 _ 1
1
Cea =
i Z’l·
hay là - 7 - ? 1 —‫ﻳﺖ‬-‫ب‬
2‫ و‬٩ +٩ ‫ةر‬
c
٩

0 2 ‫ا‬/‫ا‬
...

T in h k h ố i lư ợ n g tư ơ n g đ ư ơ n g trong trường hợp tổng quát theo
cách sau. Nếu ký hiệu w{xô/yZ) - hàm chuyển vị, xác định theo dạng dao
dộng các điểm vật. chất vật thể, m{xừiZ) - hàm phân bố khối lượng. Nếu
ký hiệu tiếp U\ = ^osinot - phương trin h chuyển dộng điểm vật chất
dang là tiêu điểm xem xét, chUng ta sẽ tin h keq và lUeq trường hợp hàm
w : ì. lỉà m chuyển dộng của vật dàn hồi chUng ta dang xét m ang dạng:
u : U\W = ỉ^owsin.tót. Từ phương trin h dộng năng có th ể thấy:

‫— ة‬1 m u. 2
2‫ء ا‬

1 2 2
2 ،٢
٦
u^cừ cos» t o t l niw

( 1 . 10 )

‫ةء‬٠

Từ dó có th ể viết:
٠

1 rtipnủt
٠2 _ ٢
—
= >

‫ﻵ‬

‫ﻣ ﺪ‬

1 ٠2
—mii
‫ﻵ‬

( 1 . 11 )

ỉ

hay là 7‫ل‬riequl(j)2 C0s2 0)‫ تك‬ỉ/ qO)2 C0 s2 0)‫ ﺋ ﻚ‬rriiv
2 ^
2
Công thức tín h khôi lượng tương đương m ang dạng:
m eq ‘ I

niw

( 1. 12 )

Ví dụ 1.6 Cho trước dầm dài L, khối lượng m , tựa trê n gối tại hai đầu
dầm. T rên dầm gắn n khối lượng m،١i = 1, 2,
n, cách gối trá i khoảng
cách X; ٠i = 1, 2 ,

n. Giả sử rằn g dạng dao động dầm w - a s in — .
jL/
Xác định khối lượng tương đương hệ thống tại điểm giữa dầm.

15

DAO ĐỘNG HỆ THỐNG M ỘT BẬC Tự DO

Vận tốc chuyển động trong trường hỢp này hăy là V = Vq

~ >
Ju
tro n g đó Vo vận tốc điểm vật chất giữa dầm. Động n ăn g hệ thống tính
bằng biểu thức;
\ Y l ^ x + ỵ ! ỉ h ỵ t = ỵ l ị ^ + ỵ r n , sin 2 —^ = m eq yầ
J 2 L
^ 2
2 l 2 ^
٤
TYl

٢١

; 2^
sin

^eq =

(a)

(b)

V í d ụ 1.7 Xác định khối lượng tương đương hệ th ố n g gồm khối lượng
m móc dưới lò xo trụ, nêu tại hình 1.7.
Phương trìn h chuyển động lò xo hãy là: — X
L
Động n ăn g hệ th ống tính theo biểu thức;
/

\2

1 . ' e
T = —mx^ + [ “ pde ~ x
2
b 2
Jo
vL ;
„ 1

9

Sau tích p h ân n h ậ n được:
T =

ư

1

m + 4pL
3

١X

Từ đây có th ể viết:
"٤
e٠
7 ="٤+ | p ^
T ần số dao động hệ thống:
»rt =

]Ị m + p L / 3

V í d ụ 1.8 Xác định keq và meq cho hệ thôhg trìn h bày tạ i h ìn h 1.8
T h ế n ăn g hệ thống:

u ^ ịk x ^

+ ị( 2 k ) x ^ = ị(3 k )x ^


CHƯCNG1

16

Dộng n ăn g hệ thống:
1 .2 I r
—m x + ‫ث‬/
2
2

2
—

1í
1]
‫غ‬2
m +
2‫ا‬
‫ﻟﺮ‬2 ‫ز‬

=

_

-

Từ dây viết tiếp:
‫ ا‬١-

‫ﺀةآ‬٩ =

m eq
= m ٥ ٠ +-‫ ؛‬r
2k

Ví d ụ 1.9 Xác định khối lượng tin h toán và độ cứng tin h todn tấm
h ìn h chữ n h ậ t làm từ v ậ t liệu dẳng hướng.
Bài to án tĩn h h ê n quan uốn tấm dưởi tá^
‫ ؛‬h ân bố dều ،?(‫ )وﻋﺪ‬th ể hiện qua biểu thức: ٠٧2٧2‫ت رﻻ‬q { x j ) , trong dó
Et2

độ c ư g tấm ký hiệu ٠ có dạng: D =

, với t - chiều dày tấm .

1 2 ( 1 - v 2)

E ٠mô dun dàn hồi của v ật liệu còn V - hệ số Poisson. T hay lực q{xơ)
bằng lực quán tin h k hi tấm dao dộng, phương trin h cân bằn g dộng của
٠
tấm có dạng tương dương
cdch٠ vi,ết mbi + kx = 0 n h ư sau :
، ạ /

/

1

.

.

7

. . .

٠

‫ي‬

.

٠

‫خ‬
<
‫[ ا ا‬
dịụ)
‫ ه‬4 ‫ ب‬Õx2dy2 + ‫ﺀج‬4
hay là '٧2٧2‫ﺀ‬٤
‫ر‬-

= 0‫؛‬

_ / _ ! ٠

A

٠ ‫ﺩﺍﻱ‬

1 2p(l ~ V ) õ2w
E‫ﺀ‬١‫ي‬f2
‫ﺀهآ‬
‫ء ل‬2

« 4 ‫ست‬
‫ذ‬

12p ( l - v 2)
EV

1.

٠‫و‬

_

٠ ٠ ٠٠

0


DAO DỒNG HỄ THỐNG MỒT BAC ĩ

٧ do

17

Hàm thê' n ăn g có dạng:
2

٠

u=

.2 ( 1 .-V )

íí

‫ ؛‬d٠
١
‫\ ةﺀ‬

iv
dxdy

0 ‫ ا‬1٧ ‫ج‬2‫غﺀ‬
‫و‬
Õỵ2 Õy2

Bài toán trên dược giai trên co' sỏ' thỏa m àn các diều kiện biên.
Dưới dâỵ trin h bày cách xác định keq hay còn ky hiệu cách khác Deq và
meq cho
h o tấm tựa tự do. Hàm hình ddáng của dao dộng:
iv iX )

y) ‫ت‬
: sin !

a

sin !

h

, điểm tinh toán chọn
chon tại
tai giữa
gii tấm

0Ộ cứng:

keq

nieq

:2

= a/2; y = b!2.

1

ab

Khối lượng:

X

= niQ ịịu pềdxdy = ‫ ت‬ììiQab
00
4
π

٧

‫ﺍﰒ‬

i f

= Ỉ-D a b ‫ ب‬+ ‫ب‬
4
[a^
h )

Ví d ụ 1.10 Xác định tầ n số riêng và chu kỳ dao dộng hệ thống trin h
bày tại hình 1.9.

‫أش‬

▼m
rg

H ìn h 1.9
Bước đầu cần thiết xác định k„! và //،،,,, hệ thống. Cách làm như sau.
Xây dựng phương trìn h chuyển động theo nguyên lý d’Alem bert.
Với khôi lượng /n:
nig - T = nix
Với momen quán tín h trong hệ tọa độ độc cực ،7. = 4 Mr^ :
Jp'Ồ = T r - k r 2 ( 0 + Qo)


CHƯƠNG 1

18

Điều kiện cân bằng mgr = kr^Qo cho phép viết:
٠ M r^é - rim g - mx) - kr^ồQ - m gr

Từ đây:

( ■\
١١
- M r ^ ẽ + mr^ ẽ + Ả‫؛‬r 20 = O

u

J

Có th ể thấy: rrigq = M ỉ 2 + m còn Ẳg.
eq = k
T ần Số riêng:
k.eq

co„ =

m eq

k
M !2 + m

Ví d ụ 1.11 Xác định khối lượng qui đổi dầm dài L, diện tích m ặt cắt
ngang A , ngàm hai đầu, dao động ngang. Điểm tín h toán tại giữa dầm.
Đường uốn n g an g dầm hãy là:

y I
(.) ٠

tro n g đó

X

1 - cos

2

ilz

là độ võng tại giữa dầm.

Mỗi p h ân tố dài dz khối lượng tín h bằng pA،Ì2 . Động năn g dầm
uốn tín h bằng:
T = ] ^ ỳ \z )p A d z
0^
1 ỳ"(z)
pA lỊ^l - cos
2 4

2

tlz

\2
dz =

3

١. 2

0^

Khối lượng qui đổi của dầm th am gia daơ động tín h bằng 3/8
khối lượng dầm mbV í d ụ 1.12 Xác đ ịn h tầ n số và chu kỳ dao động khôi lượng m =
500 kg, đ ặ t tr ê n dầm chữ I, th eo ba sơ đồ k h ác n h au tr ìn h b ày sau

đây. Đặc trư n g v ậ t liệu của dầm : khối lượng riê n g tín h cho Im
chiều d ài dầm mO = 22,7kg, chiều dài dầm L = 4m , mô đ u n đ à n hồi
E = 2.10^ M Pa.


19

DAO ĐỘNG HỆ THONG MỘT BẬC Tự 00

Trường hợp a. Dầm công xôn. Nếu bỏ qua khối lượng dầm k ết
quả tin h sẽ là: dô cứng k = ầ ~ , tần số dao dông riêng Cứ ‫ ات‬/ ‫ ق‬٦ =
ư
‫ﻻ ﺀ‬
] ịm ư
19,51 s"\ chu kỳ X = 2 ti/(0 = 0,322 s.
t i ả klxốt lượng qni dổi \\‫ ﻻ ة‬còx\ 0‫ \ ع‬klxối tưcỊng tương
đương của dầm th am gia dao dộng, trong p h ần tiếp theo độ võng
dầm công xôn n h ận bằng dường paralíol hình th à n h dưới tác dộng
lực tin h d ặ t tại dầu tự do của dầm, hình I.12a. Nếu ký hiệu m ٥- khối
. lượng dơn vị, tin h cho Im chiều dài dầm, tro n g trường hợp này
22,7^‫ج‬, khối lượng đoạn dầm vô cUng bé sẽ là {mo-đc). Chuyển vị của
p h ần tử (mo-dc) thuộc dầm , cách gối trái khoảng cách c sẽ là
3 ‫ [ﺀ‬2 - 4 ‫قﺀ‬
X.
. , tro n g đó X - chuyển vị theo hưó'ng th ẳ n g d ư g của dầm.
ư
Động n ăn g dầm công xôn trong trường hợp này có dạng:
‫ﻵ‬

‫ا‬

. 3 c2t - c3 ١ ,
33
dc = — mr١L —
X'
ịịm «
140 ٥ 2
2Ứ
Biểu thức

7 7 ،e

=

33

moT = 21,4/eg trong trường hợp dầm công

xôn là khối lượng qui đổi. Chuyển vị đầu phía phải của
lượng n iE có th ể xác định theo cách quen thuộc, với
33
ứ
/n=0 :ô٠
, = -1— .mnLg. _ , còn tần số dầm công xôn, không
140 ٥
lầEJ
s
١
e

dầm khối
điều kiện
gánh chịu
5
،

m sẽ là căn bậc hai của (g/ôst )·
T ính ản h hưdng khối lượng dầm như vừa nêu đến tầ n số dao
động có th ể thực h iện theo một trong hai cách: coi chuyển vỊ tĩn h
tạ i điểm đ ặ t m do b ản th â n trọng vật ■W = m g cùng chuyển vị 5st
vừa nêu gây ra , công thức tính tầ n sô" riêng co =
th eo công thức (2‫ ﻻ‬:

ẽ
, hoặc
2inax ٠‫ة‬5،

k
với k của dầm, không dổi tro n g các
m +m E

trư ờng họp.
K ết quả tinh, như sau:
co =

3EJ
٠^

{m i ìU e ) L

= 19,1 s.‫؛‬, chu ky X = 2π/ω = 0,329 s.


CHƯƠNG 1

20

٠

^

/
/'✓^

.٠
dc٠
4
......... * :
.......
٠

dc

c

r 1
X

٠٠٠ ٠٠ ٠

٥

ỉ/2

,w
a)

//2

A

,w
١
b)

H ìn h 1.10
T rư ờ n g hỢp b. Dầm tựa trên hai gối. Nếu bỏ qua khối lượng
48EJ
, tầ n sô" dao động
dầm kết quả tín h sẽ là: độ cứng dầm k =
ứ
I4 8 E J
riêng co =
= 78,04 s"‫؛‬, chu kỳ X = 2n!(ử = 0,0805s.
mứ
Tính đến ản h hưởng khôi lượng dầm : G iả sử rằn g khối lượng
m ột đơn vị dài của dầm là mO, khôi lượng đọan dc của dầm sẽ là
mOdc, hình 1.12b. Chuyển vị tĩn h dưới tác động của trọng lượng
8 c ứ - 4c‫^؛‬
(mOg)dc, cách gối phải đoạn c được biết là: X . -----------^-------- .

Động n ăn g của dầm tín h bằng công thức:
L/2 ١

. 3cL^ - 4c .‫ ؟‬1 J
17
T
X
dc = —
ỉHnL
—
ìllc
2 Jí -9
35
2
ứ
Khối lượng dầm ảnh hưởng đến dao động được suy ra từ biểu thức
17
17
cuối là — m٥L . Từ đó mE của dầm m ang giá tri
iìIqL =44,1 kg.
35
35
Kết quả tín h như sau:
cơ

48 E /
(w + m Ị. )L

- = 74,81 s". , chu kỳ X = 27t/ừ) = 0,084 s.

T rư ờ n g hỢp c. Dầm ngàm hai đầu. Nếu bỏ qua khôi lượng dầm
192J5Jc/
kết quả tín h sẽ là: độ cứng k = — ~ — , tầ n số dao động riên g
(0 =

\9 2 E J
3

V niÉ

- 156,l s ٠
' , chu kỳ X = 2 k/ co = 0,043s.


21

DAO DÕNG HẼ THÕNG MÔĨ BẢC Tư DO

Tính đến íinh hưởng kl-iõi lượng dầm: từ ví dụ ]..11 nhận được niỊ? =
3
8

?HqL - 34,06 kg. Kết quả tính tần số riêng, chu kỳ dao động như sau:
(I) =

~Ỉ92ẺJ
\ỉ {;?? +

= 151 3"’, chu kỳ T = 2nJ(ờ = 0,0416 s.

1.3 DAO ĐỘNG Tự DO CHỊU Lực CẢN NHỚT
Phương trình dao động;
mx + cx + kx - 0 hay là X + 2Cco„i' + (ùịx - 0

(1.13)

trong đó ứ = — -— - tỷ lê cản.
2m(0„
Tần sô dao động có cản: (0٥ = (0„ ١
/l Chu kỳ tính theo (0i có dang: T =

”
٥<٥

■r-:-'''-.....

.1، V1 -

H ình 1.11
1.3.1 Đ á p ứ n g trư ờ n g hỢp k h ô n g c ả n
Vói c :í 0 lời giải phương trin h (1.13) có dạng:
.1■(/) = A sin (co,‫؛‬í + <|))
trong đó biên độ A tính theo công thức:
í ■ ^
2
,
x٥ + fq .
V®,، i
١l
P ha dao động:

(ị) = arctg
K ^0 J

(1.14)


CHƯƠNG 1

22

Đồ thị dao động trìn h bày tại hìn h 1.12

1.3.2 Đ áp ứ n g có c ả n
Trường hợp !:(‫! <؛؛‬
xit) = A exp(-<;co,،rì sin (í0٥í + ^d)
tro n g đó biên độ A tín h theo công thức:
/ ·
A - J xq + ^0 +
،٥٥

P h a dao động:
(Ị)٥ - arctg

،٥ n^rf

1 ^ 0 + ‫؟‬، ٥,1^ 0
tro n g đó (0٥ = ،0„ ١
/ĩ-^

/

23

Đ ố ĐỘNG h E ^HỐNG M ộ t B‫ ؛‬C Tự 0 0

Lượng giảm theo th an g ]ogarit:
x(f)
x(l ، 7٥)

8 = ỉn
với

2π

‫_ ﺃ‬

T٥= ?
،٥٥
Trường hợp ، = 1
x(t) = exp(-oử„0 [xo t ( ‫ غ‬0 + ‫ﺋﺪ„ﻟﻦ‬0) ‫زﺛﻢ‬
(x(0) = 1 mm Dn = 2,0 rad/s ٠

٥٥

٠

٠

x(0)=1 , mm/s:

x( )=1,0mm/s:

X( ) = -15,Omm/s

H ìn h 1.14
Trường hợp ‫ >ع‬1
‫ة‬٠ ‫ا‬1
‫ ؛‬٠
‫ﺀ‬
٠
‫؛‬
‫؟‬
٠
‫ة‬-‫ا‬١
‫أ‬exp<(,ìd\j ^ 2 _ u )+ ‫ل‬
‫ه‬
+
,‫ﻵا‬
[
‫ا‬+
١
/
‫؛‬
2
_
‫ اا‬expíiVqÌirĩrtì

‫ د‬2 - ‫„“ ا ا ا‬

‫ا‬

‫ور‬

٥

‫„ﻻ(ا‬

‫ا‬

<„ = 3 fad/s; ، = 1,2: x(ư) = 1 mm

‫ور‬

‫ل‬


CHƯƠNG 1

24

V í d ụ 1.13 K ết quả thí nghiệm nhằm xác định độ cứng, lực cản hệ
thống trìn h bày tại h ìn h 1.16. Khối lượng m = 20kg đính vào hệ
thống. Khối lượng này chuyển vị Icm thì dừng. Xác định k và c từ đồ
th ị dao động.

Giảm biên độ theo th a n g logarit:
5 = In

0,01

0,005.

= 0,693

Từ đây xác định tỷ lệ cản {ddmping ratio) :٠
‫؛؛‬
‫=؟‬

Q

0,693

6+^

-

5

١
/4 ti‫ ؛‬+ 0,693 ^

Chu kỳ dao động đọc từ đồ th ị 0,06 s, có th ể tín h tầ n số dao
động có cản:
،٥٥ =

271

= 1 0 4 ,7

rad/s


DAO DÔNG HÊ THÔNG MOT

8,46'

25

TU DO

Tan sô riêng;

٢٤٠. =
= -٢
١/l ^/Γ- C3.1

= 105, 3

rad / s

Dô ciïng k:
h - /??0 )^ = [2{)kg )[l()b,?>rad ! s f - 2,22.10‘^

[N ! ni\

H ç sô c à n c:
c = 2çmco„ = 2.0,11.20.105,3 = 4,63.10^
1 .4 DAO DÔNG T ٧ DO CHjU C À N COULO M B
PhLioTig trin h dao dong:

f
i +

=<

Fr
m eq
ni eq

AA =

x> 0
X <0

4Ff

H în h 1.17

[ N .s/m ]