Hình Oxy: Các bài toán hay về hình vuông (cực chất)_Nguyễn Bá Tuấn

Các bài Toán về hình vuông – hình oxy

Nguyễn Bá Tuấn

2015 - 2016

(fb: />
TUYỂN TẬP HÌNH OXY VÀ CÁCH GIẢI
2: Các bài toán về hình vuông)

/>
Trang 1


Các bài Toán về hình vuông – hình oxy

Nguyễn Bá Tuấn

ĐỀ BÀI
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Viết phương trình các cạnh của hình vuông ABCD,
biết rằng các đường thẳng AB, CD, BC và AD lần lượt đi qua các điểm

M  2;4 , N  2; 4  , P  2;2  , Q 3; 7  .
2 (THPT Phù Cừ). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Điểm
N (1; 2) thỏa mãn 2 NB  NC  0 và điểm M (3;6) thuộc đường thẳng chứa cạnh AD. Gọi H là hình

chiếu vuông góc của đỉnh A xuống đường DN. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết
khoảng cách từ điểm H đến cạnh CD bằng

12 2
và đỉnh A có hoành độ là một số nguyên lớn hơn 2

13

3 (THPT Nghèn).
Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của
 22 11 
AB và BC, biết CM cắt DN tại điểm I  ,  . Gọi H là trung điểm DI, biết đường thẳng AH cắt CD tại
 5 5
7 
P  ,1 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết hoành độ điểm A nhỏ hơn 4.
2 

4 (THPT Thuận Thành số 2 Bắc Ninh)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , điểm M(5;7) nằm trên cạnh BC. Đường
tròn đường kính AM cắt BC tại B và cắt BD tại N(6;2), đỉnh C thuộc đường thẳng d : 2x  y  7  0 . Tìm
tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD , biết hoành độ đỉnh C nguyên và hoành độ đỉnh A bé hơn 2
5 (THPT Lạng Giang số 1).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
CD và BI. Tìm tọa độ các điểm B, C, D biết A(1;2), đường thẳng MN có phương trình x  2y  2  0 và
điểm M có tung độ âm.

3 1
6. rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co tam ( ; ), đương thang chưa
2 2
canh AB, CD lan lươt đi qua cac đi m M(-4;-1), N(-2;-4). m toa đo đ nh B, bi t B co hoanh đo am.
7. rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co toa đo đ nh A(1;1) va đi m M( ; )
la trung đi m canh BC. m toa đo đ nh D bi t no co tung đo am.
8. rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co đi m M( ,- ) tr n canh CD ao
cho DM 2CM, đi m N tr n canh AD ao cho tam giac BMN vuong tai M, phương tr nh đương thang
BN 2x-y. m toa đo đ nh B.

9. rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co A(1;1). oi M la trung đi m canh
9 3
BC, K( ; ) la h nh chi u vuong goc cua D l n AM. m toa đo cac đ nh con lai cua h nh vuong, bi t B
5 5
co hoanh đo xB <2.

/>
Trang 2


Các bài Toán về hình vuông – hình oxy

Nguyễn Bá Tuấn

10. rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co N (1;2) la trung đi m canh BC,
bi t đương trung tuy n cua tam giac AND co phương tr nh la x-y 1 . m toa đo 4 đ nh cua h nh
vuong đa cho.
11. rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co đi m (1;2) la trung đi m cua
canh CD. oi la mot đi m tr n đoan AC ao cho C
A . Bi t phương tr nh đương thang B la x- y. i t phương tr nh canh AB.
12. rong mat phang toa đo Oxy, cho ba đương thang d1 : x  3 y  0, d2 : 2 x  y  5  0 va
d3 : x  y  0 .

m toa đo cac đi m A  d1 , B  d 2 va C, D  d3 ao cho ABCD la h nh vuong.

13. rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co đ nh A, D thuoc truc hoanh va
5
hai đ nh B,C thuoc đương tron (C): (x  )2  ( y  1)2  2 . m toa đo cac đ nh h nh vuong ABCD bi t
4
xA  xD

14.

rong mat phang toa đo Oxy, cho đương tron (C): ( x  4)2  ( y  3)2  4 va đương thang

x y-1 . Xac đinh toa đo đ nh A cua h nh vuong ABCD ngoai ti p đương tron (C), bi t rang đi m A
nam tr n .
15. Trong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co C( ;- ). oi la mot đi m tr n
1
1 1
canh BC, đương thang A cat CD tai ; đương thang D cat B tai . Bi t G( ; 1), E ( ; ) va đ nh
2
2 2
A nam tr n đương thang 2x- y 12 . m toa đo đ nh B.
16. rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co đi m A(1; ). oi la giao đi m
 2  2 10  3 2 
cua hai đương ch o AC va BD. i t phương tr nh canh AD bi t J 
;
 la tam đi m
2
 2

đương tron noi ti p tam giac ICD.

17. rong mat phang toa đo Oxy, cho hai đi m A(-11; ), B( ,- ). ap phương tr nh đương
thang ong ong vơi AB va cat đương tron đương nh AB tai hai đi m phan bi t C, D cung vơi h nh
chi u cua C va D tr n AB tao thanh mot h nh vuông.
18. rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co M, N lan lươt la cac đi m tr n
2
canh AB, BC sao cho BN  BC . oi (C ) : x2  y 2  2 x  y  5  0 la đương tron ngoai ti p tam giac
9

DMN, đương thang DN co phương tr nh la x 4y. m toa đo cac đ nh h nh vuong ABCD.
19 . rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co đ nh A thuoc đương thang xy-4 . Đương thang BC đi qua đi m M(4; ), đương thang CD đi qua đi m N( ; 2) thoa man tam giac
AMN can tai A. m toa đo cac đ nh h nh vuông ABCD.

20. rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co đ nh A(-1;1). oi M la đi m tr n
canh BC thoa man MC 2MB va N la đi m tr n canh CD ao cho goc MAN= 450 .
C bi t phương tr nh đương thang MN la: 7x+y-24=0.

/>
m toa đo cac đ nh B,

Trang 3


Các bài Toán về hình vuông – hình oxy

Nguyễn Bá Tuấn

21.

rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD va tam ( ;-1), đ nh B(4; ). oi
2
la đi m nam tr n CD ao cho goc giưa đương thang B va CD bang  xac đinh bơi cos  
. m
5
toa đo cac đ nh A, C, D bi t co tung đo ương.
22. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm M(5;7) nằm trên cạnh BC.
Đường tròn ường kính AM cắt BC tại B và cắt BD tại N(6;2), đỉnh C thuộc đường thẳng Tìm toạ độ
các đỉnh của hình vuồn ABCD, biết hoành độ đỉnh C nguyên và hoành độ đỉnh A bé hơn 2.
23 (THPT Hù g Vươ g)

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(1;-2). Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của cạnh AD và DC; là giao điểm của BN và CM. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
BMK, biết BN có phương trình 2x y -8
và điểm B có hoành độ lớn hơn 2.
24 ( Trường THPT Thành Nhân).
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh C  3; 3 và đỉnh A thuộc
đường thẳng  d  : x  2 y  2  0 . Gọi

là điểm thuộc cạnh BC, điểm giao điểm của đường thẳng AE

7
 87
và CD, I  ;   là giao điểm của đường thẳng ED và BF. Tìm tọa độ các điểm B,D biết điểm
 19 19 
4 
M  ;0  thuộc đường thẳng AF.
3 

25. Trong hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có phương trình đường thẳng AD là (d)
3x  4 y  7  0 . Gọi là điểm nằm bên trong hình vuông ABCD sao cho tam giác EBC cân có góc BEC =
150o . Viết phương trình đường thẳng AB biết điểm E  2; 4  .

26. ( Trường THPT Thanh Chương I)
2

 10 11 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm . Các điểm G  ;  , E  3;  
3

 3 3

lần lượt là trọng tâm của tam giác AB và tam giác ACD. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông
ABCD, biết tung độ đỉnh A là số nguyên.

27. Trường THPT Trầ Đạ Nghĩa – Lần 1
Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có đường chéo AC phương trình là x y-10= 0. Tìm tọa
độ điểm B biết rằng đường thẳng CD qua điểm M (6; 2) và đường thẳng AB qua điểm N( 5; 8).
28. TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG – Lần 1
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I  3; 1 , điểm M trên cạnh CD sao
cho MC  2MD . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết đường thẳng AM có phương trình
2 x  y  4  0 và đỉnh A có tung độ ương.

29. TRƯỜNG THPT H ỀN Đ – Lần 2

/>
Trang 4


Các bài Toán về hình vuông – hình oxy

Nguyễn Bá Tuấn

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho hình vuông ABCD có điểm C(2; -2). Gọi điểm I, K lần lượt là
trung điểm của DA và DC; M(-1; -1) là giao của BI và AK. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông
ABCD biết điểm B có hoành độ ương.

HƯỚNG DẪN GIẢI
B
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Viết phương trình các cạnh của hình vuông ABCD,
biết rằng các đường thẳng AB, CD, BC và AD lần lượt đi qua các điểm

M  2;4 , N  2; 4  , P  2;2  , Q 3; 7  .
Lời giải:
Gọi n(a; b) là vecto pháp tuyến của đường thẳng AB. ì AB đi qua điểm M  2;4  nên phương trình
tổng quát của AB là: ax  by  2a  4b  0. Đường BC đi qua P  2; 2  và vuông góc với AB nên có
phương trình BC là: bx  ay  2a  2b  0.
ABCD là hình vuông nên d  N , AB   d  Q, BC  hay

2a  4b  2a  4b
a 2  b2



3b  7a  2a  2b
a 2  b2

9a  9b
 
9a  7b

TH1: Chọn a= 1,  b  1 .
Phương trình AB x  y  2  0 , phương trình BC x  y  4  0
Đường CD đi qua N  2; 4  và song song với AB nên phương trình CD x  y  6  0 .
Đường AD đi qua Q  3; 7  và song song với BC  AD có phương trình x  y  4  0.
TH2: Chọn a= 7  b= 9.
Phương trình AB là 7 x  9 y  50  0 , phương trình BC 9 x  7 y  4  0 .
Từ đó phương trình CD là 7 x  9 y  22  0 . Phương trình AD là 9 x  7 y  76  0 .
2 (THPT Phù Cừ). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Điểm
N (1; 2) thỏa mãn 2 NB  NC  0 và điểm M (3;6) thuộc đường thẳng chứa cạnh AD. Gọi H là hình

chiếu vuông góc của đỉnh A xuống đường DN. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết

khoảng cách từ điểm H đến cạnh CD bằng

12 2
và đỉnh A có hoành độ là một số nguyên lớn hơn 2
13

Lời giải:
Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên CD  HE 

12 2
.
13

Giả sử cạnh hình vuông bằng a (a> 0)

/>
Trang 5


Các bài Toán về hình vuông – hình oxy

Nguyễn Bá Tuấn

2
Ta có 2 NB  NC  0  CN  CB nên N nằm giữa B và C sao cho
3
2
2a
a 13
CN  CB 

.  DN  CD 2  CN 2 
3
3
3

Có ADH

2a
 DH 
13

 NC 

DNC ( g.g ) 

DHE

AD DH
a
3



DN NC a 13
13
3

2a
HE DH
6

DNC ( g.g ) 

 13 
NC DN a 13 13
3

A

B

P

N

M
H

13
2a
HE  2 2 
 2 2  a  3 2.
6
3

Giả sử VTPT của AD là n  (a; b) với (a 2  b2  0)

D

C

E

PT AD: ax  by  3a  6b  0 a

 d ( N , AD)  3 2 

2a  8b
a b
2

2

 3 2  7a 2  16ab  23b 2  0

a  b  0
 (a  b)(7a  23b)  0  
7a  23b  0
rường hợp 1: a + b = 0 => pt AD : x  y  3  0
Kẻ NP  AD  pt NP : x  y  1  0  P  AD  NP  P(2;1)
1

AP  BN  BC  2
 m  1(TM )

 A(1; 2)
3
  AP  2  
m



3(
L
)

A  AD  A(m; m  3)( M  2) 


Từ đó ta tìm được B(2; 1), C(1; 4)
Do đó A(1;2), B(2; 1), C(1; 4), D(4; 1)
Trường hợp 2: 7a  23b  0 => pt AD : 23x  7 y 111  0
 86 13 
NP  AD  pt NP : 7 x  23 y  53  0  P  AD  NP  P  ;  
 17 17 

1
93


AP  BN  BC  2
m  ( L)



3
17
  AP  2  
111  23m
 m  79 ( L)
A  AD  A(m;
)(m  2) 


7
17

rường hợp này không thỏa mãn.
3 (THPT Nghèn).
/>
Trang 6


Các bài Toán về hình vuông – hình oxy

Nguyễn Bá Tuấn

Trong mặt phẳng với tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của
 22 11 
AB và BC, biết CM cắt DN tại điểm I  ,  . Gọi H là trung điểm DI, biết đường thẳng AH cắt CD tại
 5 5
7 
P  ,1 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết hoành độ điểm A nhỏ hơn 4.
2 

Lời giải:
Ta có MBC  NCD  CM  DN . Vì AH  DN nên AMCP là hình bình hành và P là trung điểm
CD, AIP  900
Đường thẳng AI vuông góc với PI qua I có dạng 3x  4 y  22  0
12
9

Gọi A(2  4t , 4  3t )  IA   4t  ,3t  

5
5

2

2

12  
9
6

AI  2 PI   4t     3t    9  t  0, t  
5 
5
5

6
 43 2 
Nếu t    A  ,  (l )
5
 5 5

Nếu t  0  A(2, 4)
Đường thẳng AP :2 x  y  8  0, DN  AP và đi qua có ạng x  2 y  0 . Ta có
 16 8 
DN  AP  H  ,   D(2,1)  C (5,1)  B(5, 4)
 5 5

Vậy A(2, 4), B(5, 4), C(5,1), D(2,1)
4 (THPT Thuận Thành số 2 Bắc Ninh)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , điểm M(5;7) nằm trên cạnh BC. Đường
tròn đường kính AM cắt BC tại B và cắt BD tại N(6;2), đỉnh C thuộc đường thẳng d : 2x  y  7  0 . Tìm
tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD , biết hoành độ đỉnh C nguyên và hoành độ đỉnh A bé hơn 2
Lời giải:
Gọi là tâm đường tròn đường ính AM thì là trung điểm AM
Dễ thấy MIN  sdMN  2MBN  90 0
Điểm C  d : 2x  y  7  0  C(c; 2c  7)

M

A

B

 11 9 
; 
 2 2

Gọi H là trung điểm của MN  H 
Phương trình đường thẳng

trung trực của MN đi qua H
N

và vuông góc với MN là d : x  5y  17  0
I

Điểm I   I(5a  17;a)
H

/>
D

P

Trang 7 C


Các bài Toán về hình vuông – hình oxy

Nguyễn Bá Tuấn

MN  (1; 5)  MN  26
IM  (22  5a; 7  a)  IM  (22  5a)2  (7  a)2

Vì MIN vuông cân tại I và
MN  26  IM  13  (22  5a)2  (7  a)2  13
a  5
 26a 2  234a  520  0  
a  4

Với a  5  I(8; 5)  A(11; 9) (loại)
Với a  4  I(3; 4)  A(1;1) (t / m)
 c1



 11  c



Gọi E là tâm hình vuông nên E 
: c  3   EN  
;5  c
 2

 2

Suy ra C(7;7) =>E(4;4)
Pt BD: x  y  8  0,pt BC : x  7  0  B(7,1)  D(1,7)
AC  BD  AC.EN  0
 11  c 
  (2c  8)(5  c)  0
 2 

Vì  (c  1) 

 c  7(t / m)
 5c 2  48c  91  0  
c  13 (loai)
5


5 (THPT Lạng Giang số 1).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
CD và BI. Tìm tọa độ các điểm B, C, D biết A(1;2), đường thẳng MN có phương trình x  2y  2  0 và
điểm M có tung độ âm.
Lời giải:
A

B
J

N
I
K

C
M
+ Gọi J là trung điểm của AI  DMNJ là hình bình hành. Xét tam giác AND có J là giao điểm của hai
D

đường cao AJ và NJ nên J là trực tâm, o đó AN  DJ  AN  MN  N là hình chiếu của A trên MN.
ìm được N(2; 0).

/>
Trang 8


Các bài Toán về hình vuông – hình oxy

Nguyễn Bá Tuấn

+ ADMN là tứ giác nội tiếp  AMN  ADN  450  AMN vuông cân tại N. Từ M  MN và
MN  AN  5 tìm được M có tọa độ là (4;1) hoặc (0; 1). Do M có tung độ âm nên M(0; 1).

+ Gọi K  AM  BD  K là trọng tâm ADC
2
AM.
3

 AK 

1



ìm được K  ; 0  .
3 

1
2

1
3

3
5

+ NI  BI và KI  DI  NI  NK. Từ đó tìm được I(1; 0).
là trung điểm của AC nên tìm được C(1;-2)
M là trung điểm của CD nên tìm được D(-1;0)
là trung điểm của BD nên tìm được B(3;0).

3 1
6. rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co tam ( ; ), đương thang chưa
2 2
canh AB, CD lan lươt đi qua cac đi m M(-4;-1), N(-2;-4). m toa đo đ nh B, bi t B co hoanh đo am.
HD
Xác định điểm M’, N’ lần lượt là điểm đối xứng của M, N qua I

 M’ thuộc CD=> viết được pt đường CD qua M’ và N
 N’ thuộc AB=> viết được pt đường AB qua N’ và M
+ Tính khoảng cách từ đến AB > độ dài cạnh hình vuông

A

B

M
N
N'

I
M'

> tính được IA=> toạ độ điểm A, C, B, D
Lời giải:
D

C

+ Gọi M’, N’ lần lượt là điểm đối xứng của M, N qua (th o định lí Ta –lét)
 M’ thuộc CD=> tọa độ của M’( ,2)
=> viết được pt đường CD qua M’ và N là 2 x  3 y  8
 N’ thuộc AB=> tọa độ của N’( ; )
=> viết được pt đường AB qua N’ và M là : 2 x  3 y  5
+ Tính d(I,AB) là
=> Gọi B(x,

13

=> IA=IB=IC=ID =
2

13
 IB2 = 13/2
2

 x  1
2x  5
2
) mà IB 2  6,5   x  1,5  (0,5)2  6, 5  
3
x  2

mà hoành độ của đỉnh B âm nên ta có B(-1,1) và A(2,3)
Từ đó ta tính thêm được C(1,-2) và D(4,0) Vậy tọa độ B là (-1,1).
7. rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co toa đo đ nh A(1;1) va đi m M( ; )
la trung đi m canh BC. m toa đo đ nh D bi t no co tung đo am.

/>
Trang 9


Các bài Toán về hình vuông – hình oxy

Nguyễn Bá Tuấn

HD
ính độ ài AM > độ dài cạnh hình vuông
+ Gọi toạ độ điểm C(a, b) => toạ độ điểm B (theo a, b) nhờ trung điểm M

 AB
+ Dựa vào 2 dữ kiện sau ta sẽ tìm được a, b: 
 AB.BM  0
Lời giải
Gọi H là trung điểm AD  HM=AB và HM vuông góc với AD
Đặt AH=HD=a thì AD=2a, AM=a 5 mà AM= 2 5 nên a=2=AH=HD

 x 1   y 1

Đặt tọa độ H(x,y) ta có AH 2  4 

2

2

 x2  y 2  2 x  2 y  2 (1)

MH 2   2a   16   x  5   y  3  x2  y 2  10 x  6 y  34 (2)
2

2

2

Lấy (1)- (2) ta được : 2x+y=5
Thế y= 5-2x vào phương trình (1) ta có x=1 hoặc x= 13/5
Nếu x=1 ta có H(1,3)  D(1,7) loại
 21 9 
Nếu x=13/5 ta có H(13/5, -1/5) nên D  ;   thỏa mãn đề bài

 5 5 

8. rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co đi m M( ,- ) tr n canh CD ao
cho DM 2CM, đi m N tr n canh AD ao cho tam giac BMN vuong tai M, phương tr nh đương thang
BN 2x-y. m toa đo đ nh B.
HD

A

N

B

+ Sử phương pháp hình vuông cơ ở



Xác định toạ độ các điểm A, B, C, D, M,
Viết phương trình MN vuông góc với BM
Xác định được toạ độ điểm N là giao MN và AD
Viết P đường BN
Xác định được khoảng cách từ M đến BN

M

+ Quay trở về hình vuông ban đầu
-

ính được khoảng cách từ M đến BN

D

C

=> Tỷ số đồng dạng giữa 2 hình vuông > ính được độ ài đoạn BM
+ Tham số hoá điểm B th o BN > tính được toạ độ B.
Lời giả : (C ch hô g hường)
Đặt cạnh hình vuông là 3a, DM=2a, MC=a
Gọi ND x hi đó ta có AN  3a  x  NB2  18a2  6ax  x2
NM 2  x2  a 2 , MB2  4a 2  9a 2  13a 2
/>
Trang 10


Các bài Toán về hình vuông – hình oxy

Nguyễn Bá Tuấn

Do tam giác BMN vuông  BN 2  BM 2  NM 2
 18a 2  6ax  x 2  13a 2  x 2  a 2
 4a 2  6ax  0
 2a  3 x
2

2a  2a  130a 2
NB  18a  6a.    
3  3 
9
2

2

2

13
 2a 
NM     a 2  a 2 , MB 2  13a 2
9
 3 
2

Kẻ là chân đường cao hạn từ M xuống BN thì
Mà IM=d(M, d)= 2 5  IN 

IN NM 1
IM 1

 , CMTT :

IM MB 3
IB 3

2 5
, IB  6 5
3

Tọa độ I(1;-1), gọi B  m; 2m  3 ta có
IB2  180   m  1   2m  2    m  1  36  m  5, m  7
2

2

2

Vậy B(-5,-13) hoặc B(7, 12).
9. rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co A(1;1). oi M la trung đi m canh
9 3
BC, K( ; ) la h nh chi u vuong goc cua D l n AM. m toa đo cac đ nh con lai cua h nh vuong, bi t B
5 5
co hoanh đo xB <2.
Lời giải
Theo bài ra ta có AK=

2
5

Đặt AB=AD=2a thì AH=HD=a với H là trung điểm của AD
hi đó co MAD

AK AH
a
AK
2a
4
hay KD2  3, 2



 AK 
 a  1 => KD=

AD AM a 5 2a
5
5

Phương trình đường thẳng KA là x+2y=3
9 3
> phương trình D qua ( , ) và vuông góc với KA là : 2x-y= 3
5 5

Đặt D(a,2a-3) với KD2  3, 2   a  1,8   2a  3  0, 6   a  1 hoặc a 
2

2

13
5

ì trường hợp a=1 số dễ tính toán hơn nên ta thử trước để x m đúng hay ai
*TH1: Nếu D(1,-1) thì B(-1,1) thỏa mãn đề bài hi đó C(-1,-1)
*TH2: Nếu D(2,6 ; ,2,2) … xét tương tự để loại trường hợp này

/>
Trang 11


Các bài Toán về hình vuông – hình oxy

Nguyễn Bá Tuấn

10. rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co N (1;2) la trung đi m canh BC,

bi t đương trung tuy n cua tam giac AND co phương tr nh la x-y 1 . m toa đo 4 đ nh cua h nh
vuong đa cho.
HD
Do N không thuộc đường 5x-y 1

> đường trung tuyến sẽ qua điểm A hoặc điểm D

TH1: A thuộc 5x-y+1=0
+ Sử phương pháp hình vuông cơ ở
- Xác định toạ độ các điểm A, B, C, D, N=> toạ độ trung điểm I của ND
- Viết phương trình A
A
 Xác định được khoảng cách từ N đến AI

B

+ Quay trở về hình vuông ban đầu
-

ính được khoảng cách từ N đến AI
N

=> toạ độ điểm I (I thuộc 5x-y+1=0)
I

=> Tỷ số đồng dạng giữa 2 hình vuông > ính được độ ài đoạn NA
A thuộc 5x-y+1=0 => toạ độ điểm A
ìm được I => toạ độ điểm D

C

D

Dựa vào BN vuông góc với AB và 2BN=AB => toạ độ điểm B > tìm được C.
TH2: D thuộc 5x-y+1=0 các bạn làm tươ g ự
11. rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co đi m (1;2) la trung đi m cua
canh CD. oi la mot đi m tr n đoan AC ao cho C
A . Bi t phương tr nh đương thang B la x- y. i t phương tr nh canh AB.
HD

B

A

Ta chứng minh tam giác BFE vuông cân tại F
bằng cách tính độ dài 3 cạnh theo cạnh hình vuông

F

 F(2, -1) , hi đó B( , ) hoặc B(-1,-2)
Xét 1 trường hợp với B( , ) trường hợp ia xét tương tự
Gọi là gđ của BF và DC => IF=3. BF => F( -7, -4)
Phương trình AB là : 3x-4y=15
C

E

D

12. rong mat phang toa đo Oxy, cho ba đương thang d1 : x  3 y  0, d2 : 2 x  y  5  0 va

d3 : x  y  0 .

m toa đo cac đi m A  d1 , B  d 2 va C, D  d3 ao cho ABCD la h nh vuong.
HD

/>
Trang 12


Các bài Toán về hình vuông – hình oxy

Nguyễn Bá Tuấn

A
P

Q

B

M

C

N

D

E

Gợi ý : Cách dựng hình vuông MNPQ nội tiếp tam giác ABC
Với M, N thuộc BC, P thuộc AC, Q thuộc AB
Dựng hình vuông BCED trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứ A
Chứng minh M thuộc AD, N thuộc AE.
13. rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co đ nh A, D thuoc truc hoanh va
5
hai đ nh B,C thuoc đương tron (C): (x  )2  ( y  1)2  2 . m toa đo cac đ nh h nh vuong ABCD bi t
4
xA  xD
HD
5 
Đường tròn (C)có tâm I  ;1 bán kính R  2 nằm trên đường trung trực cuả BC > nó cũng
4 
A
B
thuộc trung trực của AD.

Gọi M là trung điểm của AD => IM  d  I ,Ox   1
Gọi

là trung điểm của BC, a là độ dài cạnh hình vuông hi đó ta có

IK  IM  a  1  a , BK 

a
, IB  R  2
2

I

M
K

C

D

IB 2  IK 2  KB 2
a2
5a 2
 2  1  a  
 2  1  2a 
 a  2
4
4
2

 IA  IB  IM 2  AM 2  1  1  2

=>ABCD nội tiếp đường tròn (C) nhận tâm làm tâm đối xứng
2

5
9
1

A thuộc Ox=> A(a, 0). Từ IA  2   a    12  2  a  , a 
4
4
4



/>
Trang 13


Các bài Toán về hình vuông – hình oxy

Nguyễn Bá Tuấn

=>Toạ độ D, B, C. Dựa vào xA  xD để loại 1 trường hợp
14.

rong mat phang toa đo Oxy, cho đương tron (C): ( x  4)2  ( y  3)2  4 va đương thang

x y-1 . Xac đinh toa đo đ nh A cua h nh vuong ABCD ngoai ti p đương tron (C), bi t rang đi m A
nam tr n .
HD
Đường tròn (C)có tâm I  4; 3 bán kính R  2
Dễ nhận thấy tâm I thuộc D > để ABCD ngoại tiếp đường
Tròn thì AEIF phải là hình vuông (E, F là 2 tiếp điểm của
AB, AD với đường tròn)

AI  2R  2 2
Có A thuộc d=> A(a, 1- a)

 AI 

 4  a    4  a 
2

2

2 2

 4  a  2  a  2, a  6
 A  2, 1 , A  6, 5 
15. Trong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co C( ;- ). oi la mot đi m tr n
1
1 1
canh BC, đương thang A cat CD tai ; đương thang D cat B tai . Bi t G( ; 1), E ( ; ) va đ nh
2
2 2
A nam tr n đương thang 2x- y 12 . m toa đo đ nh B.
HD
+ Viết P đường CD qua C có VTPT: EC
+ Viết P đường DE qua E, G
>tìm đc toạ độ D là giao điểm CD và DE.
+ A thuộc d => dựa vào AD vuông góc với DC => toạ độ điểm A
+ B thuộc EC=> dựa vào AB vuông góc với BC=> toạ độ B.
16. rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co đi m A(1; ). oi la giao đi m
 2  2 10  3 2 
cua hai đương ch o AC va BD. i t phương tr nh canh AD bi t J 
;
 la tam đi m
2
2



đương tron noi ti p tam giac ICD.
HD

B

A

Cách 1
+ Gọi cạnh hình vuông là a, bán ính đường tròn
nội tiếp tam giác DC là R hi đó là có.

J
I

/>
Trang 14


Các bài Toán về hình vuông – hình oxy

Nguyễn Bá Tuấn

IJ 2  2 R 2 
2
a2

a

2
2

+ Ta có

2
R


R

2
R

 aR  R 2

a


4
IJ   R 
2

2


 4R2  4aR  a 2  0 1
+ Mặt khác
2

1  10  3 2  69  30 2
AJ   
 

2 
2
2

2

AJ 2   AI  R   R 2
2



69  30 2
 a 2  2aR  2 R 2  2 
2

Từ (1) và (2) ta được: a  23  10 2 , R 

1
2





2 1

23  10 2

Cách 2
+ Sử phương pháp hình vuông cơ ở, gắn hệ toạ độ Oxy

Xác định toạ độ các điểm A, B, C, D, I, J >độ dài cạnh hình vuông và bán kính R
hi đó ta xác định được cosin của góc JAD => viết được phương trình đường AD qua A hợp với
AJ 1 góc JAD
17. rong mat phang toa đo Oxy, cho hai đi m A(-11; ), B( ,- ). ap phương tr nh đương
thang ong ong vơi AB va cat đương tron đương nh AB tai hai đi m phan bi t C, D cung vơi h nh
chi u cua C va D tr n AB tao thanh mot h nh vuông.
HD
CÁCH 1: Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của C, D xuống A, B. hi đó
Để CDFE là hình vuông thì CE=2EI=2x

D

C

(do CD//AB và C, D thuộc đường tròn nên C, D
đối xứng nhau qua đường trung trực AB >
Ta có



cũng vậy)

AB 2
 CI 2  CE 2  CI 2  4 x 2  x 2  5x 2
4

A

E

I

F

B

5.102
 5 x 2  x  5  IE  5
4

>tìm được toạ độ điểm E qua E thuộc AB, IE=5 => toạ độ C, D
CÁCH 2: ìm được I(-1,-2) phương trình đường thẳng AB là x+2y=-5
Kẻ IH vuông góc với CD ta có IH=CE=2.IE=10
Phương trình đi qua và vuông góc với CD là 2x=y

/>
Trang 15


Các bài Toán về hình vuông – hình oxy

Nguyễn Bá Tuấn

Gọi H(a,2a) thì IH2=100=(a+1)2+(2a+2)2  (a+1)2=20  a= 2 5  1 hoặc a= 2 5  1
*TH1: Nếu H (2 5 1, 4 5  2) thì phương trình CD là x 2y 10 5  5
*TH2: Nếu H( 2 5  1, 4 5  2 ) thì phương trình CD là x 2y 10 5  5
18. rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co M, N lan lươt la cac đi m tr n
2
canh AB, BC sao cho BN  BC . oi (C ) : x2  y 2  2 x  y  5  0 la đương tron ngoai ti p tam giac
9

DMN, đương thang DN co phương tr nh la x 4y. m toa đo cac đ nh h nh vuong ABCD.
HD
+ Ta có toạ độ điểm D, N là giao điểm của AN với đường tròn (C)
> tìm được toạ độ D, N.

A
2

130
7 
+ Ta có DN  DC 2  CN 2  a 2   a   a
9
9 

 cos NDC 

D

M

DC
9

DN
130

B

C

N

“ Viết phương trình đường thẳng qua A hợp với DN 1 góc NDC sao cho cos NDC 

9
130

Đó là PT của đường DC=> C là hình chiếu của N xuống DC=> tìm được C=>B=> A”
Gọi n(a,b) là VTPT của DN, n2 ( 3,4) là VTPT của đt DC
cos NDC =

9
3a  4b
=
=> 55b2 + 130.24ab= 855a2
2
2
130 5 a  b

Chọn a=1 thì b=-57 hoặc b
57)

/11 hay có 2 đt DC tương ứng với chúng là 2 VTPT (11,3) hoặc (1, -

 tương ứng với 2 điểm D thì ta tìm được 4 phương trình đt DC.
19 . rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co đ nh A thuoc đương thang xy-4 . Đương thang BC đi qua đi m M(4; ), đương thang CD đi qua đi m N( ; 2) thoa man tam giac
AMN can tai A. m toa đo cac đ nh h nh vuông ABCD.
HD
a tìm trung điểm I của đoạn MN

A

D

=> viết pt đường thẳng ’ qua và vuông góc với MN.
Vì AM=AN=> A thuộc ’
> ìm được điểm A là giao điểm của và ’.

N

+ Viết phương trình đường thẳng qua A hợp với AI một góc 450

I
B

/>
M

C
Trang 16


Các bài Toán về hình vuông – hình oxy

Nguyễn Bá Tuấn

=> sẽ có 2 phương trình trong đó 1 pt là đường AB,
còn lại là đường AD.
> ìm được toạ độ B, D qua tính chất AB  BM , AD  DN
(hoặc tìm được B có thể lấy đối xứng qua AI ta sẽ tìm được D)

Lời giải:
Với là trung điểm MN, dùng 2 tam giác bằng nhau chứng mình được A, I, C thẳng hàng
+ Ta có I(2,1) => viết pt đường thẳng ’ qua và vuông góc với MN. Vì AM=AN=> A thuộc ’ 2xy=3
> ìm được điểm A là giao điểm của và ’ A(-1, -5)
Ta có tam giác INC vuông cân tại I nên IC=IN= 5

a  3
2
2
Vì C thuộc đường thẳng ’ nên đặt C(a,2a- ) hi đó IC 2  5   a  2    2a  4   
a  1
Nếu a=3 thì C(3,3) thỏa mãn C và A khác phía so với , hi đó D(-3,1) và B(5,-3)
Nếu a=1 thì C(1, -1) loại vì hi đó C nằm giữa I và A
20. rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD co đ nh A(-1;1). oi M la đi m tr n
canh BC thoa man MC 2MB va N la đi m tr n canh CD ao cho goc MAN= 450 .
C bi t phương tr nh đương thang MN la: 7x+y-24=0.

m toa đo cac đ nh B,

HD

A

Cách 1:

D

+ Gọi cạnh hình vuông là a ta có:

cos BAM 

AB
3
1

 sin BAM 
AM
10
10

N

MAN  450  NAD  450  BAM










AD
2
2
 cos NAD  cos 450  BAM 
cos BAM  sin BAM 
AN
2

5

 AN 

5
5a 2
a
a  DN 
a 
2
4
2

B

C

M

>N là trung điểm của DC.
+ Các em có thể tự làm tiếp bằng phương pháp ử dụng hình vuông cơ ở.
Cách 2 : Gọi là chân đường cao hạ từ A xuống MN
Đặt cạnh hình vuông AB=6a tỉnh được AM  2a 10, MN  5a, AN  3a 5
1
1
cos MAN . AM . AN  AI .MN  AI  6a  BM=MI=2a và IN=DN=3a và
2
2
AI=AB=AD=6a
S AMN 

/>
Trang 17


Các bài Toán về hình vuông – hình oxy

Nguyễn Bá Tuấn

Mà d(A,MN)=3 2 =AI => IM= 2 và IN=1,5 2
Đặt M(m, 24-7m)
Mặt khác tọa độ của I  3, 2 ; 1, 6  IM 2  2   m  3, 2   22, 4  7m  50  m  3, 2
2

2

2

 m=3 hoặc m=17/5
*TH1: m=3 => M(3,3)
Đặt B(x,y) ta có (1): AB2  18   x  1   y  1
2

 2 :

BM 2  2   x  3   y  3
2

2

2

Từ 1 và (2) rút y theo x thế vào (1) : y=2(4-x) ta giải phương trình bậc nhất ẩn x
Được x=3,2 ( loại vì trùng với I)
Hoặc x=2 (thỏa mãn) => B( 2,4)
àm tương tự suy ra tọa độ C
*TH2 m 1 / xét tương tự.
21.

rong mat phang toa đo Oxy, cho h nh vuong ABCD va tam ( ;-1), đ nh B(4; ). oi
2
la đi m nam tr n CD ao cho goc giưa đương thang B va CD bang  xac đinh bơi cos  
. m
5
toa đo cac đ nh A, C, D bi t co tung đo ương.
HD

K

ìm được tạo độ điểm D là điểm đối xứng với B qua I.
+ Gọi cạnh hình vuông có độ dài là a

2
KC
 cos BKC 

BK
5
 4  KC  a
2

2

  5KC

KC
KC 2  a 2

A

D

2

 KC 2  4a 2  KC  2a

I

IB  2  a  2
iết phương trình đường thẳng qua và vuông góc với BD

B

C

Phương trình BD là x-y=4
Phương trình AC là x y 2
Đặt C(a,2-a) có IC2=2=(a-3)2+(3-a)2  a 4 hoặc a 2
Nếu C(2, ) thì (2,-4), A(4,-2)
Nếu C(4,-2) thì K(0,-2) , A(2,0)

/>
Trang 18


A

B

Các bài Toán về hình vuông – hình oxy

Nguyễn Bá Tuấn
H

M

22. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm
M(5;7) nằm trên cạnh BC. Đường tròn ường kính AM cắt BC tại B và
cắt BD tại N(6;2), đỉnh C thuộc đường thẳng Tìm toạ độ các đỉnh của
hình vuồn ABCD, biết hoành độ đỉnh C nguyên và hoành độ đỉnh A bé
hơn 2.
A

B

K

D

N

C

Lời giải:

I

M

Gọi là tâm đường tròn đường
ính AM thì là trung điểm AM
Dễ thấy

E
H

= sd

=2

E

= 90o

Điểm C ∊ d: 2x-y-7=0 => C(c;2c-7)
N

Gọi H là trung điểm MN => H(11/2;9/2)

C

D

Phương trình đường thẳng ∆ trung trực của MN đi qua H và
vuông góc với MN là d:x-5y+17=0

Điểm I ∊ ∆=> I(5a-17;a)
=(1; -5) => MN=
=(22-5a; 7-a) => IM =

22  5a 2  7  a 2

i ∆M N vuông cân tại I và MN =

=> IM = 13 

=

 26a2 – 234a + 520 = 0 
Với a = 5 => I(8;5) => A (11;9) (loại)
Với a=4 => I(3;4) => A(1;1) (t/m)

11  c
 c 1

Gọi E là tâm hình vuông nên E 
; 5-c)
; c  3  => EN =(
2
 2


Vì AC ⏊ BD 
 (c-1).

.

=0

11  c
+ (2c-8).(5-c)=0
2

 13
c   loai 
 5c  48c  91  0  
5

 c  7  tm 
2

Suy ra C(7;7) => E (4;4)
PT BD: x+y-8=0, pt BC: x-7=0 => B(7;1) => D(1;7)
23 (THPT Hù g Vươ g)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(1;-2). Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của cạnh AD và DC; là giao điểm của BN và CM. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp
tam giác BMK, biết BN có phương trình 2x y -8
và điểm B có hoành độ lớn hơn 2.
/>
Trang 19

Các bài Toán về hình vuông – hình oxy

Nguyễn Bá Tuấn

Lời giải:
Gọi E =BN ⋂ AD > D là trung điểm AE
Dựng AH⏊ BN tại H => AH=d(A;BN)=
Trong tam giác vuông ABE

AB 

8
5

1
1
1
5



2
2
2
AH
AB
AE
4 AB 2

5
AH  4
2

B  BN  B  b; 8  2b   b  2 
AB  4  B  3; 2 

Phương trình A

x 1

E = AD ⋂ BN => E(-1; 10) => D(-1; 6) =>M(-1;4)
Gọi I là tâm của (BKM)
=> là trung điểm của BM => I(1;3); R=

BM
 5 .
2

Vậy phương trình đường tròn:  x  1 
2

 y  3

2

5

24 ( Trường THPT Thành Nhân).
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh C  3; 3 và đỉnh A thuộc

đường thẳng  d  : x  2 y  2  0 . Gọi

là điểm thuộc cạnh BC, điểm giao điểm của đường thẳng AE

7
 87
và CD, I  ;   là giao điểm của đường thẳng ED và BF. Tìm tọa độ các điểm B,D biết điểm
 19 19 
4 
M  ;0  thuộc đường thẳng AF.
3 

Lời giải
Chứng minh CI  AF
Đường thẳng (A ) đi qua M và vuông góc C

  AF  : 3x  5 y – 4  0

B

A
M

Điểm A = (d)  (AF)  A(-2;2)
Gọi O là tâm hình vuông  O là trung điểm của AC
1 1
 O ; 
2 2

Đường thẳng (BD): x – y – 1  0  B  b; b 1

/>
I

O
E

F
D

C

Trang 20


Các bài Toán về hình vuông – hình oxy

Nguyễn Bá Tuấn

 AB   b  2; b  3
 b3
; AB  CB  AB.CB  0  

b  2
CB   b  3; b  2 
Vậy tọa độ B  3; 2  và D  2; 3
25. Trong hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có phương trình đường thẳng AD là (d)
3x  4 y  7  0 . Gọi là điểm nằm bên trong hình vuông ABCD sao cho tam giác EBC cân có góc BEC =
150o . Viết phương trình đường thẳng AB biết điểm E  2; 4  .

Lời giải:
Tam giác BEC có góc BEC  1500 . Suy ra tam giác BEC cân tại E. Gọi H là hình chiếu của E lên AD. Suy
ra H là trung điểm AD và HE  d  E; AD   3 Đặt cạnh hình vuông là AB  x
x
Gọi là trung điểm của BC , suy ra BI  ; EI  x  3
2

B

A

Tam giác BIE vuông tại I có EBI = 15
Suy ra tan15 

EI 2 x  6

BI
x

Suy ra: 2  3 

2x  6
x  2 3
x

E

Phương trình đường thẳng H qua điểm E và vuông góc
với AD, suy ra EH: 4x+3y+4=0

D

C

Đường thẳng AB  EH nên AB có dạng 4 x  3 y  m  0
Ta có: d  E , AB  

m4
5

 BI  3  m  4  5 3

Vậy phương trình đường thẳng AB là: 4 x  3 y  4  5 3  0
26. ( Trường THPT Thanh Chương I)
2

 10 11 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm . Các điểm G  ;  , E  3;  
3

 3 3
lần lượt là trọng tâm của tam giác AB và tam giác ACD. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông
ABCD, biết tung độ đỉnh A là số nguyên.

Lời giải:
Gọi M là trung điểm của BI và N là hình chiếu vuông góc của G lên
BI.
Ta có GN // AI

IN

AG 2
2
1

 IN  IM  BI (1)
IM AM 3
3
3

E là trọng tâm của

/>
Trang 21


Các bài Toán về hình vuông – hình oxy

Nguyễn Bá Tuấn

1
1
2
 IE = DI  BI  EN  IN  IE  BI  BN
3
3
3

 BN  BE  ∆BGE cân tại G
 GA  GB  GE  A, E, B cùng thuộc một đường tròn tâm G

→ AGE  2 ABE  2.45  90 → ∆A

vuông cân tại G

quaG
Phương trình (A ); 
  AG  : x  13 y  51  0 A  51  13a; a 
 GE
vuông cân tại G  AG  GE

hi đó

2

2

11  170
 143
 
 AG  
 13a    a   

3
9
 3
 
2

Ta có AG 

 a4
2
11  11


10 A  1; 4 
a     
3
9
a


3


2
2
 11 7 
AM  AG  AM  M  ; 
3
3
 2 2

Phương trình (BD) đi qua

và M  (BD):5x  3 y  17  0

2
2


10  
11  170
 tan G

Phương trình đường tròn (G): 
  G  : x     y   
3 
3
9


 R  GA

B là giao điểm thứ hai của (BD) và ( ) → B  7;6 

qua A
Phương trình (AD) 
  AD  : 4 x  y  0  D 1; 4 
 AB
ABCD là hình vuông AB  DC;  C  9; 2 
Bài toán có 1 nghiệm A  1;4  , B  7;6  C 9; 2  và D 1; 4 .
27. Trường THPT Trầ Đạ Nghĩa – Lần 1
Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có đường chéo AC phương trình là x y-10= 0. Tìm tọa
độ điểm B biết rằng đường thẳng CD qua điểm M (6; 2) và đường thẳng AB qua điểm N( 5; 8).
+ Gọi n  (a; b) là vecto pháp tuyến của đường thẳng AB với a 2  b2  0
=> góc giữa đường thẳng AB và AC bằng 450
=> cos 450 

ab
a 2  b2 . 12  12

 a 2  b2  a  b
a  0
 a.b  0  
b  0

/>
Trang 22


Các bài Toán về hình vuông – hình oxy
a

nên b ≠ => chọn b= 1 => pt đt AB là 0  x – 5  1 y – 8  0  y  8

b

nên a ≠ =>chọn a=1 => pt đt AB là 1 x – 5  0  y – 8  0  x  5

Nguyễn Bá Tuấn

Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua AC, do AC là phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng BC và DC
nên M’ thuộc đường thẳng BC
=> pt đt MM’ là 1 x  6   1 y – 2   0  x – y – 4  0
+ Gọi H là giao điểm của đt MM’ và AC => H( 7;3)
H là trung điểm MM’ => M’(8; 4 )

* Với M’(8;4) và AB y 8 =>pt BC là x= 8 =>B= AB  BC =>B(8;8)
* Với M’(8,4) và AB x

=> pt BC là y=4 =>B= AB  BC =>B(5;4)

28. TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG – Lần 1
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I  3; 1 , điểm M trên cạnh CD sao
cho MC  2MD . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết đường thẳng AM có phương trình
2 x  y  4  0 và đỉnh A có tung độ ương.
Gọi H là hình chiếu của I trên AM  IH  d ( I ; AM ) 

3
5

Giả sử AM  BD  N và P là trung điểm của MC

 IP / / AM  NM / / IP . Từ M là trung điểm của DP suy ra N là
trung điểm của DI.
Gọi cạnh của hình vuông là a thì AI 
Từ

a 2
1
a 2
, IN  ID 
2
2
4

1
1
1
5 2

8
 2  2   2  2 a3 2
2
IH
IA
IN
9 a
a

A thuộc AM nên A(t; 2t  4)  IA  (t  3)2  (2 t  3) 2  3  5t 2 18t  9  0

t  3  A(3;2)
. Do A có tung độ ương nên A(3;2)
 3
t   A  3 ;  14 
 5
5 5 
Suy ra C (3; 4) . Đường thẳng BD đi qua điểm I và có vtpt AI  (0; 3) có pt y  1  0 .

3

N  AM  BD  N  ; 1 . N là trung điểm của DI  D  0; 1  B(6; 1)
2

29. TRƯỜNG THPT H ỀN Đ – Lần 2
/>
Trang 23


Các bài Toán về hình vuông – hình oxy

Nguyễn Bá Tuấn

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho hình vuông ABCD có điểm C(2; -2). Gọi điểm I, K lần lượt là
trung điểm của DA và DC; M(-1; -1) là giao của BI và AK. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông
ABCD biết điểm B có hoành độ ương.
Gọi J là trung điểm của AB. hi đó AJC là hình bình hành  AK // CJ.
Gọi CJ  BM = N  N là trung điểm của BM.
Chứng minh được AK  BI
từ đó uy ra tam giác BMC là tam giác cân tại C.
Ta có MC  3; 1  MC  10  CM = BM = AB = 10
Trong tam giác vuông ABM có

5
AB  BM .BI  BM . AB  AI  BM . AB
 BM  2 2
2
2

2

A

J

B

2

N

 B là giao của hai đường tròn (C; 10 ) và (M; 2 2 ).
2
2

 x  2    y  2   10
Tọa độ điểm B thỏa mãn: 
 B(1; 1).
2
2
x

1

y

1

8







M

I

Phương trình đường thẳng AB có dạng: x - 3y + 2 = 0.
Phương trình đường thẳng AM có dạng: x + y + 2 = 0.

D

K

C

 A (-2; 0).
Ta có BA  CD  D  1; 3 .

MỘT SỐ BÀI LUYỆN TẬP THÊM
30. TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ 1 – Lần 2:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, AD lần lượt lấy hai

2
5

điểm E, F sao cho AE = AF. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên DE. Biết H  ; 

14 
,
5

8

F  ; 2  , C thuộc đường thẳng d: x + y – 2 = 0, D thuộc đường thẳng ’ x – 3y + 2 = 0. Tìm tọa độ
3


các đỉnh của hình vuông.
31. TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ 1 – Lần 2:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, AD lần lượt lấy hai

2
5

điểm E, F sao cho AE = AF. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên DE. Biết H  ; 

/>
14 
,
5

Trang 24


Các bài Toán về hình vuông – hình oxy

Nguyễn Bá Tuấn

8

F  ; 2  , C thuộc đường thẳng d: x + y – 2 = 0, D thuộc đường thẳng ’ x – 3y + 2 = 0. Tìm tọa độ
3

các đỉnh của hình vuông.
32. TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯNG YÊN – Lần 1
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I, gọi G là trọng tâm tam giác ADC,

 10 11 
 11 7 
;  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AGB, M  ;  là trung điểm của đoạn BI.
 3 3
 2 2

điểm J 

Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết G có hoành độ là số nguyên.
33. TRƯỜNG THPT LỤC NGẠN SỐ 1
Trên mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC. Đường tròn đường kính
AM cắt BC tại B, cắt BD tại N(6; 2). Tìm tọa độ các điểm A và C, biết M( ; ); đỉnh C thuộc đường d: x
+y-4
, hoành điểm C nguyên và điểm A có hoành độ bé hơn 2.

Giáo viên: Nguyễn Bá Tuấn

/>
Trang 25