Phân tích phi tuyến động lực của vỏ làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ HOÀI NAM

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐỘNG LỰC CỦA VỎ
LÀM BẰNG VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

HÀ NỘI - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ HOÀI NAM

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐỘNG LỰC CỦA VỎ
LÀM BẰNG VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã Số:

62 44 01 07

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS ĐÀO VĂN DŨNG

HÀ NỘI - 2015


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực, đáng tin cậy và chưa từng
được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả

Vũ Hoài Nam

i


LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thày hướng dẫn là PGS.TS Đào Văn
Dũng đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi và thường xuyên
động viên để tác giả hoàn thành luận án này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GS.TSKH Đào Huy Bích đã
luôn quan tâm, giúp đỡ và có những định hướng khoa học quý báu trong quá trình
tác giả thực hiện luận án này.
Tác giả trân trọng cảm ơn tập thể các thày cô giáo Bộ môn Cơ học, Trường đại
học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN và các thày cô trong Ban chủ nhiệm Khoa
Toán - Cơ - Tin học đã luôn quan tâm, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong
suốt thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại Bộ môn.
Tác giả xin cảm ơn tập thể các thày cô giáo, các cán bộ Phòng Sau Đại học,
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên và Khoa Sau Đại học - ĐHQGHN đã tạo điều
kiện thuận lợi trong quá trình nghiên cứu của tác giả.
Tác giả trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Công nghệ Giao
thông Vận tải đã luôn quan tâm, giúp đỡ và động viên để tác giả hoàn thành luận án.

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, các bạn bè thân thiết và đồng nghiệp
của tác giả, những người đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tác giả hoàn
thành luận án này.

ii


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ..................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ......................................................................................................... ii
MỤC LỤC .............................................................................................................. 1
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ............................................... 4
DANH MỤC CÁC BẢNG ...................................................................................... 5
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ .................................................................. 8
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 15
1. Tính cấp thiết của đề tài ................................................................................. 15
2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án.................................................................... 15
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu của luận án ................................................... 16
4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................... 16
5. Cấu trúc của luận án ...................................................................................... 16
Chương 1: TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU ............................................. 18
1.1. Vật liệu cơ tính biến thiên (Functionally graded material) ........................... 18
1.2. Các nghiên cứu về dao động và ổn định phi tuyến của kết cấu FGM ........... 20
1.2.1. Tấm và vỏ FGM không gia cường ........................................................ 20
1.2.2. Tấm và vỏ FGM có gia cường (ES-FGM) ............................................ 26
1.2.3. Một số nghiên cứu về ứng xử của vỏ bằng phương pháp số.................. 28
1.3. Những kết quả đã đạt được trong nước và quốc tế....................................... 29
1.4. Những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu ........................................................ 29
Chương 2: PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐỘNG LỰC CỦA VỎ THOẢI HAI ĐỘ
CONG FGM CÓ GÂN GIA CƯỜNG LỆCH TÂM ............................................... 31

2.1. Đặt vấn đề................................................................................................... 32
2.2. Các phương trình cơ bản ............................................................................. 33
2.3. Điều kiện biên và phương pháp giải ............................................................ 38
2.3.1. Phân tích dao động phi tuyến ............................................................... 39
2.3.2. Phân tích ổn định động phi tuyến ......................................................... 41
2.3.2.1. Tiêu chuẩn ổn định động Budiansky-Roth ..................................... 41

1


2.3.2.2. Ổn định động phi tuyến của vỏ thoải ES-FGM chịu áp lực ngoài và
lực nén trước dọc trục ................................................................................ 41
2.3.2.3. Ổn định động phi tuyến của panel trụ ES-FGM chịu lực nén dọc trục
.................................................................................................................. 44
2.4. Kết quả số và thảo luận ............................................................................... 45
2.4.1. Kiểm tra độ tin cậy ............................................................................... 45
2.4.2. Tần số dao động tự do tuyến tính ......................................................... 47
2.4.3. Quan hệ biên độ - tần số ....................................................................... 51
2.4.4. Đáp ứng động phi tuyến thời gian – biên độ độ võng ........................... 55
2.4.5. Ổn định động phi tuyến ........................................................................ 58
2.4.5.1. Ổn định động phi tuyến của panel trụ chịu nén dọc trục ................ 58
2.4.5.2. Ổn định động phi tuyến của vỏ thoải hai độ cong chịu áp lực ngoài
tăng tuyến tính theo thời gian và lực nén trước dọc trục ............................. 61
2.5. Kết luận chương 2....................................................................................... 64
Chương 3: PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐỘNG LỰC CỦA VỎ TRỤ TRÒN VÀ VỎ
TRỐNG FGM CÓ GÂN GIA CƯỜNG LỆCH TÂM ............................................ 67
3.1. Đặt vấn đề................................................................................................... 67
3.2. Phân tích ổn định vỏ trụ ES-FGM chịu lực nén dọc trục: Độ võng chọn một
số hạng .............................................................................................................. 72
3.2.1. Ổn định tĩnh ......................................................................................... 74

3.2.2. Ổn định động phi tuyến ........................................................................ 74
3.3. Phân tích ổn định và dao động vỏ trống ES-FGMC chịu tải dọc trục và áp lực
ngoài: Độ võng chọn ba số hạng ........................................................................ 75
3.3.1. Ổn định tĩnh ......................................................................................... 77
3.3.2. Động lực phi tuyến ............................................................................... 78
3.3.2.1. Ổn định động phi tuyến của vỏ trống ES-FGMC ........................... 79
3.3.2.2. Dao động phi tuyến của vỏ trống ES-FGMC ................................. 80
3.4. Kết quả số và thảo luận ............................................................................... 82

2


3.4.1. Ổn định động phi tuyến của vỏ trụ ES-FGM chịu nén dọc trục. Độ võng
chọn một số hạng ........................................................................................... 82
3.4.2. Ổn định động phi tuyến của vỏ trụ ES-FGM có nền đàn hồi bao quanh
chịu nén dọc trục. Độ võng chọn một số hạng ................................................ 90
3.4.3. Dao động phi tuyến của vỏ trụ ES-FGM có nền đàn hồi bao quanh. Độ
võng chọn ba số hạng..................................................................................... 93
3.4.4. Ổn định động phi tuyến của vỏ trụ ES-FGM chịu nén dọc trục và áp lực
ngoài. Độ võng chọn ba số hạng .................................................................... 99
3.4.5. Ổn định động phi tuyến của vỏ trụ ES-FGM chịu áp lực ngoài có nền
đàn hồi bao quanh. Độ võng chọn ba số hạng .............................................. 103
3.4.6. Ổn định động phi tuyến của vỏ trống ES-FGMC có nền đàn hồi bao
quanh chịu kéo, nén dọc trục. Độ võng chọn ba số hạng .............................. 106
3.5. Kết luận chương 3..................................................................................... 112
Chương 4: PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐỘNG LỰC CỦA VỎ CẦU THOẢI ĐỐI
XỨNG TRỤC FGM CÓ TÍNH ĐẾN ẢNH HƯỞNG CỦA NHIỆT ĐỘ .............. 114
4.1. Đặt vấn đề................................................................................................. 114
4.2. Các phương trình chủ đạo ......................................................................... 115
4.3. Phân tích phi tuyến động lực ..................................................................... 119

4.4. Kết quả số và thảo luận ............................................................................. 123
4.4.1. Tần số dao động tự do tuyến tính ....................................................... 123
4.4.2. Đáp ứng động lực phi tuyến ............................................................... 125
4.4.3. Tải tới hạn động phi tuyến.................................................................. 128
4.5. Kết luận chương 4..................................................................................... 130
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 132
KIẾN NGHỊ VỀ NHỮNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO ..................................... 134
DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN
LUẬN ÁN ........................................................................................................... 135
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 137

3


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
FGM

Functionally Graded Material - Vật liệu (composite) cơ tính biến thiên.

FGMC

Functionally Graded Coating – Lớp phủ cơ tính biến thiên.

ES

Eccentrically Stiffened – Gân gia cường (sườn tăng cường) lệch tâm.

c, m

Chỉ số dưới thể hiện ceramic và kim loại tương ứng.

ou, in

Chỉ số dưới thể hiện phía ngoài và phía trong tương ứng.

s, r

Chỉ số dưới thể hiện gân dọc (stringer) và gân đai (ring) tương ứng.

sbu, scr

Chỉ số dưới thể hiện tải vồng tĩnh và tải tới hạn tĩnh tương ứng.

dbu, dcr

Chỉ số dưới thể hiện tải vồng động và tải tới hạn động tương ứng.

m

Số nửa sóng theo phương x .

n

Số nửa sóng (sóng) theo phương y của vỏ thoải hai độ cong (vỏ
trống).

Pr eff

Tính chất hiệu dụng của vật liệu.

k

Chỉ số đặc trưng tỷ phần thể tích.

E, 

Mô đun đàn hồi và mật độ khối lượng tương ứng.

r0 , p0

Lực nén dọc trục trên một đơn vị diện tích.

q0

Áp lực ngoài phân bố đều trên bề mặt vỏ.

t , tcr

Thời gian và thời gian tới hạn động.

c

Tốc độ đặt tải.

cr

Hệ số động lực.

Ec

Mô đun đàn hồi của ceramic.

Em

Mô đun đàn hồi của kim loại.

c

Mật độ khối lượng của ceramic.

m

Mật độ khối lượng của kim loại.



Hệ số Poisson.



Hệ số dãn nở nhiệt.

4


DANH MỤC CÁC BẢNG
 với các kết
Bảng 2.1. So sánh tần số dao động tự do tuyến tính không thứ nguyên 

quả của Matsunaga [56], Chorfi và Houmat [22], Alijani và các cộng sự

[9]......................................................................................................... 45
Bảng 2.2. So sánh tần số dao động tự do tuyến tính (Hz) với các kết quả của các tác
giả Szilard [87] và Troitsky [90] ........................................................... 46
Bảng 2.3. Tần số dao động tự do tuyến tính (rad/s) của panel trụ FGM.................. 47
Bảng 2.4. Tần số dao động tự do tuyến tính (rad/s) của panel cầu FGM. ............... 49
Bảng 2.5. Ảnh hưởng của các mode dao động khác nhau tới tần số dao động tự do
tuyến tính (rad/s) của panel cầu FGM. .................................................. 49
Bảng 2.6. Tần số dao động tự do tuyến tính (rad/s) của vỏ thoải hai độ cong FGM
với các độ cong Gauss khác nhau ......................................................... 50
Bảng 2.7. Tải trọng tới hạn động phi tuyến của panel trụ FGM chịu tải nén dọc trục
( ×108 N / m 2 ) ........................................................................................ 60
Bảng 2.8. Ảnh hưởng của chỉ số đặc trưng tỷ phần thể tích k và tốc độ đặt tải c tới
ổn định động lực của panel trụ và panel cầu FGM có gân gia cường
( 105 N m 2 ) ....................................................................................... 62
Bảng 2.9. Ảnh hưởng của bề dày h tới ổn định động lực của panel trụ và panel cầu
FGM có gân gia cường ( 105 N m 2 )................................................... 63
Bảng 2.10. Ảnh hưởng của độ không hoàn hảo f0 tới tải tới hạn động của panel trụ
và panel cầu FGM có gân ( 105 N m 2 )............................................... 63
Bảng 3.1. So sánh tải tới hạn động rdcr (MPa) và hệ số động lực cr  rdcr rscr của
vỏ trụ FGM hoàn hảo không gân chịu lực nén biến đổi tuyến tính theo
thời gian ............................................................................................... 82
Bảng 3.2. So sánh tải tới hạn tĩnh trên một đơn vị chiều dài rscr  rscr h (×106 N/m)
của vỏ trụ thuần nhất đẳng hướng có gân gia cường lệch tâm chịu nén
dọc trục................................................................................................. 83

5


Bảng 3.3. Ảnh hưởng của chỉ số đặc trưng tỷ phần thể tích k tới tải tới hạn tĩnh và
động rdcr (×108N/m2) ........................................................................... 86

Bảng 3.4. Ảnh hưởng của số lượng, loại và vị trí của gân tới tải tới hạn tĩnh và động

rdcr (×108N/m2).................................................................................... 87
Bảng 3.5. Ảnh hưởng của chỉ số R h tới tải tới hạn của vỏ trụ trên một đơn vị
chiều dài rdcr (×106N/m) ...................................................................... 89
Bảng 3.6. Ảnh hưởng của các hệ số nền tới tải tới hạn rdcr (×108N/m2). ............... 91
Bảng 3.7. Ảnh hưởng của loại và vị trí gân tới tải tới hạn rdcr (×108N/m2)............ 93
Bảng 3.8. So sánh tần số dao động tự do tuyến tính của vỏ trụ có nền đàn hồi một hệ
số bao quanh ( m  1 ). ........................................................................... 94
Bảng 3.9. Ảnh hưởng của tỷ lệ R h và chỉ số đặc trưng tỷ phần thể tích k tới tần
số dao động tự do tuyến tính (rad/s) của vỏ trụ ES-FGM có nền đàn hồi
bao quanh. ............................................................................................ 95
Bảng 3.10. Ảnh hưởng của các hệ số nền K1 , K 2 tới tần số dao động tự do tuyến
tính (rad/s) của vỏ trụ ES-FGM có nền đàn hồi bao quanh. ................... 96
Bảng 3.11. Tải tới hạn động của vỏ trụ FGM có và không có gân gia cường chữ
nhật

chịu

áp

lực

qdcr

ngoài

( 105 N/m2,

cq  106

N/m2s,

ds  dr  0.0025 m). ........................................................................... 100
Bảng 3.12. Tải tới hạn động của vỏ trụ FGM có và không có gân gia cường chữ
nhật chịu nén dọc trục rdcr  rdcr h

( 105 N/m, cr  109 N/m2.s,

ds  dr  0.0025 m). ........................................................................... 101
Bảng 3.13. Ảnh hưởng của vị trí gân tới tải tới hạn của vỏ trụ FGM có và không có
gân chữ nhật lệch tâm ( 105 ) ( ds  dr  0.0025 m). ........................... 103
Bảng 3.14. So sánh tải tới hạn tĩnh của vỏ trụ đẳng hướng có gân trong chịu áp lực
ngoài (Psi) ( m  1 ). ............................................................................ 103

6


TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tài liệu tiếng Việt
[1]

Đào Huy Bích (2000), Lý thuyết đàn hồi, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà
Nội, Hà Nội.

[2]

Trần Lưu Chương, Phạm Sỹ Liêm (1967), Lý thuyết bản và vỏ mỏng đàn hồi,
Phòng nghiên cứu Toán Cơ Lý - Ủy ban Khoa học và Kỹ thuật Nhà nước.

[3]

Lê Văn Dân (2007) Tính dao động của tấm Composite lớp có biện pháp gia
cường, Luận án tiến sĩ kỹ thuật. Học viện Kỹ thuật Quân sự, Hà Nội.

[4]

Hoàng Xuân Lượng, Phạm Tiến Đạt, Nguyễn Thái Chung, Lê Văn Dân
(2006), “Tính toán dao động riêng của vỏ thoải composite lớp”. Tuyển tập
công trình hội nghị khoa học toàn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 8,
Thái Nguyên, tr. 512-521.

[5]

Vũ Dũng Mạnh, Hoàng Xuân Lượng, Đỗ Anh Cường (2006), “Ổn định phi
tuyến của vỏ chịu tải trọng tuần hoàn”, Tuyển tập công trình hội nghị khoa
học toàn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 8, Thái Nguyên, tr. 571-578.

[6]

Nguyễn Thị Phương, 2014. Nghiên cứu ổn định tĩnh của tấm và vỏ
Composite cơ tính biến thiên có gân gia cường lệch tâm. Luận án tiến sĩ kỹ
thuật. Học viện Kỹ thuật Quân sự, Hà Nội.

[7]

Trần Văn Trản, 2007. Phương pháp số thực hành. Nhà xuất bản đại học quốc
gia Hà Nội.

[8]

Hoàng Văn Tùng, 2011. Ổn định đàn hồi của tấm và vỏ Composite có cơ
tính biến đổi. Luận án tiến sĩ cơ học. Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học
Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.

Tài liệu tiếng Anh
[9]

Alijani F., Amabili M., Karagiozis K., Bakhtiari-Nejad F. (2011), “Nonlinear
vibrations of functionally graded doubly curved shallow shells”, Journal of
Sound and Vibration 330, pp. 1432–1454.

[10]

Alijani F., Amabili M., Bakhtiari-Nejad F. (2011), “Thermal effects on
nonlinear vibrations of functionally graded doubly curved shells using higher

137


order shear deformation theory”, Composite Structures 93, pp. 2541–2553.
[11]

Alijani F., Amabili M. (2013), “Non-linear dynamic instability of
functionally graded plates in thermal environments”, International Journal of
Non-Linear Mechanics 50, pp. 109–126.

[12]

Bagherizadeh E., Kiani Y., Eslami M.R. (2011), “Mechanical buckling of

functionally graded material cylindrical shells surrounded by Pasternak
elastic foundation”, Composite Structures 93, pp. 3063-3071.

[13]

Baruch M., Singer J. (1963), “Effect of eccentricity of stiffeners on the
general instability of stiffened cylindrical shells under hydro-static pressure”,
Journal of Mechanical Engineering Science 5(1), pp. 23–27.

[14]

Bich D.H., Hoa L.K. (2010), “Nonlinear vibration of functionally graded
shallow spherical shells” Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 32(4), pp.
199–210.

[15]

Bich D.H., Tung H.V. (2011), “Nonlinear axisymmetric response of
functionally graded shallow spherical shells under uniform external pressure
including temperature effects”, International Journal of Non-Linear
Mechanics 46, pp. 1195–204.

[16]

Bich D.H., Phuong N.T., Tung H.V. (2012), “Buckling of functionally
graded conical panels under mechanical loads”, Composite Structures 94, pp.
1379–1384.

[17]

Bich D.H., Dung D.V., Hoa L.K. (2012), “Nonlinear static and dynamic
buckling analysis of functionally graded shallow spherical shells including
temperature effects”, Composite Structures 94, pp. 2952–2960.

[18]

Bich D.H., Nguyen N.X. (2012), “Nonlinear vibration of functionally graded
circular cylindrical shells based on improved Donnell equations”, Journal of
Sound and Vibration 331, pp. 5488–5501.

[19]

Bich D.H., Duc N.D., Quan T.Q. (2014), “Nonlinear vibration of imperfect
eccentrically stiffened functionally graded double curved shallow shells
resting on elastic foundation using the first order shear deformation theory”,

138


International Journal of Mechanical Sciences 80, pp. 16-28.
[20]

Brush D.O., Almroth B.O. (1975). Buckling of bars, plates and shells. Mc
Graw-Hill, New York.

[21]

Budiansky B., Roth R.S. (1962), “Axisymmetric dynamic buckling of
clamped shallow spherical shells”, NASA technical note D_510.

[22]

Chorfi S.M., Houmat A. (2010), “Nonlinear free vibration of a functionally
graded doubly curved shallow shell of elliptical plan-form”, Composite
Structures 92, pp. 2573–2581.

[23]

Cuong N.M., Thinh T.I. (2011), “Continuous element for vibration analysis
of thick shells of revolution”, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 33, pp.
41-54.

[24]

Deniz A., Sofiyev A.H. (2013), “The nonlinear dynamic buckling response
of functionally graded truncated conical shells”, Journal of Sound and
Vibration 332(4), pp. 978-992.

[25]

Duc N.D., Tung H.V. (2010), “Nonlinear response of pressure-loaded
functionally graded cylindrical panels with temperature effects”, Composite
Structures 92, pp. 1664–1672.

[26]

Duc N.D., Tung H.V. (2010), “Nonlinear analysis of stability for
functionally

graded

cylindrical

panels

under

axial

compression”,

Computational Materials Science 49, pp. S313–S316.
[27]

Duc N.D. (2013), “Nonlinear dynamic response of imperfect eccentrically
stiffened FGM double curved shallow shells on elastic foundation”,
Composite Structures 99, pp. 88–96.

[28]

Duc N.D., Cong P.H. (2013), “Nonlinear postbuckling of symmetric S-FGM
plates resting on elastic foundations using higher order shear deformation
plate theory in thermal environments”, Composite Structures 100, pp. 566–
574.

[29]

Duc N.D., Cong P.H. (2014), “Nonlinear postbuckling of an eccentrically
stiffened thin FGM plate resting on elastic foundations in thermal

139


environments ”, Thin-Walled Structures 75, pp. 103-112.
[30]

Duc N.D., Thang P.T. (2014), “Nonlinear buckling of imperfect eccentrically
stiffened metal–ceramic–metal S-FGM thin circular cylindrical shells with
temperature-dependent properties in thermal environments”. International
Journal of Mechanical Sciences 81, pp. 17-25.

[31]

Duc N.D., Anh N.T.T, Cong P.H. (2014), “Nonlinear axisymmetric response
of FGM shallow spherical shells on elastic foundations under uniform
external pressure and temperature”, European Journal of Mechanics A/Solids 45, pp. 80-89.

[32]

Dung D.V., Nga N.T. (2010), “Nonlinear stability analysis of imperfect
functionally graded plates, with the Poisson’s ratio     z  , subjected to
mechanical and thermal loads”. Proceding of the tenth National Conference
on Deformable Solid Mechanics, Thai Nguyen, pp. 142-154.

[33]

Dung D.V., Hoa L.K. (2012), “Nonlinear analysis of buckling and
postbuckling for axially compressed functionally graded cylindrical panels
with the Poisson’s ratio varying smoothly along the thickness”, Vietnam
Journal of Mechanics, VAST, Vol. 34(1), pp. 27-44.

[34]

Dung D.V., Hoa L.K. (2012), “Solving nonlinear stability problem of
imperfect functionally graded circular cylindrical shells under axial
compression by Galerkin’s method”, Vietnam Journal of Mechanics, VAST,
Vol. 34(3), pp. 139-156.

[35]

Dung D.V., Nga N.T. (2012), “On the nonlinear post-buckling behavior of
imperfect functionally graded cylindrical panels taking into account
thickness dependent Poisson ratio”, Procedings of the Nineth National
Conference on Mechanics, Hanoi 8-9 December, pp. 197-207.

[36]

Dung D.V., Thiem H.T. (2012), “On the nonlinear stability of eccentrically
graded imperfect stiffened functionally plates resting on elastic foundation”,
Procedings of the second international conference on Engineering
Mechanics and Automation (ICEMA2) Hanoi, August 16-17, pp. 216-225.

140


[37]

Dung D.V., Hoa L.K. (2013), “ Nonlinear buckling and post-buckling
analysis of eccentrically stiffened functionally graded circular cylindrical
shells under external pressure”, Thin-Walled Structures 63, pp. 117–124.

[38]

Dung D.V., Hoa L.K. (2013), “Research on nonlinear torsional buckling and
post-buckling of eccentrically stiffened functionally graded thin circular
cylindrical shells”, Composites Part B: Engineering 51, pp. 300-309.

[39]

Dung D.V., Hoa L.K., Nga N.T., Anh L.T.N. (2013), “Instability of
eccentrically stiffened functionally graded truncated conical shells under
mechanical loads”, Composite Structures 106, pp. 104–113.

[40]

Dung D.V., Nga N.T. (2013), “Nonlinear buckling and post-buckling of
eccentrically stiffened functionally graded cylindrical shells surrounded by
an elastic medium based on the first order shear deformation theory”,
Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol 35(4), pp. 285-298.

[41]

Dung D.V., Hoa L.K., Nga N.T. (2014) “On the stability of functionally
graded truncated conical shells reinforced by functionally graded stiffeners
and surrounded by an elastic medium”, Composite Structures 108, pp. 77-90.

[42]

Groves J.F., Wadley H.N.G. (1997), “Functionally graded materials
synthesis via low vacuum directed vapor deposition” Composites Part B:

Engineering 28, pp. 57–69.

[43]

Huang H., Han Q. (2008), “Buckling of imperfect functionally graded
cylindrical shells under axial compression”, European Journal of Mechanics
- A/Solids 27, pp. 1026–1036.

[44]

Huang H., Han, Q. (2009), “Nonlinear elastic buckling and postbuckling of
axially compressed functionally graded cylindrical shells”, International
Journal of Mechanical Sciences 51, pp. 500-507.

[45]

Huang H., Han Q. (2009), “Nonlinear buckling and postbuckling of heated
functionally graded cylindrical shells under combined axial compression and
radial pressure”, International Journal of Non-Linear Mechanics 44, pp.
209–218.

141


[46]

Huang H., Han Q. (2010), “Research on nonlinear postbuckling of FGM
cylindrical shells under radial loads”, Composite Structures 92, pp. 13521357.

[47]

Huang H., Han Q., (2010), “Nonlinear buckling of torsion-loaded
functionally graded cylindrical shells in thermal environment”, European
Journal of Mechanics - A/Solids 29, pp. 42–48.

[48]

Huang H., Han Q. (2010), “Nonlinear dynamic buckling of functionally
graded cylindrical shells subjected to a time-dependent axial load”,
Composite Structures 92, pp. 593–598.

[49]

Huang H., Han Q. (2011), “Buckling of FGM cylindrical shells subjected to
pure bending load”, Composite Structures 93, pp. 2945-2952.

[50]

Huang X.L., Shen H.S. (2006), “Vibration and dynamic response of
functionally graded plates with piezoelectric actuators in thermal
environments”, Journal of Sound and Vibration 289, pp. 25-53.

[51]

Hutchinson J.W. (1967), “Initial post-buckling behavior of toroidal shell
segments”, International Journal of Solids and Structures 3, pp. 97–115.

[52]

Kieback B., Neubrand A., Riedel H. (2003), “Processing techniques for

functionally graded materials”, Materials Science and Engineering A362, pp.
81–105.

[53]

Koizumi M. (1993), “The concept of FGM. Ceramic transactions”,
Functionally Graded Materials 34, pp. 3–10.

[54]

Kuglera St., Fotiua P.A., Murinb J. (2013), “The numerical analysis of FGM
shells with enhanced finite elements”, Engineering Structures 49, pp. 920935.

[55]

Lekhnitskii S.G. (1968), Anisotropic plates, Gordon and Breach Science
Publishers. (Translated from second Russian edition).

[56]

Liew K.M., Zhao X., Lee Y.Y. (2012), “ Postbuckling responses of
functionally graded cylindrical shells under axial compression and thermal
loads”, Composites Part B: Engineering 43, pp. 1621–1630.

142


[57]

Matsunaga H. (2008), “Free vibration and stability of functionally graded

shallow shells according to a 2-D higher – order deformation theory”,
Composite Structures 84, pp. 132–146.

[58]

McElman J.A. (1967), “Eccentrically stiffened shallow shells of double
curvature”, NASA technical note D-3826.

[59]

Miyamoto Y., Kaysser W.A., Rabin B.H., Kawasaki A., Ford R.G. (1999),
Functionally Graded Materials: Design, Processing and Applications,
London: Kluwer Academic Publishers.

[60]

Najafizadeh M.M., Hasani A., Khazaeinejad P. (2009), “Mechanical stability
of functionally graded stiffened cylindrical shells”, Applied Mathematical
Modelling 54, pp. 1151–1157.

[61]

Najafov A.M., Sofiyev A.H., Kuruoglu N. (2013), “Torsional vibration and
stability of functionally graded orthotropic cylindrical shells on elastic
foundations”, Meccanica 48, pp. 829-840.

[62]

Nemat-Alla M.M., Ata M.H., Bayoumi M.R., Khair-Eldeen W. (2011),
“Powder metallurgical fabrication and microstructural investigations of

Aluminium/Steel functionally graded material”, Materials Sciences and
Applications 2, pp. 1708-1718.

[63]

Paliwal D.N., Pandey R.K., Nath T. (1996), “Free vibration of circular
cylindrical shell on winkler and pasternak foundation”, International Journal
of Pressure Vessels and Piping 69, pp. 79-89.

[64]

Rasheedat M.M., Esther T.A. (2012), “Functionally graded material: An
overview”, Procedings of the World Congress on Engineering. Report no
10273.

[65]

Reddy J.N., Starnes J.H. (1993), “General buckling of stiffened circular
cylindrical shells according to a Layerwise theory”, Computers & Struct.
49(4), pp. 605–616.

[66]

Sadeghifar M., Bagheri A.A. Jafari (2011), “Buckling analysis of stringerstiffened laminated cylindrical shells with non-uniform eccentricity”, Archive

143


of Applied Mechanics 81, pp. 875-886.
[67]

Schmidt G., Tondl A. (2009), Non-linear vibrations, Cambridge University
Press.

[68]

Sewall J.L., Clary R.R., Leadbetter S.A. (1964), “An experimental and
analytical vibration study of a ring-stiffened cylindrical shell structure with
various support conditions”, NASA technical note D-2398.

[69]

Sewall J.L., Naumann E.C. (1968), “An experimental and analytical
vibration study of thin cylindrical shells with and without longitudinal
stiffeners”, NASA technical note D-4705.

[70]

Shen H.S. (1998), “Post-buckling analysis of imperfect stiffened laminated
cylindrical shells under combined external pressure and thermal loading”,
International Journal of Mechanical Sciences 40(4), pp. 339–355.

[71]

Shen H.S. (2009), “Postbuckling of shear deformable FGM cylindrical shells
surrounded by an elastic medium”, International Journal of Mechanical
Sciences 51, pp. 372-383.

[72]

Shen H.S., Yang J., Kitipornchai S. (2010), “Postbuckling of internal
pressure loaded FGM cylindrical shells surrounded by an elastic medium”,
European Journal of Mechanics - A/Solids 29, pp. 448–460.

[73]

Shen H.S. (2012), “Nonlinear vibration of shear deformable FGM cylindrical
shells surrounded by an elastic medium”, Composite Structures 94, pp. 11441154.

[74]

Shen H.S., Wang Z.X. (2012), “Assessment of Voigt and Mori–Tanaka
models for vibration analysis of functionally graded plates”, Composite
Structures 94, pp. 2197-2208.

[75]

Shen H.S., Wang H. (2014), “Nonlinear vibration of shear deformable FGM
cylindrical panels resting on elastic foundations in thermal environments”,
Composites Part B: Engineering 60, pp. 167-177.

[76]

Sofiyev A.H. (2003), “Dynamic buckling of functionally graded cylindrical
shells under non-periodic impulsive loading”, Acta Mechanica 165, pp. 151-

144


163.

[77]

Sofiyev A.H., Schnack E. (2004), “ The stability of functionally graded
cylindrical shells under linearly increasing dynamic torsional loading”,
Engineering Structures 26, pp. 1321–1331.

[78]

Sofiyev A.H. (2005), “The stability of compositionally graded ceramic–
metal cylindrical shells under aperiodic axial impulsive loading”, Composite
Structures 69, pp. 247–257.

[79]

Sofiyev A.H. (2009), “The vibration and stability behavior of freely
supported FGM conical shells subjected to external pressure”, Composite
Structures 89(3), pp. 356-366.

[80]

Sofiyev A.H., Avcar M., Ozyigit P., Adigozel S. (2009), “The Free Vibration
of non homogeneous truncated conical shells on a Winkler foundation”,
International Journal of Engineering and Applied Sciences 1, pp. 34-41.

[81]

Sofiyev A.H. (2010), “Buckling analysis of FGM circular shells under
combined loads and resting on the Pasternak type elastic foundation”,
Mechanics Research Communications 37, pp. 539–544.

[82]

Sofiyev A.H. (2010), “Dynamic response of an FGM cylindrical shell under
moving loads”, Composite Structures 93, pp. 58-66.

[83]

Sofiyev A.H. (2012), “The non-linear vibration of FGM truncated conical
shells”, Composite Structures 94(7), pp. 2237-2245.

[84]

Sofiyev A.H, Kuruoglu N. (2013), “Torsional vibration and buckling of the
cylindrical shell with functionally graded coatings surrounded by an elastic
medium”, Composites Part B: Engineering 45(1), pp. 1133-1142.

[85]

Sohn K.J., Kim J.H. (2008), “Structural stability of functionally graded
panels subjected to aero-thermal loads”, Composite Structures 82, pp. 317325.

[86]

Sohn K.J., Kim J.H. (2009), “Nonlinear thermal flutter of functionally
graded panels under a supersonic flow”, Composite Structures 88, pp. 380387.

145


[87]

Stamatelos D.G., Labeas G.N, Tserpes K.I (2011), “Analytical calculation of
local buckling and post-buckling behavior of isotropic and orthotropic
stiffened panels”, Thin- Walled Structures 49, pp. 422-430.

[88]

Stein M., McElman J.A. (1965), “Buckling of segments of toroidal shells”,
AFAA Journal 3, pp. 1704-1709.

[89]

Szilard R. (1974), Theory and analysis of Plates. Prentice-Hall.

[90]

Thinh T.I., Cuong N.M. (2013), “Dynamic stiffness matrix of continuous
element for vibration of thick cross-ply laminated composite cylindrical
shells”, Composite Structures 98, pp. 93-102.

[91]

Timoshenko S., Woinowsky-Krieger (1987), Theory of plates and shells.
McGraw-Hill Book Company.

[92]

Troitsky M.S. (1976), Stiffened Plates. Elsevier.

[93]

Tung H.V. (2013), “Postbuckling behavior of functionally graded cylindrical
panels with tangential edge constraints and resting on elastic foundations”,
Composite Structures 100, pp. 532–541.

[94]

Van der Neut A. (1947), “The general instability of stiffened cylindrical
shells under axial compression”, National Aeronautical Research Institude
Amsterdam. Rep S314.

[95]

Volmir A.S. (1972), Non-linear dynamics of plates and shells, Science
Edition M. (in Russian).

[96]

Xia X.K., Shen H.S. (2008), “Vibration of post-buckled sandwich plates with
FGM face sheets in a thermal environment”, Journal of Sound and Vibration
314, pp. 254-274.

[97]

Xia X.K., Shen H.S. (2008), “Vibration of postbuckled FGM hybrid
laminated plates in thermal environment”, Engineering Structures 30, pp.
2420–2435.

[98]

Xia X.K., Shen H.S. (2009), “Nonlinear vibration and dynamic response of
FGM plates with piezoelectric fiber reinforced composite actuators”,
Composite Structures 90, pp. 254–262.

146


[99]

Zhao X., Liew K.M. (2011), “Free vibration analysis of functionally graded
conical shell panels by a meshless method”, Composite Structures 93, pp.649664.

[100] Watanabe Y., Inaguma Y., Sato H., Miura-Fujiwara E.A. (2009), “Novel
fabrication method for functionally graded materials under centrifugal force:
the centrifugal mixed-Powder method”, Materials 2, pp. 2510-2525.

147