Nhị thức NEWTON từ K2PI net vn

NHỊ THỨC NEWTƠN - K2PI.NET

NHỊ THỨC NEWTƠN TỪ K2PI.NET
Tổng hợp bởi: HUYVINH
0
1
2
2013 0
Bài 1: S  12 C2013
22013  22 C2013
22012  32 C2013
22011  ...  20142 C2013
2
Hướng dẫn :
Để ý là với m  k  n thì Ckm Cnk  Cnm Cnkmm cho nên với k  2 thì

(k  1)2 Cnk  k ( k  1)Cnk  3kCnk  Cnk  2Ck2Cnk  3Ck1Cnk  Cnk  2Cn2Cnk22  3Cn1Cnk11  Cnk
Từ đó:
k

2011

S  2C

2
2013

2012

C
k 0

 3C

1
2013

2011

k

C
k 0

2013

k
2
1
 2C2013
2 2011  3C2013
2 2012  2 2013

 C
2012

k 0

2013

5

Bài 2:Tìm hệ số của x trong khai triển: P  x(1  2 x)5  x 2 (1  3 x)10
Hướng dẫn :
Khai triển rồi nhận xét cũng được
1
10
P  x(C50  2 xC51  4 x 2C52  8 x 3C53  16 x 4C54  32 x 5C55 )  x 2 (C100 3 xC10
 9 x 2C102  27 x 3C103  ...  (3 x )10 C10
)

Số hạng chứa x5 là x.16 x 4C54  x 2 .27 x3C103
Hệ số cần tìm là 16C54  27C103
Bài 3:Tìm số nguyên dương n thỏa mãn : 2Cn0 
Hướng dẫn. Ta có

2 2 1 23 2
2n 1 n 6560
Cn  Cn  ... 
Cn 
2
3
n 1
n 1

2k 1 k 2 k 1 k 1
Cn 
Cn 1
k 1
n 1

Cn2
Cn3
Cnn

3

...

n
 Cn21
Cn1
Cn2
Cnn 1
Hướng dẫn: Cũng hay và nhẹ nhàng, phù hợp thi đại học
Chơi cái tổng quát trước rồi áp dụng là ok. Điều kiện bỏ qua
Cnk
n !( n  1  k )!(k  1)!
k k 1  k
 n  k 1
Cn
( n  k )! k ! n !
Áp dụng ta có:
(n  1  1)  (n  1  2)  ( n  1  3)  ...  ( n  1  k )  ...  ( n  1  n)  1  2  3  ...  ( n  1)  n
n(n  1)

 Cn21
2
C2
C3
Cn

Bài 5:Chứng minh đẳng thức:
Cn1  2 n1  3 n2  ...  n nn1  Cn21
Cn
Cn
Cn
Hướng dẫn :
Bài này, có thể giải đơn giản bằng phép đếm như sau.
Giả sử ta cần chọn m cô gái để làm quen sau đó chọn 1 cô trong m cô đó để "tán tỉnh", thế thì số giải pháp là
Cnm Cm1  mCnm . Cũng với mục đích đó, ta có thể chọn cô bé để "tán tỉnh" trước rồi bổ xung m  1 cô trong n  1
cô còn lại. Từ đó, chúng ta có đẳng thức
mCnm  Cn1Cnm11  m; n  ;1  m  n
Lại áp dụng điều này lần nữa chúng ta có
Cn1Cnm11  Cn1Cnn1m  Cn1m 1Cnm 1  m; n  ;1  m  n

Bài 4:Chứng minh đẳng thức:

Cn1  2

mCnm
Như vậy m 1  Cn1m 1 , dẫn đến
Cn

NGUYỄN HUY VINH – 12A1 – THPT LÊ HOÀN – THANH HÓA

Page 1


NHỊ THỨC NEWTƠN - K2PI.NET
1

1

n
n
C2
C3
Cn
C  2 n1  3 n2  ...  n nn1   C
  C
Cn
Cn
Cn
m 1 n  m 1
n  m 1 k 1 k
1
n

n

1

1
k

Bây giờ thì chỉ cần để ý là C chính là số cách chọn j :0  j  k  k {1; 2;; n} . Cho nên N   C chính là
k 1

k

số cách chọn cặp ( j; k ) :0  j  k  n , nói khác đi N chính là số cách chọn ra hai phần tử phân biệt của tập

{0; 2;; n} , tức là N  Cn21

S

Bài 6:Tính

Cn0 Cn1 Cn2
Cn


 ...  n
3
4
5
n3

Hướng dẫn:
n
Xét khai triển : 1  x   Cn0  x.Cn1  x2 .Cn2  ...  x n .Cnn (*)
Nhân 2 vế của (*) cho x 2 ta có :
n
x 2 1  x   x 2 .Cn0  x3 .Cn1  x 4 .Cn2  ...  x n  2Cnn (**)
Lấy tích phân cận từ 0 đến 1 2 vế của (**) ta được :
1

n

S   x 2 1  x  dx
0

1

1

n

2

 S   1  x  1 1  x  dx   1  x 
0

n3

0

n 2

n 2

1

n 1

1

n

dx  2  1  x  dx   1  x  dx
0

0

n 1

2 1
2 1 2 1
 2.

.
n3
n2
n 1
Bài 7:Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ( x 2  2) n , biết: An3  8Cn2  Cn1  49  n  N , n  3
Hướng dẫn :
S 

n


2 
Bài 8:Tìm số hạng không chứa x khi khai triển P( x)   3 x 
 biết (n  1) là nghiệm của phương trình:
x

Ax3  2C xx11  3C xx13  2 x2  P6  25
Hướng dẫn :
Bài 9: Cho khai triển: (1  x  x 2  x 3  ...  x10 )11  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3  ...  a110 x110

Chứng minh đẳng thức sau: C110 a0  C111 a1  C112 a2  C113 a3  ...  C1110 a10  C1111a11  11
Hướng dẫn :

Ta có: ( x  1)11 ( x10  x9  ...  x  1)11  ( x  1)11 (a0  a1 x  ...  a110 x110 )
 (C110 x11  C111 x10  ...  C1011 x  C1111 )(a0  a1 x  ...  a110 x110 )
 x11 (C110 a0  C111 a1  ...  C1111a11 )  ...(1)

Lại có: ( x  1)11 ( x10  x9  ...  x  1)11  ( x11  1)11  C110  C111 x11  ...(2)
Từ (1)(2) Ta có hệ số của x11 trong khai triển là
C110 a0  C111 a1  ...  C1111a11 và C111
1
 C110 a0  C11
a1  ...  C1111a11 = C111  11(dpcm)
1 2x
Bài 10:Cho khai triển nhị thức newton (  ) n  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n . Biết rằng a8 là hệ số lớn nhất của
5 5
khai triển, Tìm n.
Hướng dẫn :

Từ khai triển ta tính được:

1
a8  C .  
5
8
n

n 8

8

28
2

.    Cn8 . n ;
5
5

NGUYỄN HUY VINH – 12A1 – THPT LÊ HOÀN – THANH HÓA

Page 2


NHỊ THỨC NEWTƠN - K2PI.NET
7
29
7 2
;
a

C
.
7
n
5n
55
2C 8  Cn7
 a  a7
Hế số a8 max   8
  8n
9
 a8  a9
Cn  2Cn
Giải hệ ta được 11

1 1
Bài 11:Tìm tất cả các số tự nhiên n,( n  2) thỏa mãn:
Cn  2Cn2  3Cn3  ...  nCnn  512
n
Câu 9a đề thi thử đại học số 04-k2pi.net
1 1
Bài 12:Tìm tất cả các số tự nhiên n,( n  2) thỏa mãn:
Cn  2Cn2  3Cn3  ...  nCnn  512
n
Hướng dẫn
n
Xét khai triển : 1  x   Cn0  xCn1  x 2Cn 2  x3Cn3  ...  x nCn n

a9  Cn9 .









n1

Đạo hàm 2 vế ta có : n 1  x   Cn1  2 xCn2  3x 2Cn3  ...  nx n 1Cnn (*)
Thay x = 1 vào (*) ta có :
Cn1  2Cn2  3Cn3  ...  nCnn = n 2 n 1
1
  Cn1  2Cn2  3Cn3  ...  nCnn   512  2 n 1 < 512

n
 2 < n < 10
Cách khác:

Bài này có thể sử dụng công thức kCnk  nCnk11

Áp dụng công thức ta cũng chuyển được về dạng 2 n1  512 . Suy ra 20
2
2
4
4
6
98
100
Bài 13:Tính tổng S  C100
.C100
 C100
C100
 C100
.C100
 .....  C100
.C100
Hướng dẫn. Xét hệ số của x98 , trong khai triển của p ( x)  ( x  1) 200 và q ( x)  ( x 2  1)100 là xong.



Bài 14:Tìm hệ số x4 trong khai triển P( x)  1  x  3 x3





n

thành đa thức biết n là số nguyên dương thỏa



2 C22  C32  ...  Cn2  3 An21

Hướng dẫn
Áp dụng công thức: kCnk  nCnk11 với k=2
Ta có: 2Cn2  nCn11  n( n  1)





Khi đó: 2 C22  C32  ...  Cn2  3 An21

 1.2  2.3  3.4  ...  (n  1).n  3n(n  1)
(n  1) n(n  1)

 3n(n  1)  n  10
3
10

Ta có: P( x )  1  x  3 x 3 
10

 P( x)   .(1  x) k .( 3 x3 )10 k
k 0
10

k

 P( x)   .(3 x3 )10 k .( .( 1)i .xi )
k 0

i 0

Hệ số của x4 tương ứng với 30  3k  i  3
Do k , iòN , k  i nên (k,n)=(10,4) ; (k,n)=(9,1)
Hệ số của x4 là: (3)0 .(1) 4  ( 3)1.( 1)1  4

NGUYỄN HUY VINH – 12A1 – THPT LÊ HOÀN – THANH HÓA

Page 3


NHỊ THỨC NEWTƠN - K2PI.NET
3n 3 
 n
Bài 15: Tìm hệ số của x trong khai triển P( x)  1 
x
x
8
 4


2
n2
3
2
thỏa mãn điều kiện
An  3Cn  Cn 1  An 1  2n.
Hướng dẫn:
Ta có: An2  3Cnn 2  Cn31  An21  2n.
3
1
 n(n  1)  n( n  1)  n(n  1)( n  1)  n(n  1)  2n
6
6
 n  8 (do n  2 và nòN )



Khi đó P( x)  1  2 x  3 3 x
4

 P( x)   .C4k .(3) 4k .x

4 k
3



n4

với x >0. Biết n là số nguyên dương

4

1

.(1  2 x 2 ) k

k 0
4

 P( x)   .C4k .(3) 4k .x

4 k
3

k 0

k

i

.( .Cki .2i.x 2 )
i 0

Hệ số của số hạng x ứng với

4k i
  1 ( i, kòN , i  k  4
3
2

 2k  3i  2
 (k  4  i  2)  (k  2  i  0)
Suy ra hệ số của x trong khai triển là: C44 .( 3) 0 .C42 .2 2  C42 .(3)2 .C20 .20  78.
( đáp án ra -84 mới đúng ### )

Bài 16:Chứng minh:
1 C1n  2 C2n  ...  n Cnn  2n 1.n3
Hướng dẫn :
0
2013
1
2012
2
2011
2013 0
Bài 17:Chứng minh rằng :
C2014
.C2014
 C2014
C2014
 C2014
C2014
 ...  C2014
C2014  1007.2 2014
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức Cnk  Cnn k
0
1
1

2
2013
2014
Ta có: VT= C2014
.C2014
 C2014
.C2014
 ...  C2014
.C2014
1
1
Ta có: (1  ) n (1  x ) n  n (1  x ) 2 n
x
x
1
1
1
 (Cn0  Cn1  ...  Cnn n )(Cn0  Cn1 x  ...  Cnn x n )  n (1  x) 2 n
x
x
x
1
1
 n (C20n  C21 n x  ...  C22nn x 2 n  n (1  x ) 2 n
x
x
Sử dụng đồng nhất hệ số ta có: Cn0 .Cnk  Cn1 .Cnk 1  ...  Cnn 1.Cnn  C2nn k
0
1
1

2
2013
2014
2014
Với n=2014,k=0 ta có: C2014
.C2014
 C2014
.C2014
 ...  C2014
.C2014
 C4028
2014
Bạn thử C/m C4028
 1007.22014 xem đúng ko nha :grinder:
Bài 18: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có
k

n

2n.2n   2n  1 .n.2n 1   2n  2  .Cn2 .2n  2  ...   1  2n  k  Cnk 2n k  ...   1 .n  3n .

(trong đó Cnk là tổ hợp chập k của n phần tử, 0  k  n ).
Hướng dẫn:
Vế tay trái của đẳng thức có thể viết lại thành On  Tn , với





On  2n Cn0 .2 n  Cn1 .2n 1  (1) n Cnn 20  2n( 1  2)n  2n

Và

Tn  1.Cn1 .2 n 1  2Cn2 .2 n 2  (1) n 1 nCnn 20

Áp dụng công thức kCnk  nCnk11 , thì
NGUYỄN HUY VINH – 12A1 – THPT LÊ HOÀN – THANH HÓA

Page 4


NHỊ THỨC NEWTƠN - K2PI.NET





Tn  n Cn01 2n 1  Cn11 2n 2   ( 1) n 1 Cnn11 20  n  1  2 

n 1

n

Vậy có điều cần phải chứng minh
Bài 19:Tìm hệ số cảu x4 trong khai triển f ( x)  x( x  1)5  (2 x  3)6 thành đa thức.
Thi thử ĐH lần I khối D-Hàn thuyên-BN
Hướng dẫn : Hệ số của x4 là 10+15. 2 432
Bài 20:Câu 9 ( 1 điểm ) Tìm hệ số của số hạng chứa x9 trong khai triển nhị thức New-tơn của biểu thức

1 

x x 

x x

Hướng dẫn:

2n

, biết số hạng tự do trong khai triển là 12870 (với x>0 và n nguyên dương ).
3



3

Gọi số hạng tổng quát trong khai triễn trên là : Tk 1  C2kn ( 1) k ( x 2 ) 2 n k ( x 2 )k  C2kn ( 1) k x3 n 3 k .
 n  2m
Hạng tử tự do Tn 1  C2nn (1)n  12870   n
 n  8.
 C2 n  12870
Vậy hạng tử chứa x9 trong khai triễn là : T6  C165 .(1)5 .x9
n

Bài 21:Tính tổng: S 

 n  1 .Cn , biết rằng: C 0  C 1  C 2  211
1.Cn0 2.Cn1 3.Cn2
 1  1  ... 
n
n

n
1
A1
A2
A3
An1
2

2

2

Bài 22:Tìm 2 cách chứng minh: 1.  C1n   2.  C 2n   ...  n.  C nn   nC n2 n11 , n  N *
Cách 1. Vì kCnk  nCnk11  nCnn1k , nên ta có

 

1. C1n

2

 

 2. C 2n

2

 

 ...  n. C nn

2



 n Cnn11Cn1  Cnn12Cn2  Cn01Cnn



Xét hệ số của xn trong khai triển ( x  1) 2 n 1  ( x  1) n 1 ( x  1) n , ta sẽ có điều cần chứng minh.
n

Cách 2. Giả sử ở 1 trường, có n con gái và n đứa con trai. Chúng ta thấy tổng

2

n

1

 k C    C C C
k
n

k 1

k
n

k 1

n k
n

chính

k

là cách chọn n đứa trong trường đó để kết bạn, đồng thời chọn 1 đứa con gái trong n đứa đó để vỉa. Cùng mục
đích đó, ta có thể chọn đứa con gái để vỉa trước, rồi bổ xung n  1 đứa khác trong 2n  1 đứa còn lại để đủ n
đứa bạn. Từ đó, có điều cần chứng minh.
Bài 23:Khai triển nhị thức Newton biểu thức ( x  2) n theo lũy thừa tăng của x ta được số hạng thứ tám là 144.
Tìm x biết Cnn31  2Cnn 2  16( n  2) với n  N *
Hướng dẫn : Theo giả thiết ta có được:
 n  3 n  2   n  2 n  1  16 n  2

  

2
 n3

  n  2 
 n  1  16   0
 2

 n  2
 3n  27 

  n  2 


0


 n  27  9
 2 
3

 n9
Khi đó,

9

9

 x  2    C k 9 x k .29k
k 0

NGUYỄN HUY VINH – 12A1 – THPT LÊ HOÀN – THANH HÓA

Page 5


NHỊ THỨC NEWTƠN - K2PI.NET
Vì theo lũy thừa tăng của x ta được số hạng thứ tám là 144 nên:
Số hạng thứ 8 đó là giá trị của x7
Suy ra:
x.C 7 9 .2 2  144  x  1
Bài 24:Chứng minh:

Cnk  Cnk11  Cnk21  Cnk31  ...Ckk 1  Ckk11

Hướng dẫn : Sữ dụng tính chất sau Cnk  Cnk1  Cnk11
n2

 n

Bài 25: Tìm hệ số của x 4 trong khai triển 1  x  3x 2  , biết Cnn41  Cnn3  7  n  3 .
 6

n 1
n
Hướng dẫn : Từ hệ thức : Cn 4  Cn 3  7  n  3
( n  4)! ( n  3)!
Ta có :

 7  n  3
(n  1)!·3! n !·3!
Thu gọn phương trình này ta được phương trình : (n  4)(n  2)  (n  2)(n  1)  42
Giải phương trình này ta thu được : n  12.
10

10

Và như thế, ta xét khai triển : 1  2 x  3 x 2   1  x  2 x  3 
Ta có số hạng thứ k  1 trong khai triển vừa có là :
k

Tk 1  C10k x k  2 x  3  C10k ·Cki ·x k ·2k i ·x k i ·3i (0  i  k  10) $$ Tk 1  C10k ·Cki ·2 k i ·3i · x 2 k i
 k  2


i  0
 k  3
Để trong khai triển có chứa x 4 ta cần có : 2k  i  4   
 i  2

 k  4
i  4
Vậy hệ số của x4 trong khai triển là : C102 ·C20 ·22 ·30  C103 ·C32 ·21 ·32  C104 ·C44 ·20 ·34

Chúc các bạn học tập thật tốt nhé !
Thân !

NGUYỄN HUY VINH – 12A1 – THPT LÊ HOÀN – THANH HÓA

Page 6