baiviet hoc id 4087 cac dang phuong trinh duong thang trong KG

CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1 : PT tham số của đường thẳng d là: qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp u   u1 ; u2 ; u3  .
 x  x o  u1t

(d) :  y  yo  u 2 t ; t 
z  z  u t
o
3


Chú ý: Nếu u1.u2 .u3  0 thì (d) có PT chính tắc là:

x  x o y  yo z - z 0


u1
u2
u3

Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT đường thẳng d cần biết toạ độ 1 điểm
thuộc d và toạ độ véc tơ chỉ phương của d.
Dạng 2: Đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A, B.
Bước 1: Tìm AB
Bước 2: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và nhận AB làm véc tơ chỉ phương.
Dạng 3: Viết PT đường thẳng (d) qua A và song song với đường thẳng .
B1: Tìm VTCP u của  .
B2: Viết PT đường thẳng d đi qua A và nhận u làm VTCP.
Dạng 4: Viết PT đường thẳng (d) qua điểm A và vuông góc mp()
B1: Tìm VTPT của () là n .
B2: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và nhận n làm VTCP.
Dạng 5: Viết PT đường thẳng (d) đi qua điểm A và vuông góc với cả 2 đường thẳng (d1),(d2)

B1: Tìmcác VTCP u1 , u2 của d1; d2.


B2: Đường thẳng d có VTCP là: u = 
u1 , u2 
B3: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và nhận u làm VTCP.
Dạng 6: Viết PT của đường thẳng d là giao tuyến của hai mp:
(P): Ax+By+Cz+D=0
(Q): A’x+B’y+C’z+D’=0
Cách 1:
Ax  By  Cz  D  0
tìm một nghiệm (x 0 ; y0 ; z 0 ) ta được 1 điểm
A ' x  B' y  C'z  D'  0

B1: Giải hệ 

M (x 0 ; y0 ; z 0 )  d. (Cho 1 trong 3 ẩn 1 giá trị xác định rồi giải hệ với 2 ẩn còn lại tìm 2 ẩn còn lại)
b c c a a b
;
;
B2: Đường thẳng d có VTCP là: u  

b
'
c'
c'
a'
a' b' 

B3: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm M (x 0 ; y0 ; z 0 ) và nhận u làm VTCP.

Cách 2:
B1: Tìm toạ độ 2 điểm A, B  d . (Tìm 2 nghiệm của hệ 2PT trên)
B2: Viết PT đường thẳng AB.
Cách 3: Đặt 1 trong 3 ẩn bằng t (chẳng hạn x=t), giải hệ 2 PT với 2 ẩn còn lại theo t rồi suy ra PT tham
số của d.
Dạng 7: Viết PT hình chiếu của đường thẳng d trên mp(P).
B1: Viết PTmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P).
B2: Hình chiếu cần tìm d’= (P)  (Q)
(Chú ý: Nếu d  (P) thì hình chiếu của d là điểm H= d  (P)

Dạng 8 : Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng d1 , d2
Cách 1:
B1: Viết PT mặt phẳng (  ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 .


B2: Tìm giao điểm B= ()  d 2
B3: Đường thẳng cần tìm là đt đi qua 2 điểm A, B.
Cách 2:

B1: Viết PT mặt phẳng (  ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1
B2: Viết PT mặt phẳng (  ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d2.
B3: Đường thẳng cần tìm d  ()  ()
Dạng 9: Viết PT đường thẳng d song song với d1 và cắt cả hai đường thẳng d2 và d3.
B1: Viết PT mp(P) song song với d1 và chứa d2.
B2: Viết PT mp(Q) song song với d1 và chứa d3.
B3: Đường thẳng cần tìm d= (P)  (Q)

Dạng 10: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2
Cách 1:
B1: Viết PT mặt phẳng (  ) qua điểm A và vuông góc đường thẳng d1 .

B2: Tìm giao điểm B  ()  d 2
B3 : Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B.
Cách 2:
B1: Viết PT mp (  ) đi qua điểm A và vuông góc với d1.
B2: Viết PT mp () đi qua điểm A và chứa d2.
B3: Đường thẳng cần tìm d  ()  ()
Dạng 11 : Lập đường thẳng d đi qua điểm A , song song mặt phẳng (  ) và cắt đường thẳng d’
Cách 1:
B1: Viết PT mp(P) đi qua điểm A và song song với mp(  ).
B2: Viết PT mp(Q) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d’.
B3: Đường thẳng cần tìm d  (P)  (Q)
Cách 2:
B1: Viết PT mặt phẳng (P) qua điểm A và song song mặt phẳng (  )
B2: Tìm giao điểm B = (P)  d '
B3: Đường thẳng cần tìm d đi qua hai điểm A và B.
Dạng 12: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp( P ) và cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước .
B1: Tìm giao điểm A  d1  (P) ; B  d 2  (P)
B2: d là đường thẳng qua hai điểm A và B .
Dạng 13: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp( P ) và vuông góc đường thẳng d’ cho trước tại
giao điểm I của d’ và mp( P ).
B1: Tìm giao điểm I = d’  ( P ).
B2: Tìm VTCP u của d’ và VTPT n của (P) và v  u, n 
B3: Viết PT đường thẳng d qua điểm I và có VTCP v
Dạng 14: Viết PT đường vuông góc chung d của hai đường thẳng chéo nhau d1, d2.
Cách 1:
B1: Tìm các VTCP u1 , u 2 của d1 và d2 . Khi đó đường thẳng d có VTCP là u   u1 , u 2 
B2: Viết PT mp(P) chứa d1 và có VTPT n1  u, u1 
B3: Viết PT mp(Q) chứa d2 và có VTPT n 2  u, u 2 
B4: Đường thẳng cần tìm d  (P)  (Q) . (Lúc này ta chỉ cần tìm thêm 1 điểm M thuộc d).
Cách 2:

B1: Gọi M(x0+at; y0+bt; z0+ct)  d1 ; N(x0’+a’t’; y0’+b’t’; z0’+c’t’)  d 2 là chân các đường
vuông góc chung của d1 và d2.


MN.u1 0
MN d1
B2: Ta cú

t, t '
MN d 2
MN.u 2 0
B3: Thay t v t tỡm c vo to M, N tỡm c M, N. ng thng cn tỡm d l ng
thng i qua 2 im M, N
(Chỳ ý : Cỏch 2 cho ta tỡm c ngay di on vuụng gúc chung ca hai ng thng chộo nhau)
Dng 15: Vit PT ng thng d vuụng gúc vi mp(P) v ct c hai ng thng d1 v d2.
B1: Vit PT mp(P) cha d1 v vuụng gúc vi (P).
B2: Vit PT mp(Q) cha d2 v vuụng gúc vi (P).
B3: ng thng cn tỡm d (P) (Q)
Dng 16: Lp ng thng d i qua im A , ct v vuụng gúc vi ng thng d.
PP gii: õy l trng hp c bit ca dng 10.

Cỏc bi tp
Baứi 1. Vit phng trỡnh tham s ca ng thng i qua im M v cú VTCP a cho trc:
a) M (1;2; 3), a (1;3;5)
b) M (0; 2;5), a (0;1; 4)
c) M (1;3; 1), a (1;2; 1)
d) M (3; 1; 3), a (1; 2; 0)
e) M (3; 2;5), a (2; 0; 4) f) M (4;3; 2), a (3; 0; 0)
Baứi 2. Vit phng trỡnh tham s ca ng thng i qua hai im A, B cho trc:
a) A 2; 3; 1 , B 1; 2; 4

b) A 1; 1; 0 , B 0;1; 2
c) A 3;1; 5 , B 2;1; 1

d) A 2;1; 0 , B 0;1; 2
e) A 1; 2; 7 , B 1; 2; 4
f) A 2;1; 3 , B 4; 2; 2
Baứi 3. Vit phng trỡnh tham s ca ng thng i qua im A v song song vi ng thng
cho trc:
a) A 3; 2; 4 , Ox
b) A 2; 5; 3 , ủi qua M(5; 3; 2), N (2;1; 2)
x 2 3t

x 2 y 5 z2


c) A(2; 5; 3), : y 3 4t
d) A(4; 2; 2), :
4
2
3
z 5 2t
x 3 4t

x 3 y 1 z 2


e) A(1; 3; 2), : y 2 2t
f) A(5; 2; 3), :
2
3

4
z 3t 1
Baứi 4. Vit phng trỡnh tham s ca ng thng i qua im A v vuụng gúc vi mt phng (P)
cho trc:
a) A 2; 4; 3 , (P) : 2 x 3y 6z 19 0
b) A 1; 1; 0 , (P) : caực mp toaù ủoọ
c) A 3; 2;1 , (P) : 2 x 5y 4 0
d) A(2; 3; 6), ( P ) : 2 x 3y 6 z 19 0
Baứi 5. Vit phng trỡnh tham s ca ng thng l giao tuyn ca hai mt phng (P), (Q) cho
trc:
(P) : 6 x 2y 2z 3 0
(P) : 2 x 3y 3z 4 0
(P) : 3x 3y 4z 7 0
a)
b)
c)
(
Q
)
:
3
x

5
y

2
z

1

0
(
Q
)
:
x

2
y

z

3

0


(Q) : x 6 y 2z 6 0
(P) : 2 x y z 3 0
(P) : x z 1 0
(P) : 2 x y z 1 0
d)
e)
f)
(Q) : x y z 1 0
(Q) : y 2 0
(Q) : x z 1 0

Baứi 6. Vit phng trỡnh tham s ca ng thng i qua im A v vuụng gúc vi hai ng thng

d1, d2 cho trc:
x 1 2t
x 1 t
x 1 t
x 1 3t




a) A(1; 0; 5), d1 : y 3 2t , d2 : y 2 t
b) A(2; 1;1), d1 : y 2 t , d2 : y 2 t
z 1 t
z 1 3t
z 3
z 3 t


x  1 t
x  1
 x  7  3t
x  1 t




c) A(1; 2; 3), d1 :  y  2  2t , d2 :  y  2  t d) A(4;1; 4), d1 :  y  4  2t , d2 :  y  9  2t
 z  3  3t
 z  3  t
 z  4  3t
 z  12  t

 x  1  3t
 x  2t
x  t
x  t




e) A(2; 1; 3), d1 :  y  1  t , d2 :  y  3  4t f) A(3;1; 4), d1 :  y  1  t , d2 :  y  1  2t
 z  2  2t
 z  2  t
 z  2t
 z  0
Baøi 7. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng 
cho trước:
x  t
 x  3  2t


a) A(1; 2; 2),  :  y  1  t
b) A(4; 2; 4), d :  y  1  t
 z  2t
 z  1  4t
 x  1  3t
x  t


c) A(2; 1; 3),  :  y  1  t
d) A(3;1; 4),  :  y  1  t
 z  2  2t

 z  2t
x  1 t
x  1 t


e) A(1; 2; 3),  :  y  2  2t
f) A(2; 1;1),  :  y  2  t
 z  3  3t
 z  3
Baøi 8. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d1, d2
cho trước:
 x  1  2t
x  1 t
x  1 t
 x  1  3t




a) A(1; 0; 5), d1 :  y  3  2t , d2 :  y  2  t
b) A(2; 1;1), d1 :  y  2  t , d2 :  y  2  t
 z  1  t
 z  1  3t
 z  3
 z  3  t
 x  1  3t
 x  2  2t
 x  1  3t
 x  t





c) A(4; 5; 3), d1 :  y  3  2t , d2 :  y  1  3t d) A(2;1; 1), d1 :  y  2  4t , d2 :  y  t
 z  2  t
 z  1  5t
 z  3  5t
 z  2t
x  2  t
 x  4  3t
 x  3  3t
 x  3  2t




e) A(2; 3; 1), d1 :  y  1  2t , d2 :  y  1  t
f) A(3; 2; 5), d1 :  y  1  4t , d2 :  y  1  t
 z  1  3t
 z  2  3t
 z  2  2t
 z  2  3t
Baøi 9. Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường
thẳng d1, d2 cho trước:
(P ) : y  2z  0
(P ) : 6 x  2 y  2z  3  0

  x  1  2t
x  2  t
x  1 t

a) 
b)  


x 1 y z
d
:


,
d
:
y

4

2
t
d
:
y

3

2
t
,
d
:



y  2  t
1
2
1
2


1 1 4


 z  1  3t

  z  1  t
z  1

(P ) : 2 x  3y  3z  4  0

 x  7  3t
x  1 t
c) 


 d1 :  y  4  2t , d2 :  y  9  2t
 z  4  3t
 z  12  t


(P ) : 3x  3y  4z  7  0
  x  1  t

x  1
d)  

d1 :  y  2  2t , d2 :  y  2  t
 z  3  t
  z  3  3t

Baøi 10. Viết phương trình tham số của đường thẳng song song với đường thẳng  và cắt cả hai đường
thẳng d1, d2 cho trước:
 x y 1 z  5
 x y 1 z 1
 : 3  1  1
 : 2  1  2


x 1 y z 1
x 1 y  2 z  2
 


a) d1 :
b) d1 :
1
2 1
1
4
3


x


2
y

1
z

3
x

4
y

7
z
d :
d :




 2
 2
3
2
1
5
9
1

 x 1 y  2 z  2
 x 1 y  3 z  2
 : 1  4  3
 : 3  2  1


x  2 y  2 z 1
x 1 y  2 z  2



c) d1 :
d) d1 :


3
4
1
1
4
3


x

7
y

3

z
9
d :
x4 y7 z



d
:


2

 2 5
1
2
1
9
1

Baøi 11. Viết phương trình tham số của đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
d1, d2 cho trước:
 x  3  2t
 x  2  3t
 x  1  2t
 x  2  3t





a) d1 :  y  1  4t , d2 :  y  4  t
b) d1 :  y  3  t , d2 :  y  1  2t
 z  2  4t
 z  1  2t
 z  2  3t
 z  4  4t
 x  2  2t
x  1 t
 x  2  3t
 x  1  2t




c) d1 :  y  1  t , d2 :  y  3  t
d) d1 :  y  3  t , d2 :  y  1  2t
 z  3  t
 z  1  2t
 z  1  2t
 z  2  t
Baøi 12. Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng  trên mặt phẳng
(P) cho trước:
 x  2 y  3 z 1
 x 3 y 2 z 2
 :
 :





a) 
b)

2
1
3
1
2
3
( P ) : 2 x  y  2 z  3  0
( P ) : 3 x  4 y  2 z  3  0
 x 1 y 1 z  3

x y z 1


c)  : 1  2  2
d)  : 2  1  1
(P ) : 2 x  2 y  z  3  0
( P ) : x  y  z  1  0
 x  2 y  2 z 1
 x 1 y  2 z
 :
 :




e) 
f)


3
4
1
1
2
1
(P ) : x  2 y  3z  4  0
(P ) : 2 x  y  3z  5  0
 5 x  4 y  2 z  5  0
 x  y  z 1  0
 :
 :
g)   x  2z  2  0
h)   x  2z  2  0
(P ) : 2 x  y  z  1  0
(P ) : x  2 y  z  1  0
Baøi 13. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d1 và
cắt đường thẳng d2 cho trước:
 x  1

x 1 y  2 z

 , d2 :  y  t
a) A(0;1;1), d1 :
3
1
1
 z  1  t
x  2


x 1 y 1 z

 , d 2 :  y  1  2t
b) A(1;1;1), d1 :
2
1 1
 z  1  t
x 1 y  4 z
x 1 y 1 z  3


, d2 :


c) A(1; 2; 3), d1 :
6
2
3
3
2
5
Baøi 14. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1); D(1; 1; 1). Viết phương trình tham số
của các đường thẳng sau:
a) Chứa các cạnh của tứ diện tứ diện ABCD.
b) Đường thẳng qua C và vuông góc với mp(ABD).
c) Đường thẳng qua A và qua trọng tâm của tam giác BCD.
x3 y 6 z 3



Baøi 15. Cho tam giác ABC có A(1; 2; 5) và hai trung tuyến: (d1 ) :
,
2
2
1
x4 y2 z2
(d 2 ) :


. Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau:
1
4
1


a) Chứa các cạnh của tam giác ABC.
b) Đường phân giác trong của góc A.
Baøi 16. Cho tam giác ABC có A(3; 1; 1), B(1; 2; 7), C (5;14; 3) . Viết phương trình tham số của các
đường thẳng sau:
a) Trung tuyến AM.
b) Đường cao BH.
c) Đường phân giác trong BK.
d) Đường trung trực của BC trong ABC.
Baøi 17. Cho bốn điểm S(1; 2; 1), A(3; 4; 1), B(1; 4;1), C(3; 2;1) .
a) Chứng minh S.ABC là một hình chóp.
b) Viết phương trình tham số của các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp.
c) Viết phương trình đường vuông góc chung của SA và BC.
Baøi 18. Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 1; 3), C(1; 2; 5) .
a) Chứng minh S.ABC là một tứ diện.
b) Viết phương trình các hình chiếu của SA, SB trên mặt phẳng (ABC).