CHUYÊN ĐỀ MŨ VÀ HÀMLOGARIT

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT

CHUYÊN ĐỀ
HÀM SỐ LUỸ THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

I. LUỸ THỪA
1. Định nghĩa lũy thừa
Số mũ 

Lũy thừa a α

Cơ số a

α  n  N*
α0

aR

a α  a n  a.a......a (n thừa số a)

a0

aα  a0  1

α  n ( n  N* )

a0

a α  an 

a0

a α  a n  n a m ( n a  b  bn  a )

a0

a α  lim a n

α

m
( m  Z , n  N* )
n

α  lim rn ( rn  Q , n  N* )

1
an

m

r

2. Tính chất của luỹ thừa
 Với mọi a > 0, b > 0 ta có:
β

a .a  a
α

α β

;

aα
aβ

a

 a > 1 : a α  aβ  α  β ;

αβ

α β

; (a )  a

α .β

; ( ab )  a .b
α

α

α

 a α a α
;    α
 b 

b

0 < a < 1 : a α  aβ  α  β

 Với 0 < a < b ta có:
am  bm  m  0 ;
am  bm  m  0
Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
3. Đònh nghóa và tính chất của căn thức
 Căn bậc n của a là số b sao cho bn  a .
 Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có:
n

ab  a . b ;
n

n

n

n
a
a

( b  0) ;
n
b
b

n

ap   n a  (a  0) ;
p

mn

a  mn a

p q
n
m
mn

thì a p  a q ( a  0 ) ; Đặc biệt n a  a m
n m
 Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n a  n b .
Nếu

Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a  n b .
Chú ý:
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a .
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
4. Công thức lãi kép
Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là:
C  A( 1  r ) N

HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

1

Chun đề Mũ & Logarit


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau::
3

3

7
a) A  1  
 8 
3
42

3 .15 .8 4
b) B 
6
4
9 2 .5 .6
2

 2 2
 7

.  .7  . 
 7 
 14 

 
3
2
32

2
 83

6



2
5

c) C 
d) D 
Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:

b3 a
, a , b  0
a b

a)

4

x 2 3 x ,  x  0

b)

5

d)

3

23 3 2
3 2 3

e)

4 3

5

c)
5

a8

f)

23 2 2

b2 b

3

b b

Bài 3. Đơn giản các biểu thức sau:

a1 ,5  b1,5
a) a

0 ,5

0 ,5

 a 0 ,5 b0 ,5

b
ab



 a 0 ,5  2
a 0 ,5  2  a 0 ,5  1
b) 

.
 a  2a 0 ,5  1
a  1  a 0 ,5
1
1

1
1
1
 1
 2
 2
2
2  3y 2 
2
x

3y
x
x

y

 .
d) 

2
 1
x  y 
2
1


 2

2


 x  y 


2b0 ,5

a 0 ,5  b 0 ,5
1
1
1 
3 1
 1
 2 2
 2
2
2  y2 
x

y
x
x

 . y  2y
c)  1

1
1
1  xy

xy


 xy 2  x 2 y xy 2  x 2 y 
e) a

1
3

2
 b3

.a

2
3

1 2
 a 3 .b 3

4
 b3



f) a

1
4

1
 b4

.a

1
4

1
4
b

.a

1
2

1
 b2



Bài 4. So sánh các cặp số sau:
 2

a) 0 , 01


va 10

2

 π 2
 π 6


b)   va  
4
4
0 ,3

e) 0 , 001

d) 5300 va 8200

c) 52

va

3

100

f) 4

3

va 53

2
 2

va 0,125

2

Bài 5. So sánh hai số m, n nếu:
m

a) 3 , 2  3 , 2

n

b)

 3 m  3 n
d)     
e)
 2 
 2 
Bài 6. Có thể kết luận gì về số a nếu:
2

1



a) a  1 3  a  1 3



d) 1  a

3

1
3



 1  a
7

1
2

g) a  a
Bài 7. Giải các phương trình sau:

 2

m



 1 m  1 n
c)     
9 
9

  2

n

5  1   5  1
m

n

3

1

b) 2a  1

 2a  1

e)

3
2  a  4

 2  a

h)

1

17
a





2  1   2  1
m

n

 1 0 ,2
c)  
 a2
a 
1

1

i) a0 ,25  a

3

 1  2  1  2
f)     
a
a

2

a

f)

1
8

HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

2

Chun đề Mũ & Logarit


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT
x1

x

a) 4  1024
5

b)

5  2 
 
2  5 



8

125

c) 81  3x 

 2 x  8 x 27  3 x
d) 3 3 
e)   .  
f)  
 9   27 
64  2 
Bài 8. Giải các bất phương trình sau:
2x

 1 x2
  
9

a) 0 , 1x  100
d) 7

x2

. 49  343

 3

x

1
27

Bài 9. Giải các phương trình sau:
a) 2x  2x2  20

g)

.3 

2

5x6

1

 1 x
b)    3 0 , 04
5

c) 0 , 3x 

 1 x2 1
e)  
9
3
27

f) 3x 

h) 27 x.31x 

1

9 3

1
i)   .3 2  1
 64 

1
3

d) 4x1  4 x  4 x1  84
g) 3.9 x  2.9x  5  0

h) 3x

5x6

100
9

x

b) 3x  3x1  12
e) 42x  24.4 x  128  0
2

1
32

c) 5x  5x1  30
f) 4x1  2 2x1  48

i) 4x  2x1  24  0

1

II. LOGARIT
1. Đònh nghóa
 Với a > 0, a  1, b > 0 ta có: loga b  α  a α  b
a  0 , a  1
Chú ý: loga b có nghóa khi 
 b  0
 Logarit thập phân:
lg b  log b  log10 b
 Logarit tự nhiên (logarit Nepe):

n

1 

ln b  loge b (với e  lim 1    2 , 718281 )

n

2. Tính chất
 loga 1  0 ;

loga a  1 ;

loga a b  b ;

a

loga b

 b ( b  0)

 Cho a > 0, a  1, b, c > 0. Khi đó:
+ Nếu a > 1 thì loga b  loga c  b  c
+ Nếu 0 < a < 1 thì loga b  loga c  b  c
3. Các qui tắc tính logarit
Với a > 0, a  1, b, c > 0, ta có:
 loga ( bc )  loga b  loga c

b
 loga    loga b  loga c
c

 loga bα  α loga b

4. Đổi cơ số
Với a, b, c > 0 và a, b  1, ta có:

HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

3

Chun đề Mũ & Logarit


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

 logb c 

loga c
loga b

 loga b 

1
logb a

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT

hay loga b.logb c  loga c
 logaα c 

1
log c ( α  0 )
α a

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:

a) log2 4.log 1 2
d) 4log2 3  9
g)

4
log

b) log5

3

2

e) log2

log 3 a.log 4 a1/ 3
a

1
.log27 9
25
2

c) loga
f) 27

8

h) log3 6.log8 9.log6 2 i) 9 2 log3 2

a
7

log 1 a

3

log9 2

a

4

log8 27

 4 log81 5

a
log3 5

k) 81
n) 9

1
log6 3

 27

4

log9 36

3

4 log9 7

1
log8 2

m) 532 log5 4

l) 25log5 6  49log7 8

o) 31log9 4  42log2 3  5log125 27

p) log

b) log0 ,1 3 2 va log 0,2 0 , 34 c) log 3

2
3
va log 5
5
4

6

3.log3 36

Bài 2. So sánh các cặp số sau:

a) log3 4 va log 4
d) log 1
3

1
3

4

1
1
va log 1
80
2 15  2

f) 2log6 3 va

e) log13 150 va log17 290

2

1
log6
3 2

Bài 3. Tính giá trò của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

a) Cho log2 14  a . Tính

log49 32 theo a.

b) Cho log15 3  a . Tính log25 15 theo a.
c) Cho lg 3  0 , 477 . Tính lg 9000 ; lg 0 , 000027 ;

1
log81 100

.

d) Cho log7 2  a . Tính log 1 28 theo a.
2

Bài 4. Tính giá trò của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

49
theo a, b.
5 8
b) Cho log30 3  a ; log30 5  b . Tính log30 1350 theo a, b.

a) Cho log25 7  a ; log2 5  b . Tính log 3

c) Cho log14 7  a ; log14 5  b . Tính log35 28 theo a, b.
d) Cho log2 3  a ; log3 5  b ; log7 2  c . Tính log140 63 theo a, b, c.
Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghóa):

a) bloga c  c loga b

b) logax ( bx ) 

loga b  loga x
1  loga x

c)

loga c
 1  loga b
logab c

HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

4

Chun đề Mũ & Logarit


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT

1. Khái niệm
a) Hàm số luỹ thừa y  xα ( là hằng số)
Số mũ 

Hàm số y  xα

Tập xác đònh D

 = n (n nguyên dương)

y  xn

D=R

 = n (n nguyên âm hoặc n = 0)

y  xn

D = R \ {0}

 là số thực không nguyên

y  xα

D = (0; +)

Chú ý: Hàm số

1
n
yx

không đồng nhất với hàm số y  n x ( n  N*) .

b) Hàm số mũ y  a x (a > 0, a  1).
 Tập xác đònh:
D = R.
 Tập giá trò:
T = (0; +).
 Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghòch biến.
 Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
 Đồ thò:
y

1

y=ax

y

y=ax
1

x

x

a>1

0
c) Hàm số logarit y  loga x (a > 0, a  1)
 Tập xác đònh:
D = (0; +).
 Tập giá trò:
T = R.
 Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghòch biến.
 Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
 Đồ thò:

HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

5

Chun đề Mũ & Logarit

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT

y
y

x

1

x

1

O

y=logax

y=logax

O

0
a>1
2. Giới hạn đặc biệt


1

x
lim(1  x )
x 0

x

1 

 lim 1    e
x 
x

3. Đạo hàm

 xα   αxα1 ( x  0 ) ;

n x  

Chú ý:





1
n x n1
n

u α   αuα1 .u 
với x  0 nếu n chẵn


.
với x  0 nếu n lẻ 

a x   a x ln a ;

a u   a u ln a.u

e x   e x ;

e u   e u .u

loga x  

1
;
x ln a

ln x   1 (x > 0);
x

ex  1
 lim
1
x0
x

ln(1  x )
 lim
1

x 0
x

loga u  

n u  

u
n n u n1

u
u ln a

ln u   u
u

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y  3 x 2  x  1

b) y  4

x 1
x 1

c) y  5

x2  x  2
x2  1

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y  ( x 2  2x  2 )e x
d) y  e

2xx2

b) y  ( x 2  2x )ex
e) y  x.e

c) y  e2x .sin x

1
x x
3

f) y 

e 2x  e x
e 2x  e x

Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y  ln( 2x 2  x  3)

c) y  e x .ln(cos x )

b) y  log2 (cos x )

d) y  ( 2x  1) ln( 3x 2  x )

e) y  log 1 ( x3  cos x )

f) y  log 3 (cos x )

2

g) y 

ln( 2x  1)

h) y 

i) y  ln  x  1  x 2 

ln( 2x  1)
x 1

2x  1
Bài 4. Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:

HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

6

Chun đề Mũ & Logarit


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

a) y  x.e



x2
2

;

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT

b) y  ( x  1)e x ; y  y  e x

xy  (1  x 2 )y

c) y  e 4x  2ex ;

y   13y  12y  0 d)

y  a.ex  b.e2x ; y   3y  2y  0
Bài 5. Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:

 1 
a) y  ln 
;
 1  x 

xy  1  e y

b) y 

1
; xy  y  y ln x  1
1  x  ln x

IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1. Phương trình mũ cơ bản:

Với a > 0, a  1:

2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
a) Đưa về cùng cơ số:
Với a > 0, a  1:
Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì:

b  0
a x  b  
x  loga b


a f ( x )  a g ( x )  f ( x )  g( x )
a M  a N  (a  1)( M  N )  0

a f ( x )  bg ( x )  f( x )  loga b .g( x )

b) Logarit hoá:
c) Đặt ẩn phụ:
 Dạng 1:

 Dạng 2:

t  a f ( x ) , t  0
P( a )  0  
, trong đó P(t) là đa thức theo t.

P( t )  0

αa 2f( x )  β(ab )f ( x )  γb 2f ( x )  0
f( x)

 a f ( x )
Chia 2 vế cho b 2f( x ) , rồi đặt ẩn phụ t   
 b

 Dạng 3: a f ( x )  bf ( x )  m , với ab  1 . Đặt t  a f ( x )  bf ( x ) 

1
t

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Xét phương trình:
f(x) = g(x)
(1)
 Đoán nhận x0 là một nghiệm của (1).
 Dựa vào tính đồng biến, nghòch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy
nhất:
 Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghòch biến) thì f( u )  f( v )  u  v
e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt
A  0

A  0
 Phương trình tích A.B = 0  
 Phương trình A 2  B 2  0  
B  0
B  0

f) Phương pháp đối lập
Xét phương trình:
f(x) = g(x)

(1)

HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

7

Chun đề Mũ & Logarit


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT

f( x )  M
Nếu ta chứng minh được: 
g( x )  M

f( x )  M
(1)  

g( x )  M

thì

Bài 10. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá):

b) 3  2 2 

2x

a) 9 3x1  38x2
c) 4x

2

3x2

2

1

 4x
2

2

6x5

 42x

2

2

2

3x 7

 32 2

d) 52x  7 x  52x.35  7 x.35  0

1

2

x x 4
 25
f) 5
Bài 11. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hoá):

e) 2x

 2x

2

 3x  3x

1

 2 4x1  1 3x2
a)  
  
 5 
 7 

b) 5

x

2x1
.2 x1

 50

c) 3

x

3x
x
.2 2

6

Bài 12. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):

a) 4x  2x1  8  0

b) 4x1  6.2 x1  8  0

c) 34x8  4.32x5  27  0

d) 16 x  17.4 x  16  0

e) 49x  7 x1  8  0

f) 2x

g) 7  4 3   2  3   6
x

x

2

h) 4cos 2x  4cos

2

2

2

x

2

x

2

 2 2xx  3.

i) 32x5  36.3x1  9  0

3

2

m) 3.52x1  2.5x1  0 , 2

k) 32x 2x1  28.3x x  9  0 l) 4x 2  9.2 x 2  8  0
Bài 13. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 1):
a) 25x  2( 3  x ).5x  2x  7  0
b)

3.25x2  ( 3x  10 ).5x2  3  x  0
c) 3.4 x  ( 3x  10 ).2 x  3  x  0
d) 9 x  2( x  2 ).3x  2x  5  0
Bài 14. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 2):
a) 64.9 x  84.12 x  27.16 x  0 b) 3.16 x  2.81x  5.36 x
c) 6.32x  13.6 x  6.2 2x  0
d) 25x  10x  22x1
e) 27 x  12x  2.8 x
f) 3.16 x  2.81x  5.36 x
g)

1

6.9 x

1
 13.6 x

1
 6.4 x



0

h) 4

1
x



6

1
x



9

1
x

i)

1
2.4 x

1
x
6

1
x
9

Bài 15. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ dạng 3):

a) 2  3   2  3   14
x

x

b)



2 3

 
x

2 3



x

4

Bài 16. Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

a) 2  3    2  3   4 x
x

x

x

b)



x

3  2   3  2 
x

 5

x

x

d) 3  5   16. 3  5   2 x3

c) 3  2 2   3  2 2   6x

x

x

x
x
 3 x 7
e)     2 x
f) 2  3  2  3  2x
 5 
5
Bài 17. Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):
a) 8.3x  3.2 x  24  6 x
b) 12.3x  3.15x  5x1  20
c) 8  x.2 x  2 3x  x  0  
d) 2x  3x  1  6 x



 



e) 4x 3x2  4 x 6x5  42.x 3x7  1

f) 4x x  21x  2
Bài 18. Giải các phương trình sau (phương pháp đối lập):
2

2

a) 2x  cos x4 , với x  0

2

2

b) 3x

2

6x10

2

  x2  6x  6

2

x1

1

c) 3 sin

x

 cos x

HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

8

Chun đề Mũ & Logarit


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT

Bài 19. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) 9 x  3x  m  0
b) 9 x  m3x  1  0
c) 4x  2 x 1  m
Bài 20. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất:
a) m.2 x  2x  5  0
b) m.16 x  2.81x  5.36x
Bài 21. Tìm m để các phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu:
a) ( m  1).4 x  ( 3m  2 ).2 x1  3m  1  0
b) 49x  ( m  1).7 x  m  2m 2  0

V. PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương trình logarit cơ bản

Với a > 0, a  1:
loga x  b  x  a b
2. Một số phương pháp giải phương trình logarit
a) Đưa về cùng cơ số
Với a > 0, a  1:

f( x )  g( x )
loga f( x )  loga g( x )  
f( x )  0 ( hoặc g( x )  0 )

b) Mũ hoá
Với a > 0, a  1:

loga f( x )  b  a

loga f ( x )

 ab

c) Đặt ẩn phụ
d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
e) Đưa về phương trình đặc biệt
f) Phương pháp đối lập
Chú ý:
 Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghóa.

 Với a, b, c > 0 và a, b, c  1:

a

log b c

c

logb a

Bài 1. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

a) log2  x( x  1)  1
c) log2 ( x  2 )  6.log1/ 8 3x  5  2

b) log2 x  log2 ( x  1)  1
d) log2 ( x  3)  log2 ( x  1)  3

Bài 2. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

a) log3 x  log

3

x  log1/ 3 x  6

b) log4 x  log1/16 x  log8 x  5

e) log2 x  log4 x  log8 x  11
Bài 3. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

a) log2 ( 9  2 x )  3  x

b) log3 ( 3x  8 )  2  x

c) log7 ( 6  7x )  1  x

d) log3 ( 4.3x1  1)  2x  1

log5 ( 3x )

e) log2 ( 9  2 x )  5

f) log2 ( 3.2 x  1)  2x  1  0

Bài 4. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc mũ hoá):

HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

9

Chun đề Mũ & Logarit


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT

a) log5 x ( x2  2x  65)  2

b) logx  1 ( x 2  4x  5 )  1

c) logx ( 5x 2  8x  3)  2

d) logx1 ( 2x3  2x 2  3x  1)  3

e) logx  3 ( x  1)  2

f) logx ( x  2 )  2

g) log2x ( x 2  5x  6 )  2

h) logx3 ( x 2  x )  1

Bài 5. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

a) log32 x  log32 x  1  5  0

b) log 2 2 x  3 log2 x  log1/ 2 x  2

7
c) logx 2  log4 x   0
6

d) log 21 4x  log2

e) log

2
2

x  3 log2 x  log1/ 2 x  0

1
2
5
Bài 6. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

2

x2
8
8

f) log 2 16  log2x 64  3
x

1
2
7

g) log5 x  logx

h) log7 x  logx

a) log32 x  ( x  12 )log3 x  11  x  0

b) 6.9

c) x.log22 x  2( x  1).log2 x  4  0

d) log22 x  ( x  1) log2 x  6  2x

log2 x

 6.x2  13.x

log2 6

Bài 7. Giải các phương trình sau (đặt ẩn phụ):

a) log7 x  log3 ( x  2 )
c) log3 ( x  1)  log5 ( 2x  1)  2

b) log2 ( x  3)  log3 ( x  2 )  2
d) log2  x  3log6 x   log6 x

Bài 8. Giải các phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

a) x  xlog2 3  xlog2 5 ( x  0 )

b) x2  3log2 x  5log2 x

c) log5 ( x  3 )  3  x

d) log2 ( 3  x )  x

Bài 9. Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):

a) log2 x  2.log7 x  2  log2 x.log7 x

c) 2 log9 x  log3 x.log3  2x  1  1

b) log2 x.log3 x  3  3.log3 x  log2 x

2

HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

10

Chun đề Mũ & Logarit


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT

VI. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Khi giải hệ phương trình mũ và logarit, ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình đã
học như:
 Phương pháp thế.
 Phương pháp cộng đại số.
 Phương pháp đặt ẩn phụ.
 …….
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:

x  2 y  5

a) 
x  2 y  1


x  3 y  1

c) 
x2  3y  19

Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
4 x  3y  7

a) 
4 x.3 y  144

2 x  2.3x  y  56

c) 
3.2 x  3x  y  1  87

Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
3x  2y  1

a)  y
3  2x  1

2x  2 y  y  x

c) 
x2  xy  y 2  3

Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
x  y  6
a) 

log2 x  log2 y  3
x  log2 y  4
c) 
2x  log2 y  2

Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:

2x  4y
b) 
4x  32y

x y1  8

d) 
x2y6  4

2x  3y  17

b) 
3.2 x  2.3 y  6

32x2  2 2y2  17
d) 
2.3x1  3.2 y  8

3x  2x  y  11

b)  y
3  2y  x  11


7 x1  6y  5
d)  y1
7
 6x  5


logx y  log y x  2
b) 
x  y  6

x2  y 2  3
d) 
log  x  y  log  x  y  1
5
 3

HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

11

Chun đề Mũ & Logarit


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

log  3x  2y  2
 x
a) 
logy  2x  3y  2




x 
log2 1    2  log2 y
 y 
c) 
log x  log y  4
3
3


2
2
log x 2  y 2  6  4
 2
e) 

log x  log y  1
3
 3
Bài 6. Giải các hệ phương trình sau:
lg x  lg y  4
a)  lg y
x  1000


( x  y )3 yx  5
c) 


27

3
log
(
x

y
)

xy

5
Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:





 log 2 x
2
 y4
a) 
log x  log y  1
2
 2

xlog8 y  ylog8 x  4
c) 
log x  log y  1

4
 4

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT

logx ( 6x  4y )  2
b) 
logy ( 6y  4x )  2

log x  log y 2  1
2
d)  y
log x  log y  1
4
 4

xlog2 y  y log2 x  16
f) 
log x  log y  2
2
 2
xx2 y  36
b) 
4 x  2y  log x  9
6

3lg x  4 lg y
d) 
( 4x )lg 4  ( 3y )lg 3


x  2y

 x  y  1 
3
  
b) 
3

log2 x  y  log2 x  y  4

3x.2 y  18

d) log  x  y  1
 1
 3

HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

12

Chun đề Mũ & Logarit


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT

VII. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
 Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ.

a  1

f( x )  g( x )

a f ( x )  ag ( x )  

0  a  1

f( x )  g( x )
 Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:
– Đưa về cùng cơ số.
– Đặt ẩn phụ.
– ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:
a M  a N  ( a  1)( M  N )  0
Bài 1. Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số):

a) 3

 1 x 
  
 3

x2  2x

x 1

c) 2x  2  2 x  3  2 x
x 2 3x2

4

 1
b)  
2
 5x  1  5x  2

x 2 3x 2

x

x

a) 2.14  3.49  4  0
2

x

d) 3

e) 9
f) 6
6
0
Bài 2. Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ):
x

x6 2x3 1

2x3

2

x 1

3

x7

.3

3

x2

 11

3x1

1
1
1
2
x
x
4
2
3  0

b)

( x  2)

 1 1  x
  
2

4

4

c) 4x  22( x  1)  8 3
 52
d) 8.3 x  x  91 x  9 x
e) 25.2 x  10 x  5x  25
f) 52x  1  6 x  1  30  5x.30x
g) 6 x  2.3x  3.2 x  6  0
h) 27 x  12x  2.8 x
Bài 3. Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):
x

a) 2x  3 2  1
c)

2. 3 x  2 x  2
x

3 2

x

b)
1

21x  2 x  1
2x  1
d) 3

x 4

0
2

2x4

 13

HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

13

Chun đề Mũ & Logarit


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT

VIII. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

 Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit.
a  1

f( x )  g( x )  0

loga f( x )  loga g( x )  

0  a  1

0  f( x )  g( x )
 Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit:
– Đưa về cùng cơ số.
– Đặt ẩn phụ.
– ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:
loga A
loga B  0  ( a  1)( B  1)  0 ;
 0  ( A  1)( B  1)  0
loga B
Bài 1. Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số):

a) log5 (1  2x )  1  log 5 ( x  1)
c) log 1 5  x  log 1  3  x
3

e) log 1 (log2
3

b) log2 1  2 log9 x  1

d) log2 log 1 log5 x  0

3

1  2x
) 0
1 x

3

f) x 2  4 log 1 x  0
2

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

lg x 2  1
a)
1
lg 1  x
c)

lg x 2  3x  2
2
lg x  lg 2

2

b)

3

log2  x  1  log3 x  1
x2  3x  4

0

d) xlog2 x  x 5 logx 2log2 x  18  0

Bài 3. Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ):

a) log2 x  2 logx 4  3  0

b) log5 1  2x  1  log

c) 2 log5 x  logx 125  1

d) log2x 64  log 2 16  3

e) logx 2.log 2x 2.log2 4x  1

f)

log 21
2

5

x  1

x

2

x  log 1 x  0
4

HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

14

Chun đề Mũ & Logarit


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT

ĐỀ THI CHÍNH THỨC TỪ 2010 – 2016
Bài 1. (Đề thi chính thức THPT Quốc gia năm 2016)
Cho log2 x  2 . Tính giá trị của biểu thức A  log2 x 2  log 1 x 3  log4 x
2

Bài 2. (Đề thi chính thức THPT Quốc gia năm 2016)


2

2  x  2  x  2 log 1 2  x  2  x .log3 9x 1 log1 x  0
Giải phương trình:



3
3 
Bài 3. (Đề thi minh họa THPT Quốc gia năm 2015)
Giải phương trình: log3  x  2  1  log3 x
3 log32









 
2

Bài 4. (Đề thi chính thức THPT Quốc gia năm 2015)





Giải phương trình: log2 x 2  x  2  3
Bài 5. (Đề thi dự bị THPT Quốc gia năm 2015)
Giải phương trình: 9 x  8.3x  9  0
Bài 6. (Đề thi khối D năm 2014)
Giải phương trình: log2  x  2  2 log4  3x  2  2  0
Bài 7. (Đề thi khối D năm 2013)





1
Giải phương trình: 2 log2 x  log 1 1  x  log
2
2

Bài 8. (Đề thi khối B năm 2013)
x2  2y  4x  1

Giải hệ phương trình: 
2 log3  x  1  log

Bài 9. (Đề thi khối D năm 2011)





Giải phương trình: log2 8  x 2  log 1



3

2

x  2

x2



y  1  0



1  x  1 x  2  0

x  

2

Bài 10. (Đề thi khối D năm 2010)
x2  4x  y  2  0

Giải hệ phương trình: 
2 log2 x  2  log y  0
2

Bài 11. (Đề thi khối D năm 2010)
Giải phương trình: 42x

x2

3

 2x  4 2

x 2

 2x

x , y  
3

x  

4x4

HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

15

Chun đề Mũ & Logarit


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT

DẠNG ĐỀ THI THỬ
PHẦN 1.

PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Bài 1. Giải phương trình 4x  2 x1  8 .

Bài 2 . Giải phương trình 7 2x1  8.7 x  1  0 .
1x

Bài 3. Giải phương trình 3

 1 x
 2    .
 9 

Bài 4. Giải phương trình 24x4  17.2 2x4  1  0 .
Bài 5. Giải phương trình 4x

2

x

2

Bài 6. Giải phương trình 4x
Bài 7. Giải phương trình 4

2x

 2x

x 2

2

2

x1

3  0 .
x2 2

 5.2x1

3x1

2

x 3

6  0 .

 16  0 .

Bài 8. Giải phương trình 2e x  2ex  5  0 .
Bài 9. Giải phương trình

x
92

 1 2x2
 9. 
4  0 .
 3 
2

2

Bài 10. Giải phương trình 51x  51x  24 .
2

Bài 11. Giải phương trình 32xx  34x2x
Bài 12. Giải phương trình
Bài 13. Giải phương trình

2

1

4.

2  3    2  3   4 .
 2  3 
2  3 
x

x

x2 2x1

x 2 2x1



4
2 3

.

Bài 14. Giải phương trình 5.32x1  7.3x1  1  6.3x  9 x1  0 .

 2 .
 3 2 
.
 2.  3   7 .
2x

2

Bài 15. Giải bất phương trình 8 x.21x 

2x1

Bài 16. Giải bất phương trình 2.9 x1
Bài 17. Giải bất phương trình 31x

2x

Bài 18. Giải bất phương trình 3.9 x  10.3x  3  0 .
Bài 19. Giải bất phương trình 9 x

2

x1

 1  10.3x

2

x2

.

Bài 20. Giải phương trình 24x  12 x  6 x1 .
Bài 21. Giải phương trình



 
x

5 1 



x

5  1  2 x1 .

Bài 22. Giải phương trình 2x  2.3x  6 x  2 .
2

2

2

Bài 23. Giải phương trình 6 2xx  2  2 2xx  2.32xx .
Bài 24. Giải phương trình 2x

2

x1

 2x

2

1

 2 2x  2 x .

HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

16

Chun đề Mũ & Logarit


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT

Bài 25. Giải phương trình 3.8 x  4.12 x  18 x  2.27 x  0 .



 

x
x
2x  21x  2 2  3    2  3  .

Bài 26. Giải phương trình 4. 22x  22x  4. 2 x  2x  7  0 .
Bài 27. Giải phương trình

Bài 28. Giải phương trình 3

x2

Bài 29. Giải phương trình 4x

2

x
2x
.4 1
x

 12 .
2

2

x1

 21x  2

Bài 30. Giải phương trình 4x  3.2 x

2

x 2x3

1.

 41

x 2 2x3

0.

PHẦN 2.
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
A – BIỂU THỨC CHỨA LOAGARIT
Bài 1. Biểu diễn theo a biểu thức A  log25  15 , biết rằng log15 3  a .
Bài 2. Biểu diễn theo a , b biểu thức A  log 35 28 , biết rằng log14 7  a ; log14 5  b .
Bài 3. Cho a  log27 5 ; b  log8 7 ; c  log2 3 . Tính A  log6 35 theo a , b , c .
Bài 4. Biết loga b  3 . Tính giá trị biểu thức A  log

3
b
a

b
a

.

0  a  1
Bài 5. Cho các số thực a , b thỏa mãn 
. Tính giá trị của biểu thức
0  b  1

B – GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM
Bài 6. Cho hàm số y  x logx 2 . Giải phương trình y'  0 .





Bài 7. Cho hàm số y  ln x  x 2  1 . Giải phương trình 2xy' 1  0 .
y
0.
x
Bài 9. Cho f x  x  ln x  5 và g  x  ln x  1 . Giải phương trình f '  x  g ' x .

Bài 8. Cho hàm số y  x 3 ln x . Giải phương trình y'

1
Bài 10. Cho f x  .52x1 và g  x  5x  4x ln 5 . Giải phương trình f '  x  g ' x .
2

C – PHƯƠNG TRÌNH CHỨA 01 LOGARIT





Bài 11. Giải phương trình log 1 x 2  3x  2  1 .
2



1
log25  2x 2  3x  .
2

Bài 12. Giải phương trình log3 x 2  x  3  2 .
Bài 13. Giải phương trình

HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

17

Chun đề Mũ & Logarit


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT

x 2  3x  2
Bài 14. Giải phương trình log 1
0.

x
2
Bài 15. Giải phương trình logx3  3  x  1  

1
.
2

D – PHƯƠNG TRÌNH CHỨA 02 LOGARIT
Bài 16. Giải phương trình log2 x  log 1  x  1  1 .
2

Bài 17. Giải phương trình log2  x  1  2 log4 3x  2  2  0 .





Bài 18. Giải phương trình log 1 x 2  5  2 log2 x  5  0 .
2

Bài 19. Giải phương trình log2  x  3  2 log4 3.log3 x  2 .
Bài 20. Giải phương trình log4  x  3  log2 x  1  2  3 log4 2 .
x9
 0.
x
Bài 22. Giải phương trình log22  x  3  log 2  x  3  3 .

Bài 21. Giải phương trình log2 x  x  9  log2

 

Bài 23. Giải phương trình log22 x  log4 4x2  5  0 .
Bài 24. Giải bất phương trình log3 x  logx 3 .
Bài 25. Giải phương trình log3  x  1  log

2x  1  2 .
log3 x  1  3  2 log3 x  7  .
log32  x  5  5 log9  x  5  1 .
2

Bài 26. Giải phương trình
Bài 27. Giải phương trình

3


2
x2
Bài 28. Giải phương trình  log 1 9x  log3
7  0 .
81
 3

Bài 29. Giải phương trình log5  x  1  1  log5  x  3 .

Bài 30. Giải phương trình 2 log5 3x  2  1  log5 2x  3 .
3

E – PHƯƠNG TRÌNH CHỨA 03 LOGARIT

Bài 31. Giải phương trình log4 x 2  log2 2x  1  log2  4x  3 .





Bài 32. Giải phương trình log4 x 2  7x  10  log4 x  2  log 1 x  5 .
4









1
Bài 33. Giải phương trình log4 x 2  1  log2  x  1  log 2 x  2 .
4
2
2
1
Bài 34. Giải phương trình log2 x 2  1  log 2  x  1  log2  x  2 .
2
Bài 35. Giải phương trình 1  log2 x  log2 x  2  log 2 6  x .

HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

18

Chun đề Mũ & Logarit


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

Bài 36. Giải phương trình log

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT

x  1  log 1 3  x  log8  x  1  0 .
3

2



2



Bài 37. Giải phương trình log3 x2  6  log3 x  2  1 .
Bài 38. Giải phương trình 2 log3  4x  3  log 1 2x  3  log3 5x  6 .
3

 
 
2
1

log3 x 3  1  log9  2x  1  log 3 x  1 .
2
2

Bài 39. Giải phương trình log3 3x  log3x 27x2  log3 x  4 .
Bài 40. Giải phương trình

Bài 41. Giải phương trình log5 x3  log 1 x  log 3

25

x7.

5

Bài 42. Giải phương trình 2 log25  3x  11  log5  x  27   3  log5 8 .
Bài 43. Giải phương trình log5 4x  1  log5 7  2x  1  log 1 3x  2 .
5

Bài 44. Giải phương trình log0 ,2 x  log0 ,2 x  1  log0 ,2  x  2 .
Bài 45. Giải phương trình log2

3

x2  2x  3  log2 3 2x2  1  log2 3 x  1 .

F – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CÓ CĂN
Bài 46. Giải phương trình 2 log2 x  1  2  log2  x  2 .
Bài 47. Giải phương trình 2 log2 x  3  log4  x  1  log2  4x .
2

Bài 48. Giải bất phương trình log2









3x  1  6  1  log2 7  10  x .

Bài 49. Giải phương trình log32 x  log32 x  1  5  0 .
1
Bài 50. Giải phương trình log25  x  1  log5 6x  1  1 .
2

G – PHƯƠNG TRÌNH CÓ CÁC LOAGARIT LỒNG NHAU


Bài 51. Giải phương trình log2  log 1 x3  log2 x  x  1  3 .
 8

Bài 52. Giải phương trình log3 1  log2 1  3 log2 x  1 .



 

2


Bài 53. Giải phương trình log9  20 log2 x  1  1  2 .


Bài 54. Giải bất phương trình log 1  log2 2  x2   0 .





2

Bài 55. Giải bất phương trình log






 log2 x  2x 2  x
π 
4

  0 .

H – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CÓ MẪU
HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

19

Chun đề Mũ & Logarit


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT

Bài 56. Giải phương trình log2 x  2 log2x 2  2 .
Bài 57. Giải phương trình log2 x  logx 64  1 .
Bài 58. Giải phương trình log52  x  1  2 logx1 5  3 .

1
2
1

 .
log x 1  log x 6
1
2
Bài 60. Giải phương trình

1.
log3 x  2 2 log3 x  1
Bài 59. Giải phương trình

K – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CÓ CHỨA MŨ



log10  31x  31x   1 .
3
log2  4 x  2 x1  4  log8  2 x  1  2 .
log 1 4 x  4  log 1 2 x1  3  log2 2 x .

Bài 61. Giải phương trình log6 2 2x1  9 x  x .
Bài 62. Giải phương trình
Bài 63. Giải phương trình
Bài 64. Giải phương trình

2





2





Bài 65. Giải phương trình 1  log2 9 x  6  log2 4.3x  6 .
L – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT DẠNG TÍCH
Bài 66. Giải phương trình
Bài 67. Giải phương trình

logx 8  log4 x2  log2

log x.log 100x 2   4 .

2x  0 .

Bài 68. Giải phương trình log2 x.log3 2x  1  2 log2 x .
Bài 69. Giải phương trình 2 log42 x  log2 x.log2





2x  1  1 .

Bài 70. Giải phương trình lg 2 x  lg x.log2  4x  2 log2 x  0 .

HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

20

Chun đề Mũ & Logarit


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT

PHẦN NÂNG CAO
CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH- HỆ
MŨ

CHỦ ĐỀ I:PHƯƠNG TRÌNH MŨ
BÀI TỐN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Phương pháp:
Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau:
a  1

a  0
fx 
g x



0

a

1
hoặc 
a a
 
a  1 f x  g  x  0




f
x

g
x









Bài 1: Giải phương trình: 2  x  x 2



sin

3x 2 5x2

Bài 2: Giải phương trình: x  3



 2  x  x2



2

2 3 cos x



 x  6x  9

x2 x4



BÀI TỐN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƠGARIT HỐ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ
SỐ
Phương pháp:
Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta có thể logarit theo cùng 1 cơ số cả 2 vế của
phương trình, ta có các dạng:
Dạng 1: Phương trình:
0  a  1, b  0
f x
a    b  
f x  loga b

Dạng 2: Phương trình :
f x
a    bg ( x )  loga a f ( x )  loga bf ( x )  f( x )  g( x ).loga b

hoặc logb a f ( x )  logb bg( x )  f( x ).logb a  g( x ).
Chú ý: Đối với 1 phương trình cần thiết rút gọn trước khi logarit hố.
Bài 1: Giải phương trình:

2x

Bài 2: Giải phương trình:

x

5

2

2x



x1
.8 x

3
2

 500.

HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

21

Chun đề Mũ & Logarit


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT

BÀI TỐN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG 1

Phương pháp:
Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 1 là việc sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban
đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ.
Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau:
Dạng 1: Phương trình α k  α k1a( k1)x .....α1a x  α 0  0
Khi đó đặt t  a x điều kiện t>0, ta được: α k t k  α k1t k1 ......α1t  α 0  0
Mở rộng: Nếu đặt t  a f ( x ) , điều kiện hẹp t>0. Khi đó: a 2f ( x )  t 2 , a 3f ( x )  t 3 ,....., a kf( x )  t k
1
Và af ( x ) 
t
 
Dạng 2: Phương trình α1a x  α 2a x  α 3  0 với a.b=1
Khi đó đặt t  a x , điều kiện t<0 suy ra bx 

α 1t 

1
ta được:
t

α2
 α 3  0  α 1t 2  α 3 t  α 2  0
t

Mở rộng: Với a.b=1 thì khi đặt t  a f ( x ) , điều kiện hẹp t>0, suy ra bf ( x ) 

1
t

Dạng 3: Phương trình α1a 2x  α 2 ab  α 3 b 2x  0 khi đó chia 2 vế của phương trình cho

x

 a 2x
 a x
x
b2x >0 ( hoặc a 2x ,a.b ), ta được: α1    α 2    α 3  0
 b 
 b 
 a x
Đặt t    , điều kiện t<0, ta được: α1t 2  α 2 t  α 3  0
 b 
Mở rộng: Với phương trình mũ có chưa các nhân tử: a 2f , b2f ,a.b , ta thực hiện theo các
f

bước sau:
-

Chia 2 vế phương trình cho b 2f  0 (hoặc a 2f , a.b )

-

 a f
Đặt t    điều kiện hẹp t>0
 b 

f

Dạng 4: Lượng giác hố.
Chú ý: Ta sử dụng ngơn từ điều kiện hẹp t>0 cho trường hợp đặt t  a f ( x ) vì:
-

Nếu đặt t  a x thì t>0 là điều kiện đúng.

-

Nếu đặt t  2 x 1 thì t>0 chỉ là điều kiện hẹp, bới thực chất điều kiện cho t phải là
t  2 . Điều kiện này đặc biệt quan trọng cho lớp các bài tốn có chứa tham số.

2

Bài 1: Giải phương trình: 4



cot g 2 x

1
2
 2 sin x



x

 3  0 (1)



Bài 2: Giải phương trình: 7  4 3  3 2  3



x

2 0

HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

22

Chun đề Mũ & Logarit


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97
2

2

 2 2x2  0
1
12
Bài 4: Giải phương trình: 23x  6.2 x 
 x 1
3x1
2
2

Bài 3: Giải phương trình: 22x

Bài 5: Giải phương trình:

1

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT

 9. 2 x

x





1  1  2 2x  1  2 1  2 2x .2 x

BÀI TỐN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG 2
Phương pháp:
Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 2 là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu
thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x.
Phương pháp này thường sử dụng đối với những phương trình khi lựa chọn ẩn phụ cho 1
biểu thức thì các biểu thức còn lại khơng biểu diễn được triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu
biểu diễn được thì cơng thức biểu diễn lại q phức tạp.
Khi đó thường ta được 1 phương trình bậc 2 theo ẩn phụ ( hoặc vẫn theo ẩn x) có biệt số Δ
là một số chính phương.



  x2  3 3x

Bài 1: Giải phương trình: 32x  2 x  9 .3x  9.2x  0
Bài 2: Giải phương trình: 9 x

2

2

 2x 2  2  0

BÀI TỐN 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG 3
Phương pháp:
Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 3 sử dụng 2 ẩn phụ cho 2 biểu thức mũ trong phương
trình và khéo léo biến đổi phương trình thành phương trình tích.
Bài 1: Giải phương trình: 4x

2

3x2
2

 4x

2

6x5

 42x

2

3x 7

1

2

Bài 2: Cho phương trình: m.2 x 5x6  21x  2.265x  m(1)
a) Giải phương trình với m=1
b) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
BÀI TỐN 6: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ- DẠNG 4
Phương pháp:
Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 4 là việc sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu
thành 1 hệ phương trình với k ẩn phụ.
Trong hệ mới thì k-1 thì phương trình nhận được từ các mối liên hệ giữa các đại lượng
tương ứng.
Trường hợp đặc biệt là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành 1 hệ
phương trình với 1 ẩn phụ và 1 ẩn x, khi đó ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu tượng trong phương trình.
HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

23

Chun đề Mũ & Logarit


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT

Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng: f  x , φ  x  0


y  φ  x

Bước 3: Đặt y  φ  x ta biến đổi phương trình thành hệ: 
f x ; y  0


Bài 1: Giải phương trình:

8
2

x1

1



2x
x

2 2



18
2

x1

 21x  2

Bài 2: Giải phương trình: 22x  2 x  6  6
BÀI TỐN 7: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SƠ
Phương pháp:
Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng tốn khá quen thuộc. Ta có
3 hướng áp dụng:
Hướng1: Thực hiện các bước sau:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x)=k
Bước 2: Xét hàm số y=f(x). Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu( giả sử
đồng biến)
Bước 3: Nhận xét:
+ Với x  x0  f  x  f x0   k do đó x  x0 là nghiệm
+ Với x  x0  f x  f  x  k do đó phương trình vơ nghiệm
+ Với x  x0  f x  f  x0   k do đó phương trình vơ nghiệm.
Vậy x  x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Hướng 2: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(x)=g(x)
Bước 2: Xét hàm số y=f(x) và y=g(x). Dùng lập luận khẳng định hàm số y=f(x) là
Là đồng biến còn hàm số y=g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến
Xác định x0 sao cho f x0   g x0 
Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  x0
Hướng 3: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f(u)=f(v) (3)
Bước 2: Xét hàm số y=f(x). Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu ( giả sử
đồng biến)
Bước 3: Khi đó: (3)  u  v với u , v  Df
Bài 1: Giải phương trình: x  2.3log2 x  3 (1)

Bài 2: Giải phương trình: log3
Bài 3: Cho phương trình: 5x

2



 1 3xx
x  3x  2  2   
 5 



2

2mx2

5
4
a) Giải phương trình với m  
5
b) Giải và biện luận phương trình

2 x 2 4mx 2

2

1

 2 (1)

 x2  2mx  m

HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

24

Chun đề Mũ & Logarit


Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97

CHUYÊN ĐỀ: MŨ – LOGARIT

BÀI TỐN 8: SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Phương pháp:
Với phương trình có chưa tham số: f(x,m)=g(m). Chúng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Lập luận số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C): y=f(x,m) và
đường thẳng (d): y=g(m).
Bước 2: Xét hàm số y=f(x,m)
+ Tìm miền xác định D
+ Tính đạo hàm y’ ròi giải phương trình y’=0
+ Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 3: Kết luận:
+ Phương trình có nghiệm  min f  x , m   g( m )  max f  x , m ( x  D )
+ Phương trình có k nghiệm phân biệt  (d) cắt (C) tại k điểm phân biệt
+ Phương trình vơ nghiệm  d  C  
2



2 x2 2x2

Bài 1: Cho phương trình: 3x 2x2  2
a) Giải phương trình với m=8
b) Giải phương trình với m=27
c) Tìm m để phương trình có nghiệm

  x 2  2x  m  2

1x
Bài 2: Với giá trị nào của m thì phương trình:  
 5 

2

4x3

 m 4  m 2  1 có 4 nghiệm phân

biệt
Bài 3: Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2x  3  m 4 x  1
CHỦ ĐỀ II:BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
BÀI TỐN I: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
I. Phương pháp:
Ta sử dụng các phép biến đổi tương đương sau:
a  1

f x  g x

a  0
 
  
fx 
gx 
Dạng 1: Với bất phương trình: a  a
hoặc 

a  1 f x  g  x  0
0  a  1




f  x  g x

a  1

f x  g x
 
  
a  0

fx 
gx 
Dạng 2: Với bất phương trình: a  a
 a  1
hoặc 
a  1 f x  g  x  0





0  a  1

f  x  g x

HTTP://THAYHUY.NET
Tài liệu lưu hành nội bộ tại LỚP HỌC TỐN THẦY HUY

25

Chun đề Mũ & Logarit