Chương II - Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ

Sở giáo dục và đào tạo hải phòng
Trờng THPT trần hng đạo


SS 2 Tích vô hớng của hai véc tơ

Thực hiện: Nguyễn Thị Vân

1


A = F .OOcos
Trong đó

F là cờng độ lực F tính bằng Niutơn (N)

OO độ dài OO tính bằng mét (m)
Là góc giữa OO và F

F

O


O’
2


1.Định nghĩa:
Cho hai véc tơ a và b khác véc tơ 0.Tích vô hớng của a và b
Là một sô ký hiệu là a.b,đợc xác định bởi công thức sau:

a.b =  a . b cos(a,b).
Trêng h¬p Ýt nhÊt mét trong hai véc tơ a hoặc b bằng véc tơ 0
Ta quy íc: a.b = 0
Chó ý

a)Víi a vµ b khác véc tơ 0 ta có a.b = 0 a  b
b) Khi a = b => a.a = a 2
Gọi là bình phơng vô hớng của véc tơ a
a 2 =  a . a cos 00 =  a 

2
3


Ghi nhí

a.b =  a . b cos(a,b).

VÝ dơ:Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và có chiều cao
AH.
A
Khi ®ã:
AB.AC = a . a. cos 600 = 1
2

a2

AC.CB = a . a. cos 1200 = -1 a2
2
AH.BC =

a3
a. cos 900 = 0
2

B

C

H
4


Ghi nhí

a.b =  a . b cos(a,b). (*)

2.TÝnh chÊt cđa tÝch v« híng
a. b = b. a ( tÝnh chÊt giao ho¸n )
a. ( b + c ) = a. b + a . c (t/c ph©n phèi)

a  lµ mét sè
b  lµ mét sè
cos ( a,b ) lµ mét sè

( k a ). b = k ( a.b ) = a.(k b);
a 2 0, a2 = 0  a = 0
NhËn xÐt: (a + b ) 2 = a 2 + 2a.b + b 2
( a - b ) 2 = a 2 - 2a.b + b 2
( a + b ). (a – b ) = a 2 – b 2

5


Ghi nhí
1

a.b =  a . b cos(a,b). (*)

Cho hai véc tơ a và b đều khác véc tơ 0
Khi nào thì tích vô hớng của hai véc tơ là số dơng?
Là số âm? Bằng 0?

*) a . b > 0 

00< ( a , b ) < 900

*) a . b < 0 

900< ( a , b ) < 1800

*) a . b = 0 

a=0
b=0
( a , b ) = 00 tøc lµ a  b

[

6

F1

A


F
F2

B


( F , AB ) =
F1 AB
F2 là hình chiếu vuông góc của F lên AB
F = F1+F2
Công A = F . AB = ( F1 + F2 ).AB = F1 .AB + F2 .AB
A = F2.AB

7


3.Biểu thức tọa độ của tích vô hớng
Trên mặt phẳng tọa độ (O, i, j ),cho hai véc tơ a = (a1;a2),
b = (b1;b2)
Khi đó tích vô hớng a.b = a1.b1+a2.b2
Häc sinh tù chøng minh
NhËn xÐt:hai vÐc t¬ a = (a1;b1) và b= (a2;b2) khác véc tơ 0
Vuông góc với nhau khi vµ chØ khi a1.b1 + a2b2 = 0

8


Ghi nhớ

a.b = a . b cos(a,b). (*)

Trên mặt phẳng tọa độ (O, i, j ),
cho hai véc tơ a = (a1;a2), b = (b1;b2)
a.b = a1.b1+a2.b2
a  b a1.b1+a2.b2 = 0
2 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba ®iĨm A( 2;4),B(1;2)

C(6;2).Chøng minh r»ng AB  AC
Häc sinh cïng nhau chøng minh.
AB = (-1 ; -2 )
AC = (4 ; -2 )

AB . AC = (-1).4 + (-2).(-2) = -4 +4 =0
=> AB  AC
9


Ghi nhớ

a.b = a . b cos(a,b). (*)

3.Trên mặt phẳng tọa độ (O, i, j ),
cho hai véc tơ a = (a1;a2), b = (b1;b2)

a.b = a1.b1+a2.b2
a  b a1.b1+a2.b2 = 0
4.áp dụng:
a.Độ dài của véc tơ

a

b) Góc giữa hai véc tơ:
a .b
cos ( a , b ) =
a . b

a

2

1

2

 b1

a1b1+ a2b2

=

a

2

1

2

 b1 .

a

2
2

2

 b2


Ghi nhớ

a.b = a . b cos(a,b). (*)

3.Trên mặt phẳng tọa độ (O, i, j ),
cho hai véc tơ a = (a1;a2), b = (b1;b2)
a.b = a1.b1+a2.b2
a  b a1.b1+a2.b2 = 0
4.áp dụng:
a.Độ dài của véc tơ

a

b) Góc giữa hai véc tơ:

a .b
cos ( a , b ) =
a . b

a

2

1

2

 b1

a1b1+ a2b2

=

a

2

1

2

 b1 .

a

2
2

2

 b2


4.áp dụng:
a.Độ dài của véc tơ

a

b) Góc giữa hai vÐc t¬:
a .b
cos ( a , b ) =
a . b

a

2

1

2

 b1

a1b1+ a2b2

=

a

2

1

2

 b1 .

a

2
2

2

 b2

VÝ dô: Cho OM = (-2;-1),ON =( 3;-1)
OM.ON

-6 +1
=
cos MON = cos ( OM,ON ) =
OM ON 5 .10
=> (OM,ON) = 450

2
=
2

12


c) Khoảng cách giữa hai điểm
A(xA;yA) ,B(xB;yB)

A

B

AB = (xB xA;yB – yA)
AB2 = (xB – xA)2 +( yB – yA)2
AB =  (xB – xA)2 +(yB – yA)2
VÝ dô Cho M( -2;2) và N(1;1)
.Khi đó MN = ( 3;-1)
MN = 3 2 + ( -1 )2 = 10

13


Câu hỏi và bài tập

1.Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a.
.Tính các tích vô hớng AB.AC, AC.CB

14

Câu hỏi và bài tập

2.Cho ba điểm O,A,B thẳng hàng và biết OA = a,OB = b.
Tính tích vô hớng OA.OB trong các trờng hợp sau
a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB
b) Điểm O nằm trong đoạn AB

15


Câu hỏi và bài tập

3.Cho nửa đờng tròn tâm O ®êng kÝnh AB = 2R.Gäi M vµ
N lµ hai ®iĨm thuộc nửa đờng tròn sao cho hai dây cung AM
và BN cắt nhau tại I
a)Chứng minh AI.AM = AI.AB và BI.BN = BI.BA;
b)HÃy dùng kết quả câu a) để tính AI.AM +BI.BN theo R

16


Câu hỏi và bài tập

4.Trên mặt phẳng Oxy,cho hai điểm A(1;3),B(4;2).
a) Tìm tọa độ điểm D trên trục Ox sao cho DA = DB
b) Chøng tá OA vu«ng gãc víi AB và từ đó tính diện tích
tam giác OAB

17


Câu hỏi và bài tập

5.Trên mặt phẳng Oxy, hÃy tính góc giữa hai véc tơ a và b.
t:rong các trờng hỵp sau:
a) a = (2;-3) , b =( 6;-4)
b) a = (3;2), b =( 5;-1)
c) a = (-2 ; -2 3 ) , b = (3; 3 )

18


Câu hỏi và bài tập

6.Trên mặt phẳng Oxy, cho bốn điểm A(7;-3),B(8;4),C(1;5)
D(0;2).Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.

19


Câu hỏi và bài tập

7.Trên mặt phẳng Oxy, cho điểm A(-2;1).Gọi B là điểm đối
xứng với điểm A qua gốc tọa độ O. Tìm tọa độ điểm C có
tung độ bằng 2 sao cho tamgiác ABC vuông ở C

20