Chương II - Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ

I. Góc giữa hai vector.
Cho hai vector a và b đều
khác 0 .
Từ điểm O bất kỳ dựng
O
OA a, OB b. Khi đó:
Số đo của góc AOB được gọi là
số đo của góc giữa hai vector

a

b
và

.



a



b



a

A



b

B

 

Kí hiệu a, b


I. Góc giữa hai vector (tt)


Chú ý : Nếu ít nhất một
trong hai vector a và b là 0

a

b



thì ta xem góc giữa hai
vector đó là tùy ý (từ 00 đến
1800).
* Nếu
a

a, b

b
và

nhau.

a

= 900 thì ta nói
vng góc với

b



O

a

A



b

B


Ví dụ Cho hình vng ABCD tâm O cạnh a.
Tính góc giữa các vector sau:

a /( AB, AC )

A

b /( AB, CA)

O

c /( AB, DC )
d /( AB, CD )

B

D

E
C


II. Định nghĩa tích vơ hướng
của hai vector.
a/ Định nghĩa
Tích vô hướng của hai vector a và b là một
số, kí hiệu là a.b , được xác định bởi
a.b  a b cos a , b
* Bình phương vơ hướng
Với a tùy ý, tích vơ hướng a.a . Được kí hiệu là
2
2
( a ) hay a , gọi là bình phương vô hướng của a.

2
2
Hay
0

 

a  a a cos 0  a


Ví dụ Cho hình vng ABCD tâm O cạnh a.
Tính góc giữa các vector sau:

a / AB. AC

A

b / AB. AD

O

c / AB. DC
d / AB. AE

B

D

E
C

III. Một số tính chất.
a/ Cơng thức hình chiếu
Cho AB, AC . Vector AC ' là hình chiếu của AC
trên đường thẳng AB. Khi đó
C’
A
AB. AC  AB. AC '
Câu hỏi
O
E
Khi nào a.b 0 ?
D
C


 

a.b 0  a b cos a, b 0
 a 0


  b 0


 cos a, b 0

 

 a b

 a 0

 b 0

 a  b


b/ Một số phép toán
Với ba vector a , b, c tùy ý và mọi số thực k,
ta có

1) a.b 0  a  b
2) a.b b.a
3) ( k a ).b k ( a.b) a.( k b)
4) a.(b c ) a.b a.c


c/ Một số hệ thức đáng nhớ

a b a  b
a  ba  b a
2

2

2
2

2a.b
 b

2


IV. Biểu thức tọa độ của
tích vơ hướng.
Cho hai vector a ( x; y ), b ( x ' ; y ' ). Khi đó

1) a.b  x. x ' y. y '
2

2) a  x  y
3) cos(a, b ) 

2

x. x ' y. y '
2

2

2

x  y . x'  y '

( a 0, b 0)
4) a  b  x. x ' y. y ' 0

2


Hệ quả
Trong mặt phẳng tọa độ, khoảng cách giữa hai
điểm M ( x M , y M ), N ( x N , y N ) là

MN  MN 

 xN

2

 xM    y N  yM 

2