Tiết 39: Phương trình tổng quát một mặt phẳng

Sở giáo dục và đào tạo hải phòng
Trường thpt bán công vĩnh bảo
======***======
Môn: Toán lớp 12

Tiết dạy: 39

phương trình tổng quát của mặt phẳng

Giáo viên: Vũ Phú Bình
Vĩnh Bảo, tháng 3 năm 2005


1.Câu hỏi kiểm tra:

Các mệnh đề sau đúng hay sai ?
a. Tồn tại duy nhất một mặt phẳng () đi qua điểm M0 và
vuông góc với đường thẳng d cho trước.
b. Có

Đ

vô số đường thẳng cùng vuông góc với một mặt
phẳng cho trước.

Đ

c. Nếu [ a, b ] = 0 thì a, b không cùng phương.

S

d. Nếu [ AB, AC ] 0 thì A,B,C không thẳng hàng.

Đ

e. Nếu [ a, b ] c = 0 th× a, b, c cïng ph­¬ng.

S


Tiết 39 : phương trình tổng quát của mặt phẳng

1. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng:
a. Định nghĩa: Véctơ n 0 được gọi là véctơ pháp tuyến của mặt
phẳng () nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
(). (Gọi tắt là véctơ vuông góc với mặt ph¼ng (α) ).
Ký hiƯu: n ⊥ (α)
→

n

α


Câu hỏi : Một mặt phẳng có bao nhiêu véctơ pháp tuyến? Vì sao?



n

Tiết 39 : phương trình tổng quát của mặt phẳng


Nhận xét 1: Nếu nlà 1 véctơ pháp tuyến của mặt phẳng () thì

véctơ k n 0) cũng là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ().
(k
Câu hỏi: Một mặt phẳng có hoàn toàn được xác định hay không nếu
chỉ biết một véctơ pháp tuyến n của nó?.
k


n





n


Tiết 39 : phương trình tổng quát của mặt phẳng

Nhận xét 2: Một mặt phẳng () hoàn toàn được xác định khi biết


một điểm thuộc nó và một véctơ pháp tuyÕn n cña nã.

→

n

α

M0


Tiết 39 : phương trình tổng quát của mặt phẳng




n =[ a , b ]
→

b

α.

→

a

b. Chó ý:
+ Trong kh«ng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho véctơ a và b không
cùng phương các đường thẳng chứa chúng cùng song song hoặc nằm

trên mặt phẳng () thì n =[ a , b ] cũng là một véctơ pháp tuyến
của mặt phẳng (), khi đó hai véctơ a và b được gọi là cặp véctơ chỉ
phương của mặt phẳng ().


Tiết 39 : phương trình tổng quát của mặt phẳng

M2#


M1 #

M3

+ Nếu trong mặt phẳng () cho ba điểm M1, M2 và M3 không thẳng
hàng thì hai véctơ M1M2 và M1M3 là cặp véctơ chỉ phương của mặt

n
phẳng () và = [M1M2, M1M3] là một véctơ pháp tuyến của mặt
phẳng (α).


Tiết 39 : phương trình tổng quát của mặt phẳng
Ví dụ: Trong không gian với hệ trục
oxyz. Cho các véctơ sau:

z

→

1. k = (0 ; 0 ; 1)
→

→

k

2. i = (1 ; 0 ; 0)

→

j

→

3. j = (0 ; 1 ; 0)
→

4. n = (0 ; 0 ; 5)

→

0

i

x

→

5. m= (0 ; 1 ; 1)
HÃy chỉ ra các véctơ pháp tuyến của mặt phẳng Oxy.

y


Đáp án

Mặt phẳng Oxy có các véctơ pháp tuyến cần
tìm lµ:
→
k = (0 ; 0 ; 1)
→
n = (0 ; 0 ; 5)
z

k
j

0
i
x

y


2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

a. Bài toán:

Cho mặt phẳng () đi qua điểm M0 = (xo; yo; zo) và có véctơ pháp
tuyến n = (A; B ; C). Tìm điều kiện cần và đủ để điểm M = (x; y ; z)
thuộc mặt phẳng ().
n
M#
#



M0


n
M#
#



Giải:

M0

Điểm M = (x; y; z) () khi và chØ khi M0M ⊥ n
⇔ M0M . n = 0
⇔ A (x-x0) + B (y-y0) + C (z-z0) = 0
⇔ Ax + By + Cz - (Ax0 + By0 + Cz0) = 0
⇔ Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2 ≠ 0)
Víi D = - (Ax0 + By0 + Cz0)

b. Định lý:
Mỗi mặt phẳng là tập hợp các điểm có toạ độ (x ; y ; z) thoả mÃn phư
c. Định nghĩa:
ơngChú ý:
Phương trình dạng+ By++By + Cz + D = 02 + B22 + B22+ C2 ≠ (1) được
d. trình dạng: Ax Ax Cz + D = 0 (A (A + C 0) 0)
gọi là phương trình tổng quát toạ mặt phẳng.
Ngược lại tập hợp các điểm có của độ thoả mÃn phương trình (1) là một
#Mặt phẳng. () đi qua điểm M0 = (x0 ; y0 ; z0) và có véctơ pháp tuyến
mặt phẳng

n = (A; B; C) thì phương trình có dạng:
A (x-xo) + B (y-yo) + C (z-zo) = 0
#Mặt phẳng () có phương trình tổng quát là :


Ax + By + Cz + D = 0 thì n= (A; B; C ) là
một véctơ pháp tuyến của nó.


Ví dụ: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng () đi qua điểm
M(2; 1;-5) và song song với mặt ph¼ng (β): x + 3y + z - 5 = 0.
n




M#

Giải

Mặt phẳng () : x +3y +z 5 = 0 =>n =(1; 3; 1) lµ métVTPT
cđa (β) .
(α) // () => n = (1; 3; 1) là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ()
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng () là
(): 1(x-2) + 3(y-1) + 1(z+5) = 0
⇔ x + 3y + z = 0


3. Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát.
a. D = 0 thì phương trình mặt phẳng có dạng Ax + By + Cz = 0
là phương trình mặt phẳng đi qua gốc toạ độ.
b. Nếu A = 0, B 0, C 0 thì phương trình mặt phẳng có dạng:
By + Cz + D = 0 là mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox.
z

k

j

i 0

y


x


d.
c. NÕu A NÕu A ≠ 0, BC ≠ 0 z 0, D 0 thì ta đặt phẳng có dạng
= 0, B = 0, 0, C thì phương trình mặt

D
D
D
= ,b = ,c
Cz + D = 0alà mặt phẳng song=song hoặc trùng với mặt phẳng Oxy.
A
B
C

x + y + z =1
a b ck
là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
0

j

y

i

z

x
#



x

0

#

#

y


Vi dơ 1:
Trong kh«ng gian víi hƯ trơc 0xyz cho 3 ®iĨm A (1;2;3), B (-1; 0; 2),
C (3; 2; 5). Lập phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C.
Gi¶i:

Ta cã AB = (-2;-2;-1)
AC = (2; 0; 2)
[AB, AC] = (-4; 2; 4)

Vậy: Mặt phẳng () nhận n = (-4; 2; 4) là véctơ pháp tuyến:
=> phương tr×nh (α):
4(x-1) – 2(y -2) – 4(z - 3) = 0
⇔ 2x – y – 2z + 6 = 0.


VÝ dơ 2:
Trong kh«ng gian víi hƯ trơc 0xyz cho 2 điểm M = (2;-1;1), N (4;3;1).
Lập phương trình mặt phẳng trung trực () của đoạn thẳng MN.
Giải:
Gọi I là trung ®iĨm cđa MN => I = (3; 1; 1) ta có mặt phẳng ()
đi qua điểm I và nhận véctơ
n = MN = (2; 4; 0) làm véctơ pháp tuyến => phương trình () là:
2(x-3) + 4(y-1) + 0(z-1) = 0

⇔ x + 2y – 5 = 0.
#

M

#

I

#

N


Tổng kết:
1. Nếu mặt phẳng () đi qua điểm M (x0;y0;z0) và có véttơ pháp
tuyến n = (A; B; C) thì có phương trình là:
A (x- x0) + B(y-y0) + C(z z0) = 0
2.Cách xác định véctơ pháp tuyến của mặt phẳng:
- Dựa vào cặp véctơ chỉ phương a, b => n = [ a, b].
- Dùa vµo mèi liên hệ giữa quan hệ song song và vuông góc.
Bài tËp vỊ nhµ: 2, 3, 5, 8: (SGK/ 82-83).


Các thầy cô giáo
và các em học sinh.