Đề cương ôn tập toán 11 học kỳ 2

TRƯỜNG THPT PHAN BỘI CHÂU

Giáo viên : HỒ MẠNH TIẾN
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II, MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC 2015 - 2016
A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN
1/ Chứng minh dãy số (un) có giới hạn 0.
Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |un| ≤ vn, ∀n và lim vn = 0 thì limun = 0
Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0: lim

-

1
n

= 0 , lim

1
1
= 0 , lim 3 = 0 , lim q n = 0 với |q| < 1
n
n

2/ Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số.
Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số: +) Nếu limun = +∞ thì lim

-

-

limun

limvn = L

lim(unvn)

+∞

L >0

+∞

+∞

L<0

−∞

−∞

L >0

−∞

−∞

L<0

+∞

Lim u n =L
L >0
L>0
L<0
L<0

1
un

=0

lim v n

Dấu của
vn

0

+
+
-

un
vn
+∞
−∞
−∞
+∞

lim

Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số:

f ( x ) = +∞ thì lim
+) Nếu xlim
x → x0
→ x0
lim f ( x)

x→ x 0

+∞
-∞
+∞
- ∞

lim g ( x )

x→ x 0

L>0
L<0

1

f ( x)

=0

lim f ( x).g ( x)

lim f ( x )

x→ x 0

x→ x 0

+∞
-∞
-∞
+∞

L>0
L<0

Phương pháp chung:
- Sử dụng kết quả của đlí 2 và các giới hạn cơ bản sau:
1. lim C = C
(C = const)
x → x0

1

lim g ( x) Dấu của
g(x)
+
0
+
-

x→ x 0

f ( x)
g ( x)
+∞
-∞
-∞
+∞

lim

x→ x 0


f ( x) = f ( x0 )
2. Nếu h/s f(x) x/đ tại điểm x0 thì xlim
→ x0
3. lim

x → x0

1
=0
xn

(với n > 0)

0 ∞
; ;

0 ∞
Ghi chú: * Nếu PT f(x) = 0 có nghiệm x0 thì f(x) = (x-x0).g(x)
* Liên hợp của biểu thức:
1. a − b là a + b
2. a + b là
- Khử dạng vô định

3. a − b là a + a .b + b
Bài toán 1. Tính giới hạn của dãy sô:
Ví dụ: Tìm các giới hạn:
3

1/ lim 3

8n 2 − 3n
n2

3

2/ lim

2

3

4.

2

(

2n 2 − 3n − 1
−n 2 + 2

2
3/ lim n − 1 − n + 1

Giải:
1/

3

a + b là

a − 3 a .b + b 2
2

 3n − 4n + 1 
4/ lim 
n
n ÷
 2.4 + 2 

)
)

(

a− b

3

lim n − 1 − n 2 + 1 = lim

−2n

= lim

3/

3 1
2− − 2
2n 2 − 3n − 1
n
n = 2 = −2
lim
= lim
2
−n 2 + 2
−1
−1 + 2
n

3
1
  −1+  
n
n
 3 − 4 +1 
4

4 = − 1
4/ lim 
n
n ÷=lim
n
2
 2.4 + 2 
1
2+ 
2

n −1 + n + 1
2

n

2/

−2

8n 2 − 3n
3
lim
= lim 3 8 − = 3 8 = 2
2
n
n
3

1

1
1− + 1+ 2
n
n

= −1

n

3/ Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
u

1
Phương pháp giải: Sử dụng công thức: S = 1 − q ,| q |< 1
Bài toán 2: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

1
2

Ví dụ: Tính tổng S = 1 + +

1
1
+ ... + n + ....
22
2
u

1

S= 1 =
=2
1
Giải: Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với q = < 1 và u1 = 1 . Vậy:
1− q 1− 1
2

2

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
(1 + 2n)(2 − 3n)
2n3 − 5n + 3
1) Lim 2
2)
lim
(4n − 5) 2
n − 3n3
5) lim(n – 2n3)

3) lim

n 3 − 2n
1 − 3n 2

6) lim ( n + 1 − n )

(1 − n) 3 (3 + 2n)
8) lim
9) lim( 3n − 1 − 2n − 1)

(3n 2 + 1) 2
Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
−3n + 2
2n − 3n3 + 1
n3 + 3n − 2
c) lim 3
a ) lim
b
)
lim
3
2
2
n + 2n − 1
n +n
2n + 1
3n − 2.5n
3n − 4n + 1
4n 2 + n + 1
f ) lim n
g
)
lim
e) lim
3.5 − 4n
2.4n + 2n
1 − 2n
1
1
1

1
+
+
+ ... +
i ) lim un với un =
1.2 2.3 3.4
n ( n + 1)
ĐS: a) -3 b) +∞ c) 0

n 2 − 3n 3
2n 3 + 5n − 2
2n 3 − 4n 2 + 3n + 3
7) lim
n 3 − 5n + 7
4 n − 5n
10) lim n
2 + 3.5n
4) lim

d) -3/25

e) -1

f) -2/3 g) -1/2
2

h) 1

d ) lim
h) lim

i) 1

1 + 2n − 3n5
(n − 2)3 (5n − 1) 2
4n 2 + 1 − 9n 2 + 2
2−n

.


Bài 4 : Tính các giới hạn sau:
a ) lim(3n 2 + n − 1)
b) lim(−2n 4 + n 2 − n + 3)

(

e) lim 2.3n − 5.4n
i ) lim

(

)

3n 2 − 6n + 1 − 7 n

)

b) - ∞ c) +∞

ĐS: a) +∞

(

(
l ) lim ( n − 3n − n ) m) lim (

f ) lim 3n 2 + 1 − 2n
k ) lim n

(

n −1 − n

)

2

g) 0

−1
1/ S = −1 + 1 − 12 + ... + ( n −)1 + ...
10 10
10
n

Bài 5: Tính tổng

3/

( −1)
1 1 1
, − , ,...,
3 9 27
3n

h) +∞ i) -∞
2/ S = 1 +

n2 − n + n

h) lim

g ) lim n 2 + 1 − n

e) - ∞ f) - ∞

d) +∞

)

c) lim 3n 2 + n sin 2n d ) lim 3n 2 + n − 1

3

)

n3 + n 2 − n

)

k) -1/2 l) -3/2 m) 1/3

2
2
2
+
+ ... +
+ ...
2
100 100
100n

n +1

,...

Bài 6: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:
n−1
1 1 1
 1
a) 1, − , , − ,...,  − ÷ ,...
2 4 8
 2

n−1

1 1 1
1
b) 1, , , ,...,  ÷ ,...

3 9 27
3
ĐS: a) 2/3

b) 3/2

Bài 7: Tính các giới hạn sau:

)

(

1− x
x +1
2x −1
3, lim−
4, lim
x → 4 ( x − 4) 2
x →3 x − 2
x →3 x − 3
2− x
x2 + 2x − 3
2 x3 + 3x − 4
(− x 3 + x 2 − x + 1)
lim
5, xlim
6,
7,
8,
lim

lim
→−∞
x →2
x →1 2 x 2 − x − 1
x →+∞ − x 3 − x 2 + 1
x+7 −3
1 1

x2 − x − 4x2 + 1
− 1÷ 11, lim ( 4 x 2 − x + 2 x)
9, lim
10, lim− 
x →−∞
x →0 x  x + 1
x →−∞

2x + 3
x+3
2 x3 − 5 x 2 − 2 x − 3
x2 − x − x2 + 1
lim 2
12, xlim
13,
14,
lim
→±∞
x →−1 x + 2 x − 3
x →3 4 x 3 − 13 x 2 + 4 x − 3
x+2 −2
( x + 3)3 − 27

2− x −3
15, lim
16, lim
17, lim 2
x
→
2
x→0
x
→
7
x
x +7 −3
x − 49
∞
Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ):
∞
3
3
− x + 5x − 1
−3 x + 2
5 x3 − x 2 + 1
a) lim 3
b)
c)
lim
lim
x →+∞ 2 x + 3 x 2 + 1
x →−∞ 2 x + 1
x →−∞

3x 2 + x
x5 + 2 x 3 − 4 x
5x2 − 1
x2 + 2 x − 4 x2 + 1
d) lim
f)
e
)
lim
lim
x →+∞ 1 − 3 x 2 − 2 x 3
x →+∞ 2 x 3 + 3 x 2 + 1
x →−∞
2 − 5x
ĐS: a) -1/2
b) -∞ c) - ∞ d) -∞ e) 0 f) -1/5
1, xlim
→−2

x2 + 5 −1

(

2, lim−

)

Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.∞):
3
2

4
3
a) lim (−2 x + x − 3 x + 1)
b) lim (− x + x + 5 x − 3)
x →−∞

x 2 − 3x + 2
d) xlim
→−∞

x →+∞

e) xlim
→+∞

(

3x 2 + x − 2 x

)

4x2 + x + 2
c) xlim
→+∞
f) xlim
→−∞

(

2x2 + x + x

)

ĐS: a) +∞ b) - ∞ c) + ∞ d) +∞ e) - ∞ f) + ∞
Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):
1− x
2 x +x
x +1
2x −1
−2 x + 1
3x − 1
a) lim−
b) lim
2
c) lim+
d) lim+
e) lim− 2
f) lim−
x →4
x →3 x − 3
x
→
3
x
→−
2
x
→−
1
x →0 x − x

( x − 4)
x −3
x+2
x +1
ĐS: a) - ∞ b) - ∞
c) + ∞
d) + ∞
e) 1
f) + ∞
0
Bài 11: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ):
0
3


x+3
x 2 − 3x + 2
x3 − 1
x2 + 2x − 3
c) lim 2
d) lim 2
e) lim 2
x →−3 x + 2 x − 3
x →1
x →1 x − 1
x →1 2 x − x − 1
x −1
2
x −9
x 2 − 3x + 2

2x +1 − 3
x + 2 −1
g) lim
h) lim
i) lim
k) lim−
x →3
x →4
x →−1
x →2
x +1 − 2
2− x
x −2
x+5 −2
ĐS: a) 6 b) -1 c) -4 d) 3/2 e) 4/3 f) -6
g) 24
h) 4/3 i) 2 k) 0

x2 − 9
x →3 x − 3
2− x
f) lim
x →2
x+7 −3
a/ lim

b/ lim

Bài 12 *: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0. ∞):
2x +1

2x + 3
2
a) lim+ ( x − 1)
b) lim+ x − 9.
c/ lim− x 3 − 8
2
x
→
3
x →1
x →2
x
−
3
x −1

(

Bài 13 *: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ∞ - ∞):
a) xlim
→+∞

(

x2 + 1 − x

)

b) xlim
→+∞

(

x2 + 2x − x2 + 1

)

c) xlim
→−∞

(

)

x
2 − x2
ĐS: a) -1

)

4 x 2 − x + 2 x d) lim
x →−∞
ĐS: a) 0

4/ Xét tính liên tục của hàm số
* Xét tính liên tục của hàm số tại điểm:
khi x ≠ x0
 f1 ( x)
– Dạng I: Cho h/s f ( x) = 
khi x = x0

 f 2 ( x)
Phương pháp chung:
B1: Tìm TXĐ: D = R
B2: Tính f(x0); lim f ( x)

(

b) 0

c) +∞

d) 0

x2 − x − x2 −1

)

b) 1

d) 1/2

c) 1/4

Xét tính liên tục của h/s tại điểm x0 ?

x→ x0

lim f ( x) = f(x0) ⇒ KL liên tục tại x0
B3: x→
x0

khi x ≥ x0
 f1 ( x)
– Dạng II: Cho h/s f ( x) = 
Xét tính liên tục của h/s tại điểm x0 ?
khi x < x0
 f 2 ( x)
* Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT có k nghiệm trên [ a; b ] :
B1: Tính f(a), f(b) ⇒ f(a).f(b) < 0
B2: Kết luận về số nghiệm của PT trên [ a; b ]

7
5
Ví dụ:CMR phương trình x 7 + 3 x5 − 2 = 0 có ít nhất một nghiệm. Xét hàm số f ( x ) = x + 3x − 2

liên tục trên R nên f(x) liên tục trên [0;1]. Và

f ( 0 ) = −2 < 0 
 ⇒ f ( 0 ) . f ( 1) < 0
f ( 1) = 2 > 0 

Nên phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm x0 ∈ ( 0;1) , vậy bài toán được chứng minh.

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
 x2 − 4
voi x ≠ − 2

1, f ( x) =  x + 2
tại x = -2

 −4
voi x = − 2

2
voi x < 0
 x
3, f ( x) = 
tai x = 0
1 − x voi x ≥ 0
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

2 − x +1

nÕu x ≠ 3
2, f(x) =  3 − x
4
nÕu x = 3

2 x − 1 , x < 1
4, f ( x) =  2
tại x = 1
,x ≥1
 x

4

tại x = 3


 x2 − 4


a) f ( x ) =  x + 2
 −4


khi x ≠ -2

 x2 − 4 x + 3

b) f ( x ) =  x − 3

5

 2 − x +1

d) f ( x ) =  3 − x

3


tại x0 = -2

khi x = -2

khi x<3

tại x0 = 3

khi x ≥ 3

 2 x + 3x − 5
khi x > 1
khi x ≠ 3

c) f ( x) = 
tại x0 = 1
tại x0 = 3
x −1

7
khi x ≤ 1
khi x = 3

 x2 − 2
 x−2
khi x ≠ 2
khi x > 2


e/ f ( x) =  x − 2
tại x0 = 2
f) f ( x) =  x − 1 − 1
tại x0 = 2
2 2

khi x ≤ 2
khi x = 2
 3x − 4

ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục

2

Bài 3: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0.
 x2 − x − 2
 x2
khi x < 1
khi x ≠ −1

a) f ( x ) =  x + 1
với x0 = -1
b) f ( x) = 
với x0 = 1
2ax − 3 khi x ≥ 1


a
khi x = −1

 x+7 −3
 3x 2 − 1 khi x < 1
khi x ≠ 2

c) f ( x ) =  x − 2
với x0 = 2
d) f ( x) = 
với x0 = 1
2a + 1
khi x ≥ 1

 a −1

khi x = 2

ĐS: a) a = -3 b) a = 2
c) a = 7/6
Bài 4:
a) CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 2 x3 − 10 x − 7 = 0
b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: x 3 + 1000 x + 0,1 = 0
c) CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).
d) Chứng minh phương trình x 2 sin x + x cos x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm x0 ∈ ( 0; π ) .
e) Chứng minh phương trình m ( x − 1)

3

( x − 2) + 2x − 3 = 0

d) a = 1/2

luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Bài 8:
a) x 4 − 5 x + 2 = 0 có ít nhất một nghiệm.
b) x 5 − 3 x − 7 = 0 có ít nhất một nghiệm.
c) 2 x 3 − 3 x 2 + 5 = 0 có ít nhất một nghiệm d) 2 x 3 − 10 x − 7 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; π/3)
f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
g) x 3 + 3 x 2 − 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

(

) ( x + 1) + x − x − 3 = 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m.

i) m ( x − 1) ( x − 4 ) + x − 3 = 0 luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m.
3

2
h) 1 − m

3

2

2

4

5


CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
1/ Các công thức tính đạo hàm:
Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản
′ =0
(C lµ h»ng sè)
(C)

( x ) ′ =1

(kx)’=k (k lµ h»ng
sè )

( x )′ =n.x

(U )′ =n.U

(n∈N, n ≥ 2)

n-1

n

Đạo hàm của hàm số hợp

′
1
1
 ÷ =− 2
x
x
1
( x )′ =
2 x
/
( sin x ) = cos x

n

(x ≠ 0)

′
U′
1

 ÷ =− 2
U
U

(x>0)

( U)

(

=

(U ≠ 0)

U′
2 U

(U > 0)

( sin U ) / = cos U .U /
( cos U ) / = − sin U .U /

( cos x ) /

= − sin x
( tgx ) / = 12 = 1 + tg 2 x
cos x
( cot gx ) / = − 12 = − 1 + cot g 2 x
sin x

′

.U ′

n-1

1
U/
2
cos U
( cot gU ) / = − 12 U /
sin U

.( tgU ) =
/

)

- Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).

( U ± V)

′

( UV )

= U′ ± V ′

′

(k.U)′ = k.U′

= U′V + UV′

(k là hằng số)

′
1
V'
 ÷ =− 2
V
V

′
 U  U′.V − U.V′
 ÷=
V2
V

- Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)] , g ' x = f 'u . U x′
f "(x) = [ f(x)'] '
- Đạo hàm cấp cao của hàm số
Đạo hàm cấp 2 :
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Phương pháp:pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng:
y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)
3/ Vi phân
- Vi phân của hàm số tại nột điểm: df ( x0 ) = f '( x0 ).∆x
- Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: f ( x0 + ∆x ) ≈ f ( x0 ) + f '( x0 )∆x
- Vi phân của hàm số: df ( x) = f '( x )dx hay dy = y ' dx

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
1
a) y = x2 + x ; x0 = 2
b) y = ; x0 = 2
x
2x −1
e) y = x3 - x + 2; x0 = -1
f) y =
; x0 = 3
x −1
h) y = 4cos2x + 5 sin3x; x0 =

π
3

6
m) Cho f ( x ) = ( x + 10 ) . TÝnh f '' ( 2 )

c) y =

x −1
; x0 = 0
x +1

g) y = x.sinx; x0 =

i) Cho f ( x ) = 3 x + 1 , tính f ’’(1)

d) y =

x - x; x0 = 2

π
3

k) Cho y = x cos2x . Tính f”(π)

 π
 2

π
÷
 18 

l) f ( x ) = sin 3x . Tính f ''  − ÷; f '' ( 0 ) ; f '' 

6


Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
x
+3
2

1. y = x 3 − 2 x + 1

5
2. y = 2 x −

5. y = 5 x 2 (3 x − 1)

6. y = ( x 2 + 5) 3

9. y =

2x 2 − 6x + 5
2x + 4

10. y =

13. y = ( x + 1) x 2 + x + 1 14. y =

5x − 3
x + x +1
2

x 2 − 2x + 3
2x + 1
1

4
3. y = 10 x +

2
x2

7. y = ( x 2 + 1)(5 − 3x 2 )

4. y = ( x 3 + 2)( x + 1)
8. y =

2x
x −1
2

11. y = x 2 + 6 x + 7

12. y = x − 1 + x + 2

15) y = (x 7 + x)2

16) y = x2 − 3x + 2

1+ x
1+ x
18) y =
19/ y= x 1 + x 2
20/ y=
1− x
1− x
x x
10
2
2
20
21/ y= (2x+3)
22/ y= x (x - x +1)
23/ y= (x +3x-2)

Bài 3: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1) y = 5sinx - 3cosx 2) y = x.cotx 3) y = cos x. sin 2 x
4) y = cos ( x3 )
5) y = 3 sin 2 x. sin 3x
π
4 x
3
6) y = sin
7) y = cot (2x + )
8) y = 2 + tan 2 x
9) y = sin 4 p- 3x
2
4
x
10) y = 1 + cos 2
11) y = (1 + cot x ) 2
12) y = cot 3 1 + x 2
13) y= sin(sinx)
2
1
sin x + cos x
1 + sin x
14) y = sin 2 (cos3x) 15) y =
16) y =
17) y =
(1 + sin 2 2 x ) 2
sin x − cos x
2 − sin x
17) y =

18) y =

x sin x
1 + tan x

19) y =

sin x
x
+
x
sin x

20) y = tan

x +1
2

Bài 4: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
ax 2 + bx + c
ax + b
ax 2 + bx + c
y=
y=
y=
mx 2 + nx + p
cx + d
dx + e
3x + 4
− x2 + x − 2

x 2 − 3x + 4
y=
Áp dung:
y=
y= 2
− 2x + 1
2x − 1
2x + x + 3
1
Bài 5: Cho hai hàm số : f ( x ) = sin 4 x + cos 4 x và g ( x) = cos 4 x Chứng minh rằng: f '( x) = g '( x ) (∀ x ∈ ℜ ) .
4
3
2
Bài 6: Cho y = x − 3 x + 2 . Tìm x để: a) y’ > 0
b) y’ < 3
x < 0
ĐS: a) 
b) 1 − 2 < x < 1 + 2
x > 2
Bài 7: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x + sin x + x.
b) f(x) = 3 sin x − cos x + x
c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x
d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1
Bài 8: Cho hàm số f(x) = 1 + x. Tính : f(3) + (x − 3)f '(3)
x−3
; CMR :2y '2 = (y − 1)y"
x+4
sin 3 x + cos 3 x
c) Cho hàm số y =

; CMR: y’' = - y
1 − sin x. cos x

Bài 9: a) y =

b) y = 2x − x 2 ; CMR : y3y"+ 1 = 0
d) Cho y =

x−3
x+4

; CMR: 2(y’)2 =(y -1)y’’

1 3
π
π
cos 2 x
4
−
cot
x
+
cot
x
+
x
+
3
+
7

e) Cho y =
; y’ = cot x
f) Cho f(x)=
; f ( ) − 3f ' ( ) = 3
2
4
4
1 + sin x
3
g) Chứng tỏ hàm y = acosx + bsinx thỏa hệ thức y’’ + y = 0
x2 + 2x + 2
h) Cho hàm số: y =
. Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2
2
f
'(
x ) > 0 ∀x ∈ ℜ , biết:
Bài 10: Chứng minh rằng
7


2 9
x − x 6 + 2 x3 − 3x 2 + 6 x − 1
b/ f ( x) = 2 x + sin x
3
x2 + x
Bài 11: Cho hàm số y =
(C)
x−2
a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = - 1.

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1.
a/ f ( x) =

Bài 12: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C)
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2.
Bài 13: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : y = x 3 − 5 x 2 + 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C )
a) Tại M (0;2).
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1.
1
c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x – 4.
7
Bài 14: Cho đường cong (C): y =
a) Tại điểm có hoành độ bằng 1
b) Tại điểm có tung độ bằng

x+2
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
x−2

1
3

c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là −4
Bài 15: Tính vi phân các hàm số sau:
4 x
a) y = x 3 − 2 x + 1
b) y = sin
c) y = x 2 + 6 x + 7

d) y = cos x. sin 2 x e) y = (1 + cot x ) 2
2
Bài 16: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
x +1
2x +1
x
1) y =
2) y = 2
3) y = 2
4) y = x x 2 + 1
x−2
x + x−2
x −1
5) y = x 2 sin x
6) y = (1 − x 2 ) cos x
7) y = x.cos2x
8) y = sin5x.cos2x
ĐS: 1) y '' =

(

6

( x − 2)

)

3

2) y '' =

4 x 3 − 10 x 2 + 30 x + 14

(x

2

+ x−2

)

3) y '' =

3

5) y '' = 2 − x sin x + 4 x cos x 6) y '' = 4 x sin x + ( x 2 − 3) cos x
8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x
2

8

(

2 x x2 + 3

(x

2

)

−1

3

)

4) y '' =

(x

2 x3 + 3x
2

7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x

)

+1

x2 + 1


B. HÌNH HỌC
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
 Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc
• Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 900 .
r r
rr
• Phương pháp 2: a ⊥ b ⇔ u .v = 0 ( u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).

• Phương pháp 3: Chứng minh a ⊥ (α ) ⊃ b hoặc b ⊥ ( β ) ⊃ a
• Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( a ⊥ b ⇔ a ⊥ b ' với b’ là hình chiếu của đt b
lên mp chứa đt a).
 Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P).
• Phương pháp 1: Chứng minh: d ⊥ a và d ⊥ b với a ∩ b = M; a,b ⊂ (P)
• Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a ⊥ (P)
• Phương pháp 3: Chứng minh: d ⊂ (Q) ⊥ (P), d ⊥ a = (P) ∩ (Q).
• Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) ∩ (R) và (Q) ⊥(P), (R) ⊥ (P).
 Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc.
• Phương pháp 1: Chứng minh (P) ⊃ a ⊥ (Q).
• Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) ⊥ (Q).
• Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a ⊥ (Q).
 Dạng 4: Tính góc giữa 2 đt a và b.
• Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ ∩ b’ = O)
- Khi đó: (a, b) = (a’, b’).
 Dạng 5: Tính góc giữa đt d và mp(P).
• Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là ϕ
+) Nếu d ⊥ (P) thì ϕ = 900.
+) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P)
- Khi đó: ϕ = (d,d’)
 Dạng 6: Tính góc ϕ giữa hai mp (P) và (Q).
• Phương pháp 1:
- Xác định a ⊥ (P), b ⊥ (Q).
- Tính góc ϕ = (a,b)
• Phương pháp 2: Nếu (P) ∩ (Q) = d
- Tìm (R) ⊥ d
- Xác định a = (R) ∩ (P)
- Xác định b = (R) ∩ (Q)
- Tính góc ϕ = (a,b).
 Dạng 7: Tính khoảng cách.

• Tính khoảng từ một điểm M đến đt a:
Phương pháp: d ( M , a ) = MH (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a).
• Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P):
Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P).
- d(M, (P)) = AH
• Tính khoảng giữa đt ∆ và mp (P) song song với nó: d(∆, (P)) = d(M, (P)) (M là điểm thuộc ∆).
• Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b:
9


+) Phương pháp 1: Nếu a ⊥ b :
- Dựng (P) ⊃ a và (P) ⊥ b
- Xác định A = (P) ∩ b
- Dựng hình chiếu H của A lên b
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b
+) Phương pháp 2:
- Dựng (P) ⊃ a và (P) // b.
- Dựng hình chiếu b’ của b lên (P). b’ // b, b’ ∩ a = H
- Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A.
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
+) Phương pháp 3:
- Dựng đt (P) ⊥ a tại I cắt b tại O
- Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O).
- Kẻ IK ⊥ b’ tại K.
- Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H.
- Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A.
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
II. BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA ⊥ (ABC).
a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB).

b) Gọi AH là đường cao của ∆SAB. Chứng minh: AH ⊥ SC.
* Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng:
a) BC ⊥ (SAB).
b) SD ⊥ DC.
c) SC ⊥ BD.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: BC ⊥ AD.
b) Gọi AH là đường cao của ∆ADI. Chứng minh: AH ⊥ (BCD).
* Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD = a 2 .
a) Chứng minh SO ⊥ (ABCD).
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IK⊥SD
c) Tính góc giữa đt SB và mp(ABCD).
Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, BC ⊥ AD. Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD). Chứng minh:
a) H là trực tâm ∆BCD.
b) AC ⊥ BD.
* Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = a 3 , SA ⊥
(ABCD).
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO⊥ (ABCD).
c) Tính góc giữa SC và (ABCD).
* Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA ⊥ (ABCD) . Gọi H, K lần lượt là hình
chiếu vuông góc của A lên SB, SD.
a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), BD ⊥ (SAC).
b) Chứng minh SC ⊥ (AHK).
c) Chứng minh HK ⊥ (SAC).
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC = a, SA ⊥ (ABC).
Gọi I là trung điểm BC.
a) Chứng minh BC ⊥ (SAI).
b) Tính SI.
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).

Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA ⊥ (ABC) và SA = a, AC = 2a.
a) Chứng minh rằng: (SBC) ⊥ (SAB).
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
d) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BC.
10


BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a.
Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường thẳng AB và AC.
a. CMR: BC ⊥ (OAI).
b. CMR: (OAI) ⊥ (OHK).
c. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC).
ĐS: a / 3
d. Tính côsin của góc giữa OA và mp (OHK).
ĐS: cos α = 6 / 3
e. Tính tang của góc giữa (OBC) và (ABC).
ĐS: tan ϕ = 2
f. Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng HK và OI. Tính khoảng cách giữa chúng. ĐS: a / 2
* Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a 2 .
a. CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b. CMR: mp (SAC) ⊥ mp(SBD) .
c. Tính góc α giữa SC và mp (ABCD), góc β giữa SC và mp (SAB).
ĐS: α = 450 , β = 300
d. Tính tang của góc ϕ giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).
ĐS: tan ϕ = 2
e. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ A đến mp (SCD) ĐS: a 6 / 3
f. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SC và BD. Tính khoảng cách chúng ĐS: a / 2
g. Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, C, D và tính SI.

ĐS: SI = a
* Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, SA = SB = SD = a 3 / 2
·
= 60 0 . Gọi H là hình chiếu của S trên AC.
và BAD
a. CMR: BD ⊥ (SAC) và SH ⊥ (ABCD) .
b. CMR: AD ⊥ SB .
c. CMR: (SAC) ⊥ (SBD).
d. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) và SC.
ĐS: SH = a 15 / 6 và SC = a 7 / 2
e. Tính sin của góc α giữa SD và (SAC), côsin của góc β giữa SC và (SBD). ĐS: 3 / 3 và 3 / 14 .
ĐS: a 10 / 12
g. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SH và BC. Tính khoảng cách giữa chúng ĐS: a 3 / 3
f. Tính khoảng cách từ H đến (SBD).

Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạch a. Gọi O là tâm của tứ giác ABCD; và M, N lần lượt
là trung điểm của AB và AD.
a. CMR: BD ⊥ (ACC'A ') và A’C ⊥ (BDC') .
b. CMR: A 'C ⊥ AB' .
c. CMR: (BDC’) ⊥ (ACC’A’) và (MNC’) ⊥ (ACC’A’).
d. Tính khoảng cách từ C đến mp(BDC’).
ĐS: a / 3
e. Tính khoảng cách từ C đến mp(MNC’).
ĐS: 3a / 17
ĐS: a 3 / 3

f. Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’.

11