Một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

DƯƠNG VIỆT THÔNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT
ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ
KHÔNG GIÃN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

DƯƠNG VIỆT THÔNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT
ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ
KHÔNG GIÃN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 62460102
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. GS. TS. Nguyễn Bường
2. GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả
của luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công
trình nào khác.

NCS. Dương Việt Thông

1


LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của các thầy giáo,
GS. TS. Nguyễn Bường và GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh. Tác giả xin bày tỏ lòng
kính trọng và biết ơn sâu sắc đến các Thầy. Các Thầy đã truyền thụ kiến thức,
từng bước định hướng nghiên cứu, giúp tác giả tiếp cận vấn đề một cách tự
nhiên để từ đó có thể chủ động, tự tin trong suốt quá trình học tập và nghiên
cứu. Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần của
thầy Nguyễn Bường và thầy Phạm Kỳ Anh đã giúp cho tác giả có ý thức trách
nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận án của mình.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến PGS. TSKH. Đỗ Hồng Tân vì
những chỉ dẫn tận tình và những ý kiến đóng góp quý báu của Thầy dành cho
tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin chân thành cám ơn TS. Nguyễn Thị Thanh Hà, TS. Lê Anh
Dũng, TS. Nguyễn Văn Khiêm và TS. Nguyễn Thế Vinh đã động viên và góp
nhiều ý kiến quý báu trong suốt thời gian tác giả tham gia Seminar "Một số
vấn đề trong lý thuyết KKM và lý thuyết điểm bất động" do Bộ môn Giải

tích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tổ chức.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các phản biện độc lập về những nhận xét
quý báu, nhờ đó mà bản thảo lần này đã có những cải thiện đáng kể.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo Bộ môn Giải
tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Đào tạo Sau đại học cùng toàn thể
2


các thầy giáo, cô giáo, cán bộ và nhân viên của Khoa Toán - Cơ - Tin học,
Trường ĐHKHTN đã tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian tác
giả hoàn thành luận án của mình.
Tác giả xin được bày tỏ sự biết ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Kinh
tế Quốc dân, các Thầy Cô trong Bộ môn Toán cơ bản, Khoa Toán Kinh tế
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập,
nghiên cứu cũng như giảng dạy trong Nhà trường.
Xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến toàn thể bạn bè và người thân, những
người đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu
và hoàn thành luận án này.

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

3


Mục lục

Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Một số ký hiệu và chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1. Giới thiệu về hình học không gian Banach . . . . . . . . . . . .

17

1.2. Ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.3. Tốc độ hội tụ của một số phương pháp lặp

. . . . . . . . . . .

27

1.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Chương 2. PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1. Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ không giãn . . . . .

38

2.2. Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ giả co chặt . . . . .

47

2.3. Kết luận

54

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 3. PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1. Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho nửa nhóm ánh xạ không giãn

56

3.2. Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz 67
3.3. Phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn có sai số . . . . . . . . . . . . .

74

3.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

KẾT LUẬN CHUNG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.

Kết quả đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

84


2.

Kiến nghị một số hướng nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . .

84

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN
ĐẾN LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5


MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

R

tập số thực

N

tập số tự nhiên

⇀

hội tụ yếu

w∗

⇀

hội tụ * yếu

F (T )

tập điểm bất động của ánh xạ T

ωw (xn )

tập các điểm tụ yếu của dãy xn

F (T (t))
t≥0

tập điểm bất động chung của họ ánh xạ {T (t) : t ≥ 0}

lim = lim sup

giới hạn trên

lim = lim inf

giới hạn dưới

PC (x)

hình chiếu của x lên tập C

X

không gian Banach

X∗

không gian liên hợp của không gian X

2X

tập hợp tất cả các tập con của X

2X

∗

tập hợp tất cả các tập con của X ∗

δ(ǫ)

môđun lồi của không gian Banach

J

ánh xạ đối ngẫu của không gian X

Jλ = (I + λA)−1
1
Aλ = (I − Jλ )
λ
., .

giải thức của toán tử A
xấp xỉ Yosida
giá trị của cặp đối ngẫu hoặc tích vô hướng
6


MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động do L. E. J. Brouwer khởi xướng năm 1912 đến
nay đã được hơn 100 năm tuổi. Đó là một chương quan trọng của Giải tích
phi tuyến, sâu sắc về lý thuyết, phong phú trong ứng dụng, gắn liền với tên
tuổi của các nhà Toán học lớn như: E. Picard, L. E. J. Brouwer, S. Banach, J.
Schauder, S. Kakutani, A. N. Tikhonov, Ky Fan, F. E. Browder,...
Trong sáu thập kỷ qua, nghiên cứu điểm bất động của lớp ánh xạ không
giãn là một trong những chủ đề được quan tâm rộng rãi của giải tích phi tuyến.

Điều này kết nối giữa lý thuyết hình học của không gian Banach cùng với sự
liên quan của lý thuyết toán tử đơn điệu và toán tử tăng trưởng. Như ta đã
biết nếu ký hiệu X ∗ là không gian đối ngẫu của không gian Banach X, toán
tử đa trị A : X → 2X với miền xác định D(A) được gọi là đơn điệu nếu
∗

x∗ − y ∗ , x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ D(A) và x∗ ∈ A(x), y ∗ ∈ A(y).
Toán tử đa trị A : X → 2X được gọi là toán tử đơn điệu cực đại nếu A là
∗

toán tử đơn điệu trên X sao cho với mọi x ∈ X và x∗ ∈ X ∗ thỏa mãn
x∗ − y ∗ , x − y ≥ 0 ∀y ∈ D(A) và y ∗ ∈ A(y)
thì x∗ ∈ A(x).

Toán tử đa trị A : X → 2X được gọi là toán tử tăng trưởng nếu ∀x, y ∈

D(A) và x∗ ∈ A(x), y ∗ ∈ A(y) tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
x∗ − y ∗ , j(x − y) ≥ 0.
7


Một trong những sự kiện liên quan giữa toán tử đơn điệu và toán tử tăng
trưởng là chúng trùng nhau trong không gian Hilbert. Các tính chất của toán
tử đơn điệu và toán tử tăng trưởng là rất quan trọng trong các lĩnh vực như
giải tích số, phương trình đạo hàm riêng, giải tích lồi. Điều đặc biệt là dưới vi
phân của một hàm lồi là toán tử đơn điệu. Nhắc lại rằng, trong không gian
Banach X cho hàm f : X → (−∞, +∞], dưới vi phân của f là toán tử đa trị

∂f : X → 2X được xác định bởi
∗

∂f (x) := {j ∈ X ∗ : f (y) − f (x) ≥ y − x, j ∀y ∈ X} ∀x ∈ X.
Nếu f là nửa liên tục dưới và lồi chính thường trong không gian Banach thực
phản xạ thì ∂f là đơn điệu cực đại [28]. Dễ thấy rằng 0 ∈ ∂f (x) nếu và chỉ nếu

x=argmin{f (y) : y ∈ X}. Như vậy vấn đề tìm cực tiểu của hàm lồi dẫn đến

tìm không điểm của toán tử đơn điệu. Mối quan hệ giữa toán tử đơn điệu và

ánh xạ không giãn là dựa trên sự kiện sau: nếu T là ánh xạ không giãn trong
không gian Hilbert thì A := I − T là toán tử đơn điệu và tập điểm bất động

của ánh xạ không giãn T trùng với tập không điểm của toán tử đơn điệu.

H. Brezis, M. G. Crandall và A. Pazy đưa ra khái niệm giải thức của toán tử
đơn điệu trong không gian Banach trong [17]. Họ đã thiết lập các tính chất cơ
bản của giải thức và đặc biệt điểm bất động của giải thức liên quan đến không
điểm của toán tử đơn điệu. Trong không gian Banach X cho A : X → 2X là

toán tử đơn điệu cực đại. Khi đó giải thức Jλ của toán tử A là ánh xạ đơn trị
và được xác định theo công thức Jλ = (I + λA)−1 , ∀λ > 0. Chúng ta biết rằng
A−1 0 = F (Jλ ). Hơn nữa, Jλ là ánh xạ không giãn. Suy ra vấn đề tìm không

điểm của toán tử đơn điệu cực đại A tương đương với vấn đề tìm điểm bất
động của ánh xạ không giãn Jλ .
Giữa lớp ánh xạ không giãn và toán tử tăng trưởng là lớp ánh xạ giả co.
Ánh xạ T : X → X trong không gian Banach X được gọi là ánh xạ giả co nếu

∀x, y ∈ X tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho

T x − T y, j(x − y) ≤ x − y 2 .
8


Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt
[1] L. A. Dũng (2009), Điểm bất động và ứng dụng trong không gian Banach,
không gian metric, không gian metric siêu lồi, Luận án tiến sỹ Toán học,
ĐHSP Hà Nội.
[2] N. X. Liêm (2002), Giải tích hàm, NXB Giáo dục.
[3] Đ. H. Tân và N. T. T. Hà (2003), Các định lý điểm bất động, NXB Đại
học Sư phạm Hà Nội.
[4] N. T. Vinh (2011), Lý thuyết KKM trong nửa dàn tôpô và ứng dụng, Luận
án tiến sỹ Toán học, Viện Toán học.
Tiếng Anh
[5] R. P. Agarwal, D. O’Regan, D. Sahu (2009), Fixed point theory for
Lipschitzian-type mappings with applications, Spinger.
[6] R. P. Agarwal, X. Qin, S. M. Kan (2011), "Strong convergence theorems
for strongly continuous semigroups of pseudocontractions", Appl. Math.
Letters., 24, pp. 1845-1848.
[7] A. Aleyner, Y. Censor (2005), "Best approximation to common fixed points
of a semigroup of nonexpansive operators", J. Nonlinear Convex Anal., 6,
pp. 137–151.

87


[8] P. K. Anh, N. Buong, D.V. Hieu (2014),"Parallel methods for regularizing
systems of equations involving accretive operators", Appl. Anal., 93, pp.

2136-2157.
[9] P. K. Anh, C.V. Chung (2104), "Parallel hybrid methods for a finite family
of relatively nonexpansive mappings", Numer. Funct. Anal. Optim., 35, pp.
649-664.
[10] P. N. Anh (2012), "Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and Ky Fan inequalities", J. Optim. Theory Appl., 154, pp. 303-320.
[11] P. K. Anh, D.V. Hieu, "Parallel and sequential hybrid methods for a finite
family of quasi ϕ- asymptotically nonexpansive mappings", J. Appl. Math.
Comput., DOI: 10.1007/s12190-014-0801-6.
[12] G. V. R. Babu, K. N. V. V. Vara Prasad (2006), "Mann iteration converges
faster than Ishikawa iteration for the class of Zamfirescu operators", Fixed
Point Theorey and Applications, vol. 2006, Article ID 49615, 6 pages.
[13] J. Banasiak, L. Arlotti (2006), Perturbations of Positive Semigroups with
Applications, Springer, London.
[14] V. Berinde (2007), Iterative Approximation of Fixed Points, Spinger Verlag, Lectures Notes in Mathematics, 1912.
[15] V. Berinde (2004), "On the convergence of the Ishikawa iteration in
the class of quasi contractive operators", Acta Mathematica Universitatis
Comenianae, 73, pp. 119-126.
[16] V. Berinde (2004), "Picard iteration converges faster than Mann iteration for a class of quasi-contractive operators", Fixed Point Theorey and
Applications, 2, pp. 97-105.

88


[17] H. Brezis, M. G. Crandall, A. Pazy (1970), "Perturbations of nonlinear
maximal monotone sets in Banach spaces", Comm. Pure Appl. Math., 23,
pp. 123–144.
[18] F. E. Browder (1967), "Convergence of approximants to fixed points
of nonexpansive non-linear mappings in Banach spaces", Arch. Rational
Mech. Anal., 24, pp. 82-90.
[19] F. E. Browder, W.V. Petryshyn (1967), "Construction of fixed points of

nonlinear mapping in Hilbert space", J. Math. Anal. Appl., 20, pp. 197-228.
[20] N. Buong, L. T. Duong (2011), "An explicit iterative algorithm for a class
of variational inequalities in Hilbert spaces", J. Optim. Theory Appl., 151,
pp. 513-524.
[21] N. Buong (2010), " Strong convergence theorem for nonexpansive semigroups in Hilbert space", Nonlinear Anal., 72, 4534-4540.
[22] N. Buong (2010), "Strong convergence theorem of an iterative method for
variational inequalities and fixed point problems in Hilbert spaces", Appl.
Math. Comp., 217, pp. 322-329.
[23] N. Buong (2011), "Hybrid-Ishikawa iterative methods for a nonexpansive
semigroup in Hilbert space", Comp. Math. Appl., 61, pp. 2546-2554.
[24] N. Buong, N. D. Lang (2011), "Hybrid Mann-Halpern iteration methods
for nonexpansive mappings and semigroups", Appl. Math. Comp., 218, pp.
2459-2466.
[25] L. C. Ceng, S. AI-Homidan, Q. H. Ansari, J.C. Yao (2009), "An iterative
scheme for equilibrium problems and fxed point problems of strict pseudocontraction mappings", J. Comp. Appl. Math., 223, pp. 967-974.

89


[26] Y. Censor, S. A. Zenios (1997), Parallel Optimization: Theory, Algorithms,
and Applications, Numerical Mathematics and Scientific Computation,
Oxford University Press, New York, NY, USA.
[27] F. Cianciaruso, G. Marino, L. Muglia (2010), "Iterative methods for equilibrium and fixed point problems for nonexpansive semigroups in Hilbert
spaces", J. Optim. Theory Appl., 146, pp. 491-509.
[28] I. Cioranescu (1990), Geometry of Banach spaces, Duality Mappings, and
Nonlinear Problems, Kluwer Academic Publishers.
[29] R. Chen, H. He (2007), "Viscosity approximation of common fixed points
of nonexpansive semigroups in Banach spaces", Appl. Math. Lett., 20, pp.
751-757.
[30] J. Chen, L. Zhang, T. Fan (2007), "Viscosity approximation methods for

nonexpansive mappings and monotone mappings", J. Math. Anal. Appl.,
334, pp. 1450-1461.
[31] R. Chen, Y. Song, (2007), "Convergence to common fixed point of nonexpansive semigroups", J. Comput. Appl. Math., 200, pp. 566-575.
[32] R. D. Chen, Y. S. Song, H. Zhou (2006), "Convergence theorems for implicit iteration process for a finite family of continuous pseudocontractive
mappings", J. Math. Anal. Appl., 314, pp. 701-706.
[33] C. E. Chidume, M. Abbas, B. Ali (2007), "Convergence of the Mann
iteration algorithm for a class of pseudocontractive mappings", Appl. Math.
Comp., 194, pp. 1-6.
[34] C. E. Chidume, N. Shahzad (2010), "Weak convergence theorems for a
finite family of strict pseudocontractions", Nonlinear Anal., 72, pp. 12571265.
90


[35] P. Cholamjiak, S. Suantai (2013), "Iterative methods for solving equilibrium problems, variational inequalities and fixed points of nonexpansive
semigroups", J. Glob. Optim., 57, pp. 1277-1297.
[36] Dr. Christian, O. Ewald (2007), Games, Fixed Points and Mathematical
Economics, Lecture Notes for a course in Game Theory.
[37] C. S. Chuang, L. J. Lin, W. Takahashi (2013), "Halpern’s type iterations with perturbations in Hilbert spaces: equilibrium solutions and fixed
points", J. Glob. Optim., 56, pp. 1591-1601.
[38] V. Colao, G. Marino, H. K. Xu (2008), "An iterative method for finding
common solutions of equilibrium and fixed point problems", J. Math. Anal.
Appl., 344, pp. 340-352.
[39] K. Deimling (1974), "Zeros of accretive operators", Manuscripta Math.,
13, pp. 365-374.
[40] K. Goebel, W. A. Kirk (2008), "Some problems in metric fixed point
theory", J. Fixed point Theory Appl., 4, pp. 13-25.
[41] J. P. Gossez, E. Lami Dozo (1972), "Some geometric properties related to
the fixed point theory for nonexpansive mappings", Pacific J. Math., 40,
pp. 565-573.
[42] C. W. Groetsch (1972), "A note on segmenting Mann iterates", J. Math.

Anal. Appl., 40, pp. 369-372.
[43] B. Halpern (1967), "Fixed points of nonexpanding maps", Bull. Amer.
Math. Soc., 73, pp. 957-961.
[44] Y. Hao (2008), "Convergence theorems of common fixed points for pseudocontractive mappings", Fixed Point Theory Appl., Vol. 2008 Art. ID
902985.
91


[45] J. G. O’Hara, P. Pillay, H. K. Xu (2006), "Iterative approaches to convex
feasibility problems in Banach spaces", Nonlinear Anal., 64, pp. 2022-2042.
[46] H. He, R. Chen (2007), "Strong convergence theorems of the CQ
method for nonexpansive semigroups", Fixed Point Theorey and Applications, vol. 2007, Article ID 59735, 8 pages.
[47] H. He, R. Chen (2007), "Strong convergence theorems of the CQ method
for nonexpansive semigroups", Fixed Point Theorey and Applications, vol.
2007, Article ID 59735, 8 pages.
[48] S. Ishikawa (1974), "Fixed points by a new iteration method", Proc. Amer.
Math. Soc., 44, pp. 147-150.
[49] C. Jaiboon, P. Kumam (2010), "A general iterative method for solving
equilibrium problems, variational inequality problems and fixed point problems of an infinite family of nonexpansive mappings", J. Appl. Math. Comput., 34, pp. 407-439.
[50] A. Kaewcharoen, W.A. Kirk (2006), "Proximinality in geodesic spaces",
Abstr. Appl. Anal. Article ID 43591, 10 pages.
[51] S. Kamimura, W. Takahashi (2000), "Weak and strong convergence of solutions to accretive operator inclusions and applications", Set-Valued Anal.,
8, pp. 361-374.
[52] R. Kannan (1973), "Construction of fixed points of class of nonlinear
mappings", J. Math. Anal. Appl., 41, pp. 430-438.
[53] R. Kannan (1971), " Some results on fixed points-III", Fund. Math., 70,
pp. 169-177.
[54] T. H. Kim, H. K. Xu (2006), "Strong convergence of modified Mann iterations for asymptotically nonexpansive mappings and semigroups", Nonlinear Anal. Appl., 64, pp. 1140-1152.
92

[55] M. A. Krasnoselskij (1955), "Two remarks on the method of successive
approximations", Uspekhi Mat. Nauk., 10, pp. 123-127.
[56] P. Kumam (2009), "A new hybrid iterative method for solution of equilibrium problems and fixed point problems for an inverse strongly monotone
operator and a nonexpansive mapping", J. Appl. Math. Comput., 29, pp.
263-280.
[57] T. Laokul, B. Panyanak (2009), "Approximating fixed points of nonexpansive mappings in CAT(0) spaces", Int. Journal Math. Analysis, 3, pp.
1305-1315.
[58] H. Y. Li, H. Z. Li (2009), "Strong convergence of an iterative method for
equilibrium problems and variational inequality problems", Fixed Point
Theory and Applications, vol. 2009, article ID 362191, 21 pages.
[59] W. R. Mann (1953), "Mean value methods in iterations",Proc. Amer.
Math. Soc., 4, pp. 506-510.
[60] G. Marino, H. K. Xu (2007), "Weak and strong convergence theorems for
strict pseudo-contractions in Hilbert spaces", J. Math. Anal. Appl., 329,
pp. 336-346.
[61] A. Moudafi (2013), "A relaxed alternating CQ-algorithm for convex feasibility problems", Nonlinear Anal., 79, pp. 117-121.
[62] A. Moudafi (2000), "Viscosity approximating methods for fixed point
problems", J. Math. Anal. Appl., 241, pp. 46-55.
[63] K. Nakajo, W. Takahashi (2003), "Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups", J. Math. Anal. Appl.
279, pp. 372-379.

93


[64] W. Nilsrakoo, S. Saejung (2008), "Weak and strong convergence theorems
for countable Lipschitzian mappings and its applications", Nonlinear Anal.,
69, pp. 2695-2708.
[65] W. Nilsrakoo, S. Saejung (2011), "Strong convergence theorems by
Halpern-Mann iterations for relatively nonexpansive mappings in Banach

spaces Appl. Math. Comp., 217, pp. 6577-6586.
[66] M. O. Osilike (2004), "Implicit iteration process for common fixed points
of a finite family of strictly pseudocontractive maps", J. Math. Anal. Appl.,
294, pp. 73-81.
[67] B. Panyanak (2008), "Mann and Ishikawa iterative processes for multivalued mappings in Banach spaces", Comp. Math. Appl., 54, 872-877.
[68] J. W. Peng, J.C. Yao (2010), "Ishikawa iterative algorithms for a generalized equilibrium problem and fixed point problems of a pseudo-contraction
mapping", J. Glob. Optim., 46, pp. 331-345.
[69] S. Plubtieng, R. Punpaeng (2008), "A new iterative method for equilibrium problems and fixed point problems of nonexpansive mappings and
monotone mappings", Appl. Math. Comp., 197, pp. 548-558.
[70] S. Plubtieng, R. Punpaeng (2007), "A general iterative method for equilibrium problems and fixed point problems in Hilbert spaces", J. Math.
Anal. Appl., 336, pp. 455-469.
[71] S. Plubtieng, T. Thammathiwat (2010), "A viscosity approximation
method for equilibrium problems, fixed point problems of nonexpansive
mappings and a general system of variational inequalities", J. Glob. Optim., 46, pp. 447-464.

94


[72] O. Popescu (2007), "Picard iteration converges faster than Mann iteration
for a class of quasi-contractive operators", Mathematical Communications,
12, pp. 195-202.
[73] X. Qin, Y. J. Cho (2010), "Implicit iterative algorithms for treating
strongly continuous semigroups of Lipschitz pseudocontractions", Appl.
Math. Lett., 23, pp. 1252-1255.
[74] X. Qin, S. M. Kang, Y. J. Cho (2010), "Approximating zeros of monotone
operators by proximal point algorithms" J. Glob. Optim., 46, pp. 75-87.
[75] Y. Qing, B. E. Rhoades (2008), "Comments on the rate of convergence
between Mann and Ishikawa iterations applied to Zamfirescu operators",
Fixed Point Theory and Applications, vol. 2008, Article ID 387504, 3 pages.
[76] S. Saeidi (2008), "Approximating common fixed points of Lipschitzian

semigroup in smooth Banach spaces", Fixed Point Theory and Applications, vol. 2008, article ID 363257, 17 pages.
[77] S. Saejung (2008), "Strong convergence theorem for nonexpansive semigroups without Bochner integrals", Fixed Point Theorey and Applications,
vol. 2008, Article ID 745010, 7 pages.
[78] M. I. Sezan, H. Stark (1987), "Application of convex projection theory
to image recovery in tomography and related areas", in Image Recovery:
Theory and Applications, H. Stark, Ed., pp. 415-462, Academic Press, Orlando, Fla, USA.
[79] N. Shahzad, J. Markin (2008), "Invariant approximations for commuting
mappings in CAT(0) and hyperconvex spaces", J. Math. Anal. Appl., 337,
pp. 1457-1464.

95


[80] T. Shimizu, W. Takahashi (2007), "Strong convergence to common fixed
points of families of nonexpansive mappings", J. Math. Anal. Appl., 211,
pp. 71-83.
[81] T. Shi, S. He (2010), "Modified hybrid algorithms for Lipschitz quasipseudo-contractive mappings in Hilbert spaces", Comp. Math. Appl., 59,
pp. 2940-2950.
[82] S
¸ . M. S
¸ olutuz (2005), "The equivalence of Picard, Mann and Ishikawa
iterations dealing with quasi-contractive operators", Mathematical Communications, 10, pp. 81-88.
[83] Y. Song, R. Chen (2007), "Convergence theorems of iterative algorithms
for continuous pseudocontractive mappings", Nonlinear Anal., 67, pp. 486497.
[84] Y. Song, J. I. Kang, Y. J. Cho (2010), "On iterations methods for zeros
of accretive operators in Banach spaces", Appl. Math. and Comp., 216, pp.
1007-1017.
[85] Y. Song, S. Xu (2008), "Strong convergence theorems for nonexpansive
semigroup in Banach spaces", J. Math. Anal. Appl., 338, pp. 152-161.
[86] Y. Song (2007), "On a Mann type implicit iteration process for continuous

pseudo-contractive mappings", Nonlinear Anal., 67, pp. 3058-3063.
[87] Y. Su, X. Qin (2008), "Monotone CQ iteration processes for nonexpansive
semigroups and maximal monotone operators", Nonlinear Anal., 68, pp.
3657-3664.
[88] Y. Su, M. Li, H. Zhang (2011), "New monotone hybrid algorithm for
hemi-relatively nonexpansive mappings and maximal monotone operators",
Appl. Math. Comp., 217, pp. 5458-5465.
96


[89] T. Suzuki (2005), "Strong convergence of Krasnoselskii and Mann’s type
sequences for one- parameter nonexpansive semigroups without Bochner
integrals", J. Math. Anal. Appl., 305, pp. 227-239.
[90] T. Suzuki (2003), " On strong convergence to common fixed points of
nonexpansive semigroups in Hilbert space", Proc. Amer. Math. Soc., 131,
pp. 2133-2136.
[91] W. Takahashi (2000), Nonlinear Functional Analysis, Fixed Point Theory
and Its Applications, Yokohama Publishers, Yokohama, Japan.
[92] W. Takahashi, Y. Takeuchi, R. Kubota (2008), "Strong convergence theorems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert
spaces", J. Math. Anal. Appl., 341, pp. 276-286.
[93] S. Thianwan (2009), "Common fixed points of new iterations for two
asymptotically nonexpansive nonself mappings in a Banach space", J. Comput. Appl. Math., 224, pp. 688-695.
[94] N. T. T. Thuy (2103), "A new hybrid method for variational inequality
and fixed point problems", Vietnam J. Math., 41, pp. 353-366.
[95] N. T. T. Thuy (2014), "A strongly convergent shrinking descent-like
Halpern’s method for monotone variational inequality and fixed point problems", Acta Math. Vietnam, 39, pp. 379-391.
[96] N. T. T. Thuy (2015), "An iterative method for equilibrium, variational inequality, and fixed point problems for a nonexpansive semigroup in hilbert
spaces", Bull. Malays. Math. Sci. Soc., 38, pp. 113-130.
[97] Z. M. Wang, Y. Su, S, Y. Cho, W. Lou (2011), "A new iterative algorithm
for equilibrium and fixed point problems of nonexpansive mapping", J.

Glob. Optim., 50, pp. 457-472.
97


[98] R. Wittmann (1992), "Approximation of fixed points of nonexpansive
mappings", Arch. Math., 58, pp. 486-491.
[99] H. K. Xu (1998), "Approximations to fixed points of contraction semigroups in Hilbert spaces", Numer. Funct. Anal. Optim., 19, pp. 157-163.
[100] Z. Xue (2008), "The comparison of the convergence speed between Picard, Mann, Krasnoselskij and Ishikawa iterations in Banach spaces", Fixed
Point Theorey and Applications, vol. 2008, Article ID 387056, 5 pages.
[101] H. K. Xu (2005), "A strong convergence theorem for contractions semigroups in Banach spaces", Bull. Austr. Math. Soc., 72, pp. 371-379.
[102] H. K. Xu (2004), "Viscosity approximation methods for nonexpansive
mappings", J. Math. Anal. Appl., 298, pp. 279-291.
[103] H. K. Xu (2005), "A strong convergence theorem for contraction semigroups in Banach spaces", Bull. Austral. Math. Soc., 72, pp. 371-379 .
[104] H. K. Xu (2001), "Strong asymptotic behavior of almost-robits of nonlinear semigroups", Nonlinear Anal., 46, pp. 135-151.
[105] H. K. Xu, R. G. Ori (2001), "An implicit iteration process for nonexpansive mappings", Numer. Funct. Anal. Optimiz., 22, pp. 767-773.
[106] Yamada, N. Ogura (2004), "Hybrid steepest descent method for variational inequality problem over the fixed point set of certain quasinonexpansive mappings", Numer. Func. Anal. Opt., 25, pp. 619-656.
[107] G. M. Yanes, H. K. Xu (2006), "Strong convergence of the CQ method
for fixed point iteration processes", Nonlinear Anal., 64, pp. 2400-2411.
[108] Y. Yao, Y. C. Liou, J. C. Yao (2007), "Convergence theorem for equilibrium problems and fixed point problems of infinite family of nonexpan98


sive mappings", Fixed Point Theory and Applications, vol. 2007, article ID
64363, 12 pages.
[109] I. Yildirim, M. Ozdemir, H. Kiziltunc (2009) "On the convergence of
a new two-step iteration in the class of quasi-contractive operators", Int.
Journal of Math. Analysis, 3, pp. 1881-1892.
[110] D. C. Youla (1987), "Mathematical theory of image restoration by the
method of convex projections", in: H. Stark (Ed.), Image Recovery: Theory
And Applications, Academic Press, Florida, pp. 29-77.
[111] T. Zamfirescu (1972), "Fixed point theorems in metric spaces", Archiv

der Mathematik, 23, pp. 292-298.
[112] S. S. Zhang (2009), "Convergence theorem of common fixed points
for Lipschitzian pseudo-contraction semi-groups in Banach spaces", Appl.
Math. Mech. -Engl. Ed., 30, pp. 145-152.
[113] S. S. Zhang (2010), "Weak convergence theorem for Lipschitzian pseudocontraction semigroups in Banach spaces", Acta Mathematica Sinica,
Einglish Series, 26, pp. 337-344.
[114] H. Zhou (2008), "Convergence theorems of common fixed points for a
finite family of Lipschitz pseudocontractions in Banach spaces", Nonlinear
Anal., 68, pp. 2977-2983.

99