Các dạng phương trình lượng giác

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------

NGÔ THỊ THÚY

ĐỀ TÀI
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Đình Định

HÀ NỘI - 2015


Mở đầu
Lượng giác là chuyên đề quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Các bài
toán lượng giác thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học,
Cao đẳng.
Việc giảng dạy lượng giác đã được đưa vào chương trình từ lớp 10 bậc trung học
phổ thông, trong đó phần kiến thức về phương trình lượng giác chiếm vai trò trọng
tâm. Tuy nhiên, do thời gian hạn hẹp của chương trình phổ thông, không nêu được
đầy đủ chi tiết tất cả các dạng bài toán về phương trình lượng giác. Vì vậy học sinh
thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán nâng cao về phương trình lượng
giác trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. Mặc dù đã có nhiều tài liệu
tham khảo về lượng giác với các nội dung khác nhau, nhưng chưa có chuyên đề
riêng khảo sát về phương trình lượng giác một cách hệ thống.

Đặc biệt, nhiều dạng toán về đại số và lượng giác có quan hệ chặt chẽ, khăng khít
với nhau , không thể tách rời được. Nhiều bài toán lượng giác cần có sự trợ giúp
của đại số, giải tích và ngược lại, ta có thể dùng lượng giác để giải một số bài toán
về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình trong đại số thông qua cách
đặt ẩn phụ là những hàm lượng giác.
Do đó, để đáp ứng nhu cầu về giảng dạy, học tập và góp phần nhỏ bé vào sự
nghiệp giáo dục, luận văn “ Các dạng phương trình lượng giác” nhằm hệ thống
các kiến thức cơ bản về phương trình lượng giác, đồng thời kết hợp với các kiến
thức đại số, giải tích để tổng hợp, chọn lọc và phân loại các phương pháp giải
phương trình và xây dựng một số lớp bài toán mới.
Luận văn được chia làm 2 chương.
Chương I. Các dạng phương trình lượng giác
- Hệ thống lại các dạng phương trình lượng giác cơ bản.
- Đưa ra một số mẹo để giải phương trình lượng giác.
- Đưa ra cách giải một số phương trình lượng giác không mẫu mực.
Chương II. Ứng dụng
- Trình bày một số ứng dụng của lượng giác trong một số dạng toán đại số.
- Nêu các ví dụ minh họa đối với từng dạng toán.
- Nêu một số bài tập ứng dụng.
Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS. Lê Đình Định,
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN. Từ đáy lòng mình, tôi xin được bày
1


tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn nhiệt
tình, chu đáo của thầy trong suốt thời gian tôi thực hiện luận văn này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành của mình đến quý Thầy Cô giáo trong khoa
Toán – Cơ – Tin, phòng Sau Đào Tạo Trường Đại Học Khoa học Tự Nhiên – ĐHQGHN,
đặc biệt là những Thầy Cô giáo đã từng giảng dạy ở lớp PPTSC, khóa học 2013 – 2015.
Cảm ơn Thầy Cô đã truyền cho tôi kiến thức và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học

tập tại khoa. Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán PPTSC,
khóa học 2013 - 2015 đã động viên, giúp tôi có cơ hội thảo luận và trình bày về một
số vấn đề trong luận văn của mình.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình và bạn bè đã
luôn ủng hộ và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong thời gian vừa qua.
Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của luận văn thạc sĩ, nên chắc
rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được
sự chỉ dạy và đóng góp ý kiến của Thầy Cô và độc giả quan tâm tới luận văn này.
Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2015
Học viên

Ngô Thị Thúy

2


Mục lục
1 CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1.1 Các phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . .
1.1.1 Dạng phương trình . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Cách giải và biện luận . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Các công thức lượng giác . . . . . . . . . . .
1.1.4 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phương trình hạ bậc bậc 2 . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Dạng phương trình . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Cách giải và biện luận . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Phương trình bậc nhất dạng a cos x + b sin x = c . .

1.3.1 Dạng phương trình . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Cách giải và biện luận . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Phương trình bậc hai dạng a(f (x))2 + bf (x) + c = 0
1.4.1 Dạng phương trình . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Cách giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Phương trình đẳng cấp theo sin x và cos x . . . . .
1.5.1 Dạng phương trình . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Cách giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Phương trình đối xứng theo sin x và cos x . . . . . .
1.6.1 Cách giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Các kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . .
1.6.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Một số mẹo lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Đổi biến cos 2x = t hoặc sin 2x = t . . . . .
1.7.2 Đổi biến t = sin x ± cos x . . . . . . . . . . .
x
. . . . . . . . . . . . . .
1.7.3 Đổi biến t = tan
2
3

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

5
5
5
5
7
10
12
13
13
13
13
15
17
17
17
17
21
23
23
23
23
25
27
27
27
27

29
31
31
31
31
33
33
33
35
37


1.7.4

Bài tập

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b
với ab > 0, trong đó f (x) là hàm
1.7.5 Đổi biến t = af (x) ±
f (x)
lượng giác hoặc biểu thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Phương trình lượng giác bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Dạng phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2 Cách giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1 Dạng phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.2 Cách giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Các dạng phương trình không chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.1 Phương pháp ước lượng 2 vế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.2 Biến đổi vế trái của phương trình f (x) = 0 về tổng các hạng tử
cùng dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.3 Dùng bất đẳng thức để giải phương trình lượng giác . . . . . . .
1.10.4 Dùng hàm số để giải phương trình lượng giác . . . . . . . . . .
2 ỨNG DỤNG
2.1 Ứng dụng lượng giác để chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức .
2.1.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Ứng dụng lượng giác để giải phương trình đại số, bất phương trình đại
2.2.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Ứng dụng lượng giác để giải hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Ứng dụng lượng giác trong bài toán cực trị . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Nhận dạng tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Cực trị tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

40
43
44
44
44
44
47
49
49
49
49
52
53
53
56
57
61

65
. 65
. 65
. 72
số. 74
. 75
. 81
. 82
. 82
. 85
. 86

. 86
. 88
. 90
. 90
. 94
. 95
. 95
. 100

Kết luận

102

Tài liệu tham khảo

103

4


Chương 1
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC
1.1

Các phương trình lượng giác cơ bản

1.1.1

Dạng phương trình

Về nguyên tắc, nếu phương trình lượng giác giải được thì phải dẫn được một trong ba
dạng phương trình lượng giác cơ bản sau:
sin x = m; cos x = m; tan x = m.
1
Phương trình cot x = m ↔ tan x = (m = 0). Nhưng vì phương trình hay gặp nên ta
m
viết luôn nghiệm của nó để tiện sử dụng.

1.1.2

Cách giải và biện luận

1. Phương trình sin x = m
Nếu |m| > 1 thì phương trình vô nghiệm.
Nếu |m| ≤ 1 thì phương trình có nghiệm là:
x =
arcsin m + 2kπ
(k ∈ Z)
y = (π − arcsin m) + 2kπ
Hay gộp nghiệm ta được x = (−1)k arcsin m + kπ, k ∈ Z.
π π
mà sin α = m.
Trong đó arcsin m là cung α ∈ − ;
2 2
Đặc biệt:
• Nếu m = 0 thì x = kπ
π
• Nếu m = 1 thì x = + 2kπ
2

π
• Nếu m = −1 thì x = − + 2kπ
2

(k ∈ Z)

5


1
Ví dụ 1. Giải phương trình: sin 3x = .
2
Giải

1
π
Vì arcsin = nên ta có:
2
6


π
3x = + 2kπ
π
x =
6
sin 3x = sin ⇔ 
⇔

5π

6
3x =
+ 2kπ
x=
6


π
2kπ
+
18
3
5π 2kπ (k ∈ Z)
+
18
3

2. Phương trình cos x = m
• Nếu |m| > 1 thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu |m| ≤ 1 thì phương trình có nghiệm là x = ± arccos m + 2kπ(k ∈ Z).
Trong đó arccos m là cung α ∈ [0; π] mà cos α = m.
Đặc biệt:
• Nếu m = 0 thì x =

π
+ kπ
2

• Nếu m = 1 thì x = 2kπ

(k ∈ Z)

• Nếu m = −1 thì x = π + 2kπ
√
Ví dụ 2. Giải phương trình: cos x =

2
.
2

Giải
π
cos π
π
2
Vì arccos
= nên ta có: cos x =
⇔ x = ± + 2kπ (k ∈ Z).
2
4
4
4
√

3. Phương trình tan x = m (cos x = 0)
π π
Phương trình có nghiệm x = arctan m + kπ. Trong đó arctan m là cung α ∈ (− ; )
2 2
mà tan α = m.
Ví dụ 3. Giải phương trình tan 5x =

√
3.

.
Giải
√
π
Vì arctan 3 = nên ta có:
3
π
π
π
kπ
tan 5x = tan ⇔ 5x = + kπ ⇔ x =
+
, (k ∈ Z).
3
3
15
5

6


4. Phương trình cot x = m (sin x = 0)
Phương trình có nghiệm x = arccot m + kπ. Trong đó arccot m là cung α ∈ (0; π) mà
cot α = m.
Ví dụ 4. Giải phương trình: cot 4x = 1.
Vì arccot 1 =

Giải

π
nên ta có:
4
cot 4x = cot

π
π
π
kπ
⇔ 4x = + kπ ⇔ x =
+
(k ∈ Z).
4
4
16
4

Chú ý:
• Nếu sin x = sin a thì nghiệm là x = a + k2π hoặc x = (π − a) + k2π (k ∈ Z)
• Nếu cos x = cos a thì nghiệm là x = ±a + k2π (k ∈ Z)
• Nếu tan x = tan a thì nghiệm là x = a + kπ (k ∈ Z)
• Nếu cot x = cot a thì nghiệm là x = a + kπ (k ∈ Z).
Ví dụ 5. Giải phương trình cos 2x = sin 3x.
Giải
Ta có:
π
cos 2x = cos( − 3x)

2

π
2x = − 3x + k2π
2
⇔
π
2x = 3x − + k2π
2
2π
π
⇔x=
+k
10
5
π
⇔ x = − 2kπ (k ∈ Z).
2

1.1.3

Các công thức lượng giác

Giải phương trình lượng giác là dùng các công thức lượng giác để biến đổi tương đương
phương trình về dạng các phương trình cơ bản.
Chú ý là trong lượng giác có 3 công thức cơ bản sau:
(1) sin2 x + cos2 x = 1∀x.
(2) sin(a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a và cos(a ± b) = cos a cos b ± sin a sin b.
(3) tan x =

sin x
(cos x = 0).
cos x
7


Các công thức khác đều suy được từ 3 công thức trên. Chẳng hạn nên lưu ý các công
thức sau:
(4) Công thức góc nhân đôi.
Trong (2) cho a = b = x ta được:
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2 x − sin2 x
Lại lưu ý (1) và (3) ta được:
cos 2x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x
sin 2x
2 sin x cos x
2 tan x
tan 2x =
=
− sin2 x =
2
cos 2x
cos x
1 − tan2 x
(chia cả tử số và mẫu số cho cos2 x).
(5) Công thức chia đôi.
x
ta được:
2
x

x
sin x = 2 sin cos
2
2
x
x
x
x
cos x = cos2 − sin2 = 2 cos2 − 1 = 1 − 2 sin2
2
2
2
2
x
2 tan
2 = 2t trong đó t = tan x .
tan x =
x
1 − t2
2
1 − tan2
2

Trong (4) thay x =

(6) Công thức hạ bậc.
Trong (4) giải cos2 x, sin2 x theo cos x ta được:
1 + cos 2x
2
1

−
cos
2x
sin2 x =
2

cos2 x =

(7) Công thức nhân ba.
Trong (2), cho a = 2x, b = x và dùng công thức (4) ta được:
sin 3x = −4 sin3 x + 3 sin x
cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x.
(8) Biến đổi tổng thành tích.

8


Trong (2) đặt a + b = x; a − b = y, khi đó a =

x+y
x−y
;b =
và ta được:
2
2

x+y
x−y
cos
2

2
x+y
x−y
sin x − sin y = 2 cos
sin
2
2
x−y
x+y
cos
cos x + cos y = 2 cos
2
2
x+y
x−y
cos x − cos y = −2 sin
sin
.
2
2
sin x + sin y = 2 sin

(9) Biến đổi tích thành tổng.
Từ công thức (2) suy ra được:
1
sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)]
2
1
sin a cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)]
2

1
cos a cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)].
2
(10) Từ công thức (2) có thể suy ra các công thức lệch pha sau:
π
− x) = cos x
2
π
cos( − x) = sin x
2
π
tan( − x) = cot x
2
π
cot( − x) = tan x
2
π
sin( + x) = cos x
2
π
cos( + x) = − sin x
2
π
tan( + x) = − cot x
2
π
cot( + x) = − tan x
2
sin(x + 2π) = sin x
cos(x + 2π) = cos x

tan(x + π) = tan x
cot(x + π) = cot x
sin[x + (2k + 1)π] = − sin x
cos[x + (2k + 1)π] = − cos x
tan[x + (2k + 1)π] = tan x
cot[x + (2k + 1)π] = cot x.
sin(

9


Kết luận
Mục tiêu của luận văn “các dạng phương trình lượng giác“ nhằm hệ thống các
kiến thức cơ bản của lượng giác về phương trình, kết hợp kiến thức đại số, giải tích
để tổng hợp, chọn lọc và phân loại các phương pháp giải phương trình lượng giác.
Luận văn đã đạt được một số kết quả chính như sau:
- Hệ thống các dạng phương trình lượng giác cơ bản và nêu phương pháp giải.
- Đưa ra phương pháp giải một số phương trình lượng giác không mẫu mực.
- Đưa ra một số ứng dụng của lượng giác trong việc giải quyết một số bài toán
về đa thức bậc cao, phương trình vô tỉ, chứng minh đẳng thức, bất đẳng
thức.
Phần cuối của luận văn, tác giả đưa một số dạng toán của đại số và giải tích được
giải bằng phương pháp lượng giác hóa và được minh họa bởi các ví dụ cụ thể
được chọn lọc trên các đề thi, tạp chí toán học.

102


Tài liệu tham khảo
[1] Lê Đình Thịnh-Lê Đình Định (2011), Ôn luyện Toán sơ cấp. Tập hai: Lượng giác,

hình học, tích phân, tổ hợp, xác suất và số phức, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.
[2] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên),Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Minh
Tuấn (2008)), Chuyên đề chọn lọc: Lượng giác và áp dụng, Nhà xuất bản giáo dục
Việt Nam.
[3] Nguyễn Vũ Lương (Chủ biên), Nguyễn Hữu Độ, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc
Thắng (2008), Lượng giác, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.
[4] Phan Huy Khải (2009), Lượng giác, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam.
[5] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ.

103