Quan điểm vectơ trong dạy học hình học giải tích ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Quang Minh

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, người đã
tận tình giảng dạy, hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS.
Trần Lương Công Khanh, TS. Nguyễn Chí Thành đã nhiệt tình giảng dạy cho chúng tôi
những kiến thức quý giá về didactic toán.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả các bạn cùng khóa; lãnh đạo và đồng nghiệp ở
Trường CĐSP Nha Trang nơi tôi công tác; lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH
Trường ĐHSP TP.HCM; Ban giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ Toán Trường THPT Trần
Đại Nghĩa, Trường THPT Tân Bình và Trung tâm bồi dưỡng văn hóa Nguyễn Thượng Hiền
đã ủng hộ, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình đã luôn cho tôi niềm

tin và động lực để học tập và công tác tốt.
LÊ QUANG MINH


MỞ ĐẦU

1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Trong lịch sử phát triển của toán học, hình học vectơ ra đời sau hình học giải tích
(HHGT). Sự ra đời này được phôi thai từ ý tưởng của Leibniz là xây dựng một hệ thống tính
toán trong nội tại hình học, sao cho vừa khai thác được công cụ của đại số như phương pháp
giải tích, lại vừa tận dụng được yếu tố trực quan của phương pháp tổng hợp trong nghiên
cứu hình học.
Tuy ra đời sau, hình học vectơ và HHGT đã được hình thành theo những cách thức hoàn
toàn độc lập với nhau. Nhưng từ khi xuất hiện vectơ thì việc xây dựng HHGT đã trở nên dễ
dàng hơn. Có lẽ vì thế mà ngày nay hầu hết các giáo trình môn toán, từ phổ thông đến đại
học, đều khai thác vectơ để trình bày HHGT. Đặc biệt, nếu như trước đó việc lập phương
trình các đường thẳng, mặt phẳng được giải quyết theo một cách thức phức tạp và không
trọn vẹn, thì giờ đây, với sự xuất hiện của công cụ vectơ, vấn đề trở nên dễ dàng, đơn giản
hơn nhiều. Về vấn đề này, ta biết rằng tồn tại một cách tiếp cận khác, được đặt trong phạm
vi của đại số tuyến tính. Tuy nhiên, ở bậc phổ thông thì không thể tiếp cận theo cách đó vì
học sinh chưa được nghiên cứu ngành toán học này. Trong trường hợp đó, đường thẳng, mặt
phẳng được tiếp cận như thế nào? Ngoài hai cách tiếp cận trên, liệu còn cách tiếp cận nào
khác ? Cách tiếp cận mà sách giáo khoa toán bậc phổ thông lựa chọn ảnh hưởng ra sao đến
việc dạy và học của giáo viên và học sinh?
Một cách cụ thể hơn, chúng tôi tự đặt ra cho mình hai câu hỏi :
-

Q’1 : Ở cấp độ tri thức khoa học, phương trình đường thẳng, mặt phẳng và các vấn
đề liên quan đến chúng đã được tiếp cận như thế nào ?

-

Q’2 : Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy ở trường phổ thông, những nội dung này xuất
hiện ra sao? Công cụ vectơ đã được khai thác như thế nào trong việc nghiên cứu
chúng? Cách trình bày của sách giáo khoa (SGK) có ảnh hưởng gì đến việc học
HHGT của học sinh?

Đề tài Quan điểm vectơ trong dạy học hình học giải tích ở trường phổ thông mà chúng
tôi theo đuổi nhằm mục đích tìm kiếm những yếu tố trả lời cho các câu hỏi trên.
Về các đối tượng “đường thẳng, mặt phẳng”, liếc qua chương trình môn toán hiện đang
được áp dụng ở bậc trung học phổ thông (THPT), chúng tôi thấy có một sự thay đổi quan


trọng : nếu như trước kia, các kiến thức về vectơ trong không gian chỉ được dạy ở lớp 12,
sau khi quan hệ vuông góc (giữa các đường thẳng, mặt phẳng) đã được nghiên cứu ở lớp 11
bằng phương pháp tổng hợp, thì giờ đây, chương trình quy định sử dụng vectơ ngay từ lớp
11 để nghiên cứu quan hệ này. Ghi nhận đó càng khiến chúng tôi quan tâm hơn đến vai trò
của công cụ vectơ trong dạy học hình học ở THPT theo chương trình hiện hành. Nó dẫn
chúng tôi đến với việc mở rộng phạm vi nghiên cứu : không chỉ giới hạn trong nội dung
HHGT dạy ở lớp 10 và lớp 12, chúng tôi sẽ xem xét cả vai trò của vectơ trong việc nghiên
cứu quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Ở đây, cần giải thích rõ là trong
phần HHGT dạy ở lớp 12 nội dung này cũng được xem xét, ngay cả theo chương trình cũ.
Vậy cái mới ở đây là gì ? Phải chăng câu trả lời nằm ở chú thích ghi trong sách giáo viên :
“Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm cho cách diễn
đạt một số nội dung hình học được gọn gàng hơn”. Chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ hơn câu trả
lời trong luận văn của mình.
Trong luận văn này chúng tôi dùng thuật ngữ “quan điểm vectơ” với nghĩa xem vectơ
như là công cụ để thiết lập các kiến thức của hình học liên quan đến đường thẳng và mặt
phẳng cũng như những vấn đề liên quan đến chúng mà chương trình đề cập đến. Trong
khuôn khổ của luận văn, chúng tôi giới hạn xem xét hai vấn đề :

- Thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng và xét vị trí tương đối giữa chúng.
- Nghiên cứu quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
Cũng do điều kiện hạn chế về thời gian, chúng tôi sẽ chỉ nghiên cứu việc dạy học hình
học theo chương trình nâng cao.
2. Điểm qua những công trình có liên quan
Liên quan trực tiếp đến đề tài của chúng tôi, bằng tiếng việt, chúng tôi tìm thấy luận văn
thạc sĩ của Hoàng Hữu Vinh (2002) : nghiên cứu didactic toán về hoạt động của công cụ
vectơ trong hình học lớp 10. Luận văn đã chỉ ra được những ứng dụng của công cụ vectơ
trong việc xây dựng các kiến thức và giải toán hình học, cho thấy những điểm giống và khác
nhau trong cách trình bày của SGK năm 1990 và năm 2000. Đặc biệt, luận văn khẳng định
phương pháp sử dụng công cụ vectơ để giải toán không được khắc sâu trong học sinh như
phương pháp tổng hợp. Công cụ vectơ chỉ luôn sẵn sàng sử dụng ở một số rất ít học sinh.
Khi thực hiện các bước giải toán bằng công cụ vectơ, học sinh còn gặp sai lầm khi biến đổi
các biểu thức vectơ và khó khăn trong việc chọn các phép biến đổi thích hợp để đạt được
kết quả.


Luận văn trên chỉ nghiên cứu vectơ trong chương trình và SGK hình học lớp 10 từ năm
2000 trở về trước. Ở đó, không có HHGT và việc xây dựng quan hệ vuông góc trong không
gian hoàn toàn không sử công cụ vectơ. Vì vậy, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu vai trò của
công cụ vectơ trong việc xây dựng các kiến thức và giải toán HHGT cùng với quan hệ
vuông góc trong không gian.
3. Khung lý thuyết tham chiếu
Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi lý thuyết Didactic toán. Cụ thể,
chúng tôi sử dụng thuyết nhân học với các khái niệm sau:
3.1. Chuyển đổi sư phạm (chuyển đổi didactic)
Trong nhà trường phổ thông, đối với một môn học, người ta không thể dạy cho học sinh
toàn bộ tri thức có liên quan mà nhân loại đã tích luỹ được trong suốt thời gian tồn tại trên
địa cầu. Hơn nữa, để tri thức bộ môn trở nên có thể dạy được, cần phải chọn lựa, sắp xếp và
tái cấu trúc lại nó theo một liên kết lôgic, phục vụ cho một mục tiêu dạy học xác định.

Chuyển đổi didactic, nói một cách đơn giản, là quá trình biến đổi một đối tượng tri thức bác
học thành một đối tượng tri thức dạy học. Việc quy định các đối tượng cần dạy được thể
hiện thông qua chương trình, SGK, đề thi, tài liệu ôn thi, nhất là Bộ Giáo dục và Đào tạo,
các tiểu ban khoa học giáo dục và các tác giả SGK.
Khái niệm này được vận dụng nhằm xác định khoảng cách giữa tri thức khoa học và tri
thức cần giảng dạy đối với việc thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng, vị trí tương
đối và quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt phảng. Nó cũng giúp nghiên cứu tính hợp
pháp của tri thức cần giảng dạy và giải thích được một số ràng buộc của thể chế dạy học ở
phổ thông đối với các kiến thức nêu trên.
3.2. Cách đặt vấn đề sinh thái học
Cách đặt vấn đề sinh thái học sẽ giúp làm rõ những điều kiện và ràng buộc cho phép sự
tồn tại và tiến triển của mỗi đối tượng vectơ, đường thẳng và mặt phẳng cũng như mối liên
hệ giữa chúng, bởi vì như Chevallard đã nói: “… Một đối tượng tri thức O không tồn tại độc
lập trong một thể chế mà nó có mối quan hệ trương hỗ và thứ bậc với các đối tượng khác
trong cùng thể chế. Những đối tượng này đặt điều kiện và ràng buộc cho sự tồn tại của nó
trong thể chế. Nói cách khác, các đối tượng này hợp thành điều kiện sinh thái cho cuộc sống
của đối tượng tri thức O trong thể chế đang xét.”
3.3. Quan hệ thể chế


Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I
có với tri thức O. Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở đâu, có vai trò gì, tồn tại
ra sao,… trong I?
3.4. Quan hệ cá nhân
Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân
X có với tri thức O. Quan hệ này cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác
O ra sao?
Muốn nghiên cứu R(X,O) ta cần đặt nó trong R(I,O).
3.5. Tổ chức toán học
Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần [T,  ,  ,  ],

trong đó T là một kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải T,  là công nghệ giải thích
cho kỹ thuật  , còn  là lí thuyết giải thích cho công nghệ  . Một praxéologie mà các
thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học (TCTH).
Việc phân tích các TCTH liên quan đến đối tượng tri thức O cho phép ta làm rõ mối
quan hệ R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O, từ đó hiểu được quan hệ mà cá nhân X duy
trì đối với tri thức O. Nói cách khác, nó giúp chúng tôi bổ sung cho phần trả lời cho câu hỏi
Q’2
4. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu – phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận
văn
Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, câu hỏi xuất phát Q’2
được cụ thể hóa thành những câu hỏi sau:
Q1. Từ cách tiếp cận sinh thái học, trong thể chế dạy học hình học ở phổ thông, vectơ được
đưa vào ở thời điểm nào, nhằm mục đích gì? Nó có quan hệ như thế nào với những vấn
đề khác của chương trình, đặc biệt là với các nội dung về đường thẳng và mặt phẳng?
Q2. Phương trình đường thẳng, mặt phẳng đã được thiết lập như thế nào trong SGK hình
học nâng cao lớp 10 và lớp 12 ? Sự chuyển đổi didactic nào đã được thực hiện trong
việc thiết lập đó? Đâu là đặc trưng của quan hệ thể chế đối với công cụ vectơ trong
nghiên cứu phương trình đường thẳng, mặt phẳng?
Q3. SGK Hình học 11 nâng cao đưa khái niệm quan hệ vuông góc trong không gian vào
như thế nào? Công cụ vectơ được khai thác ra sao trong việc thiết lập các kiến thức
thuộc phạm vi chương trình về quan hệ vuông góc?


Để phân tích chương trình, đặc biệt là SGK, việc nghiên cứu khoa học luận về các đối
tượng đường thẳng, mặt phẳng là cần thiết. Thế nhưng, trong điều kiện của chúng tôi một
nghiên cứu tri thức luận đầy đủ được thực hiện thông qua phân tích lịch sử hình thành tri
thức (nhằm làm rõ lý do nảy sinh tri thức, bài toán mà nó cho phép giải quyết, những vấn
đề, những quan niệm gắn liền với nó, …) là không thể. Vì thế, chúng tôi sẽ chỉ nghiên cứu
đặc trưng khoa học luận của tri thức mà chúng tôi quan tâm qua việc phân tích một giáo
trình đại học. Cách làm này vẫn thường được thừa nhận trong nhiều công trình của didactic

toán, với giả thuyết rằng tri thức trình bày ở bậc đại học thường khá gần với tri thức bác
học. Chúng tôi đặt ra cho mình một câu hỏi cần phải trả lời trước khi xem xét các câu hỏi
Q1, Q2, Q3.
Q0. Quá trình xây dựng phương trình đường thẳng, mặt phẳng đã được tiến hành như thế
nào ở bậc đại học? Quan điểm vectơ đã được thể hiện ra sao trong việc xây dựng đó?
Câu hỏi này là một sự cụ thể hóa của câu hỏi Q’1 mà chúng tôi đặt ra từ đầu khi bắt đầu
quan tâm đến chủ đề nghiên cứu của luận văn. Chúng tôi sẽ phân tích một giáo trình đại học
để tìm câu trả lời cho Q0. Phân tích này sẽ được trình bày trong chương đầu tiên của luận
văn. Qua phân tích đó, chúng tôi sẽ làm rõ cách xây dựng phương trình đường thẳng, mặt
phẳng và vị trí tương đối của chúng. Chúng tôi sẽ cố gắng đánh giá vai trò của vectơ trong
việc tiếp cận phương trình đường thẳng, mặt phẳng; làm rõ những đặc trưng của đối tượng
vectơ với tư cách là công cụ của HHGT. Phân tích này sẽ được thực hiện từ góc độ chuyển
đổi sư phạm (chuyển đổi didactique). Ngoài ra, để làm nổi bật thấy rõ vị trí của vectơ trong
việc thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng, chúng tôi sẽ điểm lại vài nét lịch sử xây
dựng phương trình đường thẳng, cụ thể là cách xây dựng của Fermat.
Chương tiếp theo (chương 2) dành cho một nghiên cứu thể chế, nhằm mục đích trả lời
cho các câu hỏi Q1, Q2, Q3. Trong chương này chúng tôi phân tích chương trình và SGK
Toán phổ thông của Việt Nam để thấy được vai trò của công cụ vectơ cũng như các đặc
trưng của nó trong nghiên cứu phương trình và mối quan hệ vuông góc của đường thẳng,
mặt phẳng. Phân tích SGK lớp 10 và lớp 12 ban nâng cao hiện hành để làm rõ sự chuyển
hóa sư phạm đã được thực hiện trong việc thiết lập phương trình đường thẳng, mặt phẳng.
Phân tích SGK lớp 11 ban nâng cao hiện hành để nghiên cứu thêm vai trò của vectơ trong
việc thiết lập các kiến thức và giải bài tập về quan hệ vuông góc trong không gian.
Để thấy rõ đặc trưng của quan hệ thể chế mà chúng tôi quan tâm, chúng tôi sẽ đặt phân
tích chương trình, SGK trong sự so sánh với một thể chế khác. Giả thuyết công việc được


chúng tôi thừa nhận ở đây là : việc so sánh thể chế này với thể chế kia sẽ cho phép làm nổi
rõ những đặc trưng, những điều kiện, những ràng buộc của mối quan hệ được hình thành
trong từng thể chế đối với đối tượng tri thức được xem xét. Thể chế mà chúng tôi chọn để

đối chiếu ở đây là thể chế dạy học Hình học ở THPT của Mỹ theo chương trình hiện hành.
Như thế, trước khi phân tích các SGK Việt nam, chúng tôi sẽ nghiên cứu hai cuốn SGK của
Mỹ.
Nghiên cứu trình bày ở chương 2 sẽ giúp chúng tôi đưa ra những giả thuyết liên quan
đến câu hỏi Q4, cũng là một phần câu hỏi Q’2 mà chúng tôi đặt ra lúc đầu.
Q4. Cách trình bày của SGK có ảnh hưởng gì đến việc học của học sinh về phương trình
đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ vuông góc trong không gian?
Giả thuyết này cần phải được kiểm chứng bằng một nghiên cứu thực nghiệm. Chương
cuối cùng (chương 3) của luận văn dành cho việc trình bày những kết quả đạt được từ
nghiên cứu này.
Phương pháp luận nghiên cứu và cấu trúc của luận văn được chúng tôi tóm tắt bằng sơ
đồ dưới đây.

NGHIÊN CỨU TRI THỨC LUẬN

NGHIÊN CỨU
THỂ CHẾ
(tham khảo)

Quan điểm so sánh

NGHIÊN CỨU
THỂ CHẾ

Giả thuyết về ảnh hưởng của thể chế

NGHIÊN CỨU
THỰC NGHIỆM

Chương 1

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG :
MỘT ĐIỀU TRA TRI THỨC LUẬN

1.1. Vài nét về lịch sử xây dựng phương trình đường thẳng
1.1.1. Apollonius de Pergue là người đầu tiên đưa ra một “phương trình” của một đường
thẳng nhưng chỉ dưới hình thức “tu từ” không tượng trưng. Ông cho rằng nếu tọa độ x và y
của một điểm M có tỉ lệ cho trước y = ax, hoặc nếu x tăng một hằng số và có một tỉ lệ cho
trước đối với y, y = a(x + b), thì quỹ tích những điểm M nằm trên một đường thẳng.
1.1.2. Fermat là người đầu tiên đã đưa ra, dưới hình thức tượng trưng, phương trình biểu
diễn đường thẳng trong mặt phẳng. Ông xuất phát từ việc cho trước một phương trình và đi
xác định quỹ tích của những điểm liên kết với nó.
Bằng việc sử dụng sự đồng dạng của các tam giác Fermat chỉ ra rằng :
Nếu phương trình là ax = by (a và b là những hằng số), quỹ tích là một đường thẳng và
nếu phương trình là c2 – ax = b, quỹ tích vẫn là một đường thẳng.
Chứng minh của Fermat như sau :
I

y

N

x

Z

M

Hình 1.

Cho NZM là một đường thẳng, N là một điểm cố định. Cho NZ một đại lượng bất định
x và ZI một đại lượng bất định khác là y.
Nếu ax = by, điểm I vạch một đường thẳng xác định.
Thật vậy, ta có

b
x
x
= , bởi vậy
được cho, cũng như góc tại Z. Tam giác NIZ được
y
a
y

xác định. Vì điểm N và vị trí của đường thẳng NZ được cho nên vị trí của đường thẳng NI
được xác định.
Tiếp theo, Fermat nói rằng chúng ta có thể đưa phương trình ax = by về dạng y = ax + b
mà a và b không cùng âm – một tọa độ âm Fermat không muốn nói tới.


Để chứng minh điều đó, ông lấy ví dụ phương trình c2 – ax = by, viết c2 dưới dạng ad và
nhận được phương trình

b
dx
=
. Bằng cách đặt MN = d, d – x chỉ là MZ, từ đó, ông
a
y

nhận được một giá trị cố định cho tỉ lệ

MZ
và ông kết luận chúng, như một sự chứng minh
ZT

đầu tiên, rằng điểm I nằm trên một đường thẳng cố định.
Từ phương trình đường thẳng, Fermat đánh giá rằng chúng ta có thể tìm thấy tất cả
những quỹ tích của những đường thẳng mà những mệnh đề của Apollonius đã chỉ ra là một
trường hợp.
Nhưng, sau khi chứng minh phương trình xy = a2 biểu diễn một hyperbol và tổng quát
kết quả này với tất cả phương trình chứa một số hạng x, một số hạng y, một số hạng xy và
một hằng số, ông đi đến phương trình đường thẳng. Fermat khẳng định rằng quỹ tích của tất
cả những phương trình được tạo thành duy nhất bởi những số hạng x2, y2 và xy, không có số
hạng hằng số, là một đường thẳng.
Để chứng minh kết quả này, ông lấy trường hợp một phương trình dạng x2 + xy = ay2 và
dẫn đến như sau :
Nếu tỉ số

NZ2 + NZ.ZI
ZI 2

chứng minh rằng

được cho và vẽ bất cứ đường song song OR nào, dễ dàng

NO 2 + NO.OR
OR 2

có cùng giá trị với tỉ lệ cho trước. Điểm I sẽ ở trên một

đường thẳng có vị trí xác định.
Bây giờ chúng ta có thể nói rằng điều mà Fermat đã chứng minh, đó chính là tất cả
những phần tử của đường thẳng NI xác định cùng một phương trình.
I

R

N

O

Z

Hình 2.
Theo đánh giá của những nhà nghiên cứu, Fermat, trong quá trình liên kết giữa phương
trình và đường thẳng và tổng quát giữa phương trình và quỹ tích đã gặp hai khó khăn sau :
Thứ nhất, gắn liền với sự tượng trưng hóa được sử dụng, chính việc không có duy nhất
một cách viết phương trình của một quỹ tích – ở đây là đường thẳng – hay tất cả các phương


trình của cùng một bậc – bậc hai chẳng hạn. Điều đó dẫn đến những chữ chỉ biểu diễn
những số dương, vì vậy không có một cách viết nào tính đến đồng thời hai phương trình ax
– c = by và ax + c = by bởi vì +c và –c không phải cùng một thứ như nhau.
Khó khăn thứ hai, chính sự lập luận hình học trên các hình chỉ cho phép giải quyết
những trường hợp đặc biệt. Sự lập luận này không thể tổng quát cho tất cả các trường hợp
hình vẽ. Fermat chỉ giải quyết mỗi lần một trường hợp đặc biệt và kết luận rằng chúng ta có
thể làm tương tự cho những trường hợp khác. Tuy nhiên, nếu chúng ta thay đổi trường hợp,
cần phải thay đổi hình vẽ.
Cũng theo các nhà nghiên cứu, trong trường hợp của Fermat, sự thiếu vắng các trục cho

trước làm phức tạp nhiều cho bài toán…
Fermat xuất phát từ một phương trình, xem xét một điểm nào đó mà ông giả sử xác định
phương trình này – bất kì một điểm có thể được xem như xác định tiên nghiệm một phương
trình cho trước vì không có trục cho trước và phương trình được xem xét có tất cả các
nghiệm – và vì vậy chỉ ra rằng tất cả các điểm nằm trên một quỹ tích nào đó xác định cùng
một phương trình.
Để xác định quỹ tích của những điểm liên kết với một phương trình, không chỉ cần phải
chứng minh rằng tất cả những điểm của một đường cong xác định cùng một phương trình,
như Fermat đã làm ở đây mà còn phải chứng minh rằng đó là những điểm duy nhất xác định
phương trình này.
Ở đây, chúng ta đụng đến quan niệm về khái niệm số ở Fermat – những số âm thì không
được xem xét, ông chỉ quan tâm đến những đường cong nằm trong góc phần tư thứ nhất (x
 0 và y  0) – việc xem xét lập luận về tỉ lệ trên hình 1 và 2 cho phép chứng minh rằng

những đường thẳng đối xứng với đường thẳng NI qua đường thẳng NZ xác định cùng
phương trình với NI.
Nhưng, sự trình bày của Fermat lại khác. Trong đó, ông xuất phát từ việc cho trước một
phương trình và ông xác định quỹ tích hình học tương ứng. Điều này dẫn ông đến chứng
minh rằng những phương trình không cần thiết được viết theo cùng một cách, có thể được
rút lại thành những đường này hay những đường khác, nghĩa là người ta có thể đi từ đường
này sang đường kia bằng một “sự thay đổi biến” – thay đổi tọa độ. Từ những phương trình
như vậy xác định cùng một quỹ tích và trong trường hợp đó chúng ta có thể rút ra những
cách viết khác nhau của những phương trình này để dạng của chúng là đơn giản nhất (chứa
ít số hạng nhất có thể). Thật vậy, chẳng hạn phương trình c + xy = ax + by được rút lại


thành dạng xy = d và phương trình c2 – 2ax – x2 = y2 + 2by được rút lại thành dạng d2 – x2 =
y 2.
Nhưng sự biến đổi này – thay đổi tọa độ – chỉ cho phép so sánh những phương trình có
cùng bậc, nó không cho phép thay đổi bậc của một phương trình. Đó chính là lí do Fermat

đưa phương trình c – ax = by về phương trình ax = by nhưng không liên hệ được với những
phương trình mà ông cho rằng chúng được biểu diễn bởi những đường thẳng như x2 = y2
hay x2 + axy = by2.
1.1.3. Với sự phát triển của những phương pháp giải tích cuối thế kỷ XVII và đầu thế kỷ
XVIII những khó khăn mà Fermat gặp phải đã được giảm bớt. Sự áp dụng hệ trục tọa độ
không phụ thuộc vào mỗi hình vẽ được nghiên cứu và việc xem xét tọa độ âm cho phép
đồng thời xây dựng đường cong từ phương trình của nó và xác định phương trình của một
đường cong cho trước. Vì vậy, có thể nói đến phương trình hoặc những phương trình của
một đường.
Theo Glaeser (86), loại phương trình đường thẳng đầu tiên được đề cập trong tác phẩm
của Lagrange xuất hiện năm 1770. Glaeser thêm rằng trong hai SGK xuất hiện trong cùng
năm đó, một của hầu tước L’Hospital và một của Marie-Gaetana Agnesi, các tác giả đưa ra
ba phương trình đường thẳng:
y = ax + b,

y = – ax + b,

y = ax – b.

Phương trình y = – ax – b không được đề cập vì đường thẳng liên kết với nó không đi
qua góc phần từ thứ nhất.
Cuối thế kỷ XVIII, những phương pháp xử lí giải tích của những đường cong trong mặt
phẳng hay không gian đã phát triển đầy đủ để được trình bày trong nhiều SGK và trong cả
chương trình phổ thông.
1.1.4. Phương pháp xử lí giải tích đã khắc phục những khó khăn của cách xây dựng phương
trình đường thẳng bằng hình học của Fermat cũng như những yếu điểm khác của phương
pháp tổng hợp. “Tuy nhiên, do đã chuyển bài toán hình học thành bài toán đại số, với
phương pháp giải tích người ta hoàn toàn thoát khỏi phạm vi hình học, và do đó mà không
tận dụng được yếu tố trực giác trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán…”. Từ đó, “ý tưởng
xây dựng một phương pháp mới để nghiên cứu hình học sao cho có thể sử dụng các phương

tiện của đại số nhưng vẫn ở lại trong phạm vi hình học” (Lê Thị Hoài Châu, Phương pháp
dạy – học Hình học) đã được Leibniz khởi xướng. Khuynh hướng này đã dẫn đến các nhà
toán học xây dựng nên lý thuyết về không gian vectơ vào thế kỷ XIX. Cho đến lúc này, tồn


tại ít nhất là ba phương pháp để tiếp cận hình học sơ cấp : phương pháp tổng hợp, phương
pháp giải tích và phương pháp vectơ. Hai phương pháp sau đều nhằm mục đích đại số hóa
hình học, tận dụng sức mạnh của đại số trong việc giải quyết các vấn đề của hình học.
Nhưng bản chất của chúng không giống nhau. Trong lịch sử, lý thuyết vectơ và HHGT được
xây dựng độc lập với nhau. Tuy nhiên, sự ra đời của lý thuyết vectơ đã làm cho việc nghiên
cứu HHGT trở nên dễ dàng hơn, bởi vì, như tác giả Lê Thị Hoài Châu (1997) đã phân tích,
bằng cách đặt các vectơ vào một hệ tọa độ, người ta đã tạo ra sự liên thông giữa hai phương
pháp vectơ và giải tích. Chính vì thế mà các giáo trình toán ngày nay đều xây dựng HHGT
trên cơ sở một không gian vectơ.
Dưới đây chúng tôi chọn một giáo trình đại học để phân tích chi tiết nhận định này. Đó
là giáo trình Hình học cao cấp của Nguyễn Mộng Hy, NXBGD, 2007. Phân tích của chúng
tôi nhằm mục đích tìm câu trả lời cho câu hỏi Q0. Cụ thể hơn, chúng tôi sẽ tìm hiểu vai trò
của vectơ trong việc :
-

xây dựng phương trình đường thẳng, mặt phẳng,

-

nghiên cứu quan hệ vuông góc và vị trí tương đối giữa chúng.

Hai phần tiếp theo của chương dành cho việc phân tích vai trò của vectơ đối với hai nội
dung này.
1.2. Về phương trình đường thẳng và mặt phẳng
1.2.1. Đường thẳng, mặt phẳng trong không gian afin

Đường thẳng, mặt phẳng là những m – phẳng đặc biệt. Trong các lý thuyết Hình học,
phương trình tham số và phương trình tổng quát của m – phẳng được tiếp cận từ không gian
vectơ của đại số tuyến tính.
Cho tập A khác rỗng mà các phần tử của nó gọi là điểm, cho V là một không gian vectơ trên trường K
và cho ánh xạ f : A x A  V được kí hiệu là





f(M, N) = MN với các điểm M, N thuộc A và vectơ MN thuộc V.
Bộ ba (A, f, V) gọi là không gian afin nếu hai tiên đề sau đây được thỏa mãn:







i) Với mọi điểm M thuộc A và mọi vectơ u thuộc V có duy nhất điểm N thuộc A sao cho MN = u .







ii) Với mọi ba điểm M, N, P thuộc A ta luôn có MN + NP = MP .
Khi đó ta nói rằng không gian afin (A, f, V) liên kết với không gian vectơ V trên trường K và được gọi



tắt là không gian afin A trên trường K. Không gian vectơ liên kết V còn được kí hiệu là A , được gọi là
nền của không gian afin A. (trang 5)


Vì không gian afin được xây dựng từ không gian vectơ nên các khái niệm sau đó cũng
được hình thành từ vectơ. Chẳng hạn, mỗi hệ điểm độc lập gắn với một hệ vectơ độc lập
tuyến tính. Mỗi mục tiêu afin liên kết với một cơ sở của không gian vectơ và theo đó, tọa độ
của mỗi điểm tương ứng với tọa độ của vectơ và phụ thuộc vào mục tiêu afin cho trước, tức
phụ thuộc vào cơ sở của không gian vectơ liên kết.
Cũng trong mối liên hệ đó, cái phẳng trong không gian afin được định nghĩa qua khái
niệm không gian vectơ con. Phương của cái phẳng chính là không gian vectơ con.




Cho không gian afin A liên kết với không gian vectơ A . Gọi I là một điểm thuộc A và α là một không







gian con của A . Khi đó tập hợp những điểm M thuộc A sao cho IM thuộc α được gọi là cái phẳng



afin α đi qua điểm I và có phương là α

 
α  M  A | IM  α .







Nếu α có số chiều bằng m thì α gọi là cái phẳng m chiều (được gọi tắt là phẳng m chiều) hay còn gọi
là m – phẳng.
Như vậy, 0 – phẳng chính là điểm, 1 – phẳng là đường thẳng, 2 – phẳng là mặt phẳng còn n – phẳng của
không gian afin n chiều An chính là An. Nếu dimA = n thì
(n – 1) – phẳng còn được gọi là siêu phẳng của không gian đó. (trang 12)

Trong cách xây dựng này, phương trình tham số của m – phẳng được xây dựng dựa vào
tính chất của không gian vectơ. Một m – phẳng hoàn toàn được xác định qua phương trình
tham số (ma trận lập được từ các hệ số của phương trình có hạng bằng m).
Trong An cho m – phẳng Am xác định bởi m + 1 điểm độc lập
A0, A1,…, Am.
Giả sử đối với mục tiêu {E0 ; Ei} cho trước, các điểm Ai có tọa độ là
Ai = (ai1, ai2,…, ain)



với i = 0, 1, 2,…, m.



X(x1, x2,…, xn)  Am  A 0 X  V m





 A 0 X  t1 A 0 A1  t 2 A 0 A 2  ...  t m A 0 A m
Với t1, t2,…, tm thuộc trường K.
Ta có phương trình tham số của m – phẳng Am dưới dạng ma trận là :

[x] = [a0] + t1([a1] – [a0]) + t2([a2] – [a0]) + … + tm[am] – [a0])
Nếu viết dưới dạng tạo độ ta có n phương trình sau:
xi = a0i + t1(a1i – a0i) + t12a2i – a0i) + … + tm(ami – a0i) với i = 1, 2,…, n. (trang 14)

Điều kiện quan trọng trong cách xây dựng trên là m – phẳng được xác định bởi m + 1


điểm A0, A1,…, Am độc lập, tức là hệ m vectơ { A 0 A i , i = 1,2,…, m} độc lập tuyến tính.


Phương trình tổng quát của m – phẳng được suy trực tiếp từ phương trình tham số bằng
cách khử dần các tham số. Mỗi m – phẳng trong không gian afin An được biểu thị bằng một
hệ phương trình tuyến tính với các biến x1, x2,…, xn và có hạng bằng n – m. Phương trình
đó được gọi là phương trình tổng quát của m – phẳng. Ngược lại, mỗi hệ phương trình với
các biến x1, x2,…, xn và có hạng bằng n – m đều biểu thị một m – phẳng hoàn toàn xác định
của An. Với cách xây dựng và định nghĩa này ta có thể giải thích được vì sao phương trình
tổng quát của đường thẳng trong mặt phẳng chỉ có một phương trình tuyến tính bậc nhất hai
ẩn nhưng trong không gian thì có hai phương trình tuyến tính bậc nhất ba ẩn.
Mỗi siêu phẳng trong An (ứng với m = n – 1) có phương trình tổng quát dạng:
a1x1 + a2x2 + … + anxn + b = 0

trong đó hạng của ma trận (a1, a2,…, an) bằng 1, tức là có ít nhất một ai  0. Trong không
gian afin không có khái niệm vectơ pháp tuyến vì không xét đến quan hệ vuông góc.
Xét trường hợp n = 2 và n = 3.
Với n = 2, 1 – phẳng là đường thẳng và cũng chính là siêu phẳng. Khi đó, theo những gì
trình bày ở trên, phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng được xây
dựng như sau:
Giả sử đường thẳng d xác định bởi hai điểm độc lập A, B có tọa độ là A(a1; a2) và B(b1; b2). Khi đó:





Điểm M(x; y)  d  AX  tAB , t 



. AB gọi là phương của đường thẳng d.

 x  a1  t (b1  a1 )
.
 y  a2  t (b2  a2 )

Ta có phương trình tham số của d là : 

Khử tham số t trong phương trình tham số ta có phương trình tổng quát của d.

Với n = 3, 1 – phẳng là đường thẳng và 2 – phẳng là mặt phẳng và cũng chính là siêu
phẳng. Khi đó phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng và mặt
phẳng được xây dựng hoàn toàn như trường hợp n = 2. Chỉ khác là phương trình tổng quát
của đường thẳng được tạo bởi từ hai phương trình tuyến tính bậc nhất ba ẩn.

Như vậy, vectơ với vai trò công cụ trong việc thiết lập phương trình m – phẳng được sử
dụng theo tinh thần của đại số tuyến tính.
1.2.2. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Ơclit
Không gian ơclit là một loại không gian afin liên kết với không gian vectơ ơclit hữu hạn chiều.

Các định nghĩa có liên quan đến tích vô hướng của hai vectơ :
 







1) a . b = | a |.| b |cos( a,b )







2) | a |2 = a 2  | a | =

2
a






 

3) a  b  a . b = 0. (trang 87)

Không gian ơclit ba chiều thông thường được học trong chương trình toán ở bậc phổ
thông được kí hiệu là E3. Trong không gian này, mặt phẳng ơclit là không gian ơclit hai




chiều và được kí hiệu là E2. Các không gian E3 và E2 là không gian các vectơ tự do ba




chiều và hai chiều. Tích vô hướng trong không gian E3 và E2 được định nghĩa như sau:
 
 

a . b = | a |.| b |cos( a,b )

Vì không gian ơclit là một loại không gian afin nên trong không gian ơclit các phẳng
cũng có phương trình và tính chất giống như trong không gian afin. Cái mới trong không
gian ơclit gắn liền với tích vô hướng chính là sự vuông góc của các phẳng. Nhờ có quan hệ
vuông góc này mà phương trình các phẳng có thể lập được theo một cách khác, thông qua
vectơ pháp tuyến của nó.
Giáo trình của tác giả Nguyễn Mộng Hy trình bày vấn đề này ra sao ?
Trong En giả sử đối với mục tiêu trực chuẩn cho trước siêu phẳng α có phương trình

a1x1 + a2x2 + … + anxn + a0 = 0.







Gọi α là phương của siêu phẳng α . Ta xét vectơ n=  a1 , a 2 ,..., a n  và nhận thấy rằng n trực giao với



α (…). Ta gọi n là vectơ pháp tuyến của siêu phẳng α . (trang 98)
Vectơ pháp tuyến được định nghĩa trực tiếp từ phương trình của siêu phẳng. Từ định
này có thể suy ra rằng vectơ pháp tuyến là vectơ trực giao với phương của phẳng, tức là trực
giao với bất kì vectơ nào thuộc phương của phẳng đó. Từ đó suy ra, vectơ pháp tuyến của
đường thẳng là vectơ vuông góc với một vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng là vectơ vuông góc với hai vectơ chỉ phương độc lập tuyến tính (không
cùng phương) của mặt phẳng.
Với n = 2, 3 tương ứng ta có phương trình tổng quát của đường thẳng trong mặt phẳng
và phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian như sau:


a1x1 + a2x2 + a0 = 0 vectơ pháp tuyến là n   a1 ; a2 


a1x1 + a2x2 + a3x3 + a0 = 0 vectơ pháp tuyến là n   a1 ; a2 ; a3  .
Giáo trình không đưa ra cách viết phương trình siêu phẳng dựa vào vectơ pháp tuyến – nếu
biết siêu phẳng có một vectơ pháp tuyến và đi qua một điểm có tọa độ cho trước thì phương
trình của siêu phẳng đó được viết như thế nào ? Tuy nhiên vấn đề này được giải quyết ở

phần bài tập. Chẳng hạn, bài tập 2.24 trang 139 với lời giải trong sách bài tập Hình học cao
cấp của cùng tác giả trang 162:


Trong E3 tìm điểm đối xứng của điểm (1, 2, 3) đối với
a) (…)
b) đường thẳng x1  8 

x2  1
  x3  4 .
3

Giải:
b) Gọi  là đường thẳng đã cho có phương trình:
x1  8 

x2  1 x3  4

1
3


Đường thẳng này có vectơ chỉ phương a  (1,3, 1) .
Mặt phẳn R đi qua M(1, 2, 3) và vuông góc với đường thẳng  nên có phương trình dạng:

x1  3x2  x3  b  0 .
Vì MR nên ta có: 1 + 6 – 3 + b = 0  b = - 4.
Vậy mặt phẳng R có phương trình là: x1  3 x2  x3  4  0 .

1.2.3. Kết luận : hai cách tiếp cận để giải quyết bài toán lập phương trình đường

thẳng, mặt phẳng

Phân tích trên cho thấy có hai cách tiếp cận phương trình m – phẳng : tiếp cận đại số và
tiếp cận hình học.
 Tiếp cận đại số

Trong không gian An, phương trình tham số của m – phẳng là một hệ m phương trình
tuyến tính n ẩn x1, x2,…, xn, trong đó ma trận lập được từ các hệ số của phương trình có
hạng bằng m. Phương của m – phẳng là một không gian vectơ con m chiều của không gian

An . Phương trình tham số được thiết lập dựa vào tính chất của không gian vectơ con.
Phương trình tổng quát của m – phẳng được suy trực tiếp từ phương trình tham số bằng cách
khử dần các tham số. Mỗi m – phẳng được biểu thị bằng một hệ phương trình tuyến tính với
các biến x1, x2,…, xn và có hạng bằng n – m.
Trong cách tiếp cận này, đại số tuyến tính đóng vai trò chính trong việc xác định phương
và chiều của cái phẳng. Khái niệm vectơ được sử dụng trong đại số tuyến tính với nghĩa
tổng quát của khái niệm không gian vectơ - các vectơ hình học chỉ là một trường hợp đặc
biệt của nó.
 Tiếp cận hình học

Cách tiếp cận này chỉ được thực hiện trong không gian ơclit hai chiều và ba chiều của
ình học ơclit. Ở đó phương của đường thẳng và mặt phẳng được định nghĩa dựa vào đặc
trưng định phương của vectơ hình học. Cách thiết lập phương trình của đường thẳng và mặt
phẳng dựa vào điều kiện cùng phương hoặc điều kiện trực giao của hai vectơ.


Theo cách tiếp cận này, tính chất trực quan của vectơ hình học đóng vai trò chính trong
việc xác định phương của đường thẳng, mặt phẳng. Tuy nhiên, khi viết phương trình thì
người ta hoàn toàn tính toán đại số trên toạ độ.
Như vậy, về phương trình đường thẳng và mặt phẳng có ít nhất là hai cách chuyển

đổi didactique có thể vận dụng trong dạy học hình học ở bậc phổ thông, một theo cách
tiếp cận đại số và một theo cách tiếp cận hình học. Cụ thể
a) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng:
- Tiếp cận hình học: Phương trình đường thẳng được lập bằng phương pháp vectơ (sử

dụng vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến).
- Tiếp cận đại số: Lấy kết quả thu được trong đại số tuyến tính, thừa nhận phương trình

siêu phẳng (n – 1) – phẳng là phương trình bậc nhất n ẩn:
a1x1 + a2x2 + … + anxn + a0 = 0.
Khi đó, với n = 2, siêu phẳng là đường thẳng với phương trình có dạng:
ax + by + c = 0.

Như vậy, phương trình đường thẳng được lập bằng phương pháp đại số - từ một phương
trình bậc nhất hai ẩn.
b) Phương trình mặt phẳng
- Tiếp cận hình học: Phương trình mặt phẳng được lập bằng phương pháp vectơ

(sử dụng vectơ pháp tuyến).
- Tiếp cận đại số: Phương trình mặt phẳng được lập bằng phương pháp đại số - từ một

phương trình bậc nhất ba ẩn: ax + by + cz + d = 0.
c) Phương trình đường thẳng trong không gian
- Tiếp cận hình học: Phương trình đường thẳng được lập bằng phương pháp vectơ (sử

dụng vectơ chỉ phương)
- Tiếp cận đại số: Phương trình đường thẳng được lập bằng phương pháp đại số - từ một

hệ hai phương trình bậc nhất ba ẩn:
a1 x  b1 y  c1 z  d1  0

.

a
x
b
y
c
z
d
0




 2
2
2
2
Nhận xét: Với cách tiếp cận đại số thì không thể thiết lập được phương trình tham số

của đường thẳng và mặt phẳng mà chỉ có thể chuyển từ phương trình tổng quát sang phương
trình tham số.


1.3. Về vị trí tương đối gữa đường thẳng và mặt phẳng

Vị trí tương đối giữa các phẳng trong không gian afin và không gian ơclit được định
nghĩa như sau :
Trong không gian afin An cho p – phẳng Ap có phương là Vp và q – phẳng Aq có phương là Vq. Ta giả
sử p  q. Căn cứ vào phương chung Vp  Vq và điểm chung Ap  Aq ta có vị trí tương đối của hai cái

phẳng đó như sau :



a) Nếu Vp  Vq = { 0 } :


và nếu Ap  Aq   thì Ap , Aq có một điểm chung duy nhất.



và nếu Ap  Aq =  thì Ap , Aq gọi là chéo nhau (hoàn toàn).

b) Vp  Vq = Vr với r > 0, khi đó ta nói rằng hai cái phẳng Ap, Aq có phương chung (hay Ap cùng
phương với Aq ).


Nếu r < p và nếu Ap  Aq   ta có giao của chúng là một r – phẳng có phương Vr.



Nếu r < p và nếu Ap  Aq =  ta nói rằng Ap , Aq không có điểm chung và có phương
chung (có thể xem chúng chéo nhau không hoàn toàn).

 Nếu r = p tức Vp  Vq ta nói rằng Ap cùng phương với Aq và nếu Ap  Aq   ta nói
rằng Ap bị chứa trong Aq (Ap  Aq) còn nếu Ap  Aq =  ta nói Ap song song với Aq và
nếu p = q ta nói Ap và Aq song song với nhau. (trang 19)

Trong không gian ơclit còn có thêm quan hệ vuông góc được định nghĩa:




Trong không gian ơclit n chiều En cho phẳng α có phương α và phẳng β có phương β .





Hai phẳng α và β gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu α  β nếu hai không gian vectơ α và






β trực giao với nhau (mọi vectơ thuộc α đều trực giao với mọi vectơ thuộc β ).



Hai phẳng α và β gọi là bù vuông góc với nhau nếu α và β bù trực giao với nhau trong En
nghĩa là


  

α  β = En (dim α + dim β = n). (trang 93)

Với các định nghĩa trên, trong không gian ơclit 3 chiều E3 ta không có khái niệm chéo
nhau không hoàn toàn và hai mặt phẳng vuông góc. Khái niệm vuông góc của hai mặt

phẳng trong E3 dùng ở trường phổ thông không thỏa mãn định nghĩa ở trên về sự vuông góc
của hai cái phẳng. Đó là sự vuông góc không hoàn toàn. Khái niệm vuông góc của đường
thẳng và mặt phẳng ở phổ thông chính là sự bù vuông góc theo định nghĩa trên.
1.4. Kết luận
1.4.1.Về vai trò của vectơ trong việc tiếp cận phương trình đường thẳng, mặt phẳng


- Cách xây dựng phương trình đường thẳng bằng hình học của Fermat đã gặp nhiều khó
khăn và chưa giải quyết triệt để. Điểm cơ bản nhất trong phương pháp của Fermat là việc
gán một phương trình (đại số) bởi một đường.
- Với phương pháp giải tích khi nghiên cứu hình học chúng ta hoàn toàn thoát khỏi
phạm vi hình học, và do đó mà không tận dụng được yếu tố trực giác trong quá trình tìm tòi
lời giải bài toán.
- Với sự xuất hiện của vectơ những khó khăn và điểm yếu trên đã được giải quyết. Việc
nghiên cứu hình học có thể sử dụng các phương tiện của đại số nhưng vẫn ở lại trong phạm
vi hình học. Phương trình đường thẳng, mặt phẳng được tiếp cận hoàn toàn dựa vào không
gian vectơ.
Như vậy, vectơ đã đóng một vai trò công cụ tối quan trọng trong việc nghiên cứu hình
học giải tích mà cụ thể ở đây đó là phương trình đường thẳng, mặt phẳng.
1.4.1.2. Về đặc trưng của đối tượng vectơ và cách tiếp cận phương trình đường thẳng,
mặt phẳng

- Vectơ là một phần tử của không gian vectơ thỏa mãn các tiên đề của không gian afin
hay không gian ơclit.
- Phương trình m – phẳng được tiếp cận theo tinh thần của đại số tuyến tính. Việc thiết
lập nó và các vấn đề liên quan hầu hết đều phải sử dụng tọa độ. Chính vì thế mà các đặc
trưng định hướng (phương và chiều) và đặc trưng độ dài của vectơ tự do là không được thể
hiện trong việc xây dựng phương trình của m – phẳng. Ngoài ra, đặc trưng định phương và
đặc trưng độ dài của vectơ tự do cũng hoàn toàn không được sử dụng trong vấn đề xét vị trí
trương đối của các phẳng và quan hệ vuông góc giữa chúng. Công cụ vectơ để thiết lập

phương trình đường thẳng, mặt phẳng và xét vị trí tương đối của chúng ở cấp độ tri thức
khoa học hoàn toàn được thể hiện theo tinh thần vectơ của đại số tuyến tính.
- Tuy nhiên, khi xét trong không ơclit hai chiều và ba chiều thì phương trình của đường
thẳng và mặt mặt còn có thể được tiếp cận bằng hình học. Ở đó, đặc trưng định phương của
vectơ hình học được thể hiện.
- Có hai cách trình bày phương trình đường thẳng, mặt phẳng :
+ Bằng phương pháp vectơ
+ Bằng phương pháp đại số