Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số cơ bản

Phương pháp giải bài tập giới hạn
hàm số cơ bản
Giới hạn hàm số là một nội dung quan trọng trong chương trình giải tích lớp
11. Bài tập của nội dung này tương đối dễ. Tuy nhiên để làm được bài tập
trong chương này học sinh cũng cần phải nắm được một số kiến thức cơ bản
và các phương pháp giải các dạng toán thường gặp.

Dạng 1: Giới hạn hàm số tại một điểm (x→x0)
Bài toán: Tính limx→af(x)
TH1: Nếu f(x) xác định tại x0 thì limx→x0f(x)=f(x0) (chỉ cần thế x0 vào hàm số f(x)).
TH2: Nếu thế x0 vào f(x) mà được các dạng vô định (nghĩa là f(x) không xác định
tại x0):
1. Dạng 00: dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử hoặc nhân lượng liên hợp
(nếu có chứa căn).
2. Dạng a0 (với a≠0, thường gặp trong giới hạn một bên): ta làm theo các bước: tính giới
hạn của tử, giới hạn của mẫu, xét dấu mẫu trong lân cận của x0. Dựa vào dấu của tử và
mẫu để suy ra kết quả theo bảng dưới đây:

Ví dụ: Tính các giới hạn sau:
a. limx→−2(x2+5−−−−−√−1)


Phân tích: ta thấy hàm số f(x)=x2+5−−−−−√−1 xác định tại x0=−2 nên ta chỉ
cần thay x0=−2 vào hàm số là được kết quả.
Giải

limx→−2(x2+5−−−−−√−1)=(−2)2+5−−−−−−−−√−1=2
b. limx→1x2+2x−32x2−x−1
Phân tích: ta thấy nếu thế x0=1 vào hàm số f(x)=x2+2x−32x2−x−1 thì cả tử và mẫu đều
là 0 (nghĩa là ta có dạng vô định 00) và cả tử và mẫu đều là tam thức bậc hai nên ta sẽ
tách theo công thức: ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2) với x1 và x2 là hai nghiệm của

phương trình ax2+bx+c=0.
Giải

limx→1x2+2x−32x2−x−1=limx→1(x−1)(x+3)2(x−1)
(x+12)=limx→1x+32(x+12)=1+32(1+12)=43
c. limx→22−xx+7√−3
Phân tích: dễ dàng nhận thấy đây cũng là dạng vô định 00 nhưng ở mẫu có chứa căn nên
ta sẽ dùng phương pháp nhân lượng liên hợp.
Giải

limx→22−xx+7√−3=limx→2(2−x)(x+7√+3)(x+7√−3)(x+7√+3)=limx→2(2−x)(x+7√+3)
(x+7√)2−32

=limx→2(2−x)(x+7√+3)x−2=limx→2[−(x+7−−−−−√+3)]=−6
d. limx→2+2x−32−x
Giải
Ta có: limx→2+(2x−3)=2.2−3=1>0

limx→2+(2−x)=2−2=0 và 2−x<0∀x>2


Suy ra: limx→2+2x−32−x=−∞
e. limx→1+(x−1)2x+3x2−1−−−−√ (dành cho bạn đọc)

Dạng 1: Giới hạn hàm số tại vô cực (x→∞)
Bài toán: Tính limx→∞f(x)
Dạng toán này thường áp dụng 2 phương pháp:

1.
2.

Rút x mũ cao nhất (thường áp dụng cho các dạng ∞∞,∞−∞).
Nhân lượng liên hợp (thường áp dụng cho dạng ∞−∞ và có chứa căn thức).

Các giới hạn đặc biệt cần nhớ:

1.
2.
3.
4.
5.

limx→±∞c=c
limx→±∞1xn=0 với n nguyên dương.
limx→±∞xq=0 với |q|<1.
limx→+∞xn=+∞ với n nguyên dương.
limx→−∞xn=+∞ nếu n chẵn và limx→−∞xn=−∞ nếu n lẻ.

Ví dụ: Tính các giới hạn sau:
a. limx→+∞2x3−3x+13x+4x2−x3
Giải

limx→+∞2x3−3x+13x+4x2−x3=limx→+∞x3(2−3x2+1x3)x3(3x2+4x−1)=limx→+∞2−3x2+1x33x2+
4x−1=−2
b. limx→+∞(2x−4x2+x−−−−−−√)
Giải

limx→+∞(2x−4x2+x−−−−−−√)=limx→+∞(2x−4x2+x√)(2x+4x2+x√)2x+4x2+x√
=limx→+∞4x2−(4x2+x)2x+4x2+x√=limx→+∞−x2x+4x2+x√
=limx→+∞−x2x+x4+1x√=limx→+∞−xx(2+4+1x√)

=limx→+∞−12+4+1x√=−14
c. limx→−∞(2x−4x2+x−−−−−−√)
Giải

limx→−∞(2x−4x2+x−−−−−−√)=limx→−∞(2x−x2(4+1x)−−−−−−−−
−√)
=limx→−∞(2x+x4+1x−−−−−√)=limx→−∞[x(2+4+1x−−−−−√)]
Vì limx→−∞x=−∞ và limx→−∞(2+4+1x−−−−−√)=4>0
Nên limx→−∞[x(2+4+1x−−−−−√)]=−∞
Vậy limx→−∞(2x−4x2+x−−−−−−√)=−∞