SKNN – phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng

Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học là một khoa học tự nhiên, toán học ra đời từ rất sớm
nhằm đáp ứng nhu cầu đo đạc ruộng đất và xây dựng nhà cửa. Càng ngày
xã hội loài người càng tiến dần lên ở mức độ cao hơn và đến nay đang
đang ở trình độ cao nhất từ mà loài người chưa từng có. Do đó toán học
củng không nằm ngoài quy luật phát triển từ sơ khai đến hiện đại.
Toán học nghiên cứu rất nhiều, rất đa dạng và phong phú. Trong
đó các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải được các
bài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính
chất cơ bản của bất đẳng, còn phải nắm được các phương pháp chứng minh
bất đẳng thức.
Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải căn cứ
vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp. Mỗi
bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng được nhiều phương
pháp giải khác nhau , cũng có bài phải phối hợp nhiều phương pháp một
cách hợp lí mới giải được.
Bài toán chứng minh bất đẳng thức được vận dụng nhiều vào các
dạng bài toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương
trình đặc biệt , tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức ...và đề thi học
sinh giỏi huyện, thành phố, tuyển sinh vào lớp 10 thường có bài toán bất
đẳng thức, trong khi đó sách giáo khoa phổ thông lại trình bày...Vì vậy học
sinh cần thiết phải nắm được những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức .
Trong thực tế ở trường THCS và THPT, học sinh gặp nhiều khó
khăn khi giải các bài toán liên quan về bất đẳng thức , vì các bài toán
chứng minh bất đẳng thức thường không có cách giải mẫu, không theo một
phương pháp nhất định nên học sinh không xác định được hướng giải bài
toán . Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCS Và THPT còn có nhiều
hạn chế và khả năng tư duy chưa tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và
không biết vận dụng kiến thức vào giải các dạng bài tập khác .

1

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Trong nội dung của đề tài này xin được tập trung giới thiệu các tính
chất cơ bản, một số phương pháp hay được sử dụng khi chứng minh bất
đẳng thức như : dùng định nghĩa , biến đổi tương đương , dùng các bất
đẳng thức đã biết , phương pháp phản chứng, tam tức bậc hai …., một số
bài tập vận dụng và các ứng dụng của bất đẳng thức nhằm giúp học sinh
bớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứng minh hay vận dụng bất đẳng
thức , giúp học sinh có thể tự định hướng được phương pháp chứng minh,
giải các bài toán liên quan và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói
riêng và bộ môn Toán nói chung .
Qua đề tài (một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng
dụng của bất đẳng thức ) tôi muốn giúp học học sinh có thêm một số
phương pháp chứng minh bất đẳng thức đó là lý do tôi chọn đè tài này, khi
nghiên cứu không tránh khỏi những sai sot mác phải rất mong được sự
góp ý của các thày cô giáo, các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn, tôi xin
chân thành cảm ơn!
2. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.

- kỹ năng giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức
- kỹ năng vận dụng bất đẳng thức để giải các bài toán: Tìm giá trị lớn
nhất-nhỏ nhất, giải hệ phương trình, phương trình nghiệm nguyên, phương
trình vô tỉ.
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.

- Học sinh trung học cơ sở
- Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của nó.
4- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :

Qua quá trình học tập từ trước đến nay, tham khảo tài liệu, thu thập
tài liệu, đúc rút, tổng kết kinh nghiệm, kiểm tra kết quả kiểm tra chất lượng
học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ
học, thể hiện trên nhiều đối tượng học sinh khác nhau : Học sinh giỏi, khá
và học sinh trung bình về môn Toán
5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU.

2

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Giới hạn ở phần chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng của bất
đẳng thức ở chương trình toán trung học cơ sở
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
PHẦN I.

CƠ SỞ LÝ LUẬN.

Để giải được bài toán đòi hỏi mổi người phải đọc kỹ bài toán xem bài
toán yêu cầu cái gì, phải sử dụng những phương pháp nào để giải, đã gặp
bài toán nào đã giải có dạng tương tự như bài toán đó hay không để từ đó
có thể tìm ra cách giải. Đối với học sinh trung học cơ sở việc vận dụng
khiến thức lý thuyết, nhận dạng bài toán để tìm ra cách giải chưa được rèn

luyện nhiều đôi lúc trình bày vấn đề này còn sơ sài.
Khi nghiên cứu về bất đẳng thức ta thấy rằng nó thật sự có tác dụng
rèn luyện và phát huy khả năng tư duy để giải toán không chỉ riêng gì bất
đẳng thức mà còn giải các dạng toán khác bởi muốn giải được nó đòi hỏi
phải thật sự có một kiến thức toán học rất lớn.
Phương pháp để giải các bài toán bất đẳng thức không ở đâu xa xôi
ngoài chương trình của các em học sinh trung học cơ sở. Nhưng việc các
em vận dụng nó như thế nào đó là vấn đề cốt lỏi. Muốn làm được điều đó
đòi hỏi học sinh phải thật sự nắm vững kiến thức, phải có lập luận lôgic,
xét đầy đủ các mặt khác nhau của bài toán, nhận dạng được bài toán. Đặc
biệt các học sinh khá giỏi phải linh hoạt, sáng tạo không chỉ giải được bài
toán mà còn phải khái quát được dạng của nó để đua ra phương pháp
chung cho các bài toán khác tuơng tự.
Khi giảng dạy cho học sinh các giáo viên phải rèn luyện cho các em
nắm chắc phần lý thuyết, đưa ra các ví dụ minh hoạ cụ thể, các bài tập vận
dụng, nên chú ý tạo cho các em cách nhìn nhận một bài toán để giải không
nên giải tắt, làm tắt tạo cho học sinh khó hiểu thậm chí không hình thành
được lôgic của toán học.
Thời lượng chương trình dành cho bất đẳng thức ở phổ thông cơ sở là
hạn chế. Do đó việc học tập và vận dụng thành thao cho các em sẻ khó
khăn đói với các em có học lực trung bình, khá.
PHẦN 2.

NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI.

I> CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý.

1) Định nghĩa bất đẳng thức
3

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
+ a nhỏ hơn b , kí hiệu a < b
+ a lớn hơn b , kí hiệu a > b ,
+ a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu a ≤ b,
+ a lớn hơn hoặc bằng b , kí hiệu a ≥ b ,
2) môt số tính chất của bất đẳng thức:
a) Nếu a > b và b > c thì a > c
(tính chất bắc cầu)
b) Nếu a > b và c bất kì thì a + c > b + c
Tức là: Khi cộng vào 2 vế của bất đẳng thức với cùng một số bất
kì thì bất đẳng thức không đổi chiều.
c) Nếu a > b + c thì a − b > c
Tức là: Ta có thể chuyển một số hạng của bất đẳng thức từ vế này
sang vế kia và phải đổi dấu số hạng đó.
d) Nếu a > b và c > d thì a + c > b + d
Tức là: Nếu cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được
một bất đẳng thức cùng chiều.
Chú ý: Không được cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều
e) Nếu a > b và c < d thì a − c > b − d
Tức là: Nếu trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều ta được
một bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ.
Chú ý: Không được trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.
f) Nếu a > b và c > 0 thì ac > bc
Nếu a > b và c < 0 thì ac < bc
Tức là:
Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cung một số dương thf

bất đẳng thức không đổi chiều
Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất
đẳng thức đổi chiều.
g) Nếu a > b > 0 và c > d > 0 thì ac > bd
Tức là: Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều có
các
vế đều dương thì ta được một bất đẳng thức cung chiều.
Chú ý: Không được nhân vế với vế của hai bất đẳng thức ngược
chiều.
h) Nếu a > b > 0 thì

1 1
> >0
b a
4

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Tức là: Nếu nhân 2 vế của bất đẳng thức đều dương thì phép lấy
nghịch đảo dổi chiều của bất đẳng thức.
k) Nếu a > b > 0 và n nguyên dưong thì a n > b n
Nếu a > b và n nguyên dưong thì a n + > b n +1
3. Một số bất đẳng thức thông dụng
2

+ A ≥ 0( A = 0 ⇔ A = 0); A = A

2

+ A ≤ B ⇔ − B ≤ A ≤ B (B ≥ 0)

A ≥ B
A
≥
B
⇔
+
 A ≤ −B

+ A + B ≤ A + B . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A, B Cùng dấu
+ A − B ≤ A − B . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A ≥ B ≥ 0 hoặc
A≤B≤0
2
2
+ A > B ⇔A >B
2
2
+ a ≥ 0 (a = 0 ⇔ a = 0)
+ a 2 + b 2 ≥ 2ab . (Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b )
a b
+ + ≥ 2 (Với a, b cùng dấu)
b a

Chú ý: Để chứng minh một bất đẳng thức có nhiều cách, tuỳ thuộc vào
từng dạng của bài toán. Sau đây là một số cách thường dùng.
II> CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.

1. Pương pháp sử dụng định nghĩa
Để chứng minh A ≥ B (hoặc A > B ) ta chứng minh A − B ≥ 0
(hoặc A − B > 0 )
- Lưu ý : A2 ≥ 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 .
- Ví dụ :
Bài toán 1.1.
Chứng minh bất đẳng thức Côsi đối với hai số thực không âm ( còn
gọi là bất đẳng thức Ơclit )

a + b ≥ ab a,b ∈ R*
2

5

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a = b
Thật vậy,

a + b ≥ ab ⇔ a + b − 2 ab ≥ 0 ⇔ ( a − b)2 ≥ 0
2

Với mọi a,b ≥ 0. Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a = b .
Bài toán 1.2. hoctoancapba.com

a 2 + b 2 + c2 ≥  a + b + c 
a, b, c

Chứng minh

3
3 ÷ với mọi số thực

2

Phân tích:
Đây là một đẳng thức khá quen thuộc, ta có thể giải bằng cách xét
hiệu vế trái và vế phải.
Lời giải:
Xét hiệu

a 2 + b 2 + c2
3

 a + b + c  3a 2 + 3b2 + 3c2 − (a + b + c)2
−
3 ÷ =
9

(a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2
2

=

a 2 + b 2 + c2 ≥  a + b + c 
Vậy

3

3 ÷

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c
2
a 2 + b 2 + c2 ≥  a + b + c 
Do đó

3
3 ÷


9

≥0

2

Khai thác bài toán:
- Bằng phương pháp xét dấu của hiệu A − B ta xét được sự đúng đắn
của bất đẳng thức A ≥ B . Để ý rằng với 2 số thực bất kì u, v ta
củng có:

u 2 + v2 ≥  u + v  2
 2 ÷
2



- tương tự như chứng minh trên ta có thể chứng minh bài toán sau
Bài toán 1.3 .

Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 +3 ≥ 2(x + y + z)
Lời giải:
6

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Ta xét hiệu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z)
= x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z
= (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1)
= (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2
Do (x - 1)2 ≥ 0 với mọi x
(y - 1)2 ≥ 0 với mọi y
(z - 1)2 ≥ 0 với mọi z
=> H ≥ 0 với mọi x, y, z
Hay x2 + y2 + z2 +3 ≥ 2(x + y + z) với mọi x, y, z .
Dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1.
Khai thác bài toán:
Tương tự ta có thể chứng minh bài toán sau:
Cho a, b, c, d, e là các số thực :
Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e)
Bài toán 1.4.
Chứng minh rằng:

a + b ≥ 2 với mọi a, b cùng dấu
b a

Lời giải:

a 2 + b 2 − 2ab (a − b) 2
a
b
Ta có: + − 2 =
=
b a
ab
ab
2
(a
−
b)
a, b cùng dấu ⇒ ab > 0 ⇒
≥0
ab
a b
Vậy + ≥ 2 dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a − b = 0 hay a = b
b a

Khai thác bài toán:
1.4.1 Chứng minh tương tự như trên ta có thể chứng minh được bài
Toán sau
Chøng minh r»ng víi mäi x tho¶ m·n 1 ≤ x ≤ 5, ta cã :
5 - x + x − 1 ≥ 2.

Hướng dẩn:
7

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin

K48


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
5- x + x −1 ≥ 2 ⇔

(

)

5 - x + x − 1 ≥ 2 ≥ 4 ⇔ 4 + 2 ( 5 − x )( x − 1) ≥ 4
2


x = 5 

⇔ 2 ( 5 − x )( x − 1) ≥ 0  § óng dÊu b»ng khi 

x = 1 

1.4.2

Chứng minh bất đẳng thức:

ab + bc + ca
< c với a ,b là cạnh
2
2

góc vuông của tam giác ABC, còn c là cạnh huyền.

Hướng dẩn:
Ta có :
ab + bc + ca < 2.c2
hay ab + bc + ca < a2 + b2 + c2
Xét: a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca =

1
2a 2 + 2b 2 + 2c 2 − 2ab − 2bc − 2ca ) =
(
2
1
2
( a − b ) + (b − c) 2 + (c − a) 2 > 0
2

(

)

Bài toán 1.5.
Chứng minh rằng nếu a.b ≥ 1 thì:

1 + 1 ≥ 2 .
1+ a 2 1+ b2 1+ ab

Phân tích:
Củng có thể xét hiệu 2 vế thì mới sử dụng được giả thiết a.b ≥ 1
( ⇔ ab −1 ≥ 0 )
Lời giải:
Xét hiệu:

1 + 1 − 2 = 1 − 1 + 1 − 1
1+ a 2 1+ b2 1+ ab 1+ a 2 1+ ab 1+ b2 1+ ab
2
−1) ≥ 0
= (b − a) (ab
2
(1+ ab)(1+ a )(1+ b2 )

Khai thác bài toán:
- Với 3 số dương a, b, c mà abc ≥ 1 , bất đẳng thức sau đúng hay
sai?
8

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Chúng ta có thể phát triển bài toán tổng quát hay không? Nếu
được, hãy phát biểu bài toán tổng quát.

1 + 1 + 1 ≥ 3
1+ a 2 1+ b2 1+ c2 1+ abc
- Với 2 số x, y mà x + y ≥ 0 ta có:
1 + 1 ≥
2
y
x
1 + 4 1 + 4 1 + 2x + y

2. Phương pháp biến đổi tương đương
- Để chứng minh A ≥ B ta biến đổi tương đương
A ≥ B ⇔ …⇔ C ≥ D
trong đó bất đẳng thức cuối cùng C ≥ D là một bất đẳng thức hiển
nhiên đúng hoặc là bất đẳng thức đơn giản hơn bất đẳng thức
A ≥ B . Sau khi khẳng định được tính đúng đắn của bấtđẳng thức
C ≥ D ta kết luận bất đẳng thức A ≥ B đúng
- Một số hằng đẳng thức thường dùng :
(A+B)2=A2+2AB+B2
(A-B)2=A2-2AB+B2
(A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3
(A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3
Bài toán 2.1.
Chứng minh rằng ∀a, b, c, d ∈ R thì

a 2 + b2 + c2 + d 2 + e2 ≥ a(b +c +d +e)

Lời giải.
Bất đẳng thức đang xét tương đương với bấ đẳng thức sau:
(nhân hai vế với 4, chuyển vế)

(a 2 − 4ab + 4b2 ) + (a 2 − 4ac + 4c2 ) + (a 2 − 4ad + 4d 2 )
+(a 2 − 4ae + 4e2 ) ≥ 0

⇔ (a − 2b)2 + (a − 2c)2 + (a − 2d)2 + (a − 2e)2 ≥ 0 lµ h»ng ®óng .
Bài toán 2.2.
9

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin

K48


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng:

a 2 + b2 +1 ≥ ab + a + b

Lời giải:

Bất đẳng thức

a 2 + b2 +1 ≥ ab + a + b
⇔ (a 2 + b 2 +1) − 2(ab + a + b) ≥ 0
⇔ (a 2 − 2ab + b2 ) + (a 2 − 2a +1) + (b 2 − 2b +1) ≥ 0
⇔ (a − b)2 + (a −1)2 + (b −1)2 ≥ 0 đúng
⇒

Điều cần chứng minh
Khai thác bài toán:
Tương tự như bài toán trên hãy chứng minh bất đẳng thức sau:
Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng:

a + b + c ≥ 2 1 + 1 + 1 
bc ca ab  a b c ÷
Bài toán 2.3.
∀x, y chứng minh rằng

x 4 + y4 ≥ xy3 + x 3 y

Lời giải:
Ta có:

Vậy
Bài toán 2.4.

x 4 + y4 − xy3 − yx 3 = x 3 (x − y) − y3 (x − y)
2


= (x − y)2  (x + y )2 + 3y  ≥ 0
2
4 

x 4 + y4 ≥ xy3 + x 3 y

Chứng minh rằng
Lời giải.
Ta có: (1)

a 3 + b3 + c3 − 3abc ≥ 0 (1)
a +b+c

( a + b + c) ( a
⇔

2

+ b2 + c2 − ab − ac − bc )
≥0

a +b+c

1
⇔ (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ 0
2

(2)
10

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
(2) đúng ⇒ (1) đúng
Bài toán 2.5.
Chứng minh rằng

a 2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1 + a 2 ) ≥ 6abc (1)

Lời giải:
⇔ (a − bc)2 + (b − ac)2 + (c − ab)2 ≥ 0
(1)
(2) đúng ⇒ (1) đúng
Khai hác bài toán:
Tương tự như trên ta có thể chứng minh bài toán sau
2.5.1

(2)

Cho a > 0; b > 0 vµ a 3 + b3 = a − b. Chøng minh r»ng:
a 2 + b 2 + ab < 1.

Hướng dẩn:
a 3 + b 3 = a - b ⇔( a 3 - b 3 ) ( a 2 + b 2 + ab ) = ( a - b ) ( a 2 + b 2 + ab )

a3 - b3
⇔( a - b ) ( a + b + ab ) = a - b ⇔a + b + ab = 3
a + b3
a3 - b3
2
2
VËy a + b + ab < 1 ⇔ 3
< 1 ⇔a 3 - b 3 < a 3 + b 3 ⇔0 < b 3
3
a +b
3

3

2

2

3

3

2

2

2.5.2
Chøng minh víi mäi sè d­ong a, b, c ta lu«n cã :

(

a 2 + b 2 b 2 + c2 c2 + a 2 3 a 2 + b 2 + c2
+
+
≤
a+b
b+c
c+a
a+b+c
Hướng dẩn:

)

 a 2 + b 2 b 2 + c2 c2 + a 2 
 ≤ 3 a 2 + b 2 + c 2
B§ T ⇔ ( a + b + c ) 
+
+
b+c
c+a 
 a+b
c a 2 + b 2 a b 2 + c2 b c2 + a 2
⇔
+

+
≤ a 2 + b 2 + c2
a+b
b+c
c+a
2
2
2
ac( c − a )
bc( c − b )
ab( b − a )
⇔
+
+
≥ 0( § óng )
( a + b )( b + c) ( a + b )( a + c) ( c + a )( b + c)

(

(

) (

) (

)

)

11

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
3. Phương pháp quy nạp toán học
- Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1
bằng phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành :
+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0)
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0)
+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
+ Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n0)
Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức có n số (n ∈ N)
Thì ta nên chú ý sử dụng phương pháp quy nạp toán học
- Ví dụ :
Bài toán 3.1.
Chứng minh bất đẳng thức Côsi trong trường hợp tổng quát.
Với a1 , a 2 ... a n ∈ R n , n ≥ 2 thì

a1 + a 2... + a n ≥ n a .a ...a
1
2
n
n

Lời giải:
Ta dùng phương pháp quy nạp theo n :
• Với n =2 bất đẳng thức đả được chứng minh ở 1. (bất đẳng
thức Ơclit) hoctoancapba.com

• Để chứng minh bất đẳng thức tổng quát, trứơc hết ta hãy xét
vài bất đẳng thức phụ. Nếu x1, x 2 ∈ R + thì

x1 < x 2 ⇔ x1n −1 < x 2n −1 .
Vậy ∀x1, x 2 ∈ R + thì ta luôn có (chuyển một bộ phận sang vế
phải, ta được)

(x1n −1 − x 2n −1)(x1 − x 2 ) ≥ 0
x1n + x 2n ≥ x1x 2n −1 + x 2 x1n −1.
Lấy n số thực không âm x1,x 2...x n ∈ R + , viết các bất đẳng
thức tương ứng rồi cộng lại ta được:

(x1n + x 2 n ) + (x1n + x 3 n ) + ... + (x1n + x n n ) +
+(x 2 n + x 3 n ) + ... + (x 2 n + x n n ) + ... + (x n −1n + x n n )
≥ (x1 x 2 n −1 + x 2 x1n −1 ) +
+(x1 x 3 n −1 + x 3 x1n −1 ) + ... + (x1x n n −1 + x n x 1n −1 )12+ ...
Sinh viên: Nguyễn Xuân
Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
+(x n −1x n n −1 + x n x n −1n −1 ) (*)
K48


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng

Từ đó:

(n −1)(x1n + x 2 n + ... + x n n ) ≥
x1 (x 2n −1 + x 3n −1 + ... + x n n −1 ) +
+ x 2 (x1n −1 + x3n −1 + ... + x n n −1 ) + (**)
+ x n (x1n − 2 + x 2n −1 + ... + x n −1n −1 )

Bây giờ theo giả thiết quy nạp, ta thừa nhận rằng đối với n −1 số
thực không âm bất kì , trung bình cộng không nhỏ hơn trung
bình nhân của chúng. Thế thì nói riêng ta có:

x 2n −1 + x3n −1 + ... + x n n −1 ≥ (n −1)x 2x 3...x n
x1n −1 + x3n −1 + ... + x n n −1 ≥ (n −1)x1x 3...x n

…………………………………………………

x1n −1 + x 2n −1 + ... + x n −1n −1 ≥ (n −1)x 2 x 2...x n −1

Sử dụng các bất đẳng thức này, ta có thể tăng cường các bất đẳng
Thức ( ** )

(n −1)(x1n + x 2 n + ... + x n n ) ≥ n(n −1)x1x 2...x n )
Trong hệ thức này đặt x1n = a1,x 2 n = a 2 ,...x n n = a n ta được
a1 + a 2... + a n ≥ n a .a ...a
1 2
n ( đpcm )
n

Trong tất cả quá trình lý luận trên, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
x1 = x 2 = ... = x n tức là khi và chỉ khi a1 = a 2 = ... = a n
Trong lý thuyết đả có một số bất đẳng thức được chúng minh bằng
phương pháp quy nạp (bất đẳng thức Côsi, Becnuli, . . .)
Sau đây ta xét một số bài toán khác.
Bài toán 3.2.
2 + v2  u + v  2
u

≥
Tổng quát của bất đẳng thức
÷
2
 2 

13

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Cho a, b là hai số dương, chứng minh rằng với mọi số tự nhiên

n≥2

Ta có:

u n + vn ≥  u + v  n
 2 ÷
2


Phân tích:
Việc xét hiệu trực tiếp không đạt được kết quả vì vậy chúng ta có thể
nghĩ đến cách sử dụng phương pháp quy nạp.
Lời giải:
Với n = 2 ta có:

a +b ≥ a+b 

÷
2

2

2

2  (bằng cách xét hiệu).
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k , tức là
k
a k + bk ≥  a + b 

÷
2
 2 
Ta phải chứng minh bất đẳng thức củng đúng với n = k +1, tức là
k +1
a k +1 + bk +1 ≥  a + b 

÷
2
 2 
2



Thật vậy,

k
k +1
a k + b k ≥  a + b  ⇔ a + b . a k + bk ≥  a + b 

÷

÷
2
2
2
 2 
 2 

Ta chứng minh:

⇔
⇔
⇔
⇔

a k +1 + bk +1 ≥ a + b . a k + bk
2
2
2
a k +1 + bk +1 ≥ abk + a k b
a k +1 − a k b + bk +1 − abk ≥ 0
(a k − bk )(a − b) ≥ 0

(a − b)2 (a k + a k −2b + ... + ab2−k + bk −1) ≥ 0 (đúng)

Khai thác bài toán:
a) Bài toán vẩn đúng trong trường hợp a ≥ 0; b ≥ 0
14

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
n
n
b) Với a + b = 2 ta có a + b ≥ 1

Bài toán 3.3.

2

∀n ∈ N , n >1, chứng minh rẳng:
1 + 1 + ... + 1 > 13
n +1 n + 2
2n 24

Lời giải:

1 1 = 7 = 14 > 13 = VP
3 4 12 24 24
Giả sử bất đẳng thức đúng với n , nghĩa là ta có:
1 + 1 + ... + 1 > 13
n +1 n + 2
2n 24

Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n +1 , nghĩa là phải chứng
Với n = 2 tacó VT = +

minh:

Ta có

1 + 1 + ... + 1 > 13
n +1 n + 2
2(n +1) 24
VT = 1 + ... + 1 + ( 1 + 1 − 1 )
n +1
2n 2n +1 2n + 2 n +1

1
= 1 + ... + 1 +
> 13 = VP
n +1
2n (2n +1)(2n + 2) 24
⇒ Bất đẳng thức đúng với n + 1
Kết luận : bất đẳng thức đúng với ∀n ∈ N , n >1.
Tương tự như trên ta có thể chứng minh các bất đẳng thức sau
1) Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác vuông với c là cạnh
huyền .
Chứng minh rằng:
a 2n + b2n ≤ c2n ∀n ∈ N
2) ∀n ∈ N , Chứng minh rằng:
22n + 2 > 2n + 5
3) ∀n ∈ N , n >1, chứng minh rẳng:

1 + 1 + ... + 1 < 2 − 1
n
12 22
n2
Bài toán 3.4. Chứng minh rằng với a,b,c,d,e ∈ ( 0;1) thì
15

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng

( 1 − a ) ( 1 − b) ( 1 − c) ( 1 − d) ( 1 − e) > 1 − a − b − c − d − e
Và hãy chứng minh một kết quả tổng quát hơn kết quả của bài
toán trên.
lời giải:
Ta sẻ chứng minh kết quả tổng quát sau đây
Với

a1 ,a 2 ,...,a n ∈ ( 0;1) ( n ≥ 2 )

⇒ ( 1 − a1 ) ( 1 − a 2 ) ...( 1 − a n ) > 1 − a1 − a 2 − ... − a n
Chứng minh bằng quy nạp toán học theo n
- Với n = 2 ⇒ ( 1 − a 1 ) ( 1 − a 2 ) = 1 − a 1 + a 1a 2 > 1 − a 1 − a 2
- Giả sử kẳng định đún với n = k , ta sẻ chứng minh khẳng định củng
đúng với n = k + 1
Do khẳng định đúng với

n = k ⇒ ( 1 − a1 ) ( 1 − a 2 ) ...( 1 − a k ) > 1 − a 1 − a 2 − ... − a k

Với

0 < 1 ⇒ 1 − a k −1 > 0 ⇒

( 1 − a ) ( 1 − a ) ...( 1 − a ) ( 1 − a ) > ( 1 − a
1

2

k

k +1

1

− a 2 − ... − a k ) ( 1 − a k +1 )

Mà vế phải bằng

1 − a1 − a 2 − ... − a k − a k +1 + ( a1 + a 2 + ... + a k ) a k +1
1 4 42 4 43
>0

> 1 − a1 − a 2 − ... − a k − a k +1
⇒ ( 1 − a1 ) ( 1 − a 2 ) ... ≥ ( 1 − a k +1 ) > 1 − a1 − a 2 − ... − a k +1
Vậy khẳng định đúng với ∀n > 2

4. Phương pháp tam thức bậc hai
a) Các tính chất của tam thức bậc hai thương dùng trong bất

đẳng thức
*. F(x) = ax 2 + bx + c
∀x ∈ R (a ≠ 0)
a > 0
F(x) ≥ 0 ⇔ 
∆ ≤ 0


*. a ≤ x ≤ b ⇔ (x − a)(x − b) ≤ 0
16

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng

*. F(x) = ax 2 + bx + c ≥

4ac-b 2
4a

∀x ∈ R (a > 0)

b) Phương pháp.
*> Phương pháp 1:
Để chứng minh bất đẳng thức M > N ta biến đổi

M > N ⇔ B2 − 4AC ≤ 0
(A > 0)

Xét tam thức F(x) = Ax 2 + Bx + C
ta chỉ cần chứng
minh F(x) ≥ 0 ∀x ∈ R

*> Phương pháp 2:
Để chứng minh bất đẳng thức M > N ta biến đổi
M > N ⇔ B2 − 4AC ≥ 0 . Xét tam thức

F(x) = Ax 2 + Bx + C

Ta chỉ cần chứng minh: ∃x 0 / aF(x 0 ) ≤ 0
*> Phương pháp 3:
Để chứng minh bất đẳng thức M > N ta biến đổi
M > N ⇔ Ax 2 ± Bx + C ≥ 0 ∀x và chỉ cần chứng minh:
B2 − 4AC ≤ 0

A > 0

Bài toán 4.1.
Cho a, b là các số thoả mản điều kiện

a 2 − a + 2b + 4b2 − 4ab ≤ 0
Chứng minh rằng 0 ≤ a − 2b ≤ 1

(1)

Phân tích
Để ý rằng bất phương trình bậc hai

at 2 + bt + c ≤ 0 (a > 0) ⇔ t1 < t < t 2 trong đó t1 , t 2 là các nghiệm của

tam thức at 2 + bt + c ta có lời giải sau.
Lời giải:
(1) ⇔ a 2 − 4ab + 4b2 − (a − 2b) ≤ 0

⇔ (a − 2b)2 − (a − 2b) ≤ 0
Đặt t = a − 2b ⇒ t 2 − t ≤ 0 ⇔ 0 ≤ t ≤ 1 ⇔ 0 ≤ a − 2b ≤ 1
17

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Khai thác bài toán:
Ta đã dùng định lý về dấu tam thức bậc hai để giải bài toán này.
nên ta có thể giải các bài toán sau bằng một phương pháp khác
đơn giản:
Tìm giá trị lớn nhất (bé nhất) nếu có của các biểu thức:
2
y = x + 2x 2+ 2003
x
y = −x 2 + 3x − 2

Căn cứ vào đặc điểm Parabol y = a.x 2 + bx + c với a > 0 ( a < 0 ) quay
 −b

, −∆ ÷ là điểm có tung độ
 2a 4a 

bề lõm lên trên (xuống dưới), do đó đỉnh S 



bé nhất (lớn nhất), ta có thể thêm một cách tìm giá trị lớn nhất (bé nhất)
của các bểu thức có dạng
2
y = a.x + bx + c ( a ≠ 0 )
Bài toán 4.2.
∀x, y ∈ R , chứng minh bất đẳng thức sau:
x 2 y4 + 2(x 2 + 2)y2 + 4xy + x 2 ≥ 4xy3 (1)
Lời giải:
(1) ⇔
(y2 +1)2 x 2 + 4y(1− y2 )x + 4y2 ≥ 0

F(x) = (y2 +1)2 x 2 + 4y(1− y2 )x + 4y2
∆' = 4y2 (1− y2 )2 − 4y2 (y2 +1)2
∆' = −16y2
 '
 f (x) ≥ 0
∆ ≤ 0
⇒ 

 ∀y ∈ R
∀x, y ∈ R


Bài toán 4.3.
Với a,b,c,d ∈ R , chứng minh bất đẳng thức sau:
(1)
(a + b + c + d)2 > 8(ac + bd) .

Lời giải:
(1)

 a 2 + 2(b − 3c + d)a + (b + c + d)2 − 8bd > 0
⇔ 
 ∀a ∈ R;b < c < d


18

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Xét tam thức

F(a) = a 2 + 2(b − 3c + d)a + (b + c + d)2 − 8bd
∆' = (b − 3c + d)2 − (b + c + d)2 = 8bd
∆' = 8(c − b)(c − d)
∆' < 0 ⇒ F(a) > 0

∀a ∈ R

Vậy (1) đúng
Bài toán 4.4.
Chứng minh bất đẳng thức Côsi – Bunhiacôpski.
Cho n cặp số thực bất kì a i , bi , i =1,...,n. thế thì

(a1b1 + a 2b2 + ... + a n bn ) ≤ (a12 + a 22 + ... + a n 2 )(b12 + b22 + ... + bn 2 )

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tồn tại số k ∈ R sao cho
b1 = ka1 , b2 = ka 2 , …, bn = ka n
Lời giải:

Với ∀x ∈ R ta có:

(a1x − b1)2 ≥ 0

……………….

Từ đó suy ra:

(a n x − bn )2 ≥ 0
a12 x 2 − 2a1b1x + b12 ≥ 0
…………………………..

a n 2 x 2 − 2a n bn x + bn 2 ≥ 0

Cộng vế với vế ta được

(a12 + a 22 + ... + a n n )x 2 − 2(a1b1 + a 2b2 + ... + a n bn )x
+(b12 + b22 + ... + bn n ) ≥ 0
Vế trái là một tam thức bậc hai f ( x ) = Ax 2 − 2B'x + C với A ≥ 0 Và

f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R nên nếu A > 0 thì
2
∆' = B' − AC = (a1b1 + a 2b2 + ... + a n bn ) +

(a12 + a 22 + ... + a n 2 )(b12 + b22 + ... + bn 2 ) ≤ 0
Và thu đựơc bất đẳng thức cần chứng minh.

19

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Còn nếu A = 0 thì a1 = a 2 = ... = a n khi đó bất đẳng thức cần chứng minh
là hiển nhiên.
Cuối cùng ta thấy dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

∆' = 0 ⇔ a1x = b1 = ... = a n x = bn
⇔ b1 = ka1,...,bn = ka n

Với k ∈ R .

Khai thác bài toán:
Tương tự như bài toán trên ta có thể chứng minh các bất đẳng thứưc sau:
1) 5x 2 + 3y2 + 4xy − 2x + 8y + 9 ≥ 0 ∀x, y ∈ R
2) 3y2 + x 2 + 2xy + 2x + 6y + 4 ≥ 1

∀x, y ∈ R

3) (x + y)2 − xy +1 ≥ (x + y) 3
Bài toán 4.5.
Cho a.b ≠ 0 Chứng minh rằng:

a 2 b2
a b
+

−
3
 + ÷+ 4 ≥ 0
b2 a 2
b a

Lời giải:

a b
Đặt x = +
b a

ta có :

a 2 b2
x = 2 + 2 +2
b a
2
2
a
b
⇒
+ 2 = x2 − 2
2
b a
2

Bất đẳng thức trở thành:

x 2 − 2 − 3x + 4 ≥ 0

⇔ x 2 − 3x + 2 ≥ 0
⇔ ( x − 1) ( x − 2 ) ≥ 0
Nếu ab < 0 Thì ta có

a 2 + 2ab + b 2 ≥ 0
⇒ a 2 + b 2 ≥ −2ab Chia cả hai vế cho ab ta được
a 2 + b2
Vậy x ≤ −2
≤ −2
ab
Trong cả hai trường hợp thì ( x − 1) ( x − 2 ) ≥ 0
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b
5. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy
20

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
#>Với hai số a, b ≥ 0 ta luôn có:

a + b ≥ ab
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

Chứng minh:

Cách1: (Phương pháp biến đổi tương đương)
2

a+b
a+b
≥ a.b ⇔ 
≥ ab ⇔ (a − b) 2 ≥ 0 Bđt hiển nhiên
÷
2
 2 
đúng.
Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b .
Cách 2: (Phương pháp hình học)
+ Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì BĐT hiển nhiên đúng.
+ Nếu a > 0 và b > 0 thì ta đặt: HA = a , HB = b ( Hình vẽ )

⇒

a+b
= OI ≥ HC = HA.HB = a.b
2

H

O

Đẳng thức xảy ra ⇔ HC = OI ⇔ H ≡ O ⇔ a = b
#> Dạng tổng quát của bất dẳng thức Cauchy
A
Cho a1,a 2 ,...,a n ≥ 0
a + a + ... + a n ≥ n a a ...a
Ta có: 1 2

1 2
n
n
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a 2 = ... = a n
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp
Bài toán 5.1.

I

C

1

1 +1≥9
.
÷
a b c

Cho a,b,c > 0.Chøng minh ( a + b +c )  +

Phân tích:
Vế trái chứa a,b,c > 0 và các nghịch đảo của chúng.vì vậy ta nghĩ
đến việc dùng bất dẵng thức côsi.
Lời giải:
21

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48

B

Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Cách 1

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các bộ 3 số
ta có:

a,b,c và 1 , 1 , 1
a b c

a + b + c ≥ 3 3 abc (1).
1 + 1 + 1 ≥ 33 1 (2)
a b c
abc
1

1 1
b


Nhân từng vế của (1) và(2)ta đựơc: ( a + b + c )  + + ÷≥ 9 (đpcm)
a
c


Cách 2:

( a + b + c )  1a + 1b + 1c ÷ = 3 +  ba + ac ÷+  ac + ac ÷ +  bc + bc ÷ ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9




Dấu “=”xảy ra ⇔ a = b = c

















Khai thác bài toán:
Tương tự như trên ta có thể chứng minh được bất đẳng thức sau
Cho a, b,c > 0 và a + b + c + d = 1
Chứng minh rằng

a+b+c + b+c+d + b+d+a + c+d+a ≤ 2 3

Bài toán 5.2.
Cho a, b, c > 0 và a + b + c ≤ 1.

Chứng minh rằng
Lời giải:

1
1
1
+
+
≥9
2
2
2
a + 2bc b + 2ca c + 2ab

1
1
1
+
+
a 2 + 2bc b 2 + 2ca c 2 + 2ab
1
1
1
2

≥ ( a + b + c)  2
+ 2
+ 2
÷
 a + 2bc b + 2ca c + 2ab 

= ( a 2 + 2bc ) + ( b 2 + 2ca ) + ( c 2 + 2ab )  .
1
1
1


+
+
 2
÷≥ 9
2
2
a
+
2bc
b
+
2ca
c
+
2ab


Khai thác bài toán.
22

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48

Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Chứng minh tương tự như trên ta có thể chứng minh được các bài
toán sau
5.2.1. Chứng minh rằng với mọi a,b > 0 thoả mãn a + b = 1 ta có

5.2.2

1
1
+ 2
≥6
ab a + b 2

Chøng minh r»ng víi mäi a, b > 0 tho¶ m·n :
a.b = 1, ta cã:
1 1
2
+ +
≥3
a b a+b

Hướng dẩn:

1 1
2
2
a+b a+b
2
+ +
= ( a + b) +

=
+
+
a b a+b
a+b
2
2
a+b
a+b a+b
2 
=
+
+
÷≥ ab + 2 = 3
2
a+b
 2

Bài toán 5.3.

1+1≥ 4
x y x+y

Cho x,y >0, chứng minh

(1)

Phân tích :
Do x,y >0 nên bất đẳng thức (1)có thể suy từ bất đẳng thức Côsi
hoặc trực tiếp xét hiệu.

Lời giải :
Cách 1:
Sử dụng bất đẳng thức Côsicho hai số dương:

x + y ≥ 2 xy
⇔ x + y 2 ≥ 4xy

(

)

⇔ x+y ≥ 4 .
xy x + y
Cách hai :

Xét hiệu của hai vế.

Khai thác bài toán:
Bất đẳng thức trên có liên quan đến viêc “cộng mẫu” nên có thể
23

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
sử dụng để chứng minh bất đẳng thưc sau:
Bài toán 5.3.1
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:

1 + 1 + 1 ≥ 2 1 + 1 + 1 
a + b +c.

÷ . Trong đó p=
p−a p−b p−c  a b c 
2
Bài toán 5.3.2.
Cho a > 0;b > 0 , chứng minh rằng 2 a + 3 b ≥ 5 5 ab
Hướng dẩn
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số a , a , 3 b ,

b,

3

b

a + a + 3 b + 3 b + 3 b ≥ 5 5 ab
2 a + 3 b ≥ 5 5 ab

⇒

Bài toán 5.4.

3

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng:

a + b + c ≥ 3.

b+c−a a +c−b b+a −c

Lời giải:
Cách 1:
Nhận xét: Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có

a + b − c > 0; a + c − b > 0; b + c − a > 0.

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp số dương:

(a + b − c)(a + c − b) ≤ a + b − c + a + c − b = a
2
(a +c-b)(b +c-a) ≤ c
(b +c-a)(b +a -c) ≤ b

(1)
(2)
(3)

Để ý rằng cả 2 vế của các bất đẳng thức (1) (2) (3) là các số dương và
ba bất đẳng thức này cùng chiều, nhân từng vế của chúng ta được

(a + b − c)(a + c − b)(b + c − a) ≤ abc.

Trở lại bài toán:

24

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48

Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
a + b + c ≥ 33
abc
b+c−a a +c−b b+a −c
(b + c − a)(a + c − b)(a + b − c)
≥ 3 3 abc
abc
Cách2:
Đặt x = b + c − a;y = a + c − b;z = a + b − c , khi đó x, y,z > 0 và

a = y + z ,b = x + z ,c = x + y .
2
2
2

Vế trái:

a + b + c = 1 ( y+z + x +z + x + y)
b+c−a a +c−b b+a −c 2 x
y
z

1 x y x z y z 1
= ( + + + + + ) ≥ (2 + 2 + 2) = 3
2 y x z x z y 2
x y
y+ x =2



x z
Dấu “=” xảy ra ⇔  z + x = 2 ⇔ x = y = z ⇔ a = b = c.

y z
 + =2

z y

Khai thác bài toán:
Trong bài toán trên chúng ta đã sử dụng ẩn phụ hoặc dùng bất đẳng
thức Côsi để giải. Sử dụng cách thức trên, hảy giải bài toán sau:
1) Cho a,b,c > 0 và a + b + c + d = 1
Chứng minh rằng

a +b+c + b+c+d + b+d+a + c+d+a ≤ 2 3
2) Cho a,b,c,d > 0 , Chứng minh rằng:
a) (1+ a)(1+ b)(1+ c) ≥ (1+ 3 abc )
b)

(a + b)(c + d) + (a + c)(b + d) +

+ (a + d)(b + c) ≥ 6 4 abcd
Bài toán 5.5. Cho x1,x 2 ,...,x n ∈  0;1 , chứng minh rằng:
25

Sinh viên: Nguyễn Xuân Lương Lớp CĐSP Toán – Tin
K48