Chuyên đề phương trình lượng giác có lời giải – trần đình sỹ

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Tháng 8 năm 2012
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
Bài 1. Giải các phương trình sau :



x

x

2

1  2sin x  cosx 
1  2sin x 1  s inx 

a.  sin  cos   3cosx=2
2
2

b.

c. sinx+cosxsin2x+ 3cos3x=2  cos4x+sin3 x 

d. 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0



3

Giải


x

x

2

1

3

1

a.  sin  cos   3cosx=2  1+sinx+ 3cosx=2  sinx+ cosx=
2
2
2
2
2


  

x    k 2
x    k 2






3 6
6
 sin  x    sin  

k  Z 

5


3
6


x  

 k 2
x   k 2


3

6



2



 x   6  k 2

1

1  2sin x  cosx

7
s inx  
b.
 3 . Điều kiện : 
 k 2
2  x 
6
1  2sin x 1  s inx 
s inx  1



 x  2  k 2

1  2sin x  cosx  3  cosx-sin2x=1-sinx+2sinx-2sin 2 x
Khi đó :
1  2sin x 1  s inx 






 cosx-sinx=sin2x+cos2x  2cos  2x-   2cos  x  
4
4







 x  2  k 2
 2 x  4  x  4  k 2
2


xk
k  Z 
3
 x  k 2
 2 x     x    k 2

3
4
4


c.
s inx+cosxsin2x+ 3cos3x=2  cos4x+sin 3 x   s inx+

sin3x+sinx

3sinx-sin3x
 3cos3x=2cos4x+
2
2

 3s inx  sin 3x  2 3cos3x=4cos4x+3sinx-sin3x

1
3
 2sin 3x  2 3cos3x=4cos4x  sin 3x 
cos3x=cos4x
2
2




4 x  3x   k 2
x   k 2




6
6
 cos4x=cos  3x+   

k  Z 
6


 4 x  3x    k 2
 x     k 2
6
42
7



d. 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0  3cos5x-  sin5x+sinx   s inx=0
 3cos5x-sin5x=2sinx 

3
1
cos5x- sin 5 x  sinx
2
2

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218

Trang 1


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)

Tháng 8 năm 2012
 k

 



5 x    x  k 2

 x  18  3




6 2
 cos  5x+   s inx=cos   x   

k  Z 
6

2

5 x    x    k 2
 x     k

6
2
6 2


Bài 2. Giải các phương trình sau :
a. 4  sin 4 x  cos4 x   3 sin 4 x  2

b. 2 2  s inx+cosx  cosx=3+cos2x

c. cos 2 x  3 sin 2 x  2  s inx+cosx 

d. sin 4 x  cos 4 x  2 3 s inxcosx+1

Giải
1
a. 4  sin 4 x  cos4 x   3 sin 4 x  2  4 1  sin 2 2 x   3 sin 4 x  2
 2

 3  1  2sin 2 2 x   3 sin 4 x  2  cos4x+ 3 sin 4 x  1

1
3
1

1
2

 cos4x+
sin 4 x    cos  4x-     cos
2
2
2
3
2
3

 2
 k



 4 x  3  3  k 2
x  4  2


k  Z 
 4 x     2  k 2
 x     k


3
3
12 2
b. 2 2  s inx+cosx  cosx=3+cos2x  2 sin 2 x  2 2cos 2 x  3  cos2x

 2 sin 2 x  2 1  cos2x   3  cos2x  2 sin 2 x

 2 1  5  2 2,
2   6  4 2  36 
2

Ta có : a 2  b2  2 

11 6 2   5  2





c2  3  2



2 1 cos2x=3- 2



2

 11  6 2 . Do đó :

32  0  c2  a2  b2 . Phương trình vô nghiệm .



c. cos 2 x  3 sin 2 x  2  sinx+cosx   cos2x- 3 sin 2 x  2sin  x  
4




1
3






 cos2xsin 2 x  sin  x    sin  2 x    sin  x  

2
2
4
6
4





5


 2 x  6  x  4  k 2
 x  12  k 2


k  Z 
 2 x    3  x  k 2
 x  11  k 2


36
3
6
4
4
4
d. sin x  cos x  2 3 s inxcosx+1  cos2x+ 3 sin 2 x  1
1

3


2

 cos2x+
sin 2 x  1  cos  2x-   cos  2 x     k 2  x 
 k
2
2
3
3
3


Bài 3. Giải các phương trình sau :
2 
4 

 



a. 4sin x sin   x  sin   x   4 3cosx cos  x   cos  x    2
3



3





3 



3 

3
8

c. 1  sin 4 x  cos 6 x  sin 6 x

b. 2sin 4 x  16sin 3 x.cosx  3cos 2 x  5
Giải

2 
4 

 



a. 4sin x sin   x  sin   x   4 3cosx.cos  x   cos  x    2
3
3
3
3



Trang 2















Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
2 



Tháng 8 năm 2012

 2  

 2sin x  cos2x-cos
  2 3cosx cos  2 x  2   cos 
  2
3 

 3 

1
1
 2sin xcos2x+2sinx.  2 3cosx.cos2x-2 3cosx.  2
2
2
 sin 3 x  s inx+sinx  3  cos3x+cosx  - 3cosx  2
1
3
2



 sin 3x  3cos3x= 2  sin 3x 
cos3x=
 cos  3x-   cos
2
2
2
6
4

 k 2


 x  36  3

k  Z 
 x     k 2

36
3
b. 2sin 4 x  16sin 3 x.cosx  3cos 2 x  5
Ta có : 16sin 3 xcosx  4cos x  3sin x  sin 3x   6sin 2 x  2.2sin 3x.cosx
=6sin2x-2  sin4x+sin2x   4sin 2 x  2sin 4 x

Cho nên (1) : 2sin 4x  4sin 2x  2sin 4x+3cos2x=5  4sin2x.+3cos2x=5
4
3

 sin 2 x  cos2x=1  cos  2x-   1  2 x    k 2  x   k  k  Z 
5

5
2
3
4
Và : cos = ;sin  
5
5
3
c. 1  sin 4 x  cos 6 x  sin 6 x
8
3
3  1  cos4x  5 3

Do : sin 6 x  cos6 x  1  sin 2 2 x  1  
   cos4x
4
4
2
 8 8
3
5 3


Cho nên (c) trở thành : 1  sin 4 x   cos4x  cos4x-sin4x=1  2cos  4x+   1
8
8 8
4

k
 


x
4x+   k 2



2


2
4 4
 cos  4x+  

 cos  

k  Z 

k



4 2
4

x   
 4x+    k 2


8 2
4
4

Bài 4. Giải các phương trình sau :
a. sin 8 x  cos6x= 3  sin 6 x  cos8x 

b. cos7x-sin5x= 3  cos5x-sin7x 

c. 3sin 3x  3cos9x=1+4sin 3 3x

d. 3cos5x+sin5x-2cos2x=0
Giải

a. sin 8 x  cos6x= 3  sin 6 x  cos8x   sin 8 x  3cos8x= 3 sin 6 x  cos6x

Chia hai vế ơhw[ng trình cho 2 ta có :
1
3
3
1




 sin 8x 
cos8x=
sin 6 x  cos6x  sin  8x-   sin  6 x  
2
2
2
2
3
6










8 x  3  6 x  6  k 2
 2 x  2  k 2

 x  4  k



k  Z 
8 x    6 x  5  k 2
14 x  7  k 2
 x    k
6
12 7
3
6



b. cos7x-sin5x= 3  cos5x-sin7x   cos7x+ 3 sin 7 x  3cos5x+sin5x

Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218

Trang 3


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Chia hai vế phương trình cho 2 ta có kết quả :

Tháng 8 năm 2012

1
3

3
1




 cos7x+
sin 7 x 
cos5x+ sin5x  cos  7x+   cos  5x- 
2
2
2
2
3
6










7 x  3  5 x  6  k 2
 2 x   2  k 2
 x   4  k




k  Z 
7 x    5 x    k 2
12 x     k 2
 x     k
6
72 6
3
6



3
c. 3sin 3x  3cos9x=1+4sin 3x 
Từ công thức nhân ba : sin 9 x  3sin 3 x  4sin 3 3 x cho nên phương trình (c) viết lại :
1
3
1
3sin 3x  4sin 3 3x  3cos9x=1  sin 9 x  3cos9x=1  sin 9 x 
cos9x=
2
2
2
 k 2
  

9x-  k 2
x 



 1


6 3
18
9
 cos  9x-  =  cos  

k  Z 



6
2
3


9x-    k 2
 x    k 2


6
3
27
9
3
1


cos5x+ sin5x=cos2x  cos  5x-   cos2x

2
2
6


 k 2

   k 2
x 

3
30
5

k  Z 

 k 2

  k 2
x 
3
10
5


d. 3cos5x+sin5x-2cos2x=0 


5 x  6


5 x  
6


II. PHƯƠNG TRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI
ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bài 1. Giải các phương trình sau :


cos3x+sin3x 

a. 5  sinx+
b. cos 2 3x.cos2x-cos 2 x  0
  3  cos2x
1  2sin 2 x 

 3
 

c. cos4 x  sin 4 x  cos  x-  .sin  3x     0 d. 4.s inxcosx+3sin 2 x  6sin x


4



4 2

Giải




a. 5  sinx+

1
cos3x+sin3x 
  3  cos2x . Điều kiện : sin 2 x   2 (*)
1  2sin 2 x 

Phương trình (a) trở thành :
 sinx+2sinx.sin2x+cos3x+sin3x 
 sinx+cosx-cos3x+cos3x+sin3x 
 5
  3  cos2x  5 
  3  cos2x
1  2sin 2 x
1  2sin 2 x




s
inx+sin3x

c
osx
c
osx
1+2sin2x



  cosx
s inx+cosx+sin3x 
2sin 2 x.cosx+cosx




1  2sin 2 x
1  2sin 2 x
1  2sin 2 x
1  2sin 2 x
1

cosx=
2
2


5cos
x

2

2
cos
x

2
cos

x

5cos
x

2

0

Cho nên (a)
2

cosx=2>1



x   k 2

1
3
Vậy : cos x   
. Kiểm tra điều kiện :

2 
x    k 2

2

Trang 4

Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Tháng 8 năm 2012

2
1
- 2sin   4k   1  2.  1  2  0 . Cho nên nghiệm phương trình là x   k 2
3
2
 3

2
1
- 2sin    4k   1  2.     1  0 Vi phạm điều kiện , cho nên loại .
 3

 2

Tóm lại phương trình có một họ nghiệm : x   k 2
3
1+cos2x
0
b. cos 2 3 x.cos2x-cos 2 x  0  cos 2 3 x.cos2x2
 2cos2 3x.cos2x- 1+cos2x   0  cos2x 1+cos6x   1  cos2x=0  cos6x.cos2x=1

cos4x=1
 cos8x+cos4x=2  2 cos 4 x  cos4x-3=0  

cos4x=- 3  1

2
k
Do đó : cos 4 x  1  4 x  k 2  x 
k  Z 
2
2

c.
 3
1
1 

 3
 

cos4 x  sin 4 x  cos  x-  .sin  3x     0  1  sin 2 2 x  sin  4 x    sin 2 x    0
4 2
2
2 
2
 4

 2
1
1
3
 1  sin 2 2 x   cos4x  sin 2 x    0  2  sin 2 2 x    1  2sin 2 2 x   sin 2 x   3  0
2

2
2
sin2x=1


 sin 2 x  1  2 x   k 2  x   k  k  Z 
 sin 2 2 x  sin 2x-2=0  
2
4
sin2x=-2<-1
sinx=0
d. 4.sinxcosx+3sin 2 x  6sin x  sinx  4cosx+3sinx-6   0  
4cosx+3sinx=6
- Với sinx =0  x  k  k  Z 

- Do : 42  32  25  62  36 . Cho nên phương trình 4cosx+3sinx=6 vô nghiệm .
Bài 2. Giải các phương trình sau
x
x 
a. sin 2 3x  cos 2 4 x  sin 2 5 x  cos 2 6 x
b. sin 2    tan 2 x  cos2  0
2





c. tan   x   2 tan  2 x    2
2
2




4

2

d. 5.s inx-2=3 1-sinx  .tan 2 x
Giải

a. sin 3x  cos 4 x  sin 5 x  cos 6 x
2



2

2

2

1  cos6x 1  cos8x
1  cos10x 1  cos12x



  cos8x+cos6x    cos10x+cos12x 
2
2
2

2





 x  2  k
x


k



2

cosx=0
k
 2cos7xcosx  2cos11xcosx  
 11x  7 x  k 2   x 
k  Z 

2
cos11x=cos7x
11x  7 x  k 2


 x  k



9
x
x 
b. sin 2    tan 2 x  cos2  0 . Điều kiện : cosx khác không .
2
2 4

Khi đó phương trình trở thành :
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218

Trang 5


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
 

Tháng 8 năm 2012

1  cos  x-  2
2
1  s inx  1  cos x  1  cosx

2  sin x 1  cosx



0

0

2
cos 2 x
2
2
1  sin 2 x  2


1  cosx  1  cosx   1  cosx  0  1  cosx  1  cosx   1  0


2
2
2  1  s inx  
1  sin x 

 x    k 2
cosx=-1
cosx=-1
1  cosx   cosx-sinx  



k  Z 


0
2  1  s inx  
sinx+cosx=
 t anx  1  x    k


4
sinx  0
sinx  0



c. tan   x   2 tan  2 x    2 . Điều kiện : 

 x  k k  Z 
2
2
2


sin 2 x  0 cosx  0
cosx 2cos2x
2 cos 2 x  cos2x

2
2
Phương trình (c)  cot x  2 cot 2 x  2 
sinx sin 2 x
s inx.cosx

 2 cos 2 x  cos2x  sin 2 x  1  cos2x   cos2x=sin2x  sin2x=1  x=  k  k  Z 
4

Nghiệm này thỏa mãn điều kiện .
d. 5.s inx-2=3 1-sinx  .tan 2 x . Điều kiện : cos x  0  x 



 k  k  Z 
2
2
sin 2 x 3 1  sinx  sin x 3sin 2 x
3sin 2 x
d  5.sinx-2=3 1-sinx  . 2 


5.sinx-2=
cos x
1  sin 2 x
1  sinx
1  sinx
1

s inx=2
2

  5.s inx-2 1  s inx  =3sin x  2sin x  3sin x  2  0 
2

s inx=2>1



 x   6  k 2
1
Vậy phương trình có nghiệm : sin x    

 k  Z  ( Thỏa mãn diều kiện )
2
 x  7  k 2

6

Bài 3. Giải các phương trình sau :





cosx 2sinx+3 2  2cos 2 x  1
1
1
 2 cos 3 x 
a. 2sin 3 x 
b.
1
s inx
cosx
1  sin 2 x
x
x
x
3x 1
c. cos x.cos .cos  s inx.sin .sin  d. 4cos3 x  3 2 sin 2 x  8cos x
2
2
2

2 2

Giải
sinx  0
1
1

 2 cos 3 x 
. Điều kiện : 
 x  k k  Z 
s inx
cosx
2
cosx  0
1
1
2sin 3 x.s inx-1 2 cos 3 x.cosx  1
 2 cos 3 x 


Khi đó : 2sin 3 x 
s inx
cosx
s inx
cosx
2
cos2x-cos4x-1 cos4x+cos2x  1
cos2x-2cos 2 x cos2x+2cos 2 2 x





s inx
cosx
s inx
cosx
cosx-sinx-2cos2x  cosx-sinx 
1-2cos2 x 1+2cos2 x 
 cos2x 

 0  cos2x
0

cosx 
sinx.cosx
 s inx

a. 2sin 3 x 

Trang 6

Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)

Tháng 8 năm 2012

 k



x  4  2
 k

cos2x=0

x 



 1-2cos2x 
4 2

 cos2x  cosx-sinx  
k  Z 
  0   tanx=1   x   k  

4
 sinx.cosx 


x    k
1



6
cos2x=


x    k

2

6

Các họ nghiệm này thỏa mãn điều kiện .
b.





cosx 2sinx+3 2  2cos 2 x  1
1  sin 2 x

Khi đó :



 1 . Điều kiện : sin 2 x  1  x 



cosx 2sinx+3 2  2cos 2 x  1
1  sin 2 x


4

 k  k  Z  (*)

 1  sin 2 x+3 2cosx  2cos 2 x  1  1  sin 2 x


2
2

cosx=
 2cos x  3 2cosx  2  0  
 cosx=
 x    k 2
2
2
4
cosx= 2  1

Nhưng do điều kiện (*) Ta chỉ có nghiệm : x    k 2 , thỏa mãn .Đó cũng là nghiệm
4
x
3x
x
3x 1
c. cos x.cos .cos  s inx.sin .sin   cosx  cos2x+cosx   s inx  cosx-cos2x   1
2
2
2
2 2
2
 cos2x  cosx+sinx   cos x  sin xcosx  1  cos2x  cosx+sinx   sinxcosx-sin 2 x  0

2

 cos2x  cosx+sinx   sinx  cosx+sinx   0   cosx+sinx  cos2x-sinx   0



 x   4  k
 t anx=-1

 cosx+sinx   0
 k 2



 x  
k  Z 



cos2x=sinx=cos   x 

6
3
 cos2x-sinx   0

2


 x     k 2


2





d. 4cos3 x  3 2 sin 2 x  8cos x  2cos x 2cos2 x  3 2 sinx-4  0 .
cosx=0

 2cos x  0
cosx=0
2


 sinx=
2
2

2
 2 1  sin x   3 2 s inx-4=0
 2sin x  3 2 s inx+2=0

s inx= 2  1



 x  2  k
cosx=0




Do đó Phương trình có nghiệm :
  x   k 2  k  Z 
sinx= 2

4


2
 x  3  k 2
4


Bài 4. Giải các phương trình sau :




a. cos  2 x    cos  2x-   4sin x  2  2 1  sinx 


4



4





b. 3cot 2 x  2 2 sin 2 x  2  3 2 cosx

c.

4sin 2 2 x  6sin 2 x  9  3cos 2 x
0
cosx

Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218

Trang 7


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
1
3

Tháng 8 năm 2012

2
5

d. Cho : f ( x)  s inx+ sin 3 x  sin 5 x . Hãy giải phương trình : f'(x)=0.
Giải
a.






 cos  2 x    cos  2x-   4sin x  2  2 1  s inx 
4
4


 2cos 2 x.cos




2

 4sin x  2  2 1  s inx 



 sin x 4  2  2  2  s inx=





 x    k 2
2+ 2
 sin   
k  Z 
4 2
 x      k 2

b. 3cot 2 x  2 2 sin 2 x  2  3 2 cosx . Điều kiện : sin x  0  x  k
Chia hai vế phương trình cho : sin 2 x  0 . Khi đó phương trình có dạng :





2





 cosx 
 cosx 
 3cot 2 x  2 2 sin 2 x  2  3 2 cosx  3  2   2 2  2  3 2  2 
 sin x 
 sin x 
t  2
cosx
2
Đặt : t  2  3t  2  3 2 t  2 2  0   2
t 
sin x
 3
cosx=- 2  1


2

2

cosx= 2 sin 2 x
2
c
osx=
cosx=

2
c
os
x

c
osx2

0

2
2




2
cosx= 2 sin 2 x
1

 2 cos x  3cos x  2  0
cosx= 1

cosx=
3




2
2

cosx=-2<-1



2
x    k 2
cosx=

4
2 
Do đó phương trình có nghiệm :  
k  Z 

1


x    k 2
cosx= 2

3






4sin 2 2 x  6sin 2 x  9  3cos 2 x
 0 . Điều kiện : cosx  0  x   k  k  Z 
2
cosx
2
2
4sin 2 x  6sin x  9  3cos 2 x
 0  4 1  cos 2 2 x   3 1  cos2x   9  3cos 2 x  0
Khi đó :
cosx
t  cos2x; t  1
t  1
t  cos2x; t  1  t  1
2
 4cos 2 x  6 cos 2 x  2  0   2



t   1
2t  3t  1  0
1


2
 t   2

c.



cos2x  1
 x  2  k

. Nhưng nghiệm : x   k vi phạm điều kiện .


1
cos2x  
2
 x     k

2
3


Vậy phương trình có nghiệm : x    k 2  k  Z 
3

Trang 8

Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)

Tháng 8 năm 2012

1
2
3
5
Ta có : f '  x   cosx+cos3x+2cos5x=0   cos5x+cosx    coss5x+cos3x   0

d. Cho : f ( x)  s inx+ sin 3 x  sin 5 x . Hãy giải phương trình : f'(x)=0.

t  cosx; t  1

 2 cos 3xcos2x  2 cos 4 x cos x  0   3
2
2
2


 4t  3t  2t  1  t  2  2t  1  1  0
t  0
cosx  0

t  cosx; t  1
t  cosx; t  1

 5

 2 9  17  
4

2
3
t 
 2 cos 2 x  9  17
2
t
8
t

9
t

2

0


16t  18t  4t  0





16
8
cosx  0
cosx  0




cos2x  9  17  1 cos2x  9  17  1  1  17
8
8
8



- Trường hợp : cosx=0  x   k
2

1- 17


 cos
x=  +k
cos2x=

2x=


+k2


8
2


- Trường hợp :  
k  Z 


1+ 17
 2x=    k 2
 x=    k
 cos
cos2x=

2

2

Bài 5. Giải các phương trình sau :
5x
x
 5cos 2 x.sin
2
2
6x
x
c. 2 cos 2  1  3cos
5
5

b. sin 2 x  cot x  tan 2 x   4cos2 x

a. sin


d. tan 3  x    t anx-1
4




Giải
5x
x
 5cos 2 x.sin
2
2
x
Đặt : t   x  2t . Khi đó phương trình trở thành : sin 5t  5cos 2 2t sin t (2)
2

a. sin

Nhan hai vế với 2cost ta được :
 2sin 5t.cost=5cos 2 2t.2cost.sint  sin6t+sin4t=5cos 2 2t.sin 2t
5
5
 sin6t+sin4t= cos2t.2 cos 2t sin 2t  sin 4t.cos2t
2
2
3
 3sin 2t  4sin 2t  2sin 2t.cos2t- 5cos 2 2t.sin2t=0





 sin 2t  3  4sin 2 2t  2.cos2t- 5cos2 2t  =0  sin 2t 3  4 1  cos 2 2t   2.cos2t- 5cos2 2t =0

sin2t=0
2t  k 2
 sin 2t 1  2.cos2t+cos 2 2t  =0  

 x  2k
cos2t=1 2t  k 2
b. sin 2 x  cot x  tan 2 x   4cos2 x
sin t  0
. Khi đó phương trình trở thành :
cos2t  0
 cosx sin 2 x 
 cos xcos2x+sin2x.sinx 
2
2
 sin 2 x 

  4cos x  sin 2 x 
  4cos x
sinxcos2x
 sinx cos2x 


c
osx
1



2

2 
 2sin x.cosx 
 2  0
  4cos x  2cos x 
 sinxcos2x 
 cos2x


Điều kiện : 

Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218

Trang 9


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Tháng 8 năm 2012


 2cos 2 x=0
 x  2  k


 k  Z  Các nghiệm thỏa mãn điều kiện .
cos2x= 1


x    k


2


6

6x
x
x
 1  3cos . Đặt : t   x  5t . Khi đó phương trình có dạng :
5
5
5
2
 2 cos 6t  1  3cos t  2  cos12t=3cost  3cost-cos12t=2
t  k 2
cost=1
t  k 2

Chỉ xảy ra khi : 

  l . Nếu phương trình có nghiệm thì tồn
cos12t=1 12t  l 2
t  6
l
tại k,l thuộc Z sao cho hệ có nghiệm chung . Có nghĩa là : k 2   k , l  Z  
6
l
12k
k 2   k , l  Z   12k  l  x 
 2k

6
6

d. tan 3  x    t anx-1
4

  
0
cos xĐiều kiện :   4  * . Khi đó phương trình trở thành :
cosx  0


c. 2 cos 2

tan x  tan



4  t anx-1  tanx-1   t anx-1  0   tanx-1  1  1  0   t anx=1


 tanx=0

tanx+1
 tanx+1 

1  t anx.tan
4
 
x =  k

 4
Nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*)

 x=k



Bài 6. Giải các phương trình sau :
sin 4 2 x  cos 4 2 x
 cos 4 4 x

 

tan   x  tan   x 
4
 4


a.

b. 48 

1
2
 2 1  cot 2 x.cot x   0
4
cos x sin x

c. sin 8 x  cos8 x  2  sin10 x  cos10 x   cos2x
5

4

d. cot x  1 

cos2x
1
 sin 2 x  sin 2 x
1+tanx
2

Giải
sin 2 x  cos 2 x
 cos 4 4 x .

 

tan   x  tan   x 
4
 4




 


 

Do : tan   x  tan   x   tan   x  cot   x   1 . Cho nên mẫu số khác không .
4

 4

4
 4

1
Phương trình trở thành : sin 4 2 x  cos 4 2 x  cos 4 4 x  1  sin 2 4 x  cos 4 4 x
2
4

4

a.

Trang 10

Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)

Tháng 8 năm 2012

t  1
2
t  cos 4 x.0  t  1 
 2  1  cos 4 x   2cos 4 x   2

1

2t  t  1  0
t   2  0
k
Vậy : t  1  cos 2 4 x  1  sin 4 x  0  x 
.
4


Đối chiếu với điều kiện để tan   x  va tan   x  có nghĩa thì ta phải bỏ đi các nghiệm
4

4





 k  2n  1  x  4  n  cos  4  x   0


ứng với k là lẻ : 
. Do đó phương trình chỉ có




 k  2n  1  x    n  cos   x   0
4
4



n
nghiệm ứng với k là chẵn : x=  n  Z 
2
cosx  0
1
2

b. 48  4  2 1  cot 2 x.cot x   0 . Điều kiện : 
 x  k (*)
cos x sin x
2
sinx  0
1
2
cos2 x cos x 
Phương trình  48  4  2 1 
.
0
cos x sin x  sin2x sinx 
1
2  sin 2 x sinx  cos2 x cos x 
1
2
cosx
 48 
 2 
.
 2
0

  0  48 
4
4
cos x sin x 
sin2x
sinx 
cos x sin x 2sin 2 x.cosx
1
1
 48 
 4  0  48sin 4 x cos 4 x  sin 4 x  cos 4 x  0
4
cos x sin x
2

t  0
2

t  sin 2 x;0  t  1

 1

3
 3sin 4 2 x  1  sin 2 2 x   0   2

1
2




t 
6t  t  2  0
 2
1
 k
Do đó : sin 2 2 x   1  2sin 2 2 x  0  cos4x=0  x= 
. Thỏa mãn điều kiện (*)
2
8 4
5
 sin 8 x  cos8 x  2  sin10 x  cos10 x   cos2x
4
c.
5
  sin 8 x  2sin10 x    cos8 x  2 cos10 x   cos2x=0
4
5
 sin 8 x 1  2sin 2 x   cos8 x 1  2 cos 2 x   cos2x=0
4
5
5

 sin8 xcos2x-cos8 xcos2x  cos2x=0  cos2x  sin 8 x  cos8 x    0
4
4

 k
- Trường hợp : cos 2 x  0  x  
4 2
5

- Trường hợp : sin 8 x  cos8 x   4  sin 4 x  cos 4 x  sin 4 x  cos 4 x   5  0
4
 1

 1

 4  sin 2 x  cos2 x  1  sin 2 2 x   5  0  4cos2x 1  sin 2 2 x   5  0
 2

 2

3
2
 4cos2x+2cos2x 1  cos 2 x   5  0  2cos 2x+2cos2x+5  0
2

4

Đặt : t  cos2x  t  -1;1  VT  f (t )  2t 3  2t  5  f '(t )  6t 2  2  0  t  1;1
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218

Trang 11


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Tháng 8 năm 2012
Chứng tỏ f(t) đồng biến . Khi đó tại f(-1)=1 và f(1)=9 cho nên với mọi t  1;1  f (t )  0
Vậy phương trình vô nghiệm .
cosx  0

 *

 tanx  -1
cos x
cos 2 x  sin 2 x
1 
 sin x  s inx  cosx 
Phương trình trở thành : 
sinx
s inx
1+
cosx
 tan  1
 t anx=1
 1

  cosx  sin x  
 cosx  sin x   0   2

 s inx

cos x  s inx.cosx=0
cosx  cosx-sinx   0

d. cot x  1 

cos2x
1
 sin 2 x  sin 2 x . Điều kiện :
1+tanx

2

Do cosx  0  Phương trình chỉ có nghiệm : t anx=-1  x=-


4

 k  k  Z 

Bài 7. Giải các phương trình sau :
a. sin 2x  2tan x  3

b. cot x  t anx+4sin2x=

c. 1  t anx 1  sin 2 x   1  t anx

d. sin 4x  t anx

2
sin2x

Giải
a. sin 2x  2tan x  3 . Điều kiện : cosx  0 . Khi đó phương trình viết lại :


t  t anx
2 tan x

2
tan

x

3

  t  1  2t 2  t  3  0  t  1
 3
2
2
1  tan x
2t  3t  4t  3  0

Vậy phương trình có nghiệm là : t  1  t anx=1  x=



4

 k  k  Z 

sinx  0
2
. Điều kiện : 
 x  m  m  Z *
sin2x
cosx  0
cos x sinx
2
2 cos 2 x
2


+4sin2x=

 4sin 2 x 
Phương trình 
s inx cosx
sin2x
sin 2 x
sin 2 x
2
2
2
 cos2x  2sin 2 x  2  cos2x=2 1-sin 2 x  2cos 2 x  cos2x=0

b. cot x  t anx+4sin2x=







 k



cos2x=0
 2 x  2  k  sin 2 x  sin  2  k   1  0  x  
4 2






.
1
cos2x=




x    k

2
 2 x   3  2k

6

Thỏa mãn (*)
c. 1  t anx 1  sin 2 x   1  t anx . Điều kiện : cosx  0



Khi đó phương trình trở thành :  1  t anx  1 

1  t anx 

2 t anx 
  1  t anx
1+tan 2 x 

2

 1  tan 2 x 
2 tan 2 x

1

t
anx

1

t
anx

1

0

1

t
anx
0







2
1+tan 2 x
1  tan 2 x
 1  tan x 


 t anx=1  x   k


 k  Z  . Thỏa mãn điều kiện (*).
4

 tanx=0
 x  k
 1  t anx 

d. sin 4x  t anx . Điều kiện : cosx  0 (*)
Có 2 phương pháp giải :
Trang 12

Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)

Tháng 8 năm 2012

sinx
 2sin 4 x.cosx=2sinx  sin5x+sin3x=2sinx

cosx
  sin5x-sinx  +  sin3x-sinx   0  2cos3 x sin 2 x  2cos 2 x sin x  0

Cách 1. sin 4 x  t anx  sin 4 x 

 2sin x  cos4x+cos2x+cos2x   0  2sin x  2cos 2 2x+2cos2x-1  0


s inx=0

s inx=0
 x  k
s inx=0
-1- 3




 cos2x=
 1 
k  Z 

3 1  
2

2
x    k
2cos
x


2
cos
2
x

1

0
cos2x=




2
2
cos2x= 3  1

2
sinx=0
sinx
Cách 2.  2sin 2 xcos2x 
 sinx  4cos2x.cos 2 x 1  0  
cosx
2cos2x(1+cos2x)-1=0

s inx=0
s inx=0
. ( Như kết quả trên )



2
cos2x= 3  1
 2cos 2x+2cos2x-1=0

2

Bài 8. Giải các phương trình sau :
b.

c. 4cos4 x  3 2 sin 2 x  8cos x

d. cos

4





sinx 3 2  2cos x  2sin 2 x  1


 9


a. sin x  sin  x    sin 4  x   
4
4 8



4

1  sin 2 x

1

4x
 cos 2 x
3

Giải
a.
2
2

  
  


 1  cos  2x+    1  cos  2x-   

 9
2  
2  


4
4
4
4

sin x  sin  x    sin  x     8sin x  8 

9

4
4 8
2
2
 
 



 
 
 
 


1  cos2x 
8
4

2

 1  cos2 x 2  1  sin 2 x 2 
1 4
 8 
 
   9  sin 2 x  2 3  2cos 2 x  2sin 2 x   9

2
2
2
 
 



-2- 6
 1
sin2x=
2
2
2
 2 cos 2 x  4sin 2 x  1  0  2sin 2 x  4sin 2 x  1  0  

2  6
sin 2 x 

2


x   k

6 2
2
Vậy phương trình có nghiệm : sin 2 x 
 sin   
k  Z 


2
 x     k

2 2

b.





sinx 3 2  2cos x  2sin 2 x  1
1  sin 2 x

 1 . Điều kiện : sin2x khác 1 (*)

Phương trình trở thành :





 sinx 3 2  2cos x  2sin 2 x 1  1  sin 2 x  3 2 sinx  sin 2 x  2sin 2 x 1  1  sin 2 x

Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218

Trang 13


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán

Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)

Tháng 8 năm 2012




2
x   k 2

2
s inx=
4
 2sin 2 x  3 2 s inx  2  0  
 s inx=

k  Z 
2
3
2

x
 k 2
s inx= 2  1

4


Đối chiếu với điều kiện (*) thì với x   k  sin 2 x  sin   k 2   1 vi phậm điều
4

2

3
 k 2
kiện . Cho nên phương trình chỉ còn nghiệm : x 
4





c. 4cos4 x  3 2 sin 2 x  8cos x  2cos x 2cos2 x  3 2 sinx-4  0
cosx=0
 2 cos x  2 1  sin 2 x   3 2 s inx-4   0  
2
 2sin x  3 2 s inx+2=0
cosx=0



x   k

2
2
 sinx=

k  Z 

2
 x    k 2  x  3  k 2


4
4
s inx= 2  1 
 2x 
1  cos3  
3
 2x
x t
4x
t 
3 
 2x 

2
d. cos  cos x  cos2   

3
2 . Do đó :
3
2
 3 
2cos 2t  1  cos3t
u  cost
 2  2 cos 2 t  1  1  4 cos3 t  3cos t   3
  u  1  4u 2  4u  3  0
4u  4u  3u  3  0

u  1
t  k 2

 x  3k
cost=1

 u  1  0
3



 2
 u    1 


k  Z 
t     k 2
 x     3k
cost= 1

2
 4u  4u  3  0
3
6

2



1
u 

2

Bài 9. Giải các phương trình sau :


a. sin 2 x  2 sin  x    0

3x
4x
 1  3cos
5
5
2
d. 3tan2x-4tan3x= tan 3 x.tan 2 x

b. 2 cos 2



4
c. 3cos 4 x  2 cos 3x  1
2

Giải



a. sin 2 x  2 sin  x    0  sin 2 x  sinx-cosx=0 .
4





  1 5

 t=sinx-cosx; t  2  sin 2 x  1  t 2
 2 sin  x   
4
2




1

5
1

5

  1 5

t 
1  t 2  t  0  t 2  t  1  0  t 
 2 sin  x   

2
2
4
2



 
  1 5

3

 sin 
x     k 2  x 
   k 2
sin  x   

4 2 2

3
4



k  Z 
 
  1 5
 x      k 2  x  3    k 2
sin  x   
 sin 

3
4
4 2 2
 

Trang 14

Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)

Tháng 8 năm 2012

3x
4x
6x
4x
 2x 
 2x 
 1  3cos
 1  cos  1  3cos
 cos3    2  3cos 2  
5
5
5
5
 5 
 3 
3
 2x
u  cost
x t

t 


 4 cos3 t  3cos t  3  2 cos 2 t  1  2  0  
3
2
u-1  4u 2  2u  5   0




cos3t  2  3cos 2t

b. 2cos2

 x  5k
u  1
cost=1
t  k 2



 1- 21 




5
u  1  21  u  1  21  1 cost= 1- 21
x   arxcos 

  5k
t    k 2



2
4
4
4
 4 

c. 3cos 4 x  2cos2 3x  1  3cos 2.2 x  1  cos6x   1  0
t  cos2x
 3  2 cos 2 2 x  1   4 cos3 2 x  3cos 2 x   2  0   3
  t  1  4t 2  2t  5   0
2
4t  6t  3  5  0

 x  k
t  1
t  1
cos2x=1

  1  21
  1  21  
1  21
1- 21   x  arccos  1- 21   k
t 





t 
1
t
cos2x=




4
4
4
4
4



2
d. 3tan2x-4tan3x= tan 3 x.tan 2 x
cos2x  0
Điều kiện : 
* Phương trình trở thành :
cos3x  0
 3tan 2 x  4 tan 3x  tan 2 3x.tan 2 x  3  tan 2 x  tan 3x   tan 3x  tan 3x.tan 2 x  1



 tan 2 x  tan 3x   1 tan 3x  3tan x  tan 3x  2 tan x  tan 3x  t anx  0



 tan 3x.tan 2 x  1 3

sin x
sin 4 x
sin x 4sin x cos x cos 2 x

02

0
cosx cos3x.cosx
cosx
cos3x.cosx
2cos 2 x 
 1
 cos3x+2cos2x.cosx 
 2sinx 

  0  2sinx 
0
cosx.cos3x
 cosx cos3x 


 x  k
 x  k
s inx=0




3
3
cos3x+cos3x+cosx=0
 2  4cos x  3cos x   cosx=0
8cos x  5cos x  0


 x  k
 x  k



Đối chiếu với điều kiện ta thấy nghiệm
 cosx=0
  x=  k
 2

5

5
cosx=  cos
 x=  arccos  k 2
8

8


 

x   k  cos3x=cos  3  3k   0 . Vi phạm điều kiện , nên bị loại .

2
 2

 x  k
Vậy phương trình còn có nghiệm là :  
k  Z 
 x=  arccos 5  k 2
8

2

Bài 10. Giải các phương trình sau :
a. cos 6 x  sin 6 x 

13
cos 2 2 x
8

 3 x  1   3x 
b sin     sin   
 10 2  2  10 2 

Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218

Trang 15


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
c.

Tháng 8 năm 2012

cos x  sin x 1
 tan 2 x
cos 2 x  sin 2 x 4
6

6

d. cos 2 x  cos 2 2 x  cos 2 3x  cos 2 4 x  2
Giải

13
3
13
3 1  cos4x  13 1  cos4x 
cos 2 2 x  1  sin 2 2 x  cos 2 2 x  1 

8
4
8
4
2
8
2
3
1
 3  k
 16  6 1  cos4x   13 1  cos4x   7 cos 4 x  3  cos4x=-  x   arccos    

7
4
 7 2
3 x
1
 3x
3 x
 3x
b. sin     sin     2sin     sin   
 10 2  2  10 2 
 10 2 
 10 2 
 3x 
 3
 
  3
 y      3y

3 x
x 3
2 10
 10
 10
  
y
Đặt : y 
10 2
2 10
3


 x  5  2 y *
Do đó phương trình đã cho trở thành : 2sin y  sin   3 y   sin 3 y  3sin y  4sin 3 y

a. cos6 x  sin 6 x 

sin y  0
sin y  0
sin y  0
 4sin y  sin y  0  


2
cos 2 y  1
2
1

c
os2y

1

0


4sin
y

1

0




2
3

x
 2 k

3
5


 y  k
 y  k
 x  5  2 k






  x    4 k



 2 y    k 2
 y    k
15
 x  3  2  4k


3
6



5
3
 x  19  4k

15
6
6
 k
cos x  sin x 1
 tan 2 x . Điều kiện : cos2x  0  x  
c.
k  Z  .
2
2
4 2
cos x  sin x 4
3
1  sin 2 2 x
t  sin 2 x
1 sin 2 x
4
Khi đó PTd/ trở thành :

 4  3sin 2 2 x  sin 2 x   2

cos2x
4 cos2x
3t  t  4  0
3

t  1
sin 2 x  1

 t 1 
 x  . Phương trình vô nghiệm .
4
t    1
cos2x=0
3

1  cos2x 1  cos4x 1  cos6x 1  cos8x



2
d. cos 2 x  cos 2 2 x  cos 2 3x  cos 2 4 x  2 
2
2
2
2
  cos8x+cos2x    cos6x+cos4x   0  2cos5x.cos3x+2cos5xcosx=0

 k

 x  10  5


cos5x=0
 k
 2 cos 5 x  cos3x+cosx   0  
 x  
k  Z 

4 2
cos3x=-cosx=cos  -x 

 x     k

2

Trang 16

Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Tháng 8 năm 2012
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX
Bài 1. Giải các phương trình sau :
3
2
d. 3  cot x  cosx   5  t anx-sinx   2

b. sin 3 x  cos3 x  1  sin 2 x

a. s inx+sin 2 x  cos3 x  0
2  s inx+cosx   t anx+cotx

c.

Giải
a. s inx+sin x  cos x  0 .
2

3

 sinx+sin 2 x  cos3 x  0  sinx 1  sinx   cosx 1  sin 2 x   0



x   k 2
s inx=1

 1  s inx   s inx+cosx 1-sinx    0  

2
2
sinx+cosx-sinxcosx=0
t  2t  1  0
t  1  2   2  l 


2 1




 2 sin  x    2  1  sin  x   
 sin 
4
4
2


t  2  1


 x    4  k 2
Do đó : 
k  Z 
 x  3    k 2

4
3
b. sin 3 x  cos3 x  1  sin 2 x   s inx+cosx 1  s inxcosx   1  3sin xcosx (1)
2
2
 t 2 1 
 t 2 1 
 3  t 2  2  3  t  1
Đặt : t  s inx+cosx; t  2  1  t 1 
  1 3
  t

2 
2


 2 
 2 
t  1

 t  3t  3t  1  0   t  1  t  4t  1  0  t  2  3   2  l  . Do đó phương trình :

t  2  3
 
 1





x  k 2  x   k 2
sin  x  4  
 2 sin  x  4   1

2




2



 




32

 x      k 2  x  3    k 2
 sin 
sin  x   
 2 sin  x    3  2

4
4
4
4

2

 
sinx  0

c. 2  s inx+cosx   t anx+cotx . Điều kiện : 
 x  k * . Khi đó phương trình
2
cosx  0
sinx cosx
1
+

 2  s inx+cosx  s inxcosx=1
(c) trở thành :  2  s inx+cosx  
cosx sinx s inx.cosx

t  s inx+cosx  t  2

Đặt : 
. Thay vào phương trình ta được :
t 2 1
s inxcosx=

2
2
 t 1 
3
3
2
 2t 
  1  2t  2t  2  0  t  t  2  0  t  2 t  2t  1  0
 2 
3

2

2













 t  2  2 sin  x    2  sin  x    1  x   k 2  k  Z 
4
4
4



Thỏa mãn điều kiện .
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218

Trang 17


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)

Tháng 8 năm 2012
sinx  0

d. 3  cot x  cosx   5  t anx-sinx   2 . Điều kiện : 
 x  k * .
2
cosx  0
cos x sin x

 1


Khi đó :  3 

 sinx-cosx   2  2sin x 
 1
 sinx cosx

 cosx 

 cosx+sinx 
 1  cosx  
 sinx+cosx-sinxcosx 
 3  cosx-sinx  
 1  2 sinx 
  1  2 

cosx
 sinxcosx

 cosx  



 cosx+sinx-sinxcosx   sinx+cosx-sinxcosx 
 3  cosx-sinx  
  2
0
sinxcosx
cosx

 


 cosx+sinx-sinxcosx   3  cosx-sinx   2   0  cosx+sinx-sinxcosx=0




cosx
sinx


3  cosx-sinx   0

Trường hợp : cosx-sinx=0  tanx=1  x=  k  k  Z 
4

Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0 .
t  s inx+cosx  t  2

Đặt : 
Cho nên phương trình :
t 2 1
s
inxcosx=


2
2
t  1  2   2  l 
t 1



t
 0  t 2  2t  1  0  
 2 sin  x    2  1
2
4

t  2  1



x     k 2

2

1

4
 sin  x   
 sin   
k  Z 
3

4
2

x 
   k 2

4



Bài 2. Giải các phương trình sau :

3 1+sinx 
 x 
 8cos 2   
2
cos x
 4 2
3
3
b. 2sin x  s inx=2cos x  cosx+cos2x
c. sin x  sin 2 x  sin 3 x  sin 4 x  cosx+cos 2 x  cos3 x  cos 4 x

a. 3 tan 3 x  t anx+

Giải

3 1+sinx 
 x 
 8cos 2    . Điều kiện : cosx khác 0 . Khi đó phương
2
cos x
 4 2
3 1+sinx 
 sin 2 x 




 4 1  cos   x    4 1  s inx 
trình trở thành :  t anx  3 2  1 +
2


 cos x  1  s inx 1  cosx 

a. 3 tan 3 x  t anx+

2
 3  4 cos 2 x 
 3  4 cos 2 x  3-4 1-sin x 
3
 t anx 
 4 1  s inx   0  t anx 
0
+
+
2
2
 cos x  1  s inx 
 cos x  1  s inx 
3  2 1  cos2x   0
1 
 t anx
  3  4 cos 2 x  


0




2
2
3
 cos x 1  s inx 
s inx-sin x  cos x  0

1

cos2x=- 2

Vì sinx=1 làm cho cosx=0 vi phậm điều kiện . Do đó
 1  s inx   0

 sinx+cosx-sinxcosx   0


Trang 18

Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)

1



Tháng 8 năm 2012

x    k
cos2x=3
2




 sinx+cosx-sinxcosx   0
 sinx+cosx-sinxcosx   0

Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0 .
t  s inx+cosx  t  2

Đặt : 
Cho nên phương trình :
t 2 1
s inxcosx=

2
t  1  2   2  l 
t 2 1


t
 0  t 2  2t  1  0  
 2 sin  x    2  1
2
4


t  2  1


x     k 2


2 1

4
 sin  x   
 sin   
k  Z 
3

4
2


x 
   k 2

4


 x    4  k 2

3
Vậy nghiệm của phương trình là :  x 
   k 2  k  Z 


4

 x     k

3

b. 2sin3 x  sinx=2cos3 x  cosx+cos2x  2  sin 3 x  cos3 x    sinx-cosx    cos2 x  sin 2 x   0
sinx=cosx
  sinx-cosx  1  sinxcosx    cosx  sin x   0  
sinx+cosx+sinxcosx+1=0

Trường hợp : sin x  cosx  tanx=1  x=  k  k  Z 
4

t2 1
t  s inx+cosx; t  2  s inxcosx= 2
Trường hợp : sinx+cosx+sinxcosx+1=0  
2
t  t  1  1  0  t 2  2t  1   t  12  0

2


x   k 2

  1

 cos 
Do đó phương trình có nghiệm : t  1  cos  x-  

k  Z 
2

4
2
 4
 x  k 2
c. sin x  sin 2 x  sin 3 x  sin 4 x  cosx+cos 2 x  cos3 x  cos 4 x
  cosx-sinx    cos2 x  sin 2 x    cos3 x  sin 3 x    cos 4 x  sin 4 x   0
  cosx-sinx  1   cosx+sinx   1  sinxcosx   cosx+sinx   0
 t anx=1
cosx-sinx=0
 t anx=1
2


 2
t

1
 2t+
20
 t  4t  3  0
 2  sinx+cosx   s inxcosx+2=0

2

Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218

Trang 19

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)



x   k


4
 x  4  k


  x    k 2
cos  x-     1  cos  3 





 




4

 4 

2

Tháng 8 năm 2012

 k  Z  . ( Đã bỏ nghiệm t=-3 <-

2)

 x    k 2
2


Bài 3 . Giải các phương trình sau :
a. tan 2 x 1  sin 3 x   cos3 x  1  0

b. 2sin x  cot x  2sin 2x 1

c. Cho phương trình : m  s inx+cosx+1  1  sin 2 x .

Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0; 
 2

Giải
a. tan x 1  sin x   cos x  1  0 . Điều kiện : cosx  0 . Khi đó phương trình trở thành :
2





3

3

sin 2 x
1  sin 3 x   cos3 x  1  0
2 
cos x
1  cosx 1  cosx 1  s inx  1  s inx+sin 2 x 

  cosx-1 1  cosx+cos 2 x   0

1  s inx 1  s inx 
 1  cosx  1  sinx+sin 2 x 

 1  cosx  
 1  cosx+cos 2 x   0
1  sinx 



  sin 2 x  cos 2 x   s inxcosx  cosx-sinx  
0
 1  cosx  
1+sinx



 x  k 2
cosx=1

s inx+cosx-sinxcosx
 1  cosx  s inx-cosx 
0

k  Z 
 x    k
sinx=cosx
1  s inx


4

t2 1
 t=sinx+cosx; t  2,s inxcosx= 2
Còn trường hợp : sin x  cosx-sinxcosx=0  
2
t  t  1  0  t 2  2t  1   t  12  0

2


x   k 2

 
  1

 cos 
Do đó : t  1  2cos  x-   1  cos  x-  
k  Z 
2


4
2
 4
 4
 x  k 2
b. 2sin x  cot x  2sin 2x 1 . Điều kiện : sinx khác 0 . Khi đó phương trình trở thành :
cosx 1-4sin 2 x
cos x
 2sin x  1 
 4sin xcosx  0   2sin x 1 
0
sinx
sinx


1
x   k 2


 cosx  2sinx+1 
6
s inx= 2
  2sin x  1 1 

k  Z 
0
5
s inx




x
 k 2
s inx-cosx-sin2x=0

6
* Trường hợp : sinx-cosx-sin2x=0



Trang 20



Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)

Tháng 8 năm 2012

 1 5
 t=sinx-cosx; t  2  sin 2 x  t 2  1 t 
1 5
2





t

2
2
2
 1 5
t   t  1  0  t  t  1  0
 1(l )
t 

2


x     k 2

1 5

1

5


4
Với : t 
 sin  x   
 sin   
k  Z 
5


2
4 2 2

x 
   k 2

4

c. Cho phương trình : m  sinx+cosx+1  1  sin 2 x  m sinx+cosx   sinx+cosx  .
2


Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0; 
 2

Giải . Đặt : t  s inx+cosx  t  2  sin 2 x  t 2  1 . Thay vào phương trình ta được :
sinx+cosx=0
 mt  1  t 2  1  t 2  
sinx+cosx=m

   3 

 

Nếu : x  0;   sinx,cosx  0;1 ; x    ;   sin  x    0; 2 
4 4 4 
4
 2





Hay : sinx+cosx= 2 sin  x    0; 2 . Để phương trình có nghiệm  0;  thì m  ; 2


4



2

Bài 4. Cho phương trình : cos x  sin x  m sin x cos x
a. Giải phương trình khi m= 2
b. Tìm m để phương trình có nghiệm .
Giải
a. Giải phương trình khi m= 2 :
3

3

 cos3 x  sin 3 x  2 sin x cos x   s inx+cosx 1  s inxcosx   2 s inxcosx


t2 1
t  2
t

s
inx+cosx;
t


2

s
inxcosx=


2



t   2  1   2(l )
2
2

t 1  t  1   2  t  1   0  t  2 t 2  2 2t  1  0



 
2 
2
t   2  1


  


x   k 2
cos  x- 4   1






1 2
4

; k  Z 
Do đó :  
 cos =
    1 2
2
 x      k 2


cos  x-  


4
2
  4









t2 1
t

s
inx+cosx;
t

2

s
inxcosx=

2

b/  
2
2
3
t 1  t  1   m  t  1   0  t  3t  m(*)t    2; 2 





 
2 
t 2 1
 2 

Xét hàm số :

f (t ) 

 2
2 
t 3  3t
2t
2
 t  1  t   1 


t


f
'(
t
)


1

2
 0t   2; 2 
2
2
2
2
2
  t 2  1 
t 1

t 1
t

1
 



Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218

Trang 21


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Do vậy để phương trình có nghiệm thì :





Tháng 8 năm 2012

 2  

2  m  2  m   2; 2 
1
1
1 
Bài 5. Cho phương trình : m  sinx+cosx   1   t anx+cotx+


0 .
2
sinx cosx 
f  2 m f

a. Giải phương trình với m=1/2

b. Tìm m để phương trình có nghiệm trên khoảng  0; 
2




Giải
a. Giải phương trình với m=1/2. Khi đó phương trình trở thành :
1  sinx cosx
1
1 
 m  sinx+cosx   1  
+
+

0
2  cosx sinx sinx cosx 
1
1
sinx+cosx 
 m  sinx+cosx   1  
+

0
2  cosxsinx sinxcosx 
 m sin 2 x  sinx+cosx   sin 2 x  1  sinx+cosx  0
  sinx+cosx   m sin 2 x  1  sin 2 x  1  0  sinx+cosx   m sin 2 x  1  sinx+cosx   0 *
2

t  s inx+cosx; t  2  sin 2 x  t 2  1
t  0
1
2

 t  t  1  0  
Khi m=    1 2

2
2 t   t  1  1  1   t  1   0
t  1

 
 2


x    k



 


4


 2 sin  x  4   0
sin  x  4   0







  x    k 2  k  Z 


 
2


1

2
sin
x



1
sin
x




 x    k 2

 



4
4
2


 


   3 

 

b/ Từ (*) Nếu : x   0;   x    ;   sin  x    2;1  sinx+cosx 
4 4 4 
4
 2








Do đó để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì ta tìm m dể phương trình (*) có nghiệm  
 t m  t 2  1  1  t 2  0  t m  t  1 t  1  1  t   0  t t  1 m t  1  1  0


2; 2 

2; 2

- Với t=0 và t=-1 ta đã có nghiệm như câu a .
- Còn phương trình : m(t-1)=-1 , t=1 không là nghiệm ( vì : 0=-1 vô lý ) . Cho nên ta xét
hàm số f (t )  

1
1
 m  f '(t ) 
 0 . F(t) đồng biến , cho nên phương trình có
2
t 1
 t  1

nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán thì :
f

 2   m  f  2  1 1 2  m  1  m   1 1 2 ; 1

Bài 6. Cho f(x)= cos2 2 x  2  sinx+cosx   3sin 2 x  m .
a. Giải phương trình f(x)=0 khi m=-3
2
b. Tìm GTLN và GTNN của f(x) theo m . Tìm m để  f ( x)  36x  R
3

Giải
a. Giải phương trình f(x)=0 khi m=-3
Trang 22

Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)
Phương trình :

Tháng 8 năm 2012

 cos2 2 x  2  sinx+cosx   3sin 2 x  m  0   sin 2 2 x  2 sinx+cosx   3 1  sin 2 x   m  3  0 1
3

3

2

t  0
2
t  s inx+cosx; t  2  sin 2 x  t  1
Khi m=-3. Đặt :  
 t  t  1  0  
t  1

 0

Chú ý : cos2 2 x   cosx-sinx   cosx+sinx 
2

2

3
2
2
Cho nên : cos 2 2 x  2  s inx+cosx    cosx+sinx   cosx-sinx   2  sinx+cosx   

 cosx+sinx 

2

1  sin 2 x  2  sinx+cosx  

Vậy :
3
3
f(x)= cos2 2 x  2  sinx+cosx   3sin 2 x  m  cos 2 2 x  2 sinx+cosx   3 1  sin 2 x   m  3 .
 f ( x)   cosx+sinx  1  sin 2 x  2  sinx+cosx   3  m  3





 f ( x)   cosx+sinx   1  sin 2 x   2  sinx+cosx   1  m  3 

.Do : 1  sin 2 x   sinx+cosx  . Cho nên f(x) viết lại thành :
2

 f ( x)    sinx+cosx   sinx+cosx-1  m  3
2

2

sinx+cosx=0
sinx+cosx=1

- Khi m=-3 thì f ( x)  0    sinx+cosx  sinx+cosx-1  0  



x    k

t
anx=-1
t
anx=-1


4





  x  k 2
 2 sin  x     1 sin  x+    2  sin 




  4  2


4
4

 x   k 2
2


k  Z 

t  0
t  s inx+cosx; t  2,sin 2 x  t 2  1
2
 g '(t )  2t  2t  3t  1  0  
- Đặt : 
2
2
t  1  t  1
 f ( x)  g (t )  t  t  1  m  3

2

Ta có bảng biến thiên :
t
g'(t)

+

g(t)

m+3-

2



1
2

0

- 2



2 1

2

0
m+3

-

0

1
+

2

0
m+3

-

1
m+316

2

Từ bảng biến thiên ta có maxf(x)=m+3 và min f(x)=m+3- 2

6  m  3  2
Do đó : f ( x)  36  6  f ( x)  6x  

m  3  6
2

Bài 7. Giải các phương trình :
a. cos 2 x  5  2  2  cosx  sinx-cosx 







2 1



2 1

m+3-





2 1

2

2

2

 9  2





2

2 1  m  3

b. cos3 x  sin 3 x  cos2x

c. 3 tan 2 x  4 tan x  4 cot x  3cot 2 x  2  0
d. tan x  cot x  tan 2 x  cot 2 x  tan 3 x  cot 3 x  6
Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218

Trang 23


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)

Tháng 8 năm 2012
Giải

a. cos 2 x  5  2  2  cosx  sinx-cosx   2  2  cosx sinx-cosx   sin 2 x  cos 2 x   5  0
  sinx-cosx  4  2cos x   sin x  cosx   5  0   sinx-cosx  4  sin x  cosx   5  0
s inx-cosx=1
2
  s inx-cosx   4  sin x  cosx   5  0  
sinx-cosx=-5<- 2  l 



x   k 2


2





 sin 
Vậy : sin x  cosx=1  2 sin  x    1  sin  x   
k  Z 
2

4
4 2
4


 x    k 2
3
3
b. cos x  sin x  cos2x   cosx+sinx  1  sinxcosx-  cosx-sinx   0



 t anx=-1
x    k
cosx+sinx=0


2
4




 t+ 1-t  1  0  t  cosx-sinx 
2
cosx-sinx+sinxcosx-1=0
 t  1  0

2

Do vậy :

 x  k 2


2


 
t  1  2 sin  x    1  sin  x    
 sin     
k  Z 
 x  3  k 2
4
4
2


 4

4
sinx  0

c. 3 tan 2 x  4 tan x  4 cot x  3cot 2 x  2  0 . Điều kiện : 
 x  k  k  Z 
cosx  0
Phương trình viết lại : 3  tan 2 x  cot 2 x   4  t anx+cotx   2  0 1
2
 t  2 *  tan 2 x  cot 2 x  t 2  2 . Thay vào (1)
sin2x
 2
1
 1 
t  1 
sin 2 x  
sin 2 x
2
2


 3 t  2  4t  2  0  3t  4t  4  0 


2
t  2

 2 2
sin 2 x  3  1(l )
 3
 sin 2 x 3

Đặt : t  t anx+cotx=









2 x    k 2
x    k


 
6
12
Vậy : sin 2 x  sin     

k  Z 
 6
 2 x  5  k 2
 x  5  k

6
12

sinx  0
d. tan x  cot x  tan 2 x  cot 2 x  tan 3 x  cot 3 x  6 . Điều kiện : 
 x  k  k  Z 
cosx  0

Phương trình viết lại :  t anx+cotx    tan 2 x  cot 2 x    tan 3 x  cot 3 x   6  0

1

Vì :  t anx+cotx   tan3 x  cot 3 x  3tan x cot x  t anx+cotx   t 3  tan3 x  cot 3 x  3.1.t
3



 



 tan 3 x  cot 3 x  t 3  3t . Cho nên phương trình trở thành :  t  t 2  2  t 3  3t  6  0

  t  2   t 2  3t  4   0  t  2 

2


 2  sin 2 x  1  2 x   k 2  x   k  k  Z 
sin 2 x
2
4

Bài 8. Cho phương trình : cos3 x  sin 3 x  m
a. Giải phương trình với m=1
  
b. Tìm m sao cho phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn   ; 
 4 4

Trang 24

Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218


hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Chuyên đề LG lớp 11( Nội bộ - lưu)

Tháng 8 năm 2012
Giải

a. Giải phương trình với m=1

1-t 2
t  cosx-sinx; t  2  s inxcosx= 2

Đặt : 
2
cos3 x  sin 3 x   cosx-sinx 1  s inxcosx   t 1  1  t   m



2 

 1  t 2  t 3  3t
3
 f '(t )    t 2  1  0  t  1
Xét : f (t )  t 1 


2 
2
2


t  1
t 3  3t
 1  t 3  3t  2  0   t  1  t 2  t  2   0  
2
t  2


x   k 2

2



 sin 
Với t=-2 (loại ) do đó t=1  sin  x   
k  Z 
2

4 2
4

 x    k 2
 
b/ Nếu phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc   ;  , ta tìm điều kiện cho t :
 4 4







- Từ :   x     x   0  1  sin  x    0   2  t  0
4
4
2
4
4

 
Do đó phương trình có đúng 2 nghiệm x thuộc   ;  , thì phương trình :
 4 4
3
t  3t
t 3  3t
f (t ) 
 m có 2 ngiệm , hay đường thẳng d: y=m cắt đồ thị (C) : f (t ) 
tại
2
2
hai điểm với t thuộc  2;0

a/ Nếu m=1. Phương trình là :

Ta có : f '(t )  3 1  t 2   0  t  1 . Lập bảng biến thiên :
t

f'(t)

- 2
-

-1
0

0
+

- 2

1
0

0

f(t)

1
Qua bảng ta thấy : với - 2   
thuộc   ; 
 4 4

Bài 9. Cho phương trình :

2cos 2 x  sin 2 x cos x  sinxcos 2 x  m  sinx+cosx 

a. Giải phương trình với m=2
 
b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0; 
 2

Giải
Phương trình viết lại :

 2  cos2 x  sin 2 x   sin x cos x  sinx  cosx   m  sinx+cosx 

cosx+sinx=0
(*)
  sinx  cosx  2  cos x  sin x   sin x cos x  m  0  
cosx-sinx+sinxcosx-m=0

Sưu tầm và soạn-Nguyễn Đình Sỹ-ĐT:0985.270.218

Trang 25