Chinh phục tích phân lượng giác

Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác được thực hiện bởi đội ngũ tác giả
Lovebook:
Một số thông tin:
NXB: ĐH quốc gia HN
Số trang: 328 trang khổ A4.
Giá: 129000 VND
Ngày phát hành toàn quốc: 25/09/2015
______________________________________________________________
Ước mơ của bạn - Sứ mệnh của chúng tôi!
💰 Đặt sách: - />
☎ Tổng đài hỗ trợ đặt sách, thắc mắc đơn hàng: 0466 860 849 - 0462857197. Hotline: 0963 140 260
📩 Trung tâm giải đáp thắc mắc trong sách: goo.gl/A7Dzl0
🎦 Tổng hợp video bài giảng: goo.gl/OAo45w
🏩 Kho tài liệu Lovebook: goo.gl/nU0Fze
📨 Đăng ký nhận tài liệu thường xuyên: goo.gl/ol9EmG


Chữ ký và lời chúc của tác giả hoặc thành viên Lovebook

..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................
Sách gốc phải có chữ ký của
tác giả hoặc của thành viên Lovebook. Bất kể cuốn

...........................................
sách nào không có chữ ký đều là sách lậu, không phải do Lovebook phát hành.

Lời chúc
& kí tặng

..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
...............

LOVEBOOK.VN


Chinh phục bài tập tích phân lượng giác

Đời phải trải qua giông tố nhưng không được cúi
đầu trước giông tố!
Đặng Thùy Trâm
Hãy phấn đấu vươn lên không chỉ bằng khối óc mà
bằng cả con tim của mình nữa!
Lương Văn Thùy
LOVEBOOK tin tưởng chắc chắn rằng em sẽ
đỗ đại học một cách tự hào và hãnh diện nhất!

Bản quyền thuộc về Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Trực Tuyến Việt Nam – VEDU Corp
Không phần nào trong xuất bản phẩm này được phép sao chép hay phát hành dưới bất kỳ hình thức hoặc phương
tiện nào mà không có sự cho phép trước bằng văn bản của công ty.


GIA ĐÌNH LOVEBOOK

CHINH PHỤC BÀI TẬP
TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
Sách dành cho:








Học sinh lớp 12 chuẩn bị cho kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016)
Học sinh lớp 10, 11: Tự học Toán, chuẩn bị sớm và tốt nhất cho KÌ THI THPT QUỐC GIA
Học sinh mất gốc Toán, học kém Toán, sợ Toán, thiếu phương pháp và kĩ năng giải toán Toán
Học sinh muốn đạt 9,10 trong kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016)
Học sinh thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố cấp trung học cơ sở và trung học phổ thông
Thí sinh đại học muốn ôn thi lại môn Toán
Người yêu thích môn Toán, muốn tìm kiếm một cuốn sách chứa những phân tích, tìm tòi thú vị, sáng
tạo và độc đáo.

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LỜI MỞ ĐẦU
Các bạn cảm thấy:
 Hoang mang khi lần đầu tiếp xúc với các kiến thức về tích phân lượng giác ?
 Kiến thức về tích phân lượng giác nói chung và hình giải tích nói riêng khá là phức tạp
và rộng, hơn nữa các dạng bài trong đề thi khác xa với kiến thức trong SGK.
 Không hình dung được phương pháp, ý tưởng làm một bài tích phân lượng giác ?
 Giá như có cuốn sách với đầy đủ kiến thức lý thuyết và phương pháp giải cụ thể, dễ hiểu
để mình có thể tự tin học?
 ….
Nếu bạn gặp phải những vấn đề trên, chắc chắn Chinh phục bài tập tích phân lượng giác là
cuốn sách DÀNH CHO BẠN!!!!
Trong cuốn sách này bạn sẽ:
1. Thử thách bản thân với hàng loạt bài tập được các tác giả chọn lọc kĩ càng.
Các bài tập trong cuốn sách đều là những bài tập điển hình và quen thuộc nhất trong các
đề thi. Ngoài các ví dụ giúp các bạn định hình dạng toán, cuốn sách còn bao hàm rất nhiều bài
tập tự luyện có đáp án, giúp các bạn có một kĩ năng làm bài tốt phục vụ cho kì thi sắp tới.
2. Tiếp cận các nội dung, phương pháp giải bài toán một cách tối ưu nhất.
Các phương pháp và nội dung trong cuốn sách đều là các phương pháp được chọn lọc kĩ
càng, đồng thời được trình bày cẩn thận và rõ ràng với lời hướng dẫn chi tiết… Cuốn sách dễ
hiểu, dễ học ngay cả với những bạn mới bắt đầu tiếp xúc với tích phân lượng giác .
3. Được hỗ trợ trực tuyến ngay khi cầm trên tay cuốn sách.
Nếu có khúc mắc trong quá trình sử dụng sách, bạn có thể hỏi trực tiếp đội ngũ tác giả
trên diễn đàn chăm sóc sử dụng sách của nhà sách: vedu.vn/forums/
Cuốn sách là tập hợp những kinh nghiệm, kiến thức về tích phân lượng giác của các tác
giả; là quá trình làm việc nghiêm túc, miệt mài của các tác giả. Cuốn sách cũng là tâm huyết của
đội ngũ tác giả với mong muốn bạn đọc có thể đạt được kết quả tốt nhất, chinh phục được tích
phân lượng giác trong đề thi THPT Quốc gia sắp tới.
Mặc dù đã dành rất nhiều thời gian và tâm huyết để hoàn thiện cuốn sách nhưng cuốn
sách chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi sai sót vì thời gian và kiến thức còn hạn chế. Chúng tôi
rất mong nhận được các ý kiến đóng góp về nội dung của cuốn sách từ các bạn học sinh, sinh

viên, các thầy cô giáo để những lần tái bản tiếp theo cuốn sách sẽ được hoàn thiện hơn.
Mọi ý kiến đóng góp của các bạn, các thầy cô xin vui lòng gửi về địa chỉ
o Thư điện tử:
o Diễn đàn chăm sóc sử dụng sách: vedu.vn/forums/
Đội ngũ tác giả xin chân thành cảm ơn!!!


HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
1. Bạn nên học theo thứ tự các chủ đề.
Cuốn sách này khác với các cuốn sách khác, tác giả khuyên các bạn nên ĐỌC THẬT KĨ
ĐÁP ÁN vì đáp án trong cuốn sách sẽ trình bày và phân tích các sai lầm mà các bạn sẽ hay gặp
phải cũng như phần bình luận, mở rộng thêm bài toán đó. Các bạn không nên lướt qua đáp án vì
đáp án chính là một trong những phần thú vị và giá trị nhất của cuốn sách.
2. Đọc có phần bạn không hiểu, bạn nên làm gì?
Đừng ngại ngần, hãy đi hỏi !!!
- Hỏi bạn bè cùng lớp. Học thầy không tày học bạn.
- Hỏi thầy cô giáo trên lớp.
- Hỏi bạn bè trên cộng đồng mạng.
- Bạn hãy đăng những thắc mắc trong quá trình sử dụng sách lên diễn đàn chăm sóc sử
dụng sách của nhà sách Lovebook để được hỗ trợ tốt nhất: vedu.vn/forums/
3. Ghi chú, đánh dấu
Trong quá trình đọc cuốn sách, bạn nên lấy bút màu đánh dấu vào những phần kiến thức
mà bạn hay quên, còn nhầm lẫn, những bài toán mà các bạn làm sai và những phần mà bạn thấy
quan trọng. Trước khi thi 2 tháng, bạn nên đọc lại toàn bộ cuốn sách vì cuốn sách đã tổng hợp
toàn bộ những thứ bạn cần về phần tích phân – lượng giác, đặc biệt bạn cần xem lại những phần
mình đã đánh dấu bằng bút màu trước đây để tránh việc lặp lại sai lầm khi bước vào kì thi chính
thức.
4. Kết hợp với bộ đề.
Trong quá trình sử dụng sách, để đạt được hiệu quả cao nhất, tốt nhất bạn nên có một bộ
đề để luyện tập. Vì sao lại thế ?

Các bài tập tự luyện bên dưới sau mỗi chuyên đều là các bài tập cùng dạng đã trình bày
nhằm củng cố kiến thức dạng bài tập đó. Do đó, để có thể nhớ lâu và có kĩ năng tư duy tổng hợp
các kiến thức, các chuyên đề với nhau thì cần phải có một bộ đề để làm.
Khi làm đề mà có nhiều phần chưa học, hãy làm những phần mình đã học rồi chứ không
nên để đến lúc học xong hết chương trình rồi mới làm.
Ví dụ bạn đọc hết cuốn sách này, hãy cứ bỏ đề ra và đặt bút làm, làm hết tất cả các câu
thuộc phần tích phân – lượng giác.
Bạn sợ thiếu đề? Bạn yên tâm rằng, Lovebook có 80 bộ đề nằm trong 2 tập của bộ sách
Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán với đáp án và lời giải chi tiết cho bạn.


MỤC LỤC
Chương I: Giá trị lượng giác của một cung
14
I. GÓC LƯỢNG GIÁC – CUNG LƯỢNG GIÁC
15
1. Đơn vị đo góc lượng giác
15
2. Khái niệm góc lượng giác
15
3. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
15
4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
15
II. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
16
1. Định nghĩa giá trị lượng giác của cung
16
2. Giá trị lượng giác của một số cung – góc đặc biệt
16

III. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
21
1. Công thức cộng
21
2. Công thức bội
22
3. Công thức biến đổi tổng thành tích
23
IV. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
39
Chương II: Phương trình lượng giác
61
I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
62
1. Hàm số tuần hoàn
62
2. Hàm số lượng giác
62
II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
63
1. Phương trình lượng giác cơ bản (cơ bản 1)
63
2. Phương trình đa thức bậc thấp đối với một hàm số lượng giác (cơ bản 2)
67
3. Phương trình asinx + bcosx = c (cơ bản 3)
70
4. Phương trình đẳng cấp với sinx và cosx (cơ bản 4)
77
5. Phương trình hỗn hợp a(sinx + cosx) +b.sinx.cosx = c (cơ bản 5)
80

III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
83
1. Đưa phương trình lượng giác về 5 dạng cơ bản
83
2. Đưa phương trình lượng giác về dạng phương trình tích
96
IV. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN
176
Phương pháp 1: Phương pháp biểu diễn điều kiện và nghiệm thông qua cùng một hàm số lượng
giác
178
Phương phap 2: Loại nghiệm bằng giải phương trình nghiệm nguyên
182
Chương III: Nguyên hàm – Tích phân
185
I. NGUYÊN HÀM
186
1. Định nghĩa
186
2. Định lý
186
3. Tính chất
186
4. Bảng nguyên hàm
186
II. TÍCH PHÂN
197
1. Định nghĩa
197
2. Tính chất của tích phân

197
3. Phương pháp tích phân từng phần
215
TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ DẠNG HÀM CƠ BẢN
225
1. Tích phân của hàm hữu tỉ - Kĩ thuật khai triển Taylor
225
2. Kỹ thuật khai triển Taylor
239
3. Tích phân của hàm vô tỉ - phương pháp thế Euler
240
4. Tích phân của hàm lượng giác
250
5. Biến đổi nâng cao về tích phân
270
6. Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
279
III. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
301


Trước khi bắt đầu chính thức trải nghiệm cuốn sách, anh chị Lovebook xin gửi tặng các em câu chuyện:
Bài học từ câu chuyện “Tái ông thất mã”

Một câu chuyện của Trung Quốc về một nông dân Bình tĩnh.
“Một ông lão ở gần biên giới giáp với nước Hồ phía Bắc nước Tàu, gần Trường thành, có nuôi một con ngựa.
Một hôm con của ông lão dẫn ngựa ra gần biên giới cho ăn cỏ, vì lơ đễnh nên con ngựa vọt chạy qua nước Hồ
mất dạng. Những người trong xóm nghe tin đến chia buồn với ông lão.
Ông lão là người thông hiểu việc đời nên rất bình tỉnh nói:
– Biết đâu con ngựa chạy mất ấy đem lại điều tốt cho tôi.

Vài tháng sau, con ngựa chạy mất ấy quay trở về, dẫn theo một con ngựa của nước Hồ, cao lớn và mạnh mẽ.
Người trong xóm hay tin liền đến chúc mừng ông lão, và nhắc lại lời ông lão đã nói trước đây.
Ông lão không có vẻ gì vui mừng, nói:
– Biết đâu việc được ngựa Hồ nầy sẽ dẫn đến tai họa cho tôi.
Con trai của ông lão rất thích cỡi ngựa, thấy con ngựa Hồ cao lớn mạnh mẽ thì thích lắm, liền nhảy lên lưng cỡi
nó chạy đi. Con ngựa Hồ chưa thuần nết nên nhảy loạn lên. Có lần con ông lão không cẩn thận để ngựa Hồ hất
xuống, té gãy xương đùi, khiến con ông lão bị què chân, tật nguyền.
Người trong xóm vội đến chia buồn với ông lão, thật không ngờ con ngựa không tốn tiền mua nầy lại gây ra tai
họa cho con trai của ông lão như thế.
Ông lão thản nhiên nói:
– Xin các vị chớ lo lắng cho tôi, con tôi bị ngã gãy chân, tuy bất hạnh đó, nhưng biết đâu nhờ họa nầy mà được
phúc.
Một năm sau, nước Hồ kéo quân sang xâm lấn Trung nguyên. Các trai tráng trong vùng biên giới đều phải sung
vào quân ngũ chống ngăn giặc Hồ. Quân Hồ thiện chiến, đánh tan đạo quân mới gọi nhập ngũ, các trai tráng đều
tử trận, riêng con trai ông lão vì bị què chân nên miễn đi lính, được sống sót ở gia đình.”
Người đời sau lập ra thành ngữ: Tái ông thất mã, an tri họa phúc. Nghĩa là: ông lão ở biên giới mất ngựa, biết đâu
là họa hay là phúc.
Bài học: Việc đời, hết may tới rủi, hết rủi tới may, nên bắt chước tái ông mà giữ sự thản nhiên trước những
biến đổi thăng trầm trong cuộc sống.Ta không bao giờ thực sự biết được những điều còn ở phía phía trước sẽ
xảy ra như thế nào. Cuộc sống không phải lúc nào cũng như chúng ta mong đợi. Dẫu có đôi lúc làm bài không
như mong đợi, các em cũng đừng vội nản, vội bỏ cuộc nhé. Biết đâu, đó lại là cú hích cho các em vươn xa
hơn ở các kỳ thi sắp tới. 


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

LƯỢNG GIÁC

Có thể nói rằng, Lượng Giác là một thành phần xuất hiện khá sớm trong lịch sử Toán Học. Nó xuất
hiện nhằm đáp ứng các nhu cầu về đo đạc diện tích cũng như tính toán thiên văn… Làm việc với Lượng Giác,
chúng ta sẽ làm việc với góc và tính chất của góc. Sự biến đổi qua lại theo tính chất giữa các góc sẽ tạo thành
một hệ linh hoạt thống nhất.
Trong phần Lượng Giác này, chúng tôi sẽ lần lượt trình bày theo các phần:
CHƯƠNG I: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG.
Bài 1: Góc Lượng Giác – Cung Lượng Giác
Bài 2: Giá trị Lượng Giác của một cung.
Bài 3: Công thức Lượng Giác.
Bài 4: Hệ thức lượng trong Tam Giác.
CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
Bài 1: Hàm số lượng giác.
Bài 2: Phương trình Lượng Giác cơ bản.
Bài 3: Các phương pháp giải phương trình lượng giác.
Bài 4: Phương trình Lượng Giác có điều kiện.
ĐỌC THÊM: TẢN MẠN VỀ LƯỢNG GIÁC.

LOVEBOOK.VN | 13


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

Chương I: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

Trong chương này, kiến thức được trình bày chủ yếu nói về các tính chất biến đổi qua lại giữa các
góc nói chung và các góc trong tam giác nói riêng. Riêng về tam giác, ngoài sự biến hóa giữa các góc, chúng
ta còn làm việc với các yếu tố về cạnh cũng như diện tích và chu vi.
Chúng tôi đã trình bày bố cục chương này theo các phần:

Bài 1: Góc Lượng Giác – Cung Lượng Giác
Bài 2: Giá trị Lượng Giác của một cung.
Bài 3: Công thức Lượng Giác.
Bài 4: Hệ thức lượng trong Tam Giác.
Trong mỗi bài, các kiểu bài tập sẽ được đưa ra dần dần theo mức độ như Tính toán thông thường,
chứng minh, rút gọn, các kiểu bài tập nâng cao. Nắm tốt phần này, chúng ta có thể hiểu được thế nào là
LƯỢNG GIÁC.
Trước khi vào các phần cụ thể, chúng ta hãy cùng đọc câu chuyện dưới đây và suy ngẫm nhé…

HAI ANH EM

Có hai anh em nhà nọ cùng làm việc trên một nông trại của gia đình. Người anh đã lập gia đình,
còn người em vẫn còn độc thân. Mỗi khi kết thúc một ngày làm việc mệt nhọc, hai anh em lại chia đều
những gì mình đã làm được trong ngày, cả phần lúa gạo cũng như lợi nhuận.
Một ngày nọ, người em bỗng nghĩ thầm trong bụng: “Thật không công bằng khi chia đôi mọi
thứ với anh. Mình chỉ có một thân một mình, có cần gì nhiều đâu cơ chứ!”. Nghĩ thế, nên từ đó trở đi,
cứ mỗi tối, anh lại lấy bớt phần thóc của mình, băng qua cánh đồng nhỏ giữa hai nhà và đổ vào kho
thóc của người anh.
Trong khi ấy, người anh cũng thầm nghĩ trong lòng: “Thật không công bằng khi mình chia đều
mọi thứ với em. Mình đã có vợ, có con, không còn phải lo lắng điều gì nữa, còn em mình chỉ có một
mình, đâu có ai để lo cho tương lai”. Và thế là người anh, vào mỗi tối, cũng lấy bớt phần thóc của mình
và đổ vào kho của người em.
Cả hai anh em đều rất ngạc nhiên khi lượng thóc của mình vẫn không vơi đi chút nào so với
trước đó. Rồi một tối nọ, cả hai anh em va phải nhau trong lúc thực hiện kế hoạch của mình. Và họ đã
hiểu ra mọi chuyện. Bỏ rơi bao thóc trên tay, hai anh em xúc động ôm chầm lấy nhau…
Chính những điều chúng ta cho đi sẽ là những gì chúng ta nhận lại !

LOVEBOOK.VN | 14

Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

I - GÓC LƯỢNG GIÁC – CUNG LƯỢNG GIÁC
1. Đơn vị đo góc lượng giác
1.1. Độ

10 =

1
góc bẹt; 10 = 60′ ; 1′ = 60"
180

1.2. Radian
Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung tròn 1 radian.
180
⇒ 1rad =
độ ≈ 570 17′45"
π
π
π
π
π
π
rad; 900 = rad; 600 = rad; 450 = rad; 300 = rad
10 =
180
2
3

4
6
1.3. Độ dài cung tròn
Độ dài cung tròn α (rad) trên đường tròn bán kính R là: l = R.α
2. Khái niệm Góc Lượng Giác
� , tia Oz di động quay quanh O. Khi Oz xuất phát từ Ox và dừng ở Oy thì Oz quét được một góc lượng
Cho xOy
giác (Ox; Oy)
Sđ(Ox; Oy) = α + k2π (k ∈ ℤ)
sđ(Ox; Oy) = a0 + k. 3600 (k ∈ ℤ)
⇒ a0 = α rad
3. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
� vào đường tròn tâm O; khi đó giả sử Ox, Oy, Oz cắt đường tròn (O) tại lần lượt A, B và M.
Gắn xOy
Khi Oz quay quanh O từ Ox đến Oy để tạo nên góc gọi là góc lượng giác (Ox; Oy) thì điểm M di chuyển trên


đường tròn (O) từ A đến B để tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A và điểm cuối B, ký hiệu AB
 = sđ(Ox; Oy) = � α + k2π (k ∈ ℤ)
sđ AB
a0 + k. 3600 (k ∈ ℤ)
α là góc đại diện. Để xác định một góc, cung lượng giác trên đường tròn lượng giác, ta cần xác định góc α.
4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác.
Đường tròn lượng giác là đường tròn có bán kính bằng 1, có chỉ ra 1 điểm đầu cho mọi cung lượng giác và
1 chiều đi gọi là chiều dương.
BT1 : Cho M là điểm cuối của cung định hướng AM. Xác định số đo cung định hướng AM

 (lớn hoặc nhỏ)
B1: Tìm số đọ cung AM

 để suy ra giá trị lượng giác để suy ra giá trị lượng giác α
B2: Kết hợp chiều đi từ A đến M và số đo cung AB
B3 : Số đo cung định hướng AM bằng α + k2π
BT2 : Cho cung lượng giác định hướng AM có số đo α + k

B1: Từ k

2π
cho trước; tìm M là điểm cuối.
n

2π
: Đường tròn bị chia thành n điểm. Có nghĩa là sẽ có N điểm cuối M cách đều nhau trên đường
n

tròn. Nên n điểm đó sẽ tạo thành một n giác đều.
B2: Để xác định, ta chỉ cần thay n giá trị k vào biểu thức để tìm ra n điểm cuối.
• Chú ý: 2 cung có số đo là α và α + k2π thì có cùng điểm đầu và điểm cuối.

LOVEBOOK.VN | 15


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

II - GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

1. Định nghĩa giá trị lượng giác của cung α
Định nghĩa: Cho α ∈ ℝ. Khi đó ∃ duy nhất một điểm M thuộc

đường tròn lượng giác sao cho số đo cung định hướng AM bằng
α. Trên mặt phẳng Oxy, điểm M có tọa độ M(xm ; ym ) với:
ym = sin α ; xm = cos α
sin α
M≠B
Nếu xm ≠ 0 ⇔ �
gọi là tan α
thì
M ≠ B′
cos α
sin α
π
�α ≠ + k2π, k ∈ ℤ�
⇒ tan α =
cos α
2
cos α
M≠A
Nếu ym ≠ 0 ⇔ �
gọi là cot α
′ thì
M≠A
sin α
cos α
(α ≠ kπ, k ∈ ℤ)
⇒ cot α =
sin α
Hệ quả:
−1 ≤ xm ; ym ≤ 1 ⇒ −1 ≤ sin α ; cos α ≤ 1
sin α = sin(α + k2π) ; cos α = cos(α + k2π)

2. Giá trị lượng giác của một số cung – góc đặc biệt
Các em tham khảo sách giáo khoa.
BÀI TẬP:
Bài 1: Cho sin α + cos α = m. Tính:
A = sin α . cos α
B = sin3 α + cos 3 α

Ta có: sin α + cos α = m

Lời giải:

m2 − 1
2
B = sin3 α + cos 3 α = (sin α + cos α)3 − 3 sin α . cos α (sin α + cos α)
m2 − 1
3m − m3
3
.m =
= m − 3.
2
2
⇒ sin2 α + cos 2 α + 2 sin α . cos α = m2 ⇒ A =

Bài 2: Cho sin α . cos α = m. Tính:
C = sin α + cos α
D = sin4 α + cos 4 α

Lời giải:
Ta có C = (sin α + cos α) = sin α + cos α + 2 sin α . cos α = 1 + 2m

1
⇒ C = ±√1 + 2m �m ≥ − �
2
4
4
Có D = sin α + cos α = (sin2 α + cos 2 α)2 − 2 sin2 α . cos 2 α = 1 − 2m2
2

2

2

Bài 3: Cho tan α + cot α = m. Tính:
E = tan2 α + cot 2 α
F = tan3 α + cot 3 α

LOVEBOOK.VN | 16

2


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission
Lời giải:

π
Ta có E = (tan α + cot α)2 − 2 tan α . cot α = m2 − 2 �α ≠ k ; k ∈ ℤ�
2

π
F = (tan α + cot α)3 − 3 tan α . cot α (tan α + cot α) = m3 − 3m �α ≠ k ; k ∈ ℤ�
2
Bài 4: Cho tan α = 2. Tính:
cos 3 α + cos α . sin2 α − sin α
M=
cos 3 α − sin3 α

Lời giải:
sin α
π
Ta có tan α = 2 ⇒
= 2 ⇒ sin α = 2 cos α �α ≠ + kπ; k ∈ ℤ�
cos α
2
Khi đó ta có:
cos 3 α + cos α . sin2 α − sin α cos 3 α + cos α . 4 cos 2 α − 2 cos α
M=
=
cos 3 α − sin3 α
cos 3 α − 8 cos 3 α
3
3
2
2
cos α + 4 cos α − 2 cos α (sin α + cos α) cos 3 α + 4 cos 3 α − 2 cos α . 5 cos 2 α
=
=
−7 cos 3 α
−7 cos 3 α

3
5
5 cos α
=−
=−
3
7
−7 cos α
Bình luận: Nhận thấy với những biểu thức mà có độ lệch bậc giữa các hạng tử với nhau là bội số của
2, chúng ta có thể nhân thêm một lượng lũy thừa của (sin2 α + cos 2 α) để thực hiện cân bằng bậc.
Ngoài cách biến đổi về một ẩn sin hoặc cos như trên, vì biểu thức M đã cho là dưới dạng đẳng cấp, nên ta
còn có thể đưa về một ẩn là tan hoặc cot như sau:
sin α
sin2 α
1+
1 + tan2 α − sin α (sin2 α + cos 2 α)
5
2 α − cos 3 α
cos
=
=⋯=
M=
3
3
sin α
1 − tan α
7
1−
cos 3 α
Bài 5: Cho 2 cos 4 α + sin4 α = 1. Tính P = 6 sin6 α − 8 cos 8 α

Ta có:

Lời giải:

sin4 α
1
π
�α ≠ + kπ�
+2=
4
4
cos α
2
cos α
⇔ tan4 α + 2 = (1 + tan2 α)2
⇔ tan4 α + 2 = tan4 α + 2 tan2 α + 1
1
⇔ tan2 α =
2
Ta có:
P = 5 sin6 α − 8 cos 8 α = 5 sin6 α (sin2 α + cos 2 α) − 8 cos 8 α
sin8 α
sin6 α
1
8
(5 tan8 α + 5 tan6 α − 8)
+
5
−
8�

=
= cos α �5
(tan2 α + 1)4
cos 8 α
cos 6 α
5
24 −113
113
1
5
�
+
−
8�
=
. 4 =−
=
4 24
3
4
2
2
81
3
1
�1 + �
2
2 sin4 α + cos 4 α = 1 ⇔

LOVEBOOK.VN | 17

Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác
Bài 6: Chứng minh:

a) sin2 α + tan2 α =

Your dreams – Our mission

1
− cos 2 α
cos 2 α

cos 2 α − sin2 α
= sin2 α . cos 2 α
cot 2 α − tan2 α
1
(1 + cot 2 α) � 2 − 1�
cos
α
c)
=1
1 + tan2 α
cos 2 α
sin2 α
−
= sin α . cos α
d) 1 −
1 + cot 2 α 1 + tan2 α
1

1
+ tan α� �1 −
+ tan α� = 2 tan α
e) �1 +
cos α
cos α
1 − cos α
1 + cos α
1
� �1 +
�=
f) �1 +
1 + cos α
1 − cos α
sin2 α
b)

a) Ta có:

Lời giải:

VT = sin2 α + tan2 α = (sin2 α − 1) + (1 − tan2 α) = − cos 2 α +

1
= VP
cos 2 α

Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) Ta có:
cos 2 α − sin2 α (cos 2 α − sin2 α)(cos 2 α + sin2 α)

VT =
=
cos 2 α sin2 α
cot 2 α − tan2 α
−
sin2 α cos 2 α
cos 4 α − sin4 α
= sin2 α . cos 2 α = VP
=
cos 4 α − sin4 α
sin2 α . cos 2 α
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c) Ta có:
1
(1 + cot 2 α) � 2 − 1� tan2 α (1 + cot 2 α)
cos
α
VT =
=
1 + tan2 α
1 + tan2 α
2
2
2
2
tan α + tan α . cot α tan α + 1
=
=
= 1 = VP
tan2 α + 1

tan2 α + 1
Vậy đẳng thức được chứng minh.
d) Ta có:
sin2 α
cos 2 α
sin3 α
cos 3 α
VT = 1 −
−
=
1
−
−
cos α
sin α
sin α + cos α sin α + cos α
1+
sin α 1 + cos α
sin3 α + cos 3 α
=1−
= 1 − (sin2 α + sin α . cos α + cos 2 α) = sin α + cos α = VP
sin α + cos α
Vậy đẳng thức được chứng minh.
e) Ta có:
1
1
1
VT = �1 +
+ tan α� �1 −
+ tan α� = (1 + tan α)2 −

cos α
cos α
cos 2 α
2
2
= tan α + 2 tan α + 1 − (1 + tan α) = 2 tan α = VP
Vậy đẳng thức được chứng minh.
f) Ta có:
1 + cos α
1 + cos α 1 − cos α
1 − cos α
� �1 +
�=1+
VT = �1 +
+
+1
1 − cos α
1 − cos α 1 + cos α
1 + cos α
(cos α + 1)2 + (cos α − 1)2
2 cos 2 α + 2
4
=
2
+
=
= VP
=2+
2
2

sin2 α
1 − cos α
sin α
Vậy đẳng thức được chứng minh.
LOVEBOOK.VN | 18


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

Bài 7: Chứng minh các biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào α:
A = 3(sin8 α − cos 8 α) + 4(cos 6 α − 2 sin6 α) + 6 sin4 α
B = (1 + cot α). sin3 α + (1 + tan3 α). cos 3 α − sin α − cos α
Lời giải:

A = 3(sin8 α − cos 8 α) + 4(cos 6 α − 2 sin6 α) + 6 sin4 α
= 3(sin4 α + cos 4 α)(sin4 α − cos 4 α) + 4 cos 6 α − 8 sin6 α + 6 sin4 α (sin2 α + cos 2 α)
= 3(sin4 α + cos 4 α)(sin2 α − cos 2 α) + 4 cos 6 α − 8 sin6 α + 6 sin4 α (sin2 α + cos 2 α)
= 3 sin6 α − 3 cos 6 α − 3 sin4 α . cos 2 α + 3 sin2 α . cos 4 α + 4 cos 6 α + 6 sin6 α + 6 sin4 α . cos 2 α
= sin6 α + cos 6 α + 3 sin4 α . cos 2 α + 3 sin2 α . cos 4 α
= (sin2 α + cos 2 α)3 = 1
Do đó giá trị của A không phụ thuộc vào α.
B = (1 + cot α). sin3 α + (1 + tan3 α). cos 3 α − sin α − cos α
cos α
sin α
� . sin3 α + �1 +
� . cos 3 α − sin α − cos α
= �1 +
sin α

cos α
= sin3 α + cos 3 α + sin2 α . cos α + sin α . cos 2 α − sin α − cos α
= sin α (sin2 α + cos 2 α) + cos α (cos 2 α + sin2 α) − sin α − cos α
= sin α + cos α − sin α − cos α = 0
Do đó giá trị của A không phụ thuộc vào α.
Bài 8: Rút gọn:
sin2 α + sin2 α . tan2 α
A=
cos 2 α + cos 2 α . cot 2 α

4 tan2 α
B = 1 − cos α + 3 sin α −
tan2 α + 1
2
2
cos α − cot α + 1
C=
sin2 α + tan2 α − 1
2

2

Lời giải:

sin2 α (1 + tan2 α) sin2 α sin2 α
sin2 α + sin2 α . tan2 α
=
=
.
= tan4 α

cos 2 α + cos 2 α . cot 2 α cos 2 α (1 + cot 2 α) cos 2 α cos 2 α
4 tan2 α
B = 1 − cos 2 α + 3 sin2 α −
tan2 α + 1
2
2
2
= sin α + cos α − cos α + 3 sin2 α − 4 tan2 α . cos 2 α
= 4 sin2 α − 4 sin2 α = 0
cos 2 α
2
cos 2 α − cot 2 α + 1 cos α − sin2 α + 1
=
C=
sin2 α
sin2 α + tan2 α − 1
−1
sin2 α +
cos 2 α
2
2
2
2
sin α . cos α + sin α − cos α
cos 2 α
sin2 α
=
=
= cot 2 α
sin2 α . cos 2 α + sin2 α − cos 2 α

sin2 α
cos 2 α
A=

LOVEBOOK.VN | 19


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

Bài 9: Cho ∆ABC. Chứng minh các hệ thức:
B+C
A
1) sin
= cos
2
2
B+C
A
2) tan
= cot
2
2
3) sin(A + B) = sin C ; cos(A + B) = − cos C
A + B + 3C
= cos C
4) sin
2
A + B − 2C

3
5) tan
= cot C
2
2
1) Theo đề bài, ta có:

A+B+C=π⇒B+C=π−A⇒

B+C π A
= −
2
2 2

Lời giải:

A
B+C
π A
= sin � − � = cos
2
2
2 2
2) Theo 1, ta có:
A
B+C
B+C π A
π A
= − ⇒ tan
= tan � − � = cot

2
2 2
2
2
2 2
3) Ta có:
A+B+C=π⇒A+B=π−C
⇒ sin(A + B) = sin(π − C) = sin C ; cos(A + B) = cos(π − C) = − cos C
4) Ta có:
A + B + 3C
π + 2C
π
sin
= sin
= sin � + C� = cos(−C) = cos C
2
2
2
5) Ta có:
A + B − 2C
π − 3C
3
π 3
tan
= tan
= tan � − C� = cot C
2
2
2
2 2

⇒ sin

Trước khi sang phần tiếp theo, các em dành chút thời gian suy ngẫm câu chuyện sau nhé…

CÁT VÀ ĐÁ

Có hai người bạn đang dạo bước trên sa mạc. Trong chuyến đi dài, hai người nói chuyện với
nhau và đã có một cuộc tranh cãi gay gắt.
Không giữ được bình tĩnh, một người đã tát người bạn của mình. Người kia rất đau nhưng không
nói gì. Anh chỉ lặng lẽ viết lên cát rằng: "Hôm nay, bạn tốt nhất của tôi đã tát vào mặt tôi."
Họ tiếp tục bước đi cho tới khi nhìn thấy một ốc đảo, nơi họ quyết định sẽ dừng chân và tắm
mát.
Người bạn vừa bị tát do sơ ý bị trượt chân xuống một bãi lầy và ngày càng lún sâu xuống. Nhưng
người bạn kia đã kịp thời cứu anh.
Ngay sau khi hồi phục, người bạn suýt chết đuối khắc lên tảng đá dòng chữ: "Hôm nay, bạn tốt
nhất của tôi đã cứu sống tôi."
Người bạn kia hết sức ngạc nhiên bèn hỏi: "Tại sao khi tớ làm cậu đau, cậu lại viết lên cát còn
bây giờ lại là một tảng đá?"
Và câu trả lời anh nhận được là: "Khi ai đó làm chúng ta đau đớn, chúng ta nên viết điều đó lên
cát nơi những cơn gió của sự thứ tha sẽ xóa tan những nỗi trách hờn.”
Nhưng "Khi chúng ta nhận được điều tốt đẹp từ người khác, chúng ta phải ghi khắc chuyện ấy
lên đá nơi không cơn gió nào có thể cuốn bay đi."
Hãy học cách viết những nỗi đau lên cát và khắc tạc những niềm vui và hạnh phúc bạn tận
hưởng trong cuộc đời lên tảng đá để mãi không phai.

LOVEBOOK.VN | 20


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

III - CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Công thức cộng
Cho a, b ∈ ℝ, ta có các công thức sau:

cos(a + b) = cos a . cos b − sin a . sin b
cos(a − b) = cos a . cos b + sin a . sin b
sin(a + b) = sin a . cos b + cos a . sin b
sin(a − b) = sin a . cos b − cos a . sin b
tan a + tan b
(5)
tan(a + b) =
1 − tan a . tan b
tan a − tan b
tan(a − b) =
(6)
1 + tan a . tan b

(1)
(2)
(3)
(4)

Các công thức (5) và (6) cần đi kèm điều kiện xác định tương ứng vần thiết cho tan và cot cũng như các
mẫu số trong công thức.
Bài 1: Tính:

9

cos α = −
π
41
A = tan �α − � biết �
3
4
π<α< π
2
1
√3
B=
−
sin 100 cos 100
5π
7π
π
sin ; tan ; cos
12
12
12

Ta có:

cos α = −

Lời giải:

1
1681
1681

40
9
⇒
=
⇒ tan α = ±�
−1=±
2
81
81
9
41 cos α

3
40
π ⇒ tan α =
2
9
π
tan α − tan
π
4 = 31
⇒ A = tan �α − � =
π 49
4
1 + tan α . tan
4
Ta có:
1
√3
cos 100 −

sin 100
sin 300 . cos 100 − cos 300 . sin 100
cos 100 − √3 sin 100
2
2
=
2
=
2
B=
sin 100 . cos 100
sin 100 . cos 100
sin 100 . cos 100
0
0
0)
0
0)
2 sin 20
2 sin(10 + 10
4(sin 10 . cos 10
=
=
=
=4
0
0
0
0
sin 10 . cos 10

sin 100 . cos 100
sin 10 . cos 10
Ta có:
π
π
π
π √2 + √6
5π
π π
= sin � + � = sin . cos + cos . sin =
sin
6
4
6
4
12
4
6 4
π
π
tan + tan
7π
π π
3
4 = 1 + √3
tan
= tan � + � =
π
π 1−
12

3 4
√3
1 − tan . tan
3
4
π
π
π
π √2 + √6
π
π π
= cos � − � = cos . cos + sin . sin =
cos
3
4
3
4
12
4
3 4
Mà π < α <

LOVEBOOK.VN | 21


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

Bình luận: Mục đích của các bài tập tính toán này là đưa góc lượng giác về biểu diễn theo các góc đặc

biệt trên đường tròn lượng giác. Ngoài ra cần vận dụng các công thức lượng giác đã có sẵn để biến đổi linh
hoạt giữa các biểu thức lượng giác.
Bài 2:

π
�0 < a < �
4
√5
. Tính a + b
a) Cho
1
π
⎨sin b =
�0 < b < �
2
⎩
√10
⎧ sin a =

b) Cho �

1

tan(a + b) = 5
. Tính tan 2a ; tan 2b
tan(a − b) = 3

Lời giải:

a) Ta có:

1
2
sin a =
⇒ cos a = ±√1 − sin a = ±
√5
√5
π
2
Do 0 < a < ⇒ cos a =
4
√5
3
1
⇒ cos b = ±√1 − sin b = ±
sin b =
√10
√10
π
3
Do 0 < b < ⇒ cos b =
2
√10
1
π
⇒ cos(a + b) = cos a . cos b − sin a . sin b =
⇒ a + b = (vì 0 < a + b < π)
4
√2
b) Ta có:
tan(a + b) + tan(a − b)

4
tan 2a = tan[(a + b) + (a − b)] =
=−
1 − tan(a + b) . tan(a − b)
7
tan(a + b) − tan(a − b)
1
tan 2b = tan[(a + b) − (a − b)] =
=
1 + tan(a + b) . tan(a − b) 8
2. Công thức bội
2.1. Công thức nhân đôi
Trong các công thức (1), (3), (5) của phần I, nếu cho a = b thì ta sẽ thu được:
cos 2a = cos 2 a − sin2 a (7) = 2 cos 2 a − 1 (7a) = 1 − 2 sin2 a (7b)
sin 2a = 2 sin a . cos a (8)
2 tan a
(9)
tan 2a =
1 − tan2 a
1. Công thức hạ bậc:
Từ các công thức (7a), (7b); ta có:

2. Công thức nhân ba:

LOVEBOOK.VN | 22

1 + cos 2a
2
1 − cos 2a
2

sin a =
2

cos 2 a =

cos 3a = 4 cos 3 a − 3 cos a (10)
sin 3a = 3 sin a − 4 sin3 a (11)


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

Ví dụ:

Chứng minh các đẳng thức:
1 − 2 sin2 a
a)
=1
π
π
2 cot � + a� . cos 2 � − a�
4
4
1 + cos a + cos 2a + cos 3a
b)
= 2 cos a
2 cos 2 a + cos a − 1
cos 3 a − cos 3a sin3 a + sin 3a
+

=3
c)
cos a
sin a
sin4 a + 2 sin a . cos a − cos 4 a
d)
= cos 2a
tan 2a − 1

Lời giải:
a) Ta có:
π
π
π
π
π
2 cot � + a� . cos 2 � − a� = 2 tan � − � + a�� . cos 2 � − a�
4
4
4
2
4
π
π
π
π
π
2
= 2 tan � − a� . cos � − a� = 2 sin � − a� . cos � − a� = sin � − 2a� = cos 2a
4

4
4
2
4
1 − 2 sin2 a
= 1 = VP
⇒ VT =
cos 2a
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) Ta có:
1 + cos a + cos 2a + cos 3a
VT =
2 cos 2 a + cos a − 1
1 + cos a + 2 cos 2 a − 1 + 4 cos 3 a − 3 cos a 4 cos 3 a + 2 cos 2 a − 2 cos a
=
=
(cos a + 1)(2 cos a − 1)
2 cos 2 a + cos a − 1
2 cos a (2 cos a − 1)(cos a + 1)
=
= 2 cos a = VP
(cos a + 1)(2 cos a − 1)
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c) Ta có:
cos 3 a − cos 3a sin3 a + sin 3a
VT =
+
cos a
sin a
cos 3 a − 4 cos 3 a + 3 cos a sin3 a + 3 sin a − 4 sin3 a

=
+
cos a
sin a
3 cos a − 3 cos 3 a 3 sin a − 3 sin3 a
=
+
cos a
sin a
= 3 − 3 cos 2 a + 3 − 3 sin2 a = 6 − 3(sin2 a + cos 2 a) = 3 = VP
Vậy đẳng thức được chứng minh.
d) Ta có:
sin4 a + 2 sin a . cos a − cos 4 a (sin4 a − cos 4 a) + sin 2a
VT =
=
tan 2a − 1
tan 2a − 1
2
2
2
2
(cos
sin 2a −
a − sin a)(cos a + sin a) sin 2a − cos 2a
=
= cos 2a = VP
=
sin 2a
sin 2a − cos 2a
−1

cos 2a
cos 2a
Vậy đẳng thức được chứng minh.
3. Công thức biến đổi giữa tổng và tích
3.1. Công thức biến đổi tích thành tổng
Từ các công thức (1), (2), (3), (4), ta có:

LOVEBOOK.VN | 23


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

1
[cos(a + b) + cos(a − b)] (12)
2
1
sin a . sin b = − [cos(a + b) − cos(a − b)] (13)
2
1
sin a . cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)] (14)
2
cos a . cos b =

3.2. Công thức biến đổi tổng thành tích

m+n
a=
a+b=m

2
Từ các công thức cộng, bằng cách đặt �
⇒�
m−n
a−b=n
b=
2
Ta rút ra các công thức sau:
m+n
m−n
(15)
cos m + cos n = 2 cos
. cos
2
2
m+n
m−n
(16)
cos m − cos n = −2 sin
. sin
2
2
m+n
m−n
(17)
sin m + sin n = 2 sin
. cos
2
2
m−n

m+n
(18)
. sin
sin m − sin n = −2 cos
2
2
sin(m + n)
(19)
tan m + tan n =
cos m . cos n
sin(m − n)
(20)
tan m − tan n =
cos m . cos n
BAI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1 : Rút gọn:
sin a + sin 3a + sin 5a
A=
cos a + cos 3a + cos 5a
B = (1 + 2 cos 2a + 2 cos 4a + 2 cos 6a). sin a
2(sin 2a + 2 cos 2 a − 1)
C=
cos a − sin a − cos 3a + sin 3a
sin2 (a + b) − sin2 a − sin2 b
D=
sin2 (a + b) − cos 2 a − cos 2 b

Lời giải:

Ta có:
sin a + sin 3a + sin 5a
sin 3a + 2 sin 3a . cos 2a
A=
=
cos a + cos 3a + cos 5a cos 3a + 2 cos 3a . cos 2a
sin 3a 1 + 2 cos 2a
=
.
= tan 3a
cos 3a 1 + 2 cos 2a
B = (1 + 2 cos 2a + 2 cos 4a + 2 cos 6a). sin a
= sin a + 2 sin a . cos 2a + 2 sin a . cos 4a + 2 sin a . cos 6a
= sin a + (sin 3a − sin a) + (sin 5a − sin 3a) + (sin 7a − sin 5a) = sin 7a
2(sin 2a + cos 2a)
2(sin 2a + 2 cos2 a − 1)
=
C=
cos a − sin a − cos 3a + sin 3a (cos a − cos 3a) + (sin 3a − sin a)
2(sin 2a + cos 2a)
1
2(sin 2a + cos 2a)
=
=
=
2 sin 2a . sin a + 2 cos 2a . sin a 2 sin a (sin 2a + cos 2a) sin a
sin2 (a + b) − sin2 a − sin2 b
D=
sin2 (a + b) − cos 2 a − cos 2 b
(sin2 a . cos 2 b − sin2 a) + (cos 2 a . sin2 b − sin2 b)

=
(sin2 a . cos 2 b − cos 2 b) + (cos 2 a . sin2 b − cos 2 a)
LOVEBOOK.VN | 24


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

sin2 a (cos 2 b − 1) + sin2 b (cos 2 a − 1)
cos 2 b (sin2 a − 1) + cos 2 a (sin2 b − 1)
− sin2 a . sin2 b − sin2 b . sin2 a
= tan2 a . tan2 b
=
− cos 2 b . cos 2 a − cos 2 a . cos 2 b
Bình luận: Với những bài toán rút gọn, chứng minh Lượng Giác nói chung, ta cần để ý diễn biến góc
để đưa về các góc lượng giác giống nhau. Đặc biệt với dạng toán của phần B, khi gặp tổng của các biểu thức
có góc lượng giác biến đổi quy luật, ta thường sẽ giải quyết bằng việc nhân thêm một lượng tương ứng vào
để có thể áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng nhằm tạo ra các biểu thức có khả năng khử nhau.
=

Bài 2:

π
2 . Tính a
a) Cho �
tan a = 2 − √3
π
02

b) Cho �
. Tính a
√6 + √2
cos a =
4
0
Lời giải:

Ta có:

2 tan a
4 − 2√3
1
π
π
π
�vì 0 < a < �
=
=
⇒ 2a = ⇒ a =
2
1 − tan a 4√3 − 6 √3
6
12
2
a) Ta có :

tan 2a =

2

�√6 + √2�
π
π
π
√3
�0 < a < �
cos 2a = 2 cos a − 1 = 2
−1=
⇒ 2a = ⇒ a =
6
12
2
16
2
2

Bài 3: Tính
2π
4π
6π
A = cos
+ cos
+ cos
7
7
7
1
0

B=
− 2 sin 70
2 sin 100
C = cos 270 − cos 630
D = tan 90 − tan 270 − tan 630 + tan 810

Lời giải:
2π
4π
6π
A = cos
+ cos
+ cos
7
7
7
2π
2π
2π
2π
4π
2π
6π
⇔ A. sin
= sin . cos
+ sin . cos
+ sin . cos
7
7
7

7
7
7
7
4π
6π
1
8π
2π 1
1
2π
4π
⇔ A. sin
= �sin
+ sin 0� + �sin
− sin � + �sin
− sin �
7
7
2
7
7
2
2
7
7
2π 1
6π
1
8π

2π
⇔ A. sin
= �sin
+ sin � − sin
7
7
2
2
7
7
π 1
2π
1
2π
= − sin π . cos − sin
⇔A=−
⇔ A. sin
7 2
7
2
7
0
0
1
−
4
sin
10
1
.

sin
70
− 2 sin 700 =
B=
2 sin 100
2 sin 100
0
0)
1 + 2(cos 80 − cos 60
cos 800
=
=
=1
2 sin 100
cos 800
C = cos 270 − cos 630 = 2 sin 900 . sin 360 = 2 sin 360
Ta có: sin 180 = cos 720 = 2 cos 2 36 − 1 = 2(1 − 2 sin2 180 )2 − 1
⇔ sin 180 = 8 sin4 180 − 8 sin2 180 + 1
⇔ 8 sin4 180 − 8 sin2 180 − sin 180 + 1 = 0

LOVEBOOK.VN | 25


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

sin 180 = 1 (loại)
⎡
1

⎢
sin 180 = − (loại)
2
⎢
�10 + 2√5
−1 + √5
0
0
2 180 =
�
⇒
sin
18
−1
+
⇔⎢
=
⇒
cos
18
=
1
−
sin
√5
4
4
(thỏa mãn)
⎢sin 180 =
4

⎢
−1 − √5
⎢
0
(loại)
⎣ sin 18 =
4
�10 − 2√5
⇒ C = 2 sin 360 = 4 sin 180 . cos 180 =
2
D = tan 90 − tan 270 − tan 630 + tan 810
= (tan 90 + tan 810 ) − (tan 270 + tan 630 )
sin 900
1
1
sin 900
−
=
−
=
0
0
0
0
0
0
0
cos 9 . cos 81
cos 27 . cos 630
cos 9 . cos 81

cos 27 . cos 63
2
2
2
2
=
−
=
−
0
0
0
0
2
0
cos 90 + cos 72
cos 90 + cos 36
2 cos 36 − 1 cos 360
Mà theo C, ta có:
−1 + √5
1 + √5
⇒ cos 360 = 1 − 2 sin2 180 =
4
4
⇒ D = 3 − √5
Bình luận:
sin 180 =

- Việc nhân thêm một lượng sin

2π
vào cả hai vế của A là một điều tất yếu như đã nói ở Bài 1.
7

- Động tác biến đổi sin180 = cos 720 là một kỹ thuật cần thiết nếu trong bài tập yêu cầu tính toán với các
góc có số đo không đặc biệt trên đường tròn lượng giác. Các bạn có thể tham khảo thêm tại phần Tản mạn
xung quanh Lượng Giác.
Bài 4: Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1 = tan u và x2 = tan v. Tính giá trị biểu thức sau
đây theo a, b và c:
P = a. sin2 (u + v) + b. sin(u + v) . cos(u + v) + c. cos 2 (u + v)
•
•

Lời giải:

Nếu cos(u + v) = 0 ⇒ P = a
Nếu cos(u + v) ≠ 0, ta có:
P = cos 2 (u + v) [a. tan2 (u + v) + b. tan(u + v) + c]
a. tan2 (u + v) + b. tan(u + v) + c
=
1 + tan2 (u + v)
Mà ta có:
b
−
tan u + tan v
x1 + x2
a = b
tan(u + v) =
=
=

1 − tan u . tan v 1 − x1 x2 1 − c c − a
a
2
2
b
b
� +
a. �
+c
c
−
a
c
−a
⇒P=
=a
b 2
�
1+�
c−a

LOVEBOOK.VN | 26


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

Bài 5: Tìm một phương trình bậc ba có đúng 3 nghiệm sau:
π

3π
5π
x1 = cos ; x2 = cos ; x3 = cos
7
7
7
Từ đó tính tổng:
1
1
1
S=
+
π+
3π
5π
cos
cos
7 cos 7
7
Lời giải:

Một phương trình bậc 3 có dạng x 3 + ax 2 + bx + c = 0 có đúng 3 nghiệm x1 , x2 , x3 như đề bài cho thì chúng
phải thỏa mãn định lý Viete cho phương trình bậc 3:
x1 + x2 + x3 = −a
�x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = b
x1 x2 x3 = −c
Ta có:
π
3π
5π

+ cos
x1 + x2 + x3 = cos + cos
7
7
7
π
π
π
3π
π
5π
2 sin . cos + 2 sin . cos
+ 2 sin . cos
7
7
7
7
7
7
=
π
2 sin
7
4π
2π
6π
4π
6π
2π
+ sin s − sin

+ sin
− sin
sin
sin
7
7
7
7 =
7 =1
7
=
π
π 2
2 sin
2 sin
7
7
π
3π
3π
5π
5π
π
+ cos . cos
+ cos . cos
x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = cos . cos
7
7
7
7

7
7
4π
2π
8π
2π
6π
4π
1
+ cos
+ cos
+ cos
+ cos
+ cos �
= �cos
7
7
7
7
7
7
2
2π
2π
2π
4π
2π
6π
2 sin . cos
+ 2 sin . cos

+ sin . cos
1
2π
4π
6π
7
7
7
7
7
7
= �2 cos
+ 2 cos
+ cos � =
2π
2
7
7
7
2 sin
7
4π
6π
2π
8π
4π
2π
sin
+ sin
− sin

+ sin
− sin
sin
7
7
7
7
7 =−
7 = −1
=
2π
2π
2
2 sin
2 sin
7
7
8π
π
3π
5π 1
π
2π
x1 x2 x3 = cos . cos . cos
= cos �cos
+ cos �
7
7
7
7

2
7
7
9π
1
π
1
3π
π
3π
5π
= �cos
+ cos π + cos
+ cos � = �cos + cos
+ cos
− 1�
7
4
7
4
7
7
7
7
1 1
1
= � − 1� = −
4 2
8
1

⎧a = −
2
⎪
1
Vậy ta thu được kết quả: b = −
2
⎨
1
⎪
⎩ c=8
1
1
1
Vậy phương trình bậc 3 cần tìm là: x 3 − x 2 − x + = 0
2
2
8

LOVEBOOK.VN | 27


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

Bài 6: Chứng minh:

a) 1 + 4 cos a + 6 cos 2a + 4 cos 3a + cos 4a = 16 cos 2a . cos 4

a

2

b) sin 9a + 3 sin 7a + 3 sin 5a + sin 3a = 8 sin 6a . cos 3 a
8√3
c) tan 300 + tan 400 + tan 500 + tan 600 =
cos 200
3
d) cos(a + b) . sin(a − b) + cos(b + c) . sin(b − c) + cos(c + a) . sin(c − a) = 0
4π
6π
8π
1
2π
+ cos
+ cos
+ cos
=−
e) cos
9
9
9
2
9
a
3a
cot 2 − cot 2
2
2 = 8 cos 2 a . cos a
f)
3a

2
1 + cot 2
2
1
7
35
cos 8x +
cos 4x +
g) sin8 x + cos 8 x =
64
16
64
tan α + cos α n (tann α + cos n α)
� =
h) �
1 + cot α . cos α
1 + cot n α . cos n α
Lời giải:

a) Ta có:
VT = 1 + 4 cos a + 6 cos 2a + 4 cos 3a + cos 4a
= 1 + 4(cos a + cos 3a) + 6 cos 2a + cos(2.2a)
= 1 + 8 cos 2a . cos a + 6 cos 2a + 2 cos 2 2a − 1
= 2 cos 2a (4 cos a + 3 + cos 2a) = 2 cos 2a (2 cos 2 a + 4 cos a + 2)
2
a
= 4 cos 2a (cos a + 1)2 = 4 cos 2a . �2 cos 2 − 1 + 1�
2
a
a

= 4 cos 2a . 4 cos 4 = 16 cos 2a . cos 4 = VP
2
2
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) Ta có:
VT = sin 9a + 3 sin 7a + 3 sin 5a + sin 3a
= (sin 9a + sin 3a) + 3(sin 7a + sin 5a)
= 2 sin 6a . cos 3a + 6 sin 6a . cos a
= 2 sin 6a (cos 3a + 3 cos a) = 2 sin 6a (4 cos 3 a − 3 cos a + 3 cos a) = 8 sin 6a . cos 3 a = VP
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c) Ta có:
VT = tan 300 + tan 400 + tan 500 + tan 600
= (tan 300 + tan 600 ) + (tan 400 + tan 500 )
sin 900
4
2
4
2
1
=
+
=
+
= � + √3� +
0
0
0
0
cos 40 . cos 50
√3 cos 90 + cos 10

√3 cos 100
√3
8
16
8
(2 cos 2 100 − 1) =
VP =
cos 2 100 −
√3
√3
√3
2
8
16
4
2
0
�
�
�
−
cos
10
−
⇒ VT − VP = � +
√3
√3
√3 cos 100
2
16

2
16 cos 2 100 − 12
2
0
= 4√3 +
−
cos
10
=
−
cos 100 √3
cos 100
√3
2√3 − 4(4 cos 3 100 − 3 cos 100 ) 2√3 − 4 cos 300
=
=
=0
√3 cos 100
√3 cos 100
Vậy đẳng thức được chứng minh.
d) Ta có:
VT = cos(a + b) . sin(a − b) + cos(b + c) . sin(b − c) + cos(c + a) . sin(c − a)
LOVEBOOK.VN | 28


Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác

Your dreams – Our mission

1

1
1
(sin 2a − sin 2b) + (sin 2b − sin 2c) + (sin 2c − sin 2a) = 0 = VP
2
2
2
Vậy dẳng thức được chứng minh.
e) Ta có:
2π
4π
6π
8π
VT = cos
+ cos
+ cos
+ cos
9
9
9
9
π
2π
π
4π
π
6π
π
8π
π
+ sin . cos

+ sin . cos
+ sin . cos
⇔ VT. sin = sin . cos
9
9
9
9
9
9
9
9
9
π 1
π
1
5π
1
7π
1
7π
π
π
5π
⇔ VT. sin = �sin − sin � + �sin
− sin � + �sin
− sin � + �sin π − sin �
9 2
3
2
9

2
9
2
9
9
3
9
π
1
π 1
⇔ VT. sin = �− sin � ⇔ VT = − = VP
9
2
9 2
Vậy đẳng thức được chứng minh.
f) Ta có:
a
3a
cot 2 − cot 2
2
2 = 8 cos 2 a . cos a = sin2 3a . �cot a − cot 3a� . �cot a + cot 3a�
VT =
3a
2
2
2
2
2
2
1 + cot 2

2
sin a
sin 2a
sin a . sin 2a
3a
= sin2 .
.
=
a
2 sin a . sin 3a sin a . sin 3a
sin2
2
2
2
2
2
a
a
a
a
2.2. sin . cos . cos a . 2 sin . cos
a
2
2
2
2
= 8 cos 2 . cos a = VP
=
a
2

sin2
2
Vậy đẳng thức được chứng minh.
g) Ta có:
VT = sin8 x + cos 8 x = (sin4 x + cos 4 x)2 − 2 sin4 x . cos 4 x = (1 − 2 sin2 x . cos 2 x)2 − 2 sin4 x . cos 4 x
2
1
= 1 − 4 sin2 x . cos 2 x + 2 sin4 x . cos 4 x = 1 − sin2 2x + 2 � sin2 2x�
4
1 − cos 4x 1 1 − cos 4x 2 1 + cos 4x 1 1 − 2 cos 4x + cos 2 4x
� =
+ .�
+ .�
�
=1−
8
2
8
4
2
2
1
7
35
1 + cos 4x 1 − 2 cos 4x 1 + cos 8x
+
+
=
cos 8x +
cos 4x +

= VP
=
32
64
64
16
64
2
Vậy đẳng thức được chứng minh
h) Ta có:
tan α + cos α n
tan α + cos α n
� = �tan α .
� = tann α
VT = �
tan α + cos α
1 + cot α . cos α
tann α + cos n α
tann α + cos n α
n
VP =
=
tan
α
.
= tann α
1 + cot n α . cos n α
tann α + cos n α
Nên ta thu được : VT = VP = tann α
Vậy đẳng thức được chứng minh.

=

Bài 7 : Chứng minh:
a) 5 + 3 cos 4x = 8(sin6 x + cos 6 x)
b) sin 2x . tan x = 1 − cos 2x
Từ đó suy ra giá trị:

A = tan2

π
3π
5π
+ tan2
+ tan2
12
12
12
Lời giải:

a) Ta có:
VP = 8(sin6 x + cos 6 x) = 8(sin2 x + cos 2 x)(sin4 x − sin2 x . cos 2 x + cos 4 x)
3
= 8[(sin2 x + cos 2 x)2 − 3 sin2 x . cos 2 x] = 8 �1 − sin2 2x�
4

LOVEBOOK.VN | 29