NỘI DUNG 1 TÍNH đơn điệu của hàm số

Hàm số

FB: />
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Chuyên đề: Hàm số
A. Tóm tắt lí thuyết
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Định lý 1: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu hàm số f (x) đồng biến trên K thì f '(x)  0 với mọi x  K
b) Nếu hàm số f (x) nghịch biến trên K thì f '(x)  0 với mọi x  K
 [ f(x) đồng biến trên K]
 [ f '(x)  0 với mọi x  K ]
 [ f(x) nghịch biến trên K]
 [ f '(x)  0 với mọi x  K ]
[ f '(x)  0 với mọi x  K ]  [ f(x) không đổi trên K]
2) Định lý 2: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số f (x) đồng biến trên K
b) Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số f (x) nghịch biến trên K
c) Nếu f '  x   0 với mọi x  K thì hàm số f (x) không đổi trên K
 [ f '(x)  0 với mọi x  K ]  [ f(x) đồng biến trên K]
 [ f '(x)  0 với mọi x  K ]  [ f(x) nghịch biến trên K]
3) Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f '  x   0 với mọi x  K và f '  x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K
thì hàm số f (x) đồng biến trên K.
b) Nếu f '  x   0 với mọi x  K và f '  x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K
thì hàm số f (x) nghịch biến trên K.
4) Định lý 4: Cho hàm số bậc ba y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0  , ta có
f '  x   3ax 2  2bx  c .
a) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0 
đồng biến trên R  f '  x   3ax 2  2bx  c  0 x  R
b) Hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d  a  0 

nghịch biến trên R  f '  x   3ax 2  2bx  c  0 x  R

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
NHẮC LẠI
Định lý: Cho tam thức bậc hai f ( x) ax 2 bx c (a 0) ta có:


f ( x)

0

x



f ( x)

0

x

0
a

0
0

a

0

B. Phương pháp giải toán
Dạng : Định giá trị tham số để hàm số đơn điệu trên tập hợp X cho trước.
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định: D ?
B2. Tính y ' ?
B3. Lập luận:
y

đồng biến trên X

y'

0, x

X

y

nghịch biến trên X

y'

0, x

X

Chú ý quan trọng: Trong điều kiện trên dấu bằng xảy ra khi phương trình
y'

0

có hữu hạn nghiệm, nếu phương trình y ' 0 có vô hạn nghiệm thì trong

điều kiện sẽ không có dấu bằng.
2. CÁC VÍ DỤ
1
3

Ví dụ 1. Cho hàm số y  (m 2  m) x 3  2mx 2  3x  1 . Tìm m để hàm số luôn đồng biến
trên R .
Bài giải:
♦ Tập xác định: D  R
♦ Đạo hàm: y '  (m 2  m) x 2  4mx  3
♣ Hàm số luôn đồng biến trên R  y '  0 x  R
m  0
m  1

♥ Trường hợp 1: Xét m2  m  0  

+ Với m  0 , ta có y '  3  0, x  R , suy ra m  0 thỏa.
3
4

+ Với m  1 , ta có y '  4 x  3  0  x   , suy ra m  1 không thỏa.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
m  0
, khi đó:
m  1

♥ Trường hợp 2: Xét m2  m  0  

 '  m2  3m  0

♣ y '  0 x  R  

2

m  m  0

3  m  0
 
 3  m  0
m  0  m  1

♦ Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm là 3  m  0 .

Ví dụ 2. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3(m2  1)x  2m  3 . Tìm m để hàm số nghịch biến trên
khoảng 1; 2  .
Bài giải
♦ Tập xác định: D  R
♦ Đạo hàm: y '  3x 2  6mx  3(m 2  1)
♣ Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 2   y '  0 x  1; 2 
Ta có  '  9m2  9(m2  1)  9  0, m
Suy ra y ' luôn có hai nghiệm phân biệt x1  m  1; x2  m  1 ( x1  x2 )
x  1

m  1  1

Do đó: y '  0 x  1; 2   x1  1  2  x2   1
 
 1 m  2
m

1

2
x

2

 2
♦ Vậy giá trị m cần tìm là 1  m  2 .
Bài tập tương tự
Cho hàm số y  2 x 3  3  2m  1 x 2  6m  m  1 x  1 . Tìm m để hàm số đồng biến trên
khoảng  2;   .

Đáp số: m 1 .

Ví dụ 3. Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  2 . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

 0;   .
Bài giải
♦ Tập xác định: D  R
♦ Đạo hàm: y '  3x 2  6 x  m
♣ Hàm số đồng biến trên khoảng  0;  
 y '  0 , x   0;  
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

(có dấu bằng)
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
 3x  6 x  m  0 , x   0;  
2

 3 x 2  6 x  m , x   0;  

(*)

♣ Xét hàm số f ( x) 3x 2 6 x , x   0;   , ta có:
f '( x)

6x

6

; f '( x) 0

x

1

Bảng biến thiên:
0

x

1

f '( x )

0

f ( x)

0
3

♣ Từ BBT ta suy ra: (*)
♦ Vậy giá trị m cần tìm là m

m

3

3 .

Bài tập tương tự
Cho hàm số y   x 3  3x 2  3mx  1 . Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng  0;   .
Đáp số: m

1.

Ví dụ 4. Cho hàm số y 

mx  7m  8
.
xm

Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác

định của nó.
Bài giải
♦ Tập xác định: D  R \ m
♦ Đạo hàm: y ' 

m 2  7m  8

 x  m

2

. Dấu của y ' là dấu của biểu thức m 2  7m  8 .

♣ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
y '  0 , x  D

(không có dấu bằng)

m2  7m  8  0

8

m

1

♦ Vậy giá trị m cần tìm là 8 m 1 .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số

FB: />
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1. Xác định m để hàm số sau đồng biến trong khoảng (0; +∞):
y

xm

x2  1

+ TXĐ: D = R

mx  1

+ y’ =

( x  1) x 2  1
2

Hàm số ĐB trong (0; +∞)
y’ ≥ 0 mọi x  (0; +∞).
-mx + 1 ≥ 0 mọi x  (0; +∞). (1)
. m = 0 (1) đúng
. m > 0: -mx + 1 ≥ 0
x ≤ 1/m. Vậy (1) không thỏa mãn.
. m < 0: -mx + 1 ≥ 0
x ≥ 1/m. Khi đó (1)
1/m ≤ 0 t/m.
Giá trị cần tìm là: m ≤ 0.
Câu 2. Tìm m để hàm số luôn nghịch biến: y   x3  (3  m) x 2  2mx  12 .

+ Tập xác định: D  R .
+ Đạo hàm: y '  3x 2  2(3  m) x  2m
+ Để hàm số luôn nghịch biến thì y '  0

x

3  0

a  0


2
 '  0
9  m  6m  (3)(2m)  0
 m 2  12m  9  0
 6  3 3  m  6  3 3.

Câu 3. Tìm m để hàm số luôn nghịch biến

+ Tập xác định: D  R
+ Đạo hàm: y '  3mx 2  6 x  3
+ Để hàm số luôn nghịch biến

x

thì y '  0

x : y  mx 3  3x 2  3x  1 .

x

 3mx 2  6 x  3  0 x 1

+ TH 1 :

m0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


Hàm số
(1)  6 x  3  0

FB: />
 6 x  3

 x

+ TH 2 :

1
( không thỏa x )
2

m0

a  0
3m  0
m  0
m  0
(1)  



 m  1 .
  0 9  9m  0

9m  9
m  1

+ Vậy

m  1

thì hàm số thỏa đề bài.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ