BT đại số 10 CHƯƠNG VI LƯỢNG GIÁC

ĐẠ

Ố

FB: />
CHƯƠNG VI. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

§1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
§2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác
Xác định dấu của các biểu thức sau:
a) A = sin 500.cos(3000 )
c) C = cot

 2 
3
.sin  

5
 3 

b) B = sin 2150.tan
d) D = cos

21
7

4


4
9
.sin .tan
.cot
5
3
3
5

Cho 00    900 . Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A = sin(  900 )
b) B = cos(  450 )
c) C = cos(2700   )
d) D = cos(2  900 )


Cho 0    . Xét dấu của các biểu thức sau:
2

a) A = cos(   )



c) C = sin   

b) B = tan(   )

2 

5 




d) D = cos   

3 

8 

Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A = sin A  sin B  sin C
b) B = sin A.sin B.sin C
A
2

B
2

c) C = cos .cos .cos

C
2

A
2

B
2

d) D = tan  tan  tan

C
2

VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)
Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:
4
5

a) cos a  , 2700  a  360 0
5 
,  a
13 2
3
tan a  3,   a 
2

c) sin a 
e)

g) cot150  2  3

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

b) cos 

2

,



  0
2
5
1
d) sin    , 1800    2700
3

f) tan   2,    
2
3
h) cot   3,    
2

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠ

Ố

FB: />
Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:
a) A 

cot a  tan a
3


khi sin a  , 0  a 
cot a  tan a
5
2

ĐS:

25
7

b) B 

8tan2 a  3cot a  1
1
khi sin a  , 900  a  1800
tan a  cot a
3

ĐS:

8
3

sin2 a  2sin a.cos a  2 cos2 a

c) C 
d)

2sin2 a  3sin a.cos a  4 cos2 a
sin a  5cos a

D
khi tan a  2
sin3 a  2 cos3 a

e) E 
g)
h)

8cos3 a  2sin3 a  cos a

khi cot a  3

b) 

23
47

55
6
3
2
19
13
3

2

ĐS: 
ĐS:
ĐS:

trị các biểu thức sau:

b) B  sin a  cos a

9
32

ĐS: a)

ĐS:

khi tan a  2

2 cos a  sin3 a
cot a  3tan a
2
G
khi cos a  
2 cot a  tan a
3
sin a  cos a
H
khi tan a  5
cos a  sin a
5
Cho sin a  cos a  . Tính giá
4

a) A  sin a.cos a

ĐS: 

7
4

c) C  sin3 a  cos3 a
c) 

41 7
128

Cho tan a  cot a  3 . Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A  tan2 a  cot 2 a b) B  tan a  cot a c) C  tan4 a  cot 4 a
ĐS: a) 11
b)  13
c) 33 13
3
4
1
3sin 4 x  cos4 x  . Tính B  sin4 x  3cos4 x .
2
7
4 sin 4 x  3 cos4 x  . Tính C  3sin4 x  4 cos4 x .
4

7
4

a) Cho 3sin 4 x  cos4 x  . Tính A  sin4 x  3cos4 x .

ĐS: A 

b) Cho

ĐS: B = 1

c) Cho

1
5
tan x  cot x  4 .

ĐS: C 

7
57
C
4
28

a) Cho sin x  cos x  . Tính sin x, cos x, tan x, cot x .
b) Cho

4
5

3
5

4
3

ĐS: a) ;  ;  ; 
b)

1
2 2 3

;

Tính sin x, cos x, tan x, cot x .

3
4

2 3
; 2  3; 2  3
2

hoặc 2  3; 2  3;

2 3
1
;
2
2 2 3

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠ

Ố

FB: />
VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết
Tính các GTLG của các góc sau:
a) 1200 ; 1350 ; 1500 ; 2100 ; 2250; 2400; 3000; 3150; 3300; 3900; 4200 ; 4950 ; 25500
b) 9 ; 11 ;

7 13
5 10
5 11
16 13 29
31
;
;
;
;
;
;
;
;
;
2
4
4

3
3
3
3
6
6
4

Rút gọn các biểu thức sau:

2




a) A  cos   x   cos(2  x )  cos(3  x )
 7

 3

 x   cot 
 x
 2

 2



 3




c) C  2sin   x   sin(5  x )  sin   x   cos   x 
2

 2

2

 3

 3

d) D  cos(5  x )  sin   x   tan   x   cot(3  x )
 2

 2


b) B  2 cos x  3cos(  x)  5sin 

Rút gọn các biểu thức sau:
a) A 
b) B 

sin(3280 ).sin 9580
cot 5720



sin(2340 )  cos 216 0
0

sin144  cos126

0

cos(5080 ).cos(1022 0 )
tan(212 0 )
.tan 360

c) C  cos200  cos 400  cos600  ...  cos1600  cos1800
d) D  cos2 100  cos2 200  cos2 300  ...  cos2 1800
e) E  sin 200  sin 400  sin 600  ...  sin 3400  sin 360 0
f) 2sin(7900  x)  cos(12600  x)  tan(6300  x).tan(12600  x)

ĐS: A = –1
ĐS: B  1
ĐS:
ĐS:
ĐS:
ĐS:

C  1
D9

E0
F  1  cos x

VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác

Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin4 x  cos4 x  1  2 cos2 x
b) sin4 x  cos4 x  1  2 cos2 x.sin2 x
c) sin6 x  cos6 x  1  3sin2 x.cos2 x
d) sin8 x  cos8 x  1  4sin2 x.cos2 x  2sin4 x.cos4 x
e) cot 2 x  cos2 x  cos2 x.cot 2 x
f) tan2 x  sin2 x  tan2 x.sin2 x
g) 1  sin x  cos x  tan x  (1  cos x )(1  tan x )
h) sin2 x.tan x  cos2 x.cot x  2sin x.cos x  tan x  cot x
i)
k)

sin x  cos x  1
2 cos x

1  cos x
sin x  cos x  1
1  sin2 x
2

1  sin x

 1  tan2 x

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠ

Ố

FB: />
Chứng minh các đẳng thức sau:
a) tan a.tan b 

tan a  tan b
cot a  cot b

b)

sin2 a
cos2 a

 sin a.cos a
1  cot a 1  tan a
1  cos a  (1  cos a)2 
1 
  2 cot a
sin a 
sin2 a 

c) 1 

d)

e)

f)

2

 1  sin a
1  sin a 


  4 tan2 a
1  sin a 
 1  sin a

g)
i)

sin2 a  tan2 a

 tan6 a

h)
k)

sin a
cos a
1  cot 2 a


sin a  cos a cos a  sin a 1  cot 2 a
sin2 a
sin a  cos a


 sin a  cos a
sin a  cos a
tan2 a  1
tan2 a
1  tan2 a

.

1  cot 2 a
cot 2 a

tan2 a  tan2 b
tan2 a.tan2 b
tan3 a







1  tan 4 a
tan 2 a  cot 2 a

sin2 a  sin2 b
sin2 a.sin 2 b

1
cot 3 a


 tan3 a  cot 3 a
sin a.cos a cos2 a

cos2 a  cot 2 a
sin2 a
sin 4 x cos4 a
1
sin8 x cos8 x
1


, vôùi a, b  0. Chứng minh:
Cho
.


a
b
ab
a3
b3
(a  b)3

Rút gọn các biểu thức sau:
a) (1  sin2 x)cot 2 x  1  cot 2 x

b) (tan x  cot x)2  (tan x  cot x)2

cos2 x  cos2 x.cot 2 x

c)

2

2

d) ( x.sin a  y.cos a)2  ( x.cos a  y.sin a)2

2

sin x  sin x.tan x
sin2 x  tan2 x

e)

f)

cos2 a  cot 2 x

g) sin2 x(1  cot x )  cos2 x(1  tan x )
  
1  sin x
1  sin x

; x   ; 
1  sin x
1  sin x
 2 2

i)

h)

sin2 x  cos2 x  cos4 x
cos2 x  sin2 x  sin 4 x
1  cos x
1  cos x

; x  (0,  )
1  cos x
1  cos x

  3 

2 2 

k) cos x  tan2 x  sin2 x ; x  ;

Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)

3(sin4 x  cos4 x)  2(sin6 x  cos6 x)

ĐS: 1

ĐS: 1
ĐS: –2
ĐS: 2

3(sin8 x  cos8 x)  4(cos6 x  2sin6 x)  6sin 4 x
(sin4 x  cos4 x  1)(tan2 x  cot 2 x  2)
cos2 x.cot 2 x  3cos2 x  cot 2 x  2sin2 x
sin 4 x  3cos4 x  1
6

6

ĐS:

4

sin x  cos x  3cos x  1
tan2 x  cos2 x cot 2 x  sin2 x

sin2 x
cos2 x
sin6 x  cos6 x  1

2
3

ĐS: 2
ĐS:

sin 4 x  cos4 x  1

3
2

Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a) sin B  sin( A  C )

b) cos( A  B)   cos C

d) cos(B  C )   cos( A  2C )

e) cos( A  B  C )   cos 2C

f) cos

3 A  B  C
  sin 2 A
2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

g) sin

A  B  3C
 cos C
2

c) sin

AB

C
 cos
2
2

h) tan

A  B  2C
3C
 cot
2
2

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠ

Ố

FB: />
§3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
VẤN ĐỀ 1: Công thức cộng
Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:
a) 150 ; 750 ; 1050

b)

5 7
;

12 12 12



;

Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
3 
 
5 2






a) tan     khi sin   ,
3

ĐS:

12 3
,
   2
13 2
1
1
c) cos(a  b).cos(a  b) khi cos a  , cos b 
3
4


3




b) cos     khi sin   

d) sin(a  b), cos(a  b), tan(a  b) khi sin a 

ĐS:
ĐS:
8
5
, tan b 
17
12


2

, ab 


4

(5  12 3)
26
119


144

và a, b là các góc nhọn.
ĐS:

e) tan a  tan b, tan a, tan b khi 0  a, b 

38  25 3
11

21 140
21
;
;
.
221 221 220

và tan a.tan b  3  2 2 .

Từ đó suy ra a, b . ĐS: 2 2  2 ; tan a  tan b  2  1, a  b 


8

Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:
3
2
3
2

a) A = sin2 20o  sin2 100o  sin2 140o

ĐS:

b) B = cos2 10o  cos110o  cos2 130o

ĐS:

c) C = tan 20o.tan 80o  tan 80o.tan140o  tan140o.tan 20o
d) D = tan10o.tan 70o  tan 70o.tan130o  tan130o.tan190o

ĐS: –3
ĐS: –3

cot 225o  cot 79o.cot 71o

e) E =

cot 259o  cot 251o

f) F = cos2 75o  sin2 75o
g) G =

1  tan15o
0

1  tan15
tan150  cot150

ĐS: 3

ĐS: 
ĐS:

3
2

3
3

h) H =
ĐS: 4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
HD: 40  60  20 ; 80  60  20 ; 50  60  10 ; 70  60  10
Chứng minh các hệ thức sau:
a) sin( x  y).sin( x  y)  sin2 x  sin2 y
b) tan x  tan y 

2sin( x  y)
cos( x  y )  cos( x  y )

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠ

Ố

FB: />


















c) tan x.tan  x    tan  x   .tan  x 






3




3




2 
2 
  tan  x 
 .tan x   3
3 

3 



d) cos  x   .cos  x    cos  x   .cos  x 
3

o

4

6

e) (cos70  cos50 )(cos230  cos290o ) (cos40o  cos160o )(cos320o  cos380o )  0
f) tan x.tan 3 x 

o

3 
2
(1  3)

4 
4

o

tan2 2 x  tan 2 x
1  tan2 2 x.tan 2 x

Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước:
a) 2 tan a  tan(a  b) khi sin b  sin a.cos(a  b)
b) 2 tan a  tan(a  b) khi 3sin b  sin(2a  b)
1
khi cos(a  b)  2 cos(a  b)
3
1 k
tan(a  b).tan b 
khi cos(a  2b)  k cos a

1 k

c) tan a.tan b  
d)

HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a
b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a
c) Khai triển giả thiết
d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b
Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a) sin C  sin A.cos B  sin B.cos A
b)

sin C
 tan A  tan B ( A, B  900 )
cos A.cos B

c) tan A  tan B  tan C  tan A.tan B.tan C ( A, B, C  900 )
d) cot A.cot B  cot B.cot C  cot C.cot A  1
A
B
B
C
C
A
2
2
2
2
2

2
A
B
C
A
B
C
f) cot  cot  cot  cot .cot .cot
2
2
2
2
2
2
cos C
cos B
 cot C 
( A  90o )
g) cot B 
sin B.cos A
sin C.cos A
A
B
C
A
B
C
A
B
C

A
B
C
h) cos .cos .cos  sin sin cos  sin cos sin  cos sin sin
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A
B
C
A
B
C
i) sin2  sin2  sin2  1  2sin sin sin
2
2
2
2
2
2
 A B C

HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 1800
e, f) Sử dụng      900
2 2 2
A B C
g) VT = VP = tanA
h) Khai triển cos    
2 2 2
A B C
i) Khai triển sin     .
2 2 2
B C
B
C
A
B
C
A
Chú ý: Từ cos     sin
 cos .cos  sin  sin .sin
2
2
2
2
2
2 2
2
A
B
C
A

A
B
C
 sin .cos .cos  sin2  sin .sin .sin
2
2
2
2
2
2
2

e) tan .tan  tan .tan  tan .tan  1

Cho tam giác A, B, C. Chứng minh:
a) tan A  tan B  tan C  3 3,   ABC nhoïn.
b) tan2 A  tan2 B  tan2 C  9,   ABC nhoïn.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠ

Ố

FB: />
c) tan6 A  tan6 B  tan6 C  81,   ABC nhoïn.
A
B

C
 tan 2  tan 2  1
2
2
2
A
B
C
e) tan  tan  tan  3
2
2
2
HD: a, b, c) Sử dụng tan A  tan B  tan C  tan A.tan B.tan C và BĐT Cô–si
A
B
B
C
C
A
d) Sử dụng a2  b2  c2  ab  bc  ca và tan .tan  tan .tan  tan .tan  1
2
2
2
2
2
2

d) tan2

e) Khai triển


A
B
C
 tan  tan  tan 

2
2
2

2

và sử dụng câu c)

VẤN ĐỀ 2: Công thức nhân
Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a) cos 2 , sin 2 , tan 2 khi cos   

5
3
,   
13
2

b) cos 2 , sin 2 , tan 2 khi tan   2
4 
3
 
5 2

2
7
cos 2 , sin 2 , tan 2 khi tan  
8

c) sin  , cos  khi sin 2   ,
d)

Tính giá trị của biểu thức sau:
a) A  cos20o.cos40o.cos60o.cos80o

ĐS:

b) B  sin10o.sin 50o.sin 70o

ĐS:

4
5
.cos
7
7

ĐS:



c) C  cos .cos
7

d) D  cos100.cos 500.cos 70 0

ĐS:

e) E  sin 6o.sin 42o.sin 66o.sin 78o

ĐS:

f) G  cos

2
4
8
16
32
.cos
.cos .cos
.cos
31
31
31
31
31

ĐS:

h) H  sin 5o.sin15o.sin 25o.... sin 75o.sin85o

ĐS:

i) I  cos100.cos 200.cos300...cos 700.cos80 0

ĐS:

k) K  96 3 sin
l)



.cos



.cos



cos



cos



48
48
24
12
6


2
3
4
5
6
7
L  cos .cos
.cos .cos
.cos .cos
.cos
15
15
15
15
15
15
15

m) M  sin


16

.cos


16

.cos


8

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

1
16
1
8
1
8
3
8
1
16
1
32
2
512
3
256

ĐS: 9
ĐS:

1
128

ĐS:

2
8

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠ

Ố

FB: />
Chứng minh rằng:
a
2

a) P  cos cos

2

2

cos

a
3

2

... cos

a
2

n



sin a
2n.sin

2
n
1
... cos

2n  1
2n  1
2n  1 2n
2
4
2n
1
R  cos
.cos
... cos

2n  1
2n  1
2n  1

2

b) Q  cos
c)

a



a
2n

.cos

Chứng minh các hệ thức sau:
3 1
 cos 4 x
4 4

a) sin 4  cos4 x 

1
4

c) sin x.cos3 x  cos x.sin3 x  sin 4 x

4

5 3
 cos 4 x

8 8
x
x 1
sin6  cos6  cos x(sin 2 x  4)
2
2 4

b) sin6 x  cos6 x 

x
2

d)

1  sin2 x
 1



2 
2 cot   x  .cos   x 
4

4


e) 1  sin x  2sin2   

f)



1  cos   x 
 x 
2
  1
g) tan    .
 4 2


sin   x 
2


h) tan   x  


4




 x 
cos x
i)
 cot   
1  sin x
 4 2

k) tan x.tan 3x 

l) tan x  cot x  2 cot x

m)

n)

1  sin 2 x
cos2 x
tan2 2 x  tan2 x

1  tan2 x.tan2 2 x
2
cot x  tan x 
sin 2 x

1 1 1 1 1 1
x



 cos x  cos , vôùi 0  x  .
2 2 2 2 2 2
8
2

VẤN ĐỀ 3: Công thức biến đổi
Biến đổi thành tổng:
a) 2 sin(a  b).cos(a  b)

b) 2 cos(a  b).cos(a  b)

c) 4 sin 3 x.sin 2 x.cos x

d) 4sin

13 x
x
.cos x.cos
2
2

2
f) sin .sin
5
5
h) 8 cos x.sin 2 x.sin 3 x

e) sin( x  30o ).cos( x  30o )
g) 2 sin x.sin 2 x.sin 3 x.










i) sin  x   .sin  x   .cos2 x
6

6

k) 4 cos(a  b).cos(b  c).cos(c  a)

Chứng minh:

3





3




a) 4 cos x.cos   x  cos   x   cos3x
Áp dụng tính:


3






3

A  sin10o.sin 50o.sin 70o

B  cos10o.cos50o.cos70o

C  sin 200.sin 400.sin800

D  cos 200.cos 40 0.cos80 0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309




b) 4sin x.sin   x  sin   x   sin 3x

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠ

Ố

FB: />
Biến đổi thành tích:
b) 3  4 cos2 x
d) sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x
f) sin 5 x  sin 6 x  sin 7 x  sin 8 x
h) sin2 ( x  90o )  3cos2 ( x  90o )

k) cos x  sin x  1

a) 2sin 4 x  2
c) 1  3tan2 x
e) 3  4 cos 4 x  cos8 x
g) 1  sin 2 x – cos 2 x – tan 2 x
i) cos 5 x  cos8 x  cos 9 x  cos12 x
Rút gọn các biểu thức sau:
cos 7 x  cos8 x  cos 9 x  cos10 x
sin 7 x  sin 8 x  sin 9 x  sin10 x
1  cos x  cos 2 x  cos3 x

a) A 
c) C 

sin 2 x  2sin 3 x  sin 4 x
sin 3 x  2sin 4 x  sin 5 x
sin 4 x  sin 5 x  sin 6 x
D
cos 4 x  cos 5 x  cos 6 x

b) B 
d)

cos x  2 cos2 x  1

Tính giá trị của các biểu thức sau:


a) A  cos  cos

5

2
5

b) B  tan

c) C  sin2 70o.sin2 50o.sin2 10o
1

e) E 
g) G 
ĐS:

o

o



f) F 
cot10o
o

o

cot 25  cot 75
tan 25  tan 75
1
1

C
A
B  2( 6  3)
64
2


30

sin

7
24

1
sin10o



3
cos10o

h) H  tan 90  tan 270  tan 630  tan810

E=1
F=4
G=1
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) sin

24

 tan

d) D  sin2 17o  sin2 43o  sin17o.sin 43o

 2sin 70o

2sin10o
tan 80o



7
13
19
25
sin
sin
sin
30
30
30
30

D

3
4

H=4
ĐS:

1
32

b) 16.sin10o.sin30o.sin 50o.sin 70o.sin 90o

ĐS: 1

c) cos 24o  cos 48o  cos84o  cos12o

ĐS:

2
4
6
 cos
 cos
7
7
7

2
3
e) cos  cos  cos
7
7
7


5
7
f) cos  cos  cos
9
9
9
2
4
6
8
g) cos  cos  cos  cos
5
5
5
5

3
5
7
9
h) cos  cos  cos  cos  cos
11
11
11
11
11

d) cos

1

2

ĐS: 
ĐS:

1
2

1
2

ĐS: 0
ĐS: –1
ĐS:

1
2

Chứng minh rằng:
a) tan 9o  tan 27o  tan 63o  tan81o  4
b) tan 20o  tan 40o  tan80o  3 3
c) tan10o  tan 50o  tan 60o  tan 70o  2 3
d) tan 30o  tan 40o  tan 50o  tan 60o 
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

8 3
.cos 20o
3

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

ĐẠ

Ố

FB: />
e) tan 20o  tan 40o  tan80o  tan 60o  8sin 40o
f) tan6 20o  33tan4 20o  27tan2 20o  3  0
Tính các tổng sau:
a) S1  cos   cos3  cos5  ...  cos(2n  1) (  k )
2
3
(n  1)
 sin
 ...  sin
.
n
n
n
n

3
5
(2n  1)
.
c) S3  cos  cos  cos  ... cos
n
n
n

n
1
1
1


 ... 
, vôùi a  .
d) S4 
cos a.cos 2a cos 2a.cos3a
cos 4 a.cos 5a
5


1 
1 
1  
1
e) S5  1 
 1 
 1 
 ... 1 

n

1
 cos x  cos2 x  cos3x   cos2 x 



b) S2  sin  sin

ĐS: S1 

sin 2n
2 sin 

S4 

; S2  cot


2n

S3   cos

;

tan 5a  tan a
 1 5 ;
sin a

S5 


n

tan 2n1 x
x
tan

2

1
4

a) Chứng minh rằng: sin3 x  (3sin x  sin 3 x )
b) Thay x 

a
n

3

vaøo (1), tính Sn  sin3

;

(1)

a
a
a
 3sin3  ...  3n1 sin3 .
2
3
3
3n

1

ĐS: Sn   3n sin
4


sin 2a
.
2sin a
x
x
x
Pn  cos cos
... cos .
2
2
2
2n

a


 sin a  .
3

n

a) Chứng minh rằng: cos a 
b) Tính

ĐS: Pn 

1
x
 cot  cot x .
sin x
2
1
1
1
S

 ... 
(2n1  k )
n 1
sin  sin 2
sin 2 

sin x
n

2 sin

x

.

2n

a) Chứng minh rằng:
b) Tính



ĐS: S  cot  cot 2n1
2

a) Chứng minh rằng: tan2 x.tan 2 x  tan 2 x  2 tan x .
b) Tính

a
a
a
a
a
Sn  tan2 .tan a  2 tan 2 .tan  ...  2n1 tan 2 .tan
2
n
n
2
2
2
2
2 1

Tính sin2 2 x, biết:

1
2

tan x



1
2

cot x



1
2

sin x



1
2

cos x

ĐS: Sn  tan a  2n tan

7

ĐS:

a
2n

8
9

Chứng minh các đẳng thức sau:
a) cot x  tan x  2 tan 2 x  4 cot 4 x
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

b)

1  2sin2 2 x 1  tan 2 x

1  sin 4 x
1  tan 2 x

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠ

Ố

c)

FB: />
1
cos6 x

 tan6 x 

3tan 2 x

cos2 x

1
sin 2 x  cos 2 x

cos 4 x
sin 2 x  cos 2 x

d) tan 4 x 

1

e) tan 6 x  tan 4 x  tan 2 x  tan 2 x.tan 4 x.tan 6 x
f)
g)

sin 7 x
 1  2 cos 2 x  2 cos 4 x  2 cos 6 x
sin x
cos 5 x.cos3 x  sin 7 x.sin x  cos 2 x.cos 4 x

a) Cho sin(2a  b)  5sin b . Chứng minh:
b) Cho tan(a  b)  3 tan a . Chứng minh:

2 tan(a  b)
3
tan a
sin(2a  2b)  sin 2a  2 sin 2b

Cho tam giác ABC. Chứng minh:

A
2

B
2

a) sin A  sin B  sin C  4 cos cos cos

C
2

A
B
C
2
2
2
sin 2 A  sin 2 B  sin 2C  4 sin A.sin B.sin C

b) cos A  cos B  cos C  1  4sin sin sin

c)
d) cos 2 A  cos 2 B  cos 2C   1  4 cos A.cos B.cos C
e) cos2 A  cos2 B  cos2 C  1  2 cos A.cos B.cos C
f) sin2 A  sin2 B  sin2 C  2  2 cos A.cos B.cos C
Tìm các góc của tam giác ABC, biết:
a) B  C 
b) B  C 



3

vaø sin B.sin C 

1
.
2

ĐS: B 

2
1 3
vaø sin B.cos C 
.
3
4

ĐS: A 


2


3

, C

, B



6

, A


3

5

, C
12
4

Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuông:
a) cos 2 A  cos 2 B  cos 2C  1
b) tan 2 A  tan 2 B  tan 2C  0
c)

b
c
a


cos B cos C sin B.sin C

B
2

d) cot 

ac
b

Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân:
a) a tan A  b tan B  (a  b) tan
c)

AB
2

sin A  sin B 1
 (tan A  tan B)
cos A  cos B 2

d) cot

b) 2 tan B  tan C  tan2 B.tan C
C 2sin A.sin B

2
sin C

Chứng minh bất đẳng thức, từ đó suy ra điều kiện cần và đủ đê tam giác
ABC đều:
3 3
2
3
cos A  cos B  cos C 
2

a) sin A  sin B  sin C 
b)

c) tan A  tan B  tan C  3 3


vào VT.
3

HD: Cộng cos vào VT.
3

HD: Cộng sin

(với A, B, C nhọn)

1
8

d) cos A.cos B.cos C  HD: Biến đổi cos A.cos B.cos C 

1
8

về dạng hằng đẳng thức.

Nguồn bài tập: Thầy Trần Sĩ Tùng
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ