LT đại số 10 CHƯƠNG VI LƯỢNG GIÁC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.01 MB, 12 trang )
ĐẠI SỐ 10
www.TOANTUYENSINH.com
CHƯƠNG VI. CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC
CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Tia, góc hình học và cung hình học:
x
B
O
Tia là hình gồm điểm O và một
phần đường thẳng bò chia ra bởi điểm O
được gọi là tia gốc O.
A
O
Hai điểm A, B nằm trên đường tròn
tâm O tạo thành hai cung hình học: cung
lớn AB và cung nhỏ AB.
O
x
Đơn vò đo cung cũng là "độ"
Hai tia Ox, Oy tạo thành một góc xOy
Cung bằng nửa đường tròn có số đo
Đơn vò đo góc là "độ".
là 1800.
y
2. Giá trò lượng giác của một góc bất kì từ 00 đến 1800:
Với mỗi góc (00 1800) ta xác đònh một
điểm M trên nửa đường tròn đơn vò sao cho góc xOM
bằng và giả sử điểm M có tọa độ M(x0; y0). Khi đó
ta đònh nghóa:
sin của góc là x0, kí hiệu sin = y0;
côsin của góc là x0, kí hiệu cos = x0;
tang của góc là
y0
x0
côtang của góc là
y
M
1
y0
-1
x0
O
x
R=1
1
y0
;
x0
x
cot = 0 .
y0
(x0 ≠ 0), kí hiệu tan =
x0
y0
(y0≠0), kí hiệu
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ
ĐẠI SỐ 10
www.TOANTUYENSINH.com
§1. CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC
I- KHÁI NIỆM CUNG VÀ GÓC LƯNG GIÁC
1. Đường tròn đònh hướng và cung lượng giác:
Đường tròn đònh hướng là một đường tròn
trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi
là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm.
Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay
của kim đồng hồ làm chiều dương.
+
A
-
Trên đường tròn đònh hướng cho hai điểm A và B. Một điểm M duy động trên
đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung
lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B.
Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn đònh hướng ta có vô số cung lượng
giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là AB.
* Chú ý:
Trên một đường tròn đònh hướng, lấy hai điểm A và B thì:
Kí hiệu AB chỉ một cung hình học (cung lớn hoặc cung bé) hoàn toàn xác đònh.
Kí hiệu AB chỉ một cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B.
2. Góc lượng giác:
Trên đường tròn đònh hướng cho điểm M
chuyển động từ C tới D tạo một cung lượng
giác CD. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc
O từ vò trí OC tới vò trí OD tạo nên một góc
lượng giác, có tia đầu là OC, tia cuối là OD.
D
O
M
C
Kí hiệu góc lượng giác đó là (OC, OD).
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ
ĐẠI SỐ 10
www.TOANTUYENSINH.com
3. Đường tròn lượng giác:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường tròn
đònh hướng tâm O bán kính R = 1.
y
B(0; 1)
+
Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn
điểm A(1 ; 0), A’(-1 ; 0), B(0 ; 1), B’(0 ; -1). Ta
lấy A(1 ; 0) làm điểm gốc của đường tròn đó.
A(1; 0)
A'(-1; 0)
O
x
B'(0; -1)
Đường tròn được xác đònh như trên được gọi
là đường tròn lượng giác (gốc A).
II- SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯNG GIÁC
1. Độ và rian:
a) Đơn vò rian: ngoài đơn vò độ thường được sử dụng, trong Toán học và Vật lý
ta còn sử dụng một đơn vò đo cung và góc khác nữa là rian (đọc là ra–đi-an). Viết
tắc là rad.
Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo
1 rad.
b) Quan hệ giữa độ và rian:
10
180
rad
và1 rad
180
Với 3,14 thì 10 0,01745 và 1 rad 57 017'45" .
* Chú ý: Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vò rian, ta thường không
viết chữ rad sau số đo đó. Chẳng hạn cung
Bảng chuyển đổi thông dụng:
Độ
300
450
600
Rian
6
4
3
được hiểu là cung rad.
2
2
900
2
1200
2
3
1350
3
4
1500
5
6
1800
c) Độ dài của một cung tròn:
Cung có số đo rad của đường tròn bán kính R có độ dài: l = R
2. Số đo của một cung lượng giác:
Số đo của một cung lượng giác AM (A ≠ M) là một số thực, âm hay dương.
Kí hiệu số đo của cung AM là sđAM
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ
ĐẠI SỐ 10
www.TOANTUYENSINH.com
* Chú ý:
Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm
cuối sai khác nhau một bội của 2.
M
Ta viết: SđAM = + 2k, k Z , trong đó là số đo của
O
một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A điểm cuối là M.
A
Khi M trùng A ta có: sđAA = k2, k Z; khi k = 0 thì
sđAA = 0.
Nếu viết số đo bằng độ ta có:
SđAM = a 0 k 360 0 , k Z
trong đó a0 là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm
đầu là A và điểm cuối là M.
3. Số đo của một góc lượng giác:
Số đo của góc lượng giác (OA, OC) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng.
* Chú ý: Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại,
đồng thời số đo của các cung lượng giác và các góc lượng giác tương ứng là trùng
nhau, nên từ nay về sau khi nói cung thì điều đó cũng đúng với góc và ngược lại.
y
y
B
P
D
O
A
x
A'
O
A
x
E
B'
3. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác:
Để biểu diễn cung lượng giác có số đo trên đường tròn lượng giác, ta chọn điểm
A(1 ; 0) làm điểm đầu của cung, vì vậy chỉ cần xác đònh điểm cuối M trên đường
tròn lượng giác sao cho cung AM có sđ AM = .
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ
ĐẠI SỐ 10
www.TOANTUYENSINH.com
§2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG
I- GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA CUNG
1. Đònh nghóa:
Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđAM =
y
B
M
K
A'
H
A x
O
Tung độ y = OK của điểm M gọi là sin của
và kí hiệu là sin.
sin = OK
Hoành độ x = OH của điểm M gọi là côsin
của và kí hiệu là cos.
cos = OH
Nếu cos ≠ 0 thì tỉ số
sin
cos
gọi là tang của
và kí hiệu là tan (hoặc tg).
sin
cos
cos
gọi
sin
tan =
B'
Nếu sin ≠ 0 thì tỉ số
là côtang của
và kí hiệu là cot (hoặc cotg).
cot =
cos
sin
Các giá trò sin, cos, tan, cot được gọi là các giá trò lượng giác của cung .
Trục tung còn được gọi là trục sin, trục hoành còn được gọi là trục côsin.
* Chú ý: Các đònh nghóa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác. Nếu
01800 thì các giá trò lượng giác của góc chính là các giá trò lượng giác của góc
đó đã nêu trong SGK hình học 10.
2. Hệ quả:
sin và cos luôn xác đònh R, và
sin( + k2) = sincos( + k2) = cos
Vì -1 OK 1, -1 OH 1 nên ta có:
- 1 sin 1 (sin 1).
- 1 cos 1 (cos 1).
Với mọi mR mà -1m1 đều tồn tại và sao cho sin= m và cos = m.
tan xác đònh khi k ; cot xác đònh khi k.
2
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ
ĐẠI SỐ 10
www.TOANTUYENSINH.com
Dấu của các giá trò lượng giác của góc phụ thuộc vào vò trí điểm cuối của
cung AM.
y
Phần tư
Giá trò lượng giác
sin
cos
tan
cot
B
II
I
II
III
IV
+
+
+
+
+
-
+
+
+
-
I
+
+
+
+
+++++ A
A'
------O H
-K
M
III
IV
B'
x
3. Giá trò lượng giác của các cung đặc biệt:
0 (00)
(300)
6
sin
0
1
2
cos
1
tan
0
cot
kxđ
3
2
1
3
3
(450)
4
2
2
2
2
(600)
3
3
2
1
3
(900)
2
1
1
2
0
kxđ
1
1
0
3
II- Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG
B
K
K
H
A x
O
S
B
s'
1
i
M
A'
y
t
y
A'
s
M
O
A
H
x
T
T
B'
B'
t'
cot = BS
tan = AT
cot được biểu diễn bởi độ dài
tan được biểu diễn bởi độ dài đại số
đại số của vectơ BS trên trục s'As.
của vectơ AT trên trục t'At.
Trục s'As được gọi là trục côtang.
Trục t'At được gọi là trục tang.
* Chú ý:
tan( + k) = tank
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
cot( + k) = cotk
SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ
ĐẠI SỐ 10
www.TOANTUYENSINH.com
III- QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC
1. Công thức lượng giác cơ bản:
sin2 + cos2 = 1
1 cot 2
1
sin 2
1 tan 2
( k, k Z).
1
cos 2
( k , k Z).
2
tan.cot = 1 ( k , k Z).
2
2. Giá trò lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt:
a) Cung đối nhau: - và :
Ta có: M và M' đối xứng qua trục x'Ox và:
sin(-) = -sin
cos(-) = cos
tan(-) = -tan
cot(-) = -cot
y
B
M
A'
B'
M
K
sđAM =
-
A'
A x
O
B'
y
sđAM'= +
B
M
sđAM =
A'
H'
+
A x
O
H
M'
B'
d) Cung phụ nhau (900 - và ):
Ta có: M và M' đối xứng nhau qua đường phân giác y=x,
và:
- ) = cot
B
M'
sin( + ) = -sin
cos( + ) = -cos
tan( + ) = tan
cot( + ) = cot
- ) = sin
sđAM'= -
y
sđAM'= -
c) Cung hơn kém ( + và ):
Ta có: M và M' đối xứng nhau qua gốc O, và:
- ) = cos
A x
H
M'
sin( - ) = sin
cos( - ) = -cos
tan( - ) = -tan
cot( - ) = -cot
2
cos(
2
tan(
2
cot(
2
-
O
b) Cung bù ( - và ):
Ta có: M và M' đối xứng qua trục y'Oy, và:
sin(
sđAM =
y
B
sđAM'=
M'
K'
2
-
M
K
sđAM =
A'
O
A x
H'
H
B'
- ) = tan
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ
ĐẠI SỐ 10
www.TOANTUYENSINH.com
cos x OH
sin y OK
sin
tan
AT
cos
cos
cot
BS
sin
sin
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác
Cho (OA, OM ) . Giả sử M ( x; y ) .
tang
LÝ THUYẾT & BÀI TẬP
K
k
2
O
k
B
T
cotang
S
M
H
A
cosin
Nhận xét:
, 1 cos 1; 1 sin 1
tan xác định khi k , k Z
cot xác định khi k , k Z
sin( k 2 ) sin
tan( k ) tan
2
cos( k 2 ) cos
cot( k ) cot
2. Dấu của các giá trị lượng giác
Phần tư
Giá trị lượng giác
cos
sin
tan
cot
I
II
III
IV
+
+
+
+
–
+
–
–
–
–
+
+
+
–
–
–
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
0
00
6
300
4
3
2
2
3
3
4
3
2
2
450
600
900
1200
1350
1800
2700
3600
3
2
2
2
0
–1
0
–1
0
1
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
tan
0
3
3
1
3
3
1
3
3
cot
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
0
1
2
2
2
3
–1
3
3
–1
0
0
0
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
ĐẠI SỐ 10
www.TOANTUYENSINH.com
4. Hệ thức cơ bản:
sin2 cos2 1 ;
tan .cot 1 ;
1 tan2
1
cos2
; 1 cot 2
1
sin2
5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Góc đối nhau
Góc bù nhau
cos( ) cos
sin( ) sin
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
tan( ) tan
cot( ) cot
cot( ) cot
Góc hơn kém
Góc phụ nhau
sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
Góc hơn kém
2
sin( ) sin
sin cos
2
cos( ) cos
cos sin
2
tan( ) tan
tan cot
2
cot( ) cot
cot tan
2
VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác
Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm
nhọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu
các GTLG.
VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)
Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ
giá trị lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết.
I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại
1. Cho biết sin, tính cos, tan, cot
Từ sin2 cos2 1 cos 1 sin2 .
– Nếu thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cos 1 sin2 .
– Nếu thuộc góc phần tư II hoặc III thì cos 1 sin2 .
Tính
tan
sin
cos
;
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
cot
1
tan
.
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
ĐẠI SỐ 10
www.TOANTUYENSINH.com
2. Cho biết cos, tính sin, tan, cot
Từ sin2 cos2 1 sin 1 cos2 .
– Nếu thuộc góc phần tư I hoặc II thì sin 1 cos2 .
– Nếu thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sin 1 cos2 .
Tính
tan
sin
cos
;
1
tan
.
cot
1
tan
.
3. Cho biết tan, tính sin, cos, cot
Tính
cot
Từ
1
cos2
1 tan2
cos
1
.
2
1 tan
1
– Nếu thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cos
– Nếu thuộc góc phần tư II hoặc III thì
Tính
sin tan .cos .
Tính
tan
Từ
1
.
1 tan2
1
cos
1 tan2
.
4. Cho biết cot, tính sin, cos, tan
2
sin
1
cot
.
1 cot 2
sin
1
1 cot 2
.
– Nếu thuộc góc phần tư I hoặc II thì sin
- Nếu thuộc góc phần tư III hoặc IV thì
1
2
.
1 cot
1
sin
1 cot 2
.
II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức
Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu
thức.
Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết
III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG
Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi:
A2 B2 ( A B)2 2 AB
A4 B4 ( A2 B2 )2 2 A2 B2
A3 B3 ( A B)( A2 AB B2 )
A3 B3 ( A B)( A2 AB B2 )
IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình
Đặt t sin2 x, 0 t 1 cos2 x t . Thế vào giả thiết, tìm được t.
Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính.
Thiết lập phương trình bậc hai: t2 St P 0 với S x y; P xy . Từ đó tìm x, y.
VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết
Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết).
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
ĐẠI SỐ 10
www.TOANTUYENSINH.com
VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác
Chứng minh đẳng thức lượng giác
Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng
giác. Trong khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức.
Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC
thì:
A B C
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
và
A B C
2 2 2 2
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
ĐẠI SỐ 10
www.TOANTUYENSINH.com
§3. CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC
I- CÔNG THỨC CỘNG
Với mọi số thực a, b và các biểu thức đều có nghóa, ta có:
cos(a - b) = cosacosb + sinasinb
cos(a + b) = cosacosb - sinasinb
sin(a - b) = sinacosb - cosasinb
sin(a + b) = sinacosb + cosasinb
tan a tan b
1 tan a tan b
tan a tan b
tan( a b)
1 tan a tan b
tan( a b)
II- CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
Với mọi số thực a, ta có:
sin2a = 2sinacosa
cos2a = cos2a - sin2a
= 2 cos2a - 1
= 1 - 2sin2a
tan 2a
2tana
1 tan 2 a
Công thức hạ bậc:
cos 2 a
1 cos 2a
2
sin 2 a
1 cos 2a
2
tan 2 a
1 cos 2a
1 cos 2a
III- CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG, TỔNG THÀNH TÍCH
1. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
2
1
sinasinb =- [cos(a + b) - cos(a - b)]
2
1
sinacosb = [sin(a + b) + sin(a - b)]
2
cosacosb = [cos(a + b) + cos(a - b)]
2. Công thức biến đổi tổng thành tích:
uv
uv
cos
2
2
uv
uv
2sin
cos
2
2
uv
uv
sin
2
2
uv
uv
2cos
sin
2
2
cosu + cosv = 2cos
cosu - cosv = -2sin
sinu + sinv =
sinu - sinu =
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ
