NỘI DUNG 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.07 MB, 23 trang )
Lượng giác
FB: />
III. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Chuyên đề: Lượng giác
Các bước giải một phương trình lượng giác
Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết
cách giải
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4: Kết luận
1. Định lý cơ bản: ( Quan trọng )
sinu = sinv
cosu = cosv
u = v+k2
u = -v+k2
u = v+k2
u = v + k2
u = -v+k2
tanu = tanv
u = v+k
cotu = cotv
u = v+k
(u;v
k )
2
(u;v k )
( u; v là các biểu thức chứa ẩn và k Z )
2. Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng :
a. Phương pháp 1:
Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác đã
biết cách giải.
b. Phương pháp 2:
Biến đổi pt đã cho về dạng tích số.
Cơ sở của phương pháp là dựa vào các định lý sau đây:
A=0
A.B 0
B=0
c. Phương pháp 3:
hoặc
A.B.C 0
A=0
B=0
C=0
Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ.
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Lượng giác
FB: />
Một số dấu hiệu nhận biết :
Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy
thừa).
Phương trình có chứa (cos x sin x ) vaø sinx.cosx .
3. Các phương trình lượng giác thường gặp:
a. Dạng 1:
sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m
(Phương trình lượng giác cơ bản)
* Gpt : sinx = m (1)
Nếu m 1 thì pt(1) vô nghiệm
Nếu m 1 thì ta đặt m = sin và ta có
( m R )
x = +k2
(1) sinx = sin
x = ( - )+k2
* Gpt : cosx = m (2)
Nếu m 1 thì pt(2) vô nghiệm
Nếu m 1 thì ta đặt m = cos và ta có
x = +k2
(2) cosx = cos
x = +k2
( pt luôn có nghiệm m R )
* Gpt: tanx = m (3)
Đặt m = tan thì
(3) tanx = tan x = +k
( pt luôn có nghiệm m R )
* Gpt: cotx = m (4)
Đặt m = cot thì
(4) cotx = cot x = +k
Các trường hợp đặc biệt:
sin x 1 x =
sinx = 0
x = k
sin x 1
x =
cosx = 0
x=
2
y
k 2
+ k
2
x = k 2
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
k 2
2
cosx 1 x = k 2
cos x 1
B
C
x
A
O
D
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Lng giỏc
FB: />
b. Dng 2:
a sin 2 x b sin x c 0
a cos2 x b cos x c 0
( a 0)
a tan 2 x b tan x c 0
a cot 2 x b cot x c 0
(Phng trỡnh bc hai i vi mt hm s lng giỏc)
Cỏch gii:
t n ph : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx)
Ta c phng trỡnh : at 2 bt c 0 (1)
Gii phng trỡnh (1) tỡm t, ri suy ra x
Chỳ ý : Phi t iu kin thớch hp cho n ph (nu cú)
c. Dng 3:
a cos x b sin x c (1)
( a;b 0)
(Phng trỡnh bc nht i vi sinx v cosx)
Cỏch gii:
Chia hai v ca phng trỡnh cho a2 b2 thỡ pt
(1)
t
a
2
a b
2
a
a2 b2
cos vaứ
b
cos x
b
2
a b
2
a2 b2
c
2
c
a2 b2
(2)
sin vi 0;2 thỡ :
(2) cosx.cos + sinx.sin =
cos(x- ) =
sin x
a b
2
c
a2 b 2
(3)
Pt (3) cú dng 1. Gii pt (3) tỡm x.
Chỳ ý :
Pt acosx + bsinx = c coự nghieọm a2 b2 c2
d. Dng 4:
a sin2 x b sin x.cos x c cos2 x 0
NGUYN VN LC 0933.168.309
(a;c 0)
(1)
SP Toỏn K35 - H Cn Th
Lượng giác
FB: />
(Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx)
Cách giải 1:
Áp dụng công thức hạ bậc : sin2 x
1
2
1 cos 2 x
1 cos 2 x
vaø cos2 x
2
2
và công thức
nhân đôi : sin x.cos x sin 2 x thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3
Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang )
Chia hai vế của pt (1) cho cos2 x ta được pt:
a tan2 x b tan x c 0
Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải.
2
Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem x k có phải l nghiệm của (1) không?
e. Dạng 5:
a(cos x sin x ) b sin x.cos x c 0
(1)
(Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx)
Cách giải :
Đặt t cos x sin x 2 cos( x ) vôùi - 2 t 2
4
Do (cos x sin x )2 1 2sin x.cos x sinx.cosx=
Thay vào (1) ta được phương trình :
at b
t2 1
c 0
2
t2 1
2
(2)
Giải (2) tìm t . Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt: 2 cos( x ) t tìm x.
4
Chú ý :
Ta giải tương tự cho pt có dạng :
a(cos x sin x ) b sin x.cos x c 0
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Lượng giác
FB: />
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Giải phương trình sin 5 x 2 cos 2 x 1
(1)
Bài giải
♥ Ta có:
1
cos 5 x
cos 5 x
5x
2x
k2
2x
k2
k2
6
3
k2
14
7
x
(Biến đổi về pt cơ bản)
k
2
x
0
cos 2 x
2
2
5x
cos 2 x
2
k
♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x
Ví dụ 2: Giải phương trình sin 3x
3 cos 3 x
k2
, x
3
6
2sin 2 x
14
k2
7
k
(1)
Bài giải
♥ Ta có:
1
1
sin 3x
2
sin 3x
3x
3x
x
x
3
3
cos 3x
2
(Biến đổi về pt cơ bản)
sin 2 x
3
2x
k2
2x
3
3
4
15
sin 2 x
k2
k2
k2
5
k
♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
3
k2 , x
4
k2
+
15
5
k
.
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Lượng giác
FB: />
Ví dụ 3: Giải phương trình 4 cos
5x
3x
cos
2
2
2 8sin x 1 cos x
(1)
5
Bài giải
♥ Ta có:
1
2 cos 4 x
cos x
2 cos 4 x
8sin 2 x
8sin 2 x 5
4sin 2 2 x 8sin 2 x
sin 2 x
3
: phương trình
2
sin 2 x
1
2
sin
5
0
3
(Biến đổi về pt bậc hai theo sin2x)
0
vô nghiệm
2x
sin 2 x
2 cos x
6
k2
6
5
6
2x
x
k2
♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x
12
5
12
x
12
k , x
Ví dụ 4: Giải phương trình 2 cos 5 x.cos 3 x sin x cos 8 x
k
k
k
5
+k
12
k
.
(1)
Bài giải
♥ Ta có:
1
cos8 x
cos 2 x
sin x
2sin 2 x sin x 1
sin x
sin x
1
x
2
0
0
1
(Biến đổi về pt bậc hai theo sinx)
1
2
sin x
sin x
cos8 x
k2
x
1
2
sin x
sin
6
6
7
6
x
k2
k
k2
♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
x
2
k2 ; x
6
k2 , x
7
+k 2
6
k
Ví dụ 5: Giải phương trình 2 sin x 2cos x
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
.
2 sin 2 x
(1)
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Lượng giác
FB: />
Bài giải
♥ Ta có:
1
2 sin x 2 2 cos x
sin x 2 cos x
sin x
sin x
2
2cos x
0
2
2
2 2 cos x
2 2 cos x
2
0
2
0
(Biến đổi về pt tích số)
0
2 : phương trình vô nghiệm
sin x
0
2sin x cos x 2
2
2
cos x
cos x
cos
3
4
3
4
♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x
3
4
x
k2
Ví dụ 6: Giải phương trình sin x 4 cos x 2 sin 2 x
k2
k
.
k
(1)
Bài giải
♥ Ta có:
1
sin x
4 cos x
sin x
sin x
2
2 cos x 1
0
2 2 cos x 1
cos x
1
2
cos x
2
0
(Biến đổi về pt tích số)
0
2 : phương trình
sin x
0
2sin x cos x
cos
vô nghiệm
x
3
♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x
Ví dụ 7: Giải phương trình cos
x
2
sin 2 x
k2
3
3
k2
k
.
k
(1)
0
Bài giải
♥ Ta có:
1
sin x
2sin x cos x
0
sin x 1 2 cos x
sin x
0
1 2 cos x
x
0
(Biến đổi về pt tích số)
0
k
cos x
1
2
cos x
cos
2
3
x
2
3
2
3
♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x k , x
Ví dụ 8: Giải phương trình sin 3x cos 2 x sin x 0
k2
k2
k
.
(1)
Bài giải
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Lượng giác
♥ Ta có:
FB: />
1
2 cos 2 x sin x
cos 2 x
cos 2 x 2sin x 1
cos 2 x
0
2x
2sin x 1
0
2
k
0
(Biến đổi về pt tích số)
0
x
k
2
4
k
x
1
2
sin x
0
sin x
sin
6
x
k2
6
k
7
6
k2
♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
x
k
,x
2
4
7
6
k2 , x
6
k2
.
k
Ví dụ 9: Giải phương trình 2 cos 2 x sin x sin 3 x
(1)
Bài giải
♥ Ta có:
1
cos 2 x
2 cos 2 x
0
sin x 1
sin x sin 3 x
0
2 cos 2 x 2 cos 2 x sin x
cos 2 x sin x 1 0
0
2x
0
2
sin x
k
x
1
x
k
2
4
2
(Biến đổi về pt tích số)
k
+k 2
k
♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x
k
, x
2
4
2
+k 2
Ví dụ 10: Giải phương trình 1 2sin x cos x 1 sin x cos x
2
.
k
(1)
Bài giải
♥ Ta có:
1
2 1 sin x sin 2 x
1 sin x
1 sin x 2sin 2 x 1
sin x
1
x
2sin 2 x 1
0
2
sin 2 x
k2
0
(Biến đổi về pt tích số)
0
k
1
2
2x
sin 2 x
sin
6
2x
6
5
6
k2
k2
x
x
12
5
12
k
k
k
♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
x
2
k2 , x
12
k , x
5
+k
12
k
.
Ví dụ 11: Giải phương trình 1 tan x 2 2 sin x
4
(1) (Phương trình lượng giác có
điều kiện)
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Lượng giác
FB: />
Bài giải
♥ Điều kiện: cos x 0
♥ Ta có:
1
1
x
sin x
cos x
sin x
sin x
cos x
2 cos x 1
0
0
2
2 sin x
cos x
cos x 2 cos x 1
tan x
cos x
k
1
1
2
x
cos x
k
4
cos
(Biến đổi về pt tích số)
0
3
k
x
3
k2
k
Đối chiếu điều kiện: các nghiệm tìm được đều thỏa điều kiện.
♥ Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
4
k , x
3
k2
k
.
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Lượng giác
FB: />
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. Phương trình lượng giác bậc nhất
Câu 1. Giải phương trình: cos 2 x (1 2 cos x)(sin x cos x) 0
cos 2 x (1 2 cos x)(sin x cos x) 0
sin x cos x 0
(sin x cos x)(sin x cos x 1) 0
sin x cos x 1
x k
4
sin( x 4 ) 0
x k 2 ( k )
2
2
x k 2
sin( x 4 ) 2
Câu 2. Giải phương trình:
sin 2 x 1 6sin x cos 2 x .
sin 2 x 1 6sin x cos 2 x
(sin 2 x 6sin x) (1 cos 2 x) 0
2sin x cos x 3 2sin 2 x 0
2sin x cos x 3 sin x 0
sin x 0
sin x cos x 3(Vn)
x k . Vậy nghiệm của PT là x k , k Z
Câu 3. Giải phương trình: sin 4 x 2cos 2 x 4 sin x cos x 1 cos 4 x .
sin 4 x 2 cos 2 x 4sin x cos x 1 cos 4 x
2 sin 2 x cos 2 x 2 cos 2 x 2 cos 2 2 x 4sin x cos x 0
cos 2 xsin 2 x 1 cos 2 x 2sin x cos x 0
cos 2 x2 sin x cos x 2 sin 2 x 2sin x cos x 0
sin x cos x cos 2 x sin x 1 0
Với sin x cos x 0 x k , k Z
4
Với cos 2 x sin x 1 0 1 2 sin 2 x sin x 1 0 sin x 1 2 sin 2 x 1 0
sin x 1 x 2m , m Z
2
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Lượng giác
FB: />
Câu 4. Giải phương trình: cos2x 2sin x 1 2sin x cos 2x 0 .
PT cos2 x 1 2sin x 1 2sin x 0
cos2 x 11 2sin x 0
+ Khi cos2x=1<=> x k , k Z
Khi s inx
1
x k 2
2
6
hoặc x
5
k 2 , k Z
6
Câu 5. Giải phương trình: sin 2 x cos x sin x 1 (x R)
sin 2 x cos x sin x 1 (1)
(1) (sin x cos x)(1 sin x cos x) 0
x k
sin
x
cos
x
0
4
(k Z )
3
1 sin x cos x 0
x 2k x
2k
2
Câu 6. Giải phương trình: s inx cos x cos2 x
Ta có: s inx cos x cos2 x s inx cos x cos 2 x sin 2 x
(s inx cos x) 1 (cos x s inx) 0
2cos( x 4 ) 0
s inx cos x 0
cos x s inx 1
2cos( x ) 1
4
3
x 4 2 k
x
k
cos( x ) 0
2cos( x ) 0
4
4
4
x k 2 x k 2
4 4
2
2cos( x ) 1
c
os(
x
)
4
x k 2
4
2
x k 2
2
4
4
Câu 7. Giải phương trình: lượng giác: 2 sin 2 x 3sin x cos x 2 (x ).
4
PT (1) sin 2 x cos 2 x 3sin x cos x 2
2sin x cos x 3sin x 2cos2 x cos x 3 0 .
2cos x 3 sin x cos x 1 2cos x 3 0
sin x cos x 1 2cos x 3 0
3
cos x (VN )
2
sin x cos x 1
x k 2
1
sin x
2
4
2
x k 2
Phương trình có các nghiê ̣m: x k 2 , x k 2 (k
2
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
(k
)
).
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Lượng giác
FB: />
Câu 8. Giải phương trình:
3cos5x 2sin 3x.cos2 x s inx 0
x k
3
1
PT cos5x sin 5x sinx sin 5x sinx 18 3
2
2
3
x k
6
2
Câu 9. Giải phương trình: 1 sin 2x cos 2x
x k
sin x 0
1 sin 2x cos 2 x 2sin x cos x 2sin x
x k
cos
x
sin
x
4
2
Câu 10. Giải phương trình:
cos2 x 3sin x 2 0
cos2 x 3sin x 2 0
1 2sin 2 x 3sin x 2 0 2sin 2 x 3sin x 1 0
x
k 2
2
sin x 1
1 x k 2 , k
sin x
6
2
5
x
k 2
6
Câu 11. Giải phương trình: sin 2 x cos2 x 2sin x 1 .
2
Biến đổi phương trình về dạng: 2s inx(cos x 1) 2sin x 0
s inx 0
s inx(sin x cos x 1) 0
sin x cos x 1 0
Với s inx 0 x k 2
Với cos2x = 1
x k 2
1
sin x cos x 1 0 sin( x )
x k 2
4
2
2
, k Z
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm. x k , x k 2 , k Z
2
Câu 12. Giải phương trình: cos 2 x cos x sin x 1 0
cos 2 x 0
cos 2 x cos x sin x 1 0
sin x 1
4
2
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Lượng giác
+)
+)
FB: />
k
Với cos 2 x 0 x k
4 2
x k 2
1
(k )
Với sin x
x k 2
4
2
2
Câu 13. Giải phương trình: 2(cos x sin 2 x) 1 4sin x(1 cos 2 x)
Phương trình đã cho tương đương với: 2 cos x 2sin 2 x 1 4sin 2 x.cos x
(1 2 cos x)(2sin 2 x 1) 0
x 3 k 2
1
cos x 2
x k
12
sin 2 x 1
2
x 5 k
12
(k Z )
3
12
Vậy pt có nghiệm là: x k 2 ; x
k
;
x
5
k
12
(k Z )
Câu 14. Giải phương trình: sin 2x sin x cos x 1 2sin x cos x 3 0
PT sin x cos x 1 sin x cosx 1 2sin x cos x 3
2
sin x cos x 1 sin x cos x 1 sin x cosx 1 2sin x cos x 3
x k2
sin x cos x 1
x k2
sin
x
2
cos
x
4(VN)
2
Câu 15. Giải phương trình: 3sin x cos x 2 cos2 x sin 2 x 0
sin x cos x 1 2sin x 2sin 2 x 2sin x cos x 0
(1+2sinx)(sinx - cosx +1) = 0
2
s inx cos x 1 sin(x )
4
2
s inx 1
1
2
s inx 2
7
x 6 k 2
x k 2
6
x 3 k 2
2
x k 2
k
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Lượng giác
FB: />
Câu 16. Giải phương trình: cos 2 x 5 2(2 cos x)(sin x cos x)
(cos x – sin x )2 4(cos x – sin x ) – 5 0
x k 2 x k 2
2
Câu 17. Giải phương trình: : 3 cos 2 x - sin x cos x 2sin x 1 0 .
sin 2 x 3 cos 2 x 3 sin x cos x
1
3
3
1
sin 2 x
cos 2 x
sin x cos x
2
2
2
2
sin 2 x cos cos 2 x sin sin x cos cos x sin
3
3
6
6
sin(2 x ) sin( x )
3
6
2 x 3 x 6 k 2
x 2 k 2
(k )
(k )
2 x ( x ) k 2
x 5 k 2
18
3
3
6
Câu 18. Giải phương trình: sin 2 x 4 8cosx s inx
Biến đổi phương trình về dạng:
1
2
s inx 4 (vn)
(s inx-4)(2 cos x 1) 0
cos x 1
2
Với cosx x k 2
3
Kl: phương trình có 2 họ nghiệm: x k 2 ,
3
Câu 19. Giải phương trình: 2sin x 1 cos x sin 2 x.
2sin x 1 cos x 2sin x.cos x.
cos x 1
2sin x 1 cos x(1 2sin x)
sin x 1
2
-Với cos x 1 x k 2 , k .
-Với
x
k 2
1
6
sin x
,k .
5
2
x
k 2
6
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Lượng giác
FB: />
Câu 20. Giải phương trình: cos x sin 4x cos3x 0 .
cos x sin 4x cos3x 0 2sin 2x.sin x 2sin 2x.cos 2x 0
2sin 2x(s inx cos2x) 0 sin 2x( 2sin 2 x sin x 1) 0
kπ
x 2
x π k2π
sin 2x 0
2
s inx 1
x π k2π
1
6
s inx
2
7π
k2π
x
6
Câu 21. Giải phương trình: sin 3x cos 2 x 1 2sin x cos 2 x
sin 3x cos 2 x 1 2sin x cos 2 x sin 3 x cos 2 x 1 sin x sin 3 x
cos 2 x 1 sin x
x k
sin x 0
2
1 2sin x 1 sin x
x k 2
1
sin x
6
2
5
x
k 2
6
Câu 22. Giải phương trình sau: 1 3cos x cos 2x 2cos3x 4sin x.sin 2x
Giải phương trình: 1 3cos x cos 2x 2cos3x 4sin x.sin 2x (1)
(1) 1 3cos x cos 2 x 2 cos 2 x x 4sin x.sin 2 x
1 3cos x cos 2 x 2 cos x.cos 2 x sin x.sin 2 x 4sin x.sin 2 x
1 3cos x cos 2 x 2 cos x.cos 2 x sin x.sin 2 x 0
1 3cos x cos 2 x 2 cos x 0 1 cos x cos 2 x 0
2
2 cos x cos x 0
cos x 0
cos x 1
2
x 2 k
;k .
x 2 k 2
3
Câu 23. Giải phương trình: sin 2x 2 sinx 0.
x k
s inx 0
x k 2
Pt
2
cosx
4
2
x k 2
4
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Lượng giác
FB: />
Câu 24. Giải phương trình:
3 sin 2 x cos 2 x 4sin x 1.
3 sin 2 x cos 2 x 4sin x 1 2 3 sin x cos x 1 cos 2 x 4sin x 0
2 3 sin x cos x 2sin 2 x 4sin x 0 2sin x
3 cos x sin x 2 0
sin x 0
x k
sin x 0
,k .
sin x 1 x k 2
3
cos
x
sin
x
2
3
6
Câu 25. Giải phương trình: cos 2 x(4sinx 1) 3 sin 2 x 1
pt 4cos 2 x.sin x cos 2 x 1 2 3 sin x cos x 0
4 cos 2 x.sin x 2sin 2 x 2 3 sin x cos x 0
2sin x(2cos 2 x sin x 3 cos x) 0
sin x 0
sin x 0
cos x.cos sin x.sin cos 2 x
cos( x ) cos 2 x
6
6
6
x k
x k 2 , (k )
6
2
x k
18
3
Câu 26. Giải phương trình: cos 2 x 3sin x 2 0 .
- Ta có phương trình cos 2 x 3sin x 2 0 2sin 2 x 3sin x 1 0
x 2 k 2
sin x 1
x k 2 , k .
1
sin x
6
2
x 7 k 2
6
- KL: Phương trình có ba họ nghiệm…
Câu 27. Giải phương trình: sin 3 x sinx 2 3 cos x.cos 2x .
y
5
x
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-5
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Lượng giác
FB: />
cos x 0 x k
2
sin 2x 3 cos 2x 0 sin 2x 0
3
Pt có nghiệm x k , x k
2
6
2
Câu 28. Giải phương trình: 2 3 sin x cos x sin 2x 3 .
2 3 sin x cos x sin 2x 3 2 3 sin x cos x 2sin x cos x 3 0
y
5
x
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-5
* cos x 3 0 : Vô nghiệm.
x 6 k2
* 2 sin x 1 0
x 5 k2
6
.
Vậy nghiệm của phương trình là x k2 ; , x
6
5
k2
6
Câu 29. Giải phương trình: sin 2x 1 4 cos x cos 2x.
PT sin 2x 1 cos 2x 4 cos x 0
2 sin x cos x 2 cos2 x 4 cos x 0
cos x(sin x cos x 2) 0
cos x 0
x k
2
2
2
2
sin x cos x 2 (VN do 1 1 2 )
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x k.
2
Câu 30. 2 s inx cos x + 6 s inx cosx 3 0 ;
TXĐ D =
Phương trình đã cho (2s inx 1)(cos x + 3) 0
1
x k 2
sin
x
6
2
, với k, l là số nguyên. Kết luận.
5
x
l 2
cosx = 3(v« nghiÖm)
6
Câu 31. Giải phương trình: sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0
(1)
1 sin 6 x sin x sin 5x sin 2 x sin 4 x sin 3x 0
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Lượng giác
2sin
FB: />
7 x
5x
x
3x
7x
3x
cos cos cos 0 4sin cos 2cos x 1 0
2
2
2
2
2
2
k 2
7x
x 7
sin 2 0
3x
k 2
cos 0 x
;k Z
2
3
3
2cos x 1 0
2
x
k 2
3
3
Câu 32. Giải phương trình lượng giác: 2 cos(2x ) 4s inx.sin3x - 1 0
3
Giải phương trình : 2 cos(2x ) 4s inxsin3x 1 0 (1)
sin 2x sin ) 4sin x sin 3x 1 0
3
3
cos2x 3 s in2x+4sin x sin 3x 1 0
2(cos2xcos
1 2s in 2 x-2 3 sin x cos x 4sin x sin 3x 1 0
s inx(2s in3x-sin x- 3 cos x) 0
sinx 0
sinx 3 cos x 2sin 3x
*s inx 0 x k (k z)
1
3
s inx
cos x sin 3x
2
2
3x x 3 k2
x 6 k
sin(x ) sin 3x
(k z)
3
3x x k2
x k
3
6
2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x k ; x k (k z)
6
2
*s inx 3 cos x 2sin 3x
Câu 33. Giải phương trình
sin(2x
17
x
) 16 2 3.sin x cos x 20sin 2 ( )
2
2 12
*Biến đổi phương trình đã cho tương đương với
c os2x 3 sin 2x 10cos(x ) 6 0
6
c os(2x ) 5c os(x ) 3 0
3
6
*Giải
2c os 2 (x ) 5cos(x ) 2 0
6
6
1
Giải được cos(x ) và cos(x ) 2 (loại)
6
2
6
1
5
c os(x )
được nghiệm x k 2 và x k 2
6
2
2
6
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Lượng giác
FB: />
Câu 34. Giải phương trình sau: cos x sin 2 x 1 .
4
2
4
Pt đã cho cos x sin 2 x 1 2 cos x 2 sin 2 x 1
4
cos x sin x sin 2 x cos2 x 1
4
4
2
4
sin x(1 2 cos x) cos x(1 2 cos x) 0.
(sin x cos x)(1 2 cos x) 0.
cos x sin x 0
1 2 cos x 0
tan x 1 x k
4
(k )
cos x 1
x k 2
2
3
4
3
Vậy phương trình đã cho có 3 họ nghiệm: x k , x k 2 , (k ) .
2. Phương trình bậc hai đối với sin, cos
Câu 35. Giải phương trình: (sinx cosx)2 1 cosx .
Ta có: (s inx cosx)2 1 cosx 1 2 sin xcosx 1 cosx
cosx(2 sin x-1) 0
cosx 0
s inx= 1
2
x k
2
x= k2 (k Z).
6
5
x 6 k2
Câu 36. Giải phương trình: 2cos 2 2 x 3cos 3 x 4 cos 2 x 3cos x 0
Khi đó , phương trình tương đương với :
cos2 x cos 2 x 3cos x 2 0
x k x k
4
4
2 x k 2
cos2 x 0
cos x 1 x k
(k )
2
cos2 x 3cos x 2 0 2cos 2 x 3cos x 1 0
1
2
cos x
x k 2
2
3
2
Vậy nghiệm phương trình là: x k ; x k 2
4
3
3 2 cos2 x cos x 2 s inx 3 2 cos x 0.
Câu 37. Giải phương trình
Phương trình đã cho tương đương với 3 3s inx cos x 2sin x 3s inx cos x 0
3 2sin x
3s inx cos x 0
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Lượng giác
FB: />
x k 2
3
3
s inx
2
2
x
k 2
3
cos x 3 0
5
x
k , k .
6
Câu 38. Giải phương trình: sin 2 x 2 cos 2 x 3sin x cos x .
Phương trình đã cho tương đương 2sin 2 x 3sin x 2 2sin x cos x cos x 0
2sin x 1 sin x cos x 2 0
sin x cos x 2 0 : Phương trình vô nghiệm
x 6 k 2
2sin x 1 0
(k )
x 7 k 2
6
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x k 2 , x
6
7
k 2 (k ).
6
Câu 39. Giải phương trình: 2sin2x + 3cosx – 2 = 0
2sin2x + 3cosx – 2 = 0 (1)
Pt (1) 2(1 – cos2x) + 3cosx – 2 = 0 2cos2x – 3cosx = 0 (*)
đặt t = cosx (t ≤ 1)
t = 0
Pt (*) trở thành : 2t2 – 3t = 0
3 .So sánh điều kiện t = 0 thỏa mãn
t =
2
Với t = 0 cosx = 0 x = k2 (k Z)
Vậy nghiệm của phương trình là : x = k2 (k Z)
Câu 40. Giải phương trình lượng giác: cos2 x 3 cos x 3sin x 3sin 2 x 0
2
3 3
3 sin x
cos2 x 3 cos x 3sin x 3sin 2 x 0 cos x
2 2
cos x
cos x
3
3
3 sin x
2
2
3
3
3 sin x
2
2
(1) tan x 1
3
3 sin x cos x 0
3 sin x cos x 3
2
(1)
(2)
x k
6
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Lượng giác
FB: />
x 2 k2
x 5 k2
6
(2) sin x sin
6
3
6
2
Vậy phương trình có hai họ nghiệm là x k hay x k2 .
Câu 41. Giải phương trình 2 3 cos 2 x 6sin x.cos x 3 3
Tập xác định .
*
3 1 cos 2 x 3sin 2 x 3 3 3 cos 2 x 3sin 2 x 3
1
3
3
3
cos 2 x
sin 2 x
sin 2 x
2
2
2
6 2
2 x 6 3 k 2
x 12 k
k .
2 x 2 k 2
x k
6
3
4
Câu 42. Giải phương trình: 2sin 2 x 3 sin 2 x 2 0 .
2sin 2 x 3 sin 2 x 2 0 3 sin 2 x cos 2 x 1
x k
6
sin 2 x sin
6
6
x k
2
3
1
1
sin 2 x cos 2 x
2
2
2
k
Câu 43. Giải phương trình: 2 cos 2 x sin x 1 0 .
Ta có: 2 cos 2 x sin x 1 0 2sin 2 x sin x 3 0 (sin x 1)(2sin x+3)=0
sin x 1 (do 2sin x 3 0 x )
s inx 1 x
2
k 2 k
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x k 2 k
2
Câu 44. Giải phương trình trình sau trên tập số thực:
sin2x - 2 3 cos2x = 0 với x (o;
3
)
2
sin2x - 2 3 cos2x = 0 <=> cosx(sinx- 3cosx)=0
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Lượng giác
<=>
FB: />
x 2 k
cos x 0
x k
tan x 3
3
4
Trên (0,3π/2) ta có tập nghiệm là: , , .
3 2
3
Câu 45. Giải phương trình : 2cos 2 2 x 3 cos 4 x 4cos 2 x 1 (1)
4
1 1 cos
4 x 3 cos 4 x 4 cos 2 x 1 sin 4 x 3 cos 4 x 2 2 cos 2 x 1
2
1
3
sin 4 x
cos 4 x cos 2 x cos 4 x cos 2 x
2
2
6
x
12
k x
36
k
,k
3
3. Phương trình chứa mẫu
Câu 46. Giải phương trình:
1 cos x(2cos x 1) 2 s inx
1
1 cos x
Điều kiện: cos x 1 x k 2 , k
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương:
1 cos x(2cos x 1) 2 sinx 1 cos x 2sin 2 x 2 sin x 2 0
sin x
2
5
x k , k ; x
k , k
2
4
4
Câu 47. Giải phương trình:
(thỏa điều kiện)
3(2.cos 2 x cos x 2) (3 2cos x).sin x
0
2cos x 1
ĐK:
Pt đã cho tương đương với pt:
Vậy pt có 2 họ nghiệm
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
hoặc
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
Lượng giác
FB: />
Câu 48. Giải phương trình:
2 sin x
4
tan 2 x cos 2 x 0
sin x cos x
ĐK : cos2x 0.
2
Biến đổi phương trình sin x cos x sin x2 x cos 2 x.cos 2 x 0
pt cos 2 x.cos 2 x 1 0
(thỏa mãn ĐK), cos2x = -2 (vn)
pt cos 2 2 x cos 2 x 2 0 cos 2 x 1
k
Vậy cos2x = 1 x , k Z
4 2
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. x
4
Câu 49. Giải phương trình: cot x tan x
k
2
, k Z
2cos 4 x
sin 2 x
(1)
sin x 0
k
ĐK: cos x 0 sin 2 x 0 x , k Z
2
sin 2 x 0
x l
2cos4 x
2 cos 2 x 2cos4 x
cos4 x cos2 x
,l Z
1 cot x tan x
x l
sin 2 x
sin 2 x
sin 2 x
3
Kiểm tra điều kiện ta được x l , l Z
3
Câu 50. Giải phương trình:
4cos3 x 2cos 2 x 2sin x 1 sin 2 x 2 sin x cos x
0 (1)
2sin 2 x 1
ĐK: 2sin 2 x 1 0 cos2 x 0 x
4
k
,k Z
2
1 4cos x sin x cos x 2 cos x sin x cos x 2 sin x cos x 0
2
x 4 m
2 sin x cos x cos x 1 2 cos x 1 0 x m2
,mZ
2
m 2
x
3
Kiểm tra điều kiện ta được nghiệm x
NGUYỄN VĂN LỰC 0933.168.309
m2
,m Z
3
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ
