LT đại số 10 CHƯƠNG III PT HPT

ĐẠI SỐ 10

FB: />
CHƯƠNG III. PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Nghiệm của đa thức:
Nghiệm của đa thức f(x) = a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + ... + an-1x + an là số x = x0 làm
cho đa thức bằng 0.
2. Giá trò tuyệt đối:
 A nếu A  0
A 
 A nếu A  0

3. Hai quy tắc biến đổi phương trình:
 Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và
đổi dấu hạng tử đó.
 Trong một phương trình, ta có thể nhân hoặc chia cả hai vế cho cùng một số
khác 0.
4. Phương trình bậc nhất ax + b = 0 (a ≠ 0) và phương trình đưa về dạng ax + b:
b
a

 Phương trình: ax + b = 0  ax = -b  x = - .
5. Phương trình tích:
A(x).B(x) = 0  A(x) = 0 hoặc B(x) = 0.
6. Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
7. Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0):
Nêu cách giải phương trình bậc hai và các trường hợp nghiệm đặc biệt?

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

FB: />
§1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

I- KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
1. Phương trình một ẩn:
 Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng: f(x) = g(x) (1) trong đó
f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) là vế trái, g(x) là vế phải của
phương trình (1).
 Nếu có số thực x0 sao cho f(x0) = g(x0) là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là
một nghiệm của phương trình (1).
 Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghóa là tìm tập
nghiệm của nó).
 Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm
(hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).
2. Điều kiện của một phương trình:
Điều kiện xác đònh của phương trình (1) là điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có
nghóa.
3. Phương trình nhiều ẩn:
Đó là phương trình có dạng F(x, y, z,...) = G(x, y, z, ...), trong đó F(x, y, z,...)
và G(x, y, z, ...) là những biểu thức của nhiều biến.
Nếu phương trình hai ẩn x và y trở thành mệnh đề đúng khi x = x 0 và y = y0
(với x0, y0 là số) thì ta gọi cặp số (x0, y0) là một nghiệm của nó.
Khái niệm nghiệm của phương trình ba ẩn, bốn ẩn, … cũng được hiểu tương tự.

4. Phương trình chứa tham số:
Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ cái đóng vai trò
ẩn số còn có các chữ cái khác được xem như hằng số và được gọi là tham số.
Việc giải phương trình chứa tham số thường được gọi là giải và biện luận
phương trình.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

FB: />
II- PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
1. Phương trình tương đương:
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
2. Phép biến đổi tương đương:
Đònh lý:
Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm
thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phép biến đổi mới tương đương.
 Cộng hay trừ hai vế phương trình với cùng một số hoặc một biểu thức;
 Nhân hoặc chia hai vế phương trình với cùng một số khác 0 hoặc với
cùng một biểu thức luôn có giá trò khác 0.
* Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép
cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.
Kí hiệu: Ta dùng kí hiệu “” để chỉ sự tương đương của các phương trình.
Vậy: f(x) = g(x)  f(x)  h(x) = g(x)  h(x)
f(x) = g(x) + h(x)  f(x) - h(x) = g(x)
f(x) = g(x)  f(x).h(x) = g(x).h(x) (h(x) ≠ 0)

f(x) = g(x) 

f ( x ) g( x )

h ( x ) h( x )

(h(x) ≠ 0)

3. Phương trình hệ quả:
Nếu mọi nghiệm của phương trình f ( x)  g ( x) đều là nghiệm của phương trình
f1 ( x)  g1 ( x) thì phương trình f1 ( x)  g1 ( x) được gọi là phương trình hệ quả của phương
trình f ( x)  g ( x) .
Ta viết: f ( x)  g ( x)  f1 ( x)  g1 ( x) .
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình
ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

FB: />
LÝ THUYẾT & BÀI TẬP
1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1)
 x0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x0) = g(x0)" là một mệnh đề đúng.
 Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
 Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình.
Chú ý:

+ Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau:
– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức

1
P( x )

thì cần điều kiện P(x) 0.

– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P( x ) thì cần điều kiện P(x)  0.
+ Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị
hai hàm số y = f(x) và y = g(x).
2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả
Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1
và f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2.
 (1)  (2) khi và chỉ khi S1 = S2.
 (1)  (2) khi và chỉ khi S1  S2.
3. Phép biến đổi tương đương
 Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định
của nó thì ta được một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến
đổi sau:
– Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức.
– Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0.
 Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương
trình hệ quả. Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

ĐẠI SỐ 10

FB: />
§2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT, BẬC HAI
I- ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
1. Phương trình bậc nhất:
 Giải và biện luận phương trình dạng ax+b=0:
 Khi a  0 phương trình ax+b=0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
2. Phương trình bậc hai:
Giải và biện luận phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0):
3. Đònh lý Vi-ét:
 Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) có hai nghiệm x1, x2 thì
b
a

S = x1  x 2   , P = x 1 x 2 
u  v  S

c
a

 Ngược lại, nếu hai số u, v có 
thì u, v là các nghiệm phương trình:
 uv  P
x2–Sx+P=0.
II- PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
2. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trò tuyệt đối:
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trò tuyệt đối ta có thể dùng đònh nghóa

 A nếu A  0
hoặc bình phương hai vế phương trình dẫn đến
 A nếu A  0

của giá trò tuyệt đối: A  
phương trình hệ quả.

3. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn:
Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương
hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.
4. Phương trình trùng phương:
Phương trình trùng phương ax4 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có thể đưa về phương trình bậc
hai bằng cách đặt t = x2 (t  0).

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

FB: />
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ax+b=0

ax + b = 0

(1)
Kết luận

Hệ số

(1) có nghiệm duy nhất x  

a0
a=0

b0
b=0

b
a

(1) vô nghiệm
(1) nghiệm đúng với mọi x

Chú ý: Khi a  0 thì (1) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax2+bx+c=0 (a  0)
1. Cách giải
(a  0)
(1)
Kết luận

ax2 + bx + c = 0

  b2  4ac

Chú ý:

>0

(1) có 2 nghiệm phân biệt x1,2 

=0

(1) có nghiệm kép x  

<0

(1) vô nghiệm

b  
2a

b
2a

– Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x =

c
a

.
c
a

– Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x =  .
b
2

– Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với b  .
2. Định lí Vi–et
Hai số x1 , x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0 khi và chỉ khi
chúng thoả mãn các hệ thức S  x1  x2  

b
a

c
a

và P  x1x2  .

VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận phương trình ax 2  bx  c  0
Để giải và biện luận phương trình ax 2  bx  c  0 ta cần xét các trường hợp có thể
xảy ra của hệ số a:
– Nếu a = 0 thì trở về giải và biện luận phương trình bx  c  0 .
– Nếu a  0 thì mới xét các trường hợp của  như trên.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

FB: />
VẤN ĐỀ 2: Dấu của nghiệm số của phương trình ax 2  bx  c  0 (a  0) (1)

 (1) có hai nghiệm cùng dấu    0

 (1) có hai nghiệm trái dấu  P < 0
 (1) có hai nghiệm dương 

P  0

  0

P  0
 S  0

 (1) có hai nghiệm âm 

  0

P  0
 S  0

Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì  > 0.
VẤN ĐỀ 3: Một số bài tập áp dụng định lí Vi–et
1. Biểu thức đối xứng của các nghiệm số
b
a

Ta sử dụng công thức S  x1  x2   ; P  x1x2 

c
a

để biểu diễn các biểu thức đối

xứng của các nghiệm x1, x2 theo S và P.
Ví dụ: x12  x22  ( x1  x2 )2  2 x1x2  S2  2P
x13  x23  ( x1  x2 ) ( x1  x2 )2  3x1x2   S(S 2  3P)

2. Hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số
Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm:
b
S  x1  x2   ;
a

P  x1 x2 

c
a

(S, P có chứa tham số m).

Khử tham số m giữa S và P ta tìm được hệ thức giữa x 1 và x2.
3. Lập phương trình bậc hai
Nếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương trình bậc hai có
dạng:
trong đó S = u + v, P = uv.
x 2  Sx  P  0 ,

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Định nghĩa và tính chất
 A   A

 A

khi A  0
khi A  0

 A.B  A . B
 A  B  A  B  A.B  0
 A  B  A  B  A.B  0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

 A  0, A
2

 A  A2
 A  B  A  B  A.B  0
 A  B  A  B  A.B  0

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

FB: />
2. Cách giải
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ,
bằng cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ.

 Dạng 1:

 Dạng 2:

 f ( x)  0
  f ( x )  g( x ) C2  g( x )  0
f ( x )  g( x )   
   f ( x )  g( x )
  f ( x )  0
  f ( x )   g( x )
  f ( x )  g( x )
C1

C1

2

2

f ( x )  g( x )   f ( x )   g( x )

C2

 f ( x )  g( x )

 f ( x )   g( x )

 Dạng 3: a f ( x )  b g( x )  h( x )
Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải.

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN
Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn,
bằng cách:
– Nâng luỹ thừa hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác
định.


2

Dạng 1: f ( x )  g( x )   f ( x )   g( x )
Dạng 2:


 g( x )  0
 f ( x )  g( x )
f ( x )  g( x )  
 f ( x )  0 (hay g( x )  0)


Dạng 3: af ( x )  b f ( x )  c  0  t 2 f ( x ), t  0

at  bt  c  0

Dạng 4: f ( x )  g( x )  h( x )
 Đặt u  f ( x ), v  g( x ) với u, v  0.
 Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v.
Dạng 5: f ( x )  g( x )  f ( x ).g( x )  h( x )
Đặt t  f ( x )  g( x ), t  0 .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

FB: />
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC
Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta phải chú ý đến điều kiện
xác định của phương trình (mẫu thức khác 0).

PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG
ax4+bx2+c=0 (a  0)
1. Cách giải:

t  x 2 , t  0
ax 4  bx 2  c  0 (1)   2

at  bt  c  0 (2)

2. Số nghiệm của phương trình trùng phương
Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng.
 (1) vơ nghiệm



(2) vô nghiệm
(2) có nghiệm kép âm


(2) có 2 nghiệm âm

 (1) có 1 nghiệm  (2) có nghiệm kép bằng 0

(2) có 1 nghiệm bằng 0, nghiệm còn lại âm
 (1) có 2 nghiệm  (2) có nghiệm kép dương
(2) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm âm
 (1) có 3 nghiệm  (2) có 1 nghiệm bằng 0, nghiệm còn lại dương

 (1) có 4 nghiệm  (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
3. Một số dạng khác về phương trình bậc bốn
( x  a)( x  b)( x  c)( x  d )  K , với a  b  c  d
 Dạng 1:
– Đặt t  ( x  a)( x  b)  ( x  c)( x  d )  t  ab  cd
– PT trở thành:
t 2  (cd  ab)t  K  0
 Dạng 2:
( x  a)4  ( x  b)4  K
– Đặt t  x 

ab
2

– PT trở thành:

ab
ba
, xbt
2

2

ab
2t 4  12 2t 2  2 4  K  0  với  


2 

 xat

 Dạng 3: ax 4  bx3  cx2  bx  a  0 (a  0) (phương trình đối xứng)
– Vì x = 0 khơng là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x 2 , ta được:


PT  a  x 2 

1  
1
 b x    c  0
2
x
x  


1
1
– Đặt t  x   hoặc t  x   với t  2 .
x 
x

– PT (2) trở thành:

at 2  bt  c  2a  0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

(2)

( t  2) .

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

FB: />
§3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
I- ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn:
Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax + by = c (1) trong đó
a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0 (a 2 + b2  0).
* Chú ý:
 Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c, khi đó:
Nếu c  0 thì phương trình trên vô nghiệm
Nếu c = 0 thì mọi cặp số (x0, y0) đều là nghiệm.

a
b

 Khi b  0, phương trình ax + by = c trở thành: y =  x 

c
a

(2)

Cặp số (x0, y0) là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm
M(x0, y0) thuộc đường thẳng (2).
Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn
có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình (1) là một đường
thẳng trong phẳng tọa độ Oxy.
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
a x  b y  c

1
1
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là :  1
(3)
a2 x  b2 y  c2

trong đó x, y là hai ẩn; các chữ còn lại là hệ số.
Nếu cặp số (x0, y0) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ thì
(x0, y0) là nghiệm của hệ phương trình (3).
Giải hệ phương trình (3) là tìm tập nghiệm của nó.
II- HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN
Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là :

 a1 x  b1 y  c1 z  d1


a2 x  b2 y  c2 z  d 2
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3

(4)

trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ số còn lại là các hệ số.
Mỗi bộ ba số (x0; y0; z0) nghiệm đúng cả ba phương trình trong hệ được gọi là
nghiệm của hệ phương trình (4).
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

FB: />
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
a1x  b1y  c1

a2 x  b2 y  c2

(a12  b12  0, a22  b22  0)

Giải và biện luận:
– Tính các định thức:

a1

b1

a2

b2

, Dx 

c1

b1

c2

b2

, Dy 

a1

c1

a2

c2

.

Kết quả

Xét D
D0
D=0

D

Dx  0 hoặc Dy  0
Dx = Dy = 0


Dy 
D
Hệ có nghiệm duy nhất  x  x ; y 


D
D 
Hệ vô nghiệm
Hệ có vô số nghiệm

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã
biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.
2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về
các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể
dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình
bậc nhất hai ẩn.

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai
 Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.
 Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.
 Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.
2. Hệ đối xứng loại 1
Hệ có dạng: (I)  f ( x, y)  0
 g( x , y )  0

(với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)).

(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).
 Đặt S = x + y, P = xy.
 Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P.
 Giải hệ (II) ta tìm được S và P.
 Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X 2  SX  P  0 .
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

FB: />
3. Hệ đối xứng loại 2
Hệ có dạng: (I)  f ( x, y)  0

 f ( y, x )  0

(1)
(2)

(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).
 Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:
(I)   f ( x, y)  f ( y, x )  0
 f ( x, y)  0

(3)
(1)

 Biến đổi (3) về phương trình tích:
(3)  ( x  y ).g( x , y )  0   x  y
.
 g( x , y )  0
  f ( x, y)  0
 x  y
 Như vậy, (I)   
.
  f ( x , y )  0
  g( x , y )  0

 Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I).
4. Hệ đẳng cấp bậc hai
 a x 2  b xy  c y 2  d
1
1 .
Hệ có dạng: (I)  1 2 1
2
 a2 x  b2 xy  c2 y  d2

 Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0).
 Khi x  0, đặt y  kx . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được
phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được
(x; y).
– Ngoài các cách giải thông thường ta còn sử dụng phương pháp
giải (sẽ học ở lớp 12).
– Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ) thì
( y0 ; x0 ) cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x0  y0 .

Chú ý:
hàm số để

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ