LT HÌNH học 10 CHƯƠNG II TÍCH vô HƯỚNG

HÌNH HỌC 10

www.TOANTUYENSINH.com

CHƯƠNG II. TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ VÀ
ỨNG DỤNG

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Các điểm đặc biệt trong tam giác:
A

A

A
ha

b

c

c

G

b

H

hb
B

a

C

M

A

R

hc

r

C

Trọng tâm G của Trực tâm H của
tam giác là giao tam giác ABC là
điểm ba đường trung giao điểm ba
2
tuyến, và AG  AM . đường cao.

I

C

B

a

B

b

c

O

Tâm O đường tròn
ngoại tiếp ABC
là giao điểm ba
đường trung trực.

3

a

B

C

Tâm I của đường
tròn
nội
tiếp
ABC là giao
điểm ba đường
phân giác trong.

2. Tam giác vuông ABC vuông tại A:

 Hệ thức lượng:

A
A

B

sin =
tan =



AC
BC
AC
AB

B
C

cos =
cot =

AB
BC
AB
AC

 Đònh lí Pitago: BC2=AB2 + AC2
 Diện tích: S =

1
AB.AC
2



H

M

C

1
1
1


2
2
AH
AB
AC 2

 Độ dài đường trung tuyến AM =

1
BC
2

 Công thức khác:
AB.AC = AH.BC
BA2 = BH.BC
CA2 = CH.CB

3. Các công thức đặc biệt:
 Diện tích tam giác đều: S=(cạnh)2

3
4

 Chiều cao tam giác đều: h=cạnh 

3
2

 Độ dài đường chéo hình vuông: l = cạnh  2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

www.TOANTUYENSINH.com

4. Diện tích các hình đặc biệt khác:
 Hình vuông: S = cạnh  cạnh
 Hình thoi: S = (chép dài  chéo ngắn)

1
2

 Hình chữ nhật: S = dài  rộng
 Hình thang: S = (đáy lớn+đáy bé) chiều cao
1
2

 Hình tròn: S = R2
 Hình bình hành: S = đáy  chiều cao
5. Hai tam giác đồng dạng và đònh lí Talet:
B

A

N

A

C

M

M

P

 ABC ∽MNP nếu chúng có hai góc tương ứng
bằng nhau.
 Nếu ABC ∽MNPthì

N

B

C

AM
AN MN


AB
AC
BC

AB MN

AC MP

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

www.TOANTUYENSINH.com

§1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT
KÌ TỪ 00 ĐẾN 1800

1. Đònh nghóa:
Nửa đường tròn đơn vò:
Nửa đường tròn tâm O nằm phía trên
trục hoành bán kính R = 1 được gọi là nửa
đường tròn đơn vò.

y
1

x

R=1

O

-1

Với mỗi góc  (00    1800) ta xác đònh một
điểm M trên nửa đường tròn đơn vò sao cho góc xOM
bằng và giả sử điểm M có tọa độ M(x0; y0). Khi đó
ta đònh nghóa:
 sin của góc  là x0, kí hiệu sin = y0;

1

y
1

M

y0



x0

-1

x

R=1

O

1

 côsin của góc  là x0, kí hiệu cos = x0;
 tang của góc  là

y0
x0

 côtang của góc  là

(x0 ≠ 0), kí hiệu tan =
x0
y0

y0

x0

(y0≠ 0), kí hiệu cot =

;
x0
y0

.

Các số sin, cos, tan, cot được gọi là các giá trò lượng giác của góc .
* Chú ý:
 Nếu  là góc tù thì cos, tancot
 tan chỉ xác đònh khi  ≠ 900, cot chỉ xác đònh khi  ≠ 00 và  ≠ 1800.
2. Tính chất:
y

sin(1800 -  = sin
cos(1800 -  = -cos
tan(1800 -  = -tan
cot(1800 -  = -cot
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

N

-x0

M

y0

O



x0

x

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

www.TOANTUYENSINH.com

3. Giá trò lượng giác của các góc đặc biệt:

Giá trò
lượng giác
sin
cos


00

300

450

600

900

0

1
2

2
2
2
2

3
2
1
2

1

1

3



1

1

3

0

3
2
1
3

1

tan

0

cot



3

4. Góc giữa hai vectơ:

Đònh nghóa: Cho hai vectơ a và b đều khác


vectơ 0 . Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA  a và

OB  b . Góc AOB với số đo từ 00 đến 1800 được


gọi là góc giữa hai vectơ a và b . Ta kí hiệu

 
góc giữa hai vectơ a và b là (a, b ) .
 

0

A

b

a

B

a
b
O



Nếu (a, b ) = 900 thì ta nói rằng a và b vuông
 
 
góc với nhau, kí hiệu là a  b hoặc b  a .
 
 
* Chú ý: Từ đònh nghóa ta có (a, b ) = (b , a )
5. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trò lượng giác của một góc:

 Tính các giá trò lượng giác của góc :
Deg Rad Gra
2
3

Ấn MODE khi màn hình xuất hiện 1
đo góc là "độ".
"Độ"

ấn 1 để chọn đơn vò

"Radian"

Để tính sin, cos, tan của một góc  ấn sin, cos hay tan  ấn góc .
Ví dụ: Tính sin của góc  = 63052'41'' ta thực hiện:
Ấn sin  ấn 63  ấn o'''  ấn 52 ấn o'''  ấn 41 ấn o'''  ấn
=
ta được kết quả  0.897859012
0
* Chú ý: 1 = 60', 1' = 60''.
 Xác đònh độ lớn của góc khi biết giá trò lượng giác của góc đó:
Để xác đònh xem giá trò a là sin, cos, tan của góc  là bao nhiêu độ ta thực
hiện:
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

www.TOANTUYENSINH.com

 Chọn đơn vò cho máy là "Deg"
ấn sin-1, cos-1 hay tan-1  ấn số a  ấn =
Ví dụ: Tìm góc x biết sinx = 0.3502 ta thực hiện:
Ấn sin-1  ấn 0.3502  ấn =   SHIFT  ấn o'''
ta được kết quả 20029'58''.
6. Công thức sin2 + cos2:
y
Với mọi góc  bất kì ta có: sin2 + cos2
* Chú ý: (sin)2 được kí hiệu sin2.

M

K
R



O

H

x

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP
1. Định nghĩa
Lấy M trên nửa đường tròn đơn vò tâm O. Xét góc nhọn  =
sin = y (tung độ)
y

cos = x (hoành độ)
tan =
cot =

y  tung độ 


x  hoành độ 
x  hoành độ 


y  tung độ 

(x  0)

y
-1

O



xOM .

Giả sử M(x; y).

M
x1

x

(y  0)

Chú ý: – Nếu  tù thì cos < 0, tan < 0, cot < 0.
– tan chỉ xác định khi   900, cot chỉ xác định khi   00 và   1800.
2. Tính chất
 Góc phụ nhau
 Góc bù nhau
sin(900   )  cos 
cos(900   )  sin 
tan(900   )  cot 
cot(900   )  tan 

sin(180 0   )  sin 
cos(180 0   )   cos 
tan(1800   )   tan 
cot(180 0   )   cot 

3. Các hệ thức cơ bản

sin 
(cos   0)
cos 
cos 
cot  
(sin   0)
sin 
tan  .cot   1 (sin  .cos   0)
tan  

Chú ý:

sin2   cos2   1
1
1  tan2  
(cos   0)
cos2 
1
1  cot 2  
(sin   0)
sin2 

0  sin   1;  1  cos   1 .

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

www.TOANTUYENSINH.com

§2. TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ
1. Đònh nghóa:


Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0 . Tích vô hướng của

hiệu là a.b , được xác đònh bởi công thức sau:


a



và b là một số, kí

  
 
a.b  a b cos(a, b )

 

* Chú ý:  Nếu a = 0 hoặc b = 0 ta quy ước a.b = 0.



 
 Với a và b khác vectơ 0 ta có a.b  0  a  b .
 
 

 Khi a  b tích vô hướng a.a = a . a . cos 0 0 được kí hiệu là a 2 và số này được
gọi là bình phương vô hướng của vectơ a .


Ta có: a 2  a 2 (bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của nó)

2. Các tính chất của tích vô hướng:

  
Với ba vectơ a, b , c bất kì và mọi số k ta có:
 
a.b  b.a
    
a.(b  c )  a.b  a.c
 
  
(ka).b  k (a.b )  a.(kb )


 
a 2  0, a 2  0  a  0 .

(tính chất giao hoán)
(tính chất phân phối)

Từ các tính chất của tích vô hướng, ta có:
 

 
 

 
 (a  b )2  a 2  2a.b  b 2
 (a  b )2  a 2  2a.b  b 2



 







 (a  b )(a  b )  a 2  b 2

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:

 

Trên mặt phẳng tọa độ (O, i , j ) , cho hai vectơ a  (a1; a2 ) , b  (b1; b2 ) . Khi đó:

a.b  a1b1  a2 b2







* Nhận xét: Cho hai vectơ a  (a1; a2 ) , b  (b1; b2 ) đều khác vectơ 0 . Ta có:
 

a  b  a.b  0

4. Ứng dụng:


a) Độ dài của vectơ: Độ dài của vectơ a  (a1; a2 ) được tính theo công thức:

2
2
a  a1  a2







b) Góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ a  (a1; a2 ) , b  (b1; b2 ) đều khác 0 thì ta có:

a1b1  a2 b2
a.b
 
cos(a, b )    
ab
a12  a22 . b12  b22

c) Khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểm A xA ; y A ; B xB ; yB
được tính:
AB  AB  ( x B  x A )2  ( y B  y A )2
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HèNH HC 10

www.TOANTUYENSINH.com

Lí THUYT & BI TP
1. Gúc gia hai vect
Cho a , b 0 . T mt im O bt kỡ v OA a, OB b .
Khi ú a, b AOB vi 00 AOB 1800.
Chỳ ý:
+ a, b = 900 a b
+ a, b = 00 a , b cựng hng
+ a, b = 1800 a , b ngc hng
+ a, b b , a

a
a

b

A

O
b

B

2. Tớch vụ hng ca hai vect
a.b a . b .cos a, b .
nh ngha:
2

c bit: a.a a 2 a .
Tớnh cht: Vi a , b , c bt kỡ v kR, ta cú:
a b c a.b a.c ;
+ a.b b.a ;
ka .b k a.b a. kb ;
a 2 0; a 2 0 a 0 .
2
+ a b a2 2a.b b 2 ;
a 2 b 2 a b a b .
+ a.b > 0 a, b nhoùn
+ a.b < 0 a, b tuứ
a.b = 0 a, b vuoõng.

a b 2 a2 2a.b b 2 ;

3. Biu thc to ca tớch vụ hng
Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2). Khi ú:
a a12 a22 ;

cos(a , b )

Cho A( x A ; y A ), B( xB ; yB ) . Khi ú:

NGUYN VN LC 0933.168.309

a.b a1b1 a2b2 .

a1b1 a2 b2
a12

a22 .

b12

b22

;

a b a1b1 a2b2 0

AB ( xB x A )2 ( yB y A )2

.

SP Toỏn K35 - H Cn Th


HÌNH HỌC 10

www.TOANTUYENSINH.com

§3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ
GIẢI TAM GIÁC
1. Đònh lí côsin:
a) Đònh lí: Trong tam giác ABC bất kì với
BC = a, CA = b, AB = c ta có:
2

2

A

a = b + c - 2bccosA
b2 = a2 + c2 - 2accosB
c2 = a2 + b2 - 2abcosC

b

c

2

a

B

C

b) Hệ quả:
 cos A 

b2  c2  a2
2bc

 cos B 

a2  c2  b2
2ac

 cos C 

a2  b2  c2
2ab

c) Công thức tính độ dài đường trung tuyến:
Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Gọi ma, mb, mc là độ
dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B và C. Ta có:
A

b2  c2 a2

2
4
2
2
a c
b2
2
mb 

2
4
2
2
a b
c2
mc2 

2
4

m a2 

mb

B

2. Đònh lí sin:
Trong tam giác ABC bất kì với BC = a,
CA = b, AB = c và R là bán kính đường
tròn ngoại tiếp ABC, ta có:
a
b
c


 2R
sin A sin B sin C

ma

c

b

mc
a

M

C

A

b

c

O

R

B

a

C

3. Công thức tính diện tích tam giác:
Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Gọi R và r lần lượt là bán
kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp ABC. Gọi p =

abc
là
2

nửa chu

vi ABC. Kí hiệu ha, hb, hc là chiều cao của ABC ứng với các đỉnh A, B, C và S là
diện tích ABC. Ta có:
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

S=
S=
S=

www.TOANTUYENSINH.com

1
1
1
aha  bhb  chc
một phần hai cạnh
2
2
2
đá
y nhân chiều cao
1
1
1
ab sin C  bc sin A  ac sin B
2
2
2
abc

nửa tích số hai cạnh
4R

A

c

b
ha

O
R

r

nhân sin góc xen giữa

S = pr
S = p( p  a)( p  b)( p  c) (công thức Hê-rông)

B

a

C

4. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc:
a) Giải tam giác: Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi cho biết các
yêu tố khác.
b) Ứng dụng vào việc đo đạc:

 Vấn đề 1: Để đo chiều cao của một cây trong sân (không leo lên cây) ta làm
như thế nào?
 Vấn đề 2: Muốn biết con sông rộng bao nhiêu ta làm sao? (không có phương
tiện qua sông)

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

Cho ABC có:
– độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c
– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc
– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc
– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r
– nửa chu vi tam giác: p
– diện tích tam giác: S
1. Định lí cơsin
a2  b2  c2  2bc.cos A ;

b2  c2  a2  2ca.cos B ;

c2  a2  b2  2ab.cos C

2. Định lí sin
a
b
c


 2R
sin A sin B sin C

3. Độ dài trung tuyến
ma2

2(b2  c2 )  a2

4

;

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

mb2

2(a2  c2 )  b2

4

;

mc2

2(a2  b2 )  c2

4

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


HÌNH HỌC 10

www.TOANTUYENSINH.com

4. Diện tích tam giác
S=
=
=
=
=

1
1
1
aha  bhb  chc
2
2
2
1
1
1
bc sin A  ca sin B  ab sin C
2
2
2
abc
4R
pr

(công thức Hê–rông)

p( p  a)( p  b)( p  c)

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho
trước.
5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)
Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao.
 BC 2  AB2  AC 2 (định lí Pi–ta–go)
 AB2  BC.BH ,
AC 2  BC.CH
 AH 2  BH .CH ,

1
AH

2



1
AB

2



1
AC

2

B

A

H

C

 AH .BC  AB.AC
 b  a.sin B  a.cos C  c tan B  c cot C ; c  a.sin C  a.cos B  b tan C  b cot C
6. Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)
Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định.
 Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD.
PM/(O) = MA.MB  MC.MD  MO2  R2
 Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT.
PM/(O) = MT 2  MO2  R2

T
B
A

R
O

M
C

D

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ